排列组合(一轮复习)

1、备考方向要明了备考方向要明了1.排列组合概念及排列数、组排列组合概念及排列数、组 合数公式一般不单独考查合数公式一般不单独考查2.排列组合的应用问题是高考排列组合的应用问题是高考 的热点内容，独立命题，题的热点内容，独立命题，题 多为选择、填空题，如多为选择、填空题，如2012 年陕西年陕西T8，安徽，安徽T10，辽宁，辽宁 T5等等.1.理解排列组合的概念理解排列组合的概念2.能利用计数原理推导排列能利用计数原理推导排列 数公式、组合数公式数公式、组合数公式3.能利用排列组合知识解决能利用排列组合知识解决 简单的实际问题简单的实际问题.怎怎 么么 考考考考 什什 么么归纳归纳知识整合知识整合

2、1排列与排列数公式排列与排列数公式(1)排列与排列数排列与排列数n(n1)(n2)(nm1)n！11 探究探究1.排列与排列数有什么区别？排列与排列数有什么区别？ 提示：排列与排列数是两个不同的概念，排列是一个提示：排列与排列数是两个不同的概念，排列是一个具体的排法，不是数，而排列数是所有排列的个数，是一具体的排法，不是数，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数个正整数 2组合与组合数公式组合与组合数公式 (1)组合与组合数组合与组合数1 探究探究2.如何区分一个问题是排列问题还是组合问题？如何区分一个问题是排列问题还是组合问题？ 提示：看选出的元素与顺序是否有关，若与顺序有关，提示：看选出的

3、元素与顺序是否有关，若与顺序有关，则是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题则是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题自测自测牛刀小试牛刀小试112名选手参加校园歌手大奖赛，大赛设一等奖、二等奖、名选手参加校园歌手大奖赛，大赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖种三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖种数是数是 ()答案：答案：C2异面直线异面直线a，b上分别有上分别有4个点和个点和5个点，由这个点，由这9个点可以个点可以确定的平面个数是确定的平面个数是 ()答案：答案：B答案：答案：B3将将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安名学生分配到甲、乙两

4、个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的分配方案共有排两名学生，那么互不相同的分配方案共有 ()A252种种 B112种种C20种种 D56种种答案：答案：344从从4名男生和名男生和3名女生中选出名女生中选出4人担任奥运志愿者，若人担任奥运志愿者，若选出的选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有人中既有男生又有女生，则不同的选法共有_种种5如图如图M，N，P，Q为海上四个小岛，现要建造三座桥，为海上四个小岛，现要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方法有将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方法有_种种答案：答案：16排列问题排列问题 例例13名男生，名男生，4名女生，

5、按照不同的要求排队，求名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：不同的排队方案的方法种数： (1)选其中选其中5人排成一排；人排成一排； (2)排成前后两排，前排排成前后两排，前排3人，后排人，后排4人；人； (3)全体站成一排，男、女各站在一起；全体站成一排，男、女各站在一起； (4)全体站成一排，男生不能站在一起；全体站成一排，男生不能站在一起； (5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾全体站成一排，甲不站排头也不站排尾 本例中若全体站成一排，男生必须站在一起，有多少本例中若全体站成一排，男生必须站在一起，有多少中排法？中排法？解决排列类应用题的主要方法解决排列类应用题的主要

6、方法 (1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；直接法：把符合条件的排列数直接列式计算； (2)特殊元素特殊元素(或位置或位置)优先安排的方法，即先排特殊元优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；素或特殊位置； (3)捆绑法：相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻捆绑法：相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；的内部排列； (4)插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素不受限制的元素的排列，

7、再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；排列的空当中； (5)分排问题直排处理的方法；分排问题直排处理的方法； (6)“小集团小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；排列问题中先集体后局部的处理方法； (7)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列制，排列后再除以定序元素的全排列1一位老师和一位老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法排法 () A450 B460 C480 D500答案：答案：C2排一张有排一张有5个歌唱节目和个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单个舞

8、蹈节目的演出节目单(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？组合问题组合问题 例例2要从要从5名女生，名女生，7名男生中选出名男生中选出5名代表，按下名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有至少有1名女生入选；名女生入选；(2)至多有至多有2名女生入选；名女生入选；(3)男生甲和女生乙入选；男生甲和女生乙入选；(4)男生甲和女生乙不能同时入选；男生甲和女生乙不能同时入选；(5)男生甲、女生乙至少有一个人入选男生甲、女生

9、乙至少有一个人入选 组合两类问题的解法组合两类问题的解法 (1)“含含”与与“不含不含”的问题：的问题：“含含”，则先将这些元素取，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；出，再由另外元素补足；“不含不含”，则先将这些元素剔除，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取再从剩下的元素中去选取 (2)“至少至少”、“最多最多”的问题：解这类题必须十分重视的问题：解这类题必须十分重视“至少至少”与与“最多最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法或间接法都可以求解通常用直接法分类复解用直接法或间接法都可以求解通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理杂时

10、，考虑逆向思维，用间接法处理3某校开设某校开设A类选修课类选修课3门，门，B类选修课类选修课4门，一位同学从门，一位同学从中选中选3门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有选法共有 ()A30种种B35种种C42种种D48种种答案：答案：A排列、组合的综合应用排列、组合的综合应用 例例3有有5个男生和个男生和3个女生，从中选出个女生，从中选出5人担任人担任5门不门不同学科的科代表，求分别符合下列的选法数：同学科的科代表，求分别符合下列的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生；有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文科代表；某女生一定

11、担任语文科代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；某男生必须包括在内，但不担任数学科代表； (4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表科代表，但不担任数学科代表求解排列、组合综合题的一般思路求解排列、组合综合题的一般思路 排列、组合的综合问题，一般是将符合要求的元素排列、组合的综合问题，一般是将符合要求的元素取出取出(组合组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列其中分组时，要注意排列其中分组时，要注意“平均分组平均分组”与与“不平均分组不平均分组”的的差异及

12、分类的标准差异及分类的标准44个不同的球，个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内个不同的盒子，把球全部放入盒内(1)恰有恰有1个盒不放球，共有几种放法？个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有恰有1个盒内有个盒内有2个球，共有几种放法？个球，共有几种放法？(3)恰有恰有2个盒不放球，共有几种放法？个盒不放球，共有几种放法？识别方法识别方法排排列列若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关列问题，即排列问题与选取元素顺序有关组组合合若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排若交换某两个元素的位置对结果产生影响，

13、则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关列问题，即排列问题与选取元素顺序有关 (1)解排列、组合综合题一般是先选后排，或充分利用元解排列、组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理作最后处理素的性质进行分类、分步，再利用两个原理作最后处理 (2)解受条件限制的组合题，通常用直接法解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类合理分类)和间和间接法接法(排除法排除法)来解决分类标准应统一，避免出现重复或遗来解决分类标准应统一，避免出现重复或遗漏漏 (3)对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采

14、用排除法分析选项，错误的答案都是犯处理这类选择题可采用排除法分析选项，错误的答案都是犯有重复或遗漏有重复或遗漏.创新交汇创新交汇几何图形中的排列组合问题几何图形中的排列组合问题 1排列、组合问题的应用一直是高考的热点内容之一，排列、组合问题的应用一直是高考的热点内容之一，高考中除了以实际生活为背景命题外，还经常与其他知识结高考中除了以实际生活为背景命题外，还经常与其他知识结合交汇命题合交汇命题 2解答此类问题应注意以下问题：解答此类问题应注意以下问题： (1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题；仔细审题，判断是排列问题还是组合问题； (2)对限制条件较为复杂的排列组合问题，可分解为若干对限制

15、条件较为复杂的排列组合问题，可分解为若干个简单的基本问题后再用两个原理来解决；个简单的基本问题后再用两个原理来解决； (3)由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，可采用多种不同的方法求解，看结果是否相同来检验证，可采用多种不同的方法求解，看结果是否相同来检验 典例典例(2011湖北高考湖北高考)给给n个自上而下相连的正方个自上而下相连的正方形着黑色或白色当形着黑色或白色当n4时，在所有不同的着色方案中，时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示： 由此推断，当由此推断，当n

16、6时，黑色正方形互不相邻的着色方时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有案共有_种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有案共有_种种(结果用数值表示结果用数值表示)答案答案 2143 1本题有以下创新点本题有以下创新点 (1)命题背景的创新：本题以平面几何中的着色问命题背景的创新：本题以平面几何中的着色问题为背景，让学生根据所给图形，归纳探究着色问题为背景，让学生根据所给图形，归纳探究着色问题题 (2)考查方式的创新：在切入点上一改往日直来直考查方式的创新：在切入点上一改往日直来直去的文字语言叙述，而是以图形语言的形式呈现，考去的文字语言叙述，而是以图形语言的

17、形式呈现，考查了学生对图形语言的理解能力及数学应用意识与应查了学生对图形语言的理解能力及数学应用意识与应用能力用能力 2解决本题的关键点解决本题的关键点 (1)由由n1,2,3,4时，黑色正方形互不相邻的着色方案时，黑色正方形互不相邻的着色方案种数的规律，归纳种数的规律，归纳n6时的情况；时的情况； (2)求至少有两个黑色正方形相邻的着色方案种数可求至少有两个黑色正方形相邻的着色方案种数可考虑利用对立事件求解考虑利用对立事件求解 3解决与图形有关的排列组合问题的注意事项解决与图形有关的排列组合问题的注意事项 需要强化对图形语言的理解训练，强化常用方法的需要强化对图形语言的理解训练，强化常用方法

18、的训练，理解体会解题中运用的数学思想和方法，才能快训练，理解体会解题中运用的数学思想和方法，才能快速正确地解决排列组合问题速正确地解决排列组合问题 (2012安徽高考安徽高考)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品已知位同学互赠一份纪念品已知6位同学之间共进行了位同学之间共进行了13次次交换，则收到交换，则收到4份纪念品的同学人数为份纪念品的同学人数为 ()A1或或3 B1或或4C2或或3 D2或或4解析：不妨设解析：不妨设6位同学分别为位同学分别为A，B，C，D，E，F，列举交，列举交换纪念品的所有情况为换纪念品的所有情况为AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共有，共有15种因种因为为6位同学之间共进行了位同学之间共进行了13次交换，即缺少以上交换中的次交换，即缺少以上