场论第二章2-5

1、第五节第五节 几种重要的矢量场几种重要的矢量场1 1、有势场、有势场2 2、管形场、管形场3 3、调和场、调和场一、有势场一、有势场1 1、有势场的定义、有势场的定义2 2、有势场的判定、有势场的判定3 3、势函数的求法、势函数的求法三维空间里单连域与复连域的概念三维空间里单连域与复连域的概念（1）如果在一个空间区域）如果在一个空间区域G内的任何一条内的任何一条简单闭曲线简单闭曲线l,都可以作出一个以都可以作出一个以l为边界且全为边界且全部位于区域部位于区域G内的曲面内的曲面S,则称此区域则称此区域G为为线单线单连域连域;否则称为否则称为线复连域线复连域.例如空心球体是线单例如空心球体是线单连

2、域连域,而环面体则是线复连域而环面体则是线复连域.(见下图见下图)空心球体环面体 （2）如果在一个空间区域如果在一个空间区域G内的任一简内的任一简单单闭曲面闭曲面S所包围的全部点所包围的全部点,都在区域都在区域G内内(即即S内内没有洞没有洞),则称此区域则称此区域G为为面单连域面单连域;否则称为否则称为面面复连域复连域. 有许多空间区域既是线单连域有许多空间区域既是线单连域,同时又是同时又是例如环面体是面单连域例如环面体是面单连域,而空心球体则而空心球体则是面复连域是面复连域.面单连域面单连域.例如实心的球体、椭球体、圆柱体、例如实心的球体、椭球体、圆柱体、平行六面体等平行六面体等,都既是线单

3、连域都既是线单连域,又是面单连域又是面单连域. 设有矢量场设有矢量场若存在单值函数若存在单值函数()u M满足满足gradAu 则称此矢量场为则称此矢量场为有势场有势场；,令 vu 并称并称v为这个为这个场的场的势函数势函数.(),A M gradAv 1.1.有势场的定义有势场的定义A 矢矢量量与势函数与势函数v之间的关系是之间的关系是：说明：说明： （1）有势场是一个梯度场；）有势场是一个梯度场；（2）有势场的势函数有无穷多个）有势场的势函数有无穷多个,它们之间它们之间()A M 若若为有势场为有势场,它满足它满足gradAv A 只相差一个常数只相差一个常数.则存在势函数则存在势函数v,

4、grad()vC gradv 对于任意常数对于任意常数C，所以所以v+C也是有势场也是有势场()A M 的的势函数势函数,因此因此有势场有势场()A M 的势函数有无穷多个的势函数有无穷多个.12()vvA M 又又若若和和均均为为的的势势函函数数，则则有有12gradgradvv 或或12grad()0vv 所以所以12,()vvCC 为为任任意意常常数数即在有势场中的任何两个势函数之间即在有势场中的任何两个势函数之间,只相差只相差一个常数一个常数.()v MC 若已知有势场若已知有势场 的一个势函数的一个势函数 ，()A M ()v M则场的所有势函数的全体可以表示为则场的所有势函数的全体

5、可以表示为(C为任意常数为任意常数)2. 有势场的判定有势场的判定充要条件是充要条件是 为无旋场为无旋场.定理定理1.在线单连域内在线单连域内,矢量场矢量场 为有势场的为有势场的A A 证证设设( , , )( , , )( , , )AP x y z iQ x y z jR x y z k必要性必要性如果如果 为有势场，为有势场，A 则存在函数则存在函数( , , )u x y z满足满足grad ,Au 即即,xPu ,yQu zRu ijkxyzPQR rotA xyzijkxyzuuu i () zyyzuu j () xzzxuu k () yxxyuu 即即 为无旋场为无旋场.A

6、函数函数P,Q,R具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,函数函数u具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数.rot0,A 充分性充分性 设设 为无旋场为无旋场，A 即在场中处处有即在场中处处有rot0,A 对于场中的任何封闭曲线对于场中的任何封闭曲线l,则则lA dl (rot)SAdS 0 因此曲线积分因此曲线积分 与路径无关与路径无关.0M MA dl 0000(,)M x y z( , , )M x y z其积分值只其积分值只与起点与起点和终点和终点 有关有关.000( , , )(,)x y zxy zPdxQdyRdz ( , , )u x y z 记记下面证明这个下面证明这个u(x,y

7、,z)满足满足grad ,Au 只要证明只要证明,xPu ,yQu zRu (, , )( , , )uu xx y zu x y z 000(, , )(,)xx y zxyzPdxQdyRdz 000( , , )(,)x y zxyzPdxQdyRdz 000( , , )(,)x y zxyzPdxQdyRdz (, , )( , , )xx y zx y zPdxQdyRdz 000( , , )(,)x y zxyzPdxQdyRdz (, , )( , , )xx y zx y zPdxQdyRdz (, , )( , , )( , , )xx y zx y zP x y z d

8、x (, , )P xx y zx ( , , )xxxP x y z dx (, , )uP xx y zx ( , , )uP x y zx 同理可证同理可证( , , ),uQ x y zy ( , , )uR x y zz 此性质表明：此性质表明：A dlPdxQdyRdz uuudxdydzxyz 即表达式即表达式A dlPdxQdyRdz 是函数是函数u的全微的全微du 分分,也称函数也称函数u为表达式为表达式A dlPdxQdyRdz 的的原函数原函数.一般地一般地,称具有曲线积分称具有曲线积分 与路径与路径无关性质的矢量场为无关性质的矢量场为保守场保守场.在线单连域内在线单连域

9、内,以下四个命题彼此等价：以下四个命题彼此等价：1) 场有势场有势(梯度场梯度场); 2) 场无旋；场无旋；3) 场保守；场保守；4)表达式表达式 是某个函数的是某个函数的全微分全微分.A dlPdxQdyRdz 0M MA dl 3.势函数的求法势函数的求法0000(,),Mxyz000( , , )(,)( , , )x y zxy zu x y zPdxQdyRdz 以任一路径从点以任一路径从点0000(,)Mxyz到点到点( , , )M x y z积分积分,求出函数求出函数u后，后， 再令再令v =-u就会得到势函数就会得到势函数.一般为了简便一般为了简便,常选取平行于坐标轴的折线来

10、常选取平行于坐标轴的折线来作为积分路径作为积分路径.在场中选定一点在场中选定一点 用公式用公式000( , , )(,)( , , )x y zxy zu x y zPdxQdyRdz 选取积分路径：选取积分路径：00( ,)R x y z 则则00( ,)xoxP x y z dx 0( , , )zzR x y z dz 0000(,)M x y z ( , , )M x y z0( , ,)S x y z 00( , ,)yyQ x y z dy 例例1. 证明矢量场证明矢量场22222(cos )2Axyz ix zy jx yzk 为有势场，并求其势函数为有势场，并求其势函数. 解：

11、由解：由2222222242sin2422yzxzxyzDAxzyx zxyzx zx y 0AA得rot， 故 为有势场。由上面的公式可求出由上面的公式可求出 220002sin2cos0yzxyyzdzxydydxuxyz于是得势函数于是得势函数 22sinyzxyuv而全体势函数为而全体势函数为 cyzxyv22sin例例1. 证明矢量场证明矢量场22222(cos )2Axyz ix zy jx yzk 为有势场，并求其势函数为有势场，并求其势函数. 例例2. 用不定积分法求例用不定积分法求例1中矢量场的势中矢量场的势函数函数.例例3. 若若( , , )( , , )( , , )A

12、 P x y z iQ x y z jR x y z k 为保守场，则存在函数为保守场，则存在函数 ()u M 使使()( )( )BABAA dlu Mu Bu A 例例4. 证明证明3232223Axyz ix z jx yz k 为保守场，并计算曲线积分为保守场，并计算曲线积分 ,其中ABA dl (2,3,1).B(1,4,1),A解：显然解：显然 dzyzxdyzxdxxyzl dAyzxd223233232)(所以所以 231248BAABA dlx yz3323222222226203636yzxzxyzDAxzx zxyzx zx yz 0AA得rot， 故 为保守场。2 2、

13、管形场、管形场设有矢量场设有矢量场 ,A若其散度处处为零，若其散度处处为零，div0,A 即即 管形场之所以得名管形场之所以得名, ,是因为它具有如是因为它具有如下性质下性质. . 则称此矢量场为则称此矢量场为管形场管形场. .换言之换言之, ,管形场就是无源场管形场就是无源场. . 定义：定义：A 设设管管形形场场 所所在在的的空空间间区区域域定理定理2.2.为一面单连域，在场中任取一个矢量管为一面单连域，在场中任取一个矢量管. . 1n 2,nA 与与都都朝朝向向 所所指指的的一一侧侧 则则有有12SSSdASdA假设假设12SS与与是是它它的的任任意意两个横断面两个横断面,其法矢其法矢1

14、S2S3SAA1n2n 12SS 与与证：证：3S之之间间的的一一段段矢矢量量管管面面所所组组成成的的一一个个封封闭闭由于管形场的散度为零由于管形场的散度为零, ,且场所在区且场所在区域是面单连域域是面单连域, ,则由奥氏公式有则由奥氏公式有设设S为由二断面为由二断面 以及此二断面以及此二断面曲面曲面. .SA dS 1230nnnSSSA dSA dSA dS 或或nAASn 其其中中表表示示 在在闭闭曲曲面面 的的外外向向法法矢矢 的的方方向向上上3S所所以以在在管管面面0.nA 上上有有的的投投影影. .divAdV 0 即即0nSA dS A 注意到场中矢量注意到场中矢量 是与矢量线相

15、切的是与矢量线相切的, 从而也就与矢量管的管面相切从而也就与矢量管的管面相切,因此上式成为因此上式成为11nSA dS 1212nnSSA dSA dS 12SSA dSA dS 或或即即120nnSSA dSA dS 22nSA dS 0 1S2S3SAA1n2n 定理定理2 2告诉我们，管形场中穿过同一矢量告诉我们，管形场中穿过同一矢量管的所有横断面的通量都相等管的所有横断面的通量都相等, ,即为一常数即为一常数, , 称其为此矢量管的称其为此矢量管的强度强度. . 比如在无源的流速场中比如在无源的流速场中, ,定理定理2 2表明表明, ,流流入某个矢量管的流量和从管内流出的流量入某个矢量

16、管的流量和从管内流出的流量是相等的是相等的. .因此流体在矢量管内流动因此流体在矢量管内流动, ,就好就好像在真正的管子里流动一样像在真正的管子里流动一样, ,管形场因此而管形场因此而得名得名. .A 在在面面单单连连域域内内矢矢量量场场 为为管管定理定理3.形形场场的的充充要要条条件件是是：它它为为另另一一个个矢矢量量场场.B 的的旋旋度度场场证：证：rot ,AB 运运算算的的基基本本公公式式有有 div rot0,B div0,A 即即.A 所所以以矢矢量量场场 为为管管形形场场充分性充分性则由旋度则由旋度设设APiQ jRk 设设为为管管形形场场, ,div0A 即即有有，BUiV j

17、Wk rotBA 满满足足ijkPiQ jRkxyzUVW 即即 必要性必要性 现在来证明存在矢量场现在来证明存在矢量场,.WVPyzUWQzxVURxy rotBABA 满满足足的的矢矢量量 称称为为矢矢量量的的矢势量矢势量,其其存存在在是是肯肯定定的的, ,也也就就是是满满足足0000( , ,)( , , )( , , )()yzyzzzUR x y z dyQ x y z dzVP x y z dzWC C 为为任任意意常常数数为为坐坐标标的的矢矢量量，就就是是上上式式的的矢矢势势量量. .0.PQRxyz 可可自自己己证证明明, , 注注意意条条件件例例如如以以例例5 验证矢量场验证

18、矢量场(23 )(3)(2 )Azy ixy jzx k 为管形场为管形场,并求场的一个矢势量并求场的一个矢势量.解：因为解：因为div0110,A 故故 为管形场。为管形场。 A 取（取（x0，y0 ，z0）=（0，0，0），则），则 002332yzUxdyxy dzxzyzxy 20233zVzy dzyzz 1W 2323Bxzyzxy iyzzjk (23 )(3)(2 )rotBzy ixy jzx kA 令令则则3 3、调和场、调和场div0AA 如如果果在在矢矢量量场场 中中恒恒有有rot0A 与与，则则称称此此矢矢量量场场为为定义：定义：.调调和和场场是是指指既既无无源源又又

19、无无旋旋的的矢矢量量场场q例例如如位位于于原原点点的的点点电电荷荷 所所产产生生的的静静电电场场中中, , 除除去去点点电电荷荷所所在在的的原原点点外外, , 由由第第三三节节的的3例例 有有3div04qDrDr ， 且且 调和场调和场.换言之换言之, ,5 由由习习题题 第第9 9题题有有D 所所以以, , 电电位位移移矢矢量量在在除除去去原原点点外外的的区区域域 内内形形成成一一个个调调和和场场. .rot0AA 设设矢矢量量场场 为为调调和和场场, , 按按定定义义有有, ,（1）调和函数）调和函数grad ;uAu 因因此此存存在在函函数数 满满足足又又按按定定义义有有rot0D ,

20、 ,div0,A 于于是是有有div(grad )0.u 在在直直角角坐坐标标系系中中, , 由由于于grad,uuuuijkxyz 因因此此得得到到2222220,uuuxyz 2222220,uuuxyz 这这是是一一个个二二阶阶偏偏微微分分方方程程, , 叫叫做做拉普拉拉普拉斯斯(Laplace)方程方程;有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数的的函函数数叫叫做做满满足足拉拉普普拉拉斯斯方方程程且且调和函数调和函数.按按定定义义调调和和场场也也是是有有势势场场，其其势势函函vu 数数显显然然也也是是调调和和函函数数. .222222xyz 引引用用这这个个算算子子, , 拉拉普普拉拉 叫叫做做

21、拉拉普普拉拉斯斯算算子子, , 其其中中 可可 作作“拉拉普普laplacian拉拉逊逊( () )”.拉拉普普拉拉斯斯引引进进了了一一个个算算子子斯斯方方程程可可写写为为0u u 其其中中也也叫叫调和量调和量(或拉普拉斯式拉普拉斯式).读读（2 2）平面调和场）平面调和场 平面调和场是指既无源又无旋的平平面调和场是指既无源又无旋的平面矢量场面矢量场 . .1）其旋度其旋度为为( , )( , )AP x y iQ x y j设设有有平平面面调调和和场场rot0,( , )( , )0ijkQPAkxyzxyP x yQ x y 即即0QPxy grad ,vAv 故故存存在在势势函函数数 满

22、满足足即即有有,vvPQxy :v其其中中势势函函数数 可可用用如如下下的的积积分分求求出出000( , )( ,)( , )xyxyv x yP x y dxQ x y dy 2 2）其散度为）其散度为div0,A 即即0PQxy 0PQxy ,aQiPj 根根据据此此式式作作矢矢量量场场则则其其旋旋度度()rot0,PQakxy ,au 因因此此矢矢量量场场 为为有有势势场场 故故存存在在函函数数grad ,au 满满足足即即有有,uuQPxy uA 函函数数 称称为为平平面面调调和和场场 的的力函数力函数.可用如下积分求出：可用如下积分求出：000( , )( ,)( , )xyxyu

23、x yQ x y dxP x y dy 3）比较刚才得到的表达式）比较刚才得到的表达式,vvPQxy ,uuQPxy 之间的关系式之间的关系式.,uvuvxyyx uv这这就就是是平平面面调调和和场场的的力力函函数数 和和势势函函数数可得可得uv还还可可以以证证明明力力函函数数 和和势势函函数数 均均为为满满足足,uv二二维维拉拉普普拉拉斯斯方方程程的的调调和和函函数数 又又 和和满满足足,uvuvxyyx uv称称 和和 为为共轭调和函数共轭调和函数， 并称上式为并称上式为共轭共轭调和条件调和条件.uv应应用用这这个个条条件件, , 可可以以从从 和和 的的一个求出另一个来一个求出另一个来.例例7 7 已知调和函数已知调和函数 323,uyx y 求其共轭调和函数求其共轭调和函数 . v解：解：因为因为 6yxvuxy 2( 6)3( )vxy dyxyx 所以所以( ).x 其其中中暂暂时时是是任任意意的的 为为了了确确定定它它, , 将将x上上式式对对 求求导导得得23( )xvyx 23( )xvyx 2233xyvuyx 2( )3,xx 3( )xxC 233.vxyxC 又又所以所以即即因此得到因此得到4）( , )( , )u x yv x y力力函函数数与与势势函函数数的的1