材料力学第九章

1、第第九九章章 组合变形组合变形9-1 9-1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理9-2 9-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合9-3 9-3 斜弯曲斜弯曲9-4 9-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合目录9-1 9-1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理10-11 组合变形 工程实用工程实用:烟囱，传动轴，吊车梁的立柱烟囱，传动轴，吊车梁的立柱烟囱：自重引起轴向烟囱：自重引起轴向压缩压缩 + + 水平方向的风力而引起水平方向的风力而引起弯曲弯曲，传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲 + + 扭转扭转 立柱：荷载不过轴线，为偏心压缩立柱

2、：荷载不过轴线，为偏心压缩 = = 轴向压缩轴向压缩 + + 纯弯曲纯弯曲9-1 9-1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理 构件的构件的基本变形形式基本变形形式：拉拉伸伸( (压压缩缩) )、剪剪切、切、扭扭转和转和弯弯曲。曲。 构件往往同时发生构件往往同时发生两种或两种以上两种或两种以上的基本变形，的基本变形，如几种变形所对应的如几种变形所对应的应力（或变形）属同应力（或变形）属同一量一量级级，称为，称为组合变形组合变形 重点：斜弯曲重点：斜弯曲, , 拉弯组合拉弯组合, , 弯扭组合弯扭组合9-1 9-1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理2、组合变形的研究方法、组合变形的研究方法

3、叠加原理叠加原理外力分析：外力分析：外力向形心外力向形心( (或弯心或弯心) )简化并沿主惯性轴简化并沿主惯性轴 分解分解内力分析：内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面。图，确定危险面。画危险面应力分布图，叠加，建立危险画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强度条件。点的强度条件。包括：包括： 轴向拉伸轴向拉伸( (压缩压缩) )和弯曲和弯曲 偏心拉（压）偏心拉（压）, ,截面核心截面核心1. 横向力与轴向力共同作用 对于对于EI较大的杆，横向力引起的挠度与横截面的较大的杆，横向力引起的挠度与横截面的尺寸相比很小，因此，尺寸相比很小，因此

4、，由轴向力引起的弯矩可以略由轴向力引起的弯矩可以略去不计去不计。 可可分别计算分别计算由由横向力横向力和和轴向力轴向力引起的杆横截面上引起的杆横截面上的正应力，的正应力，按叠加原理按叠加原理求其代数和，即得在拉伸求其代数和，即得在拉伸( (压缩压缩) )和弯曲组合变形下，杆横截面上的正应力和弯曲组合变形下，杆横截面上的正应力。 9-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合图示矩形截面梁，在其纵对称面内有横向力图示矩形截面梁，在其纵对称面内有横向力F和和轴向拉力轴向拉力Ft共同作用，共同作用，以此说明杆在以此说明杆在拉伸与弯拉伸与弯曲组合变形曲组合变形时的强度计时的强度计算算。9-2 拉

5、伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合FtF2hh2 xyzFt 在拉力在拉力Ft作用下，杆各个横截面上有作用下，杆各个横截面上有相同的轴力相同的轴力FN= =Ft , , 拉伸正应力拉伸正应力 t在在各横截面上的各点处均相等各横截面上的各点处均相等 AFFtNtA在横向力在横向力F作用下，杆跨中截面上的作用下，杆跨中截面上的弯矩为最大，弯矩为最大，Mmax=Fl/4。跨中截面。跨中截面是杆的危险截面。该截面上的最大是杆的危险截面。该截面上的最大弯曲正应力弯曲正应力 WFlWM4maxb 按按叠加原理，杆件的最大正应力是危叠加原理，杆件的最大正应力是危险截面下边缘各点处的拉应力险截面下边缘

6、各点处的拉应力, ,值为值为 t=FAN =bMmaxWmaxM当bt9-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合tt,maxtbA4FFlW 正应力沿截面高度的变化情正应力沿截面高度的变化情况还取决于况还取决于 b b、 t t值的相对大值的相对大小。可能的分布还有小。可能的分布还有： 注意注意:当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，杆内的最大拉应力和最大压应力必须分别满足杆杆内的最大拉应力和最大压应力必须分别满足杆件的拉、压强度条件。件的拉、压强度条件。 危险点处为单轴应力状态，故可将最大拉应力与危险点处为单轴应力状态，故可将最大拉应力与材

7、料的许用应材料的许用应力相比较，以进行强度计算。力相比较，以进行强度计算。 当t=bb当t9-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合例例1 1 一折杆由两根无缝钢管焊接而成，已知两钢管一折杆由两根无缝钢管焊接而成，已知两钢管的外径均为的外径均为140mm，壁厚均为，壁厚均为1010mm。试求折杆危。试求折杆危险截面上的最大拉应力和最大压应力。险截面上的最大拉应力和最大压应力。 解解：求支反力求支反力, ,由平衡方程由平衡方程kN5, 0BAAFFF 作折杆的受力图作折杆的受力图, ,折杆及折杆及受力对称，只需分析一半受力对称，只需分析一半即杆即杆AC 将将FA分解分解, , 得杆的得

8、杆的轴力轴力FN、弯矩弯矩M M (x)xxFM(x)FFAyAx)kN4(kN3NAxFFAyABCmmfgFBx10kNBFAFFAABCa1.6m1.6m1.2m10kN9-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合 最大弯矩在最大弯矩在 C 处的处的m-m横截面，横截面，m-m 截面为截面为危险截面危险截面 mkN8m2maxAyFM 按按叠加原理，最大拉应力叠加原理，最大拉应力 t和最大压应力和最大压应力 c分分别在杆下边缘的别在杆下边缘的 f 点和上边缘的点和上边缘的 g 点处，其值点处，其值分别为分别为 WMFANmax, cmax, t根据已知的截面尺寸根据已知的截面尺寸

9、 2422m108 .40)(4dDAABCmmfgFBx10kN9-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合)(6444dDI36m101242/DIW代入应力表达式得代入应力表达式得MPa2 .658 .63max, cmax, t9-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合2. 2. 偏心拉伸偏心拉伸( (压缩压缩) ) 当直杆受到与杆的轴线平行当直杆受到与杆的轴线平行但不重合但不重合的拉力或的拉力或压力作用时，即为偏心拉伸或偏心压缩压力作用时，即为偏心拉伸或偏心压缩。 如钻床的立柱、厂房中支承吊车梁的柱子。如钻床的立柱、厂房中支承吊车梁的柱子。F1F29-2 拉伸或压缩

10、与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合 以横截面具有两对称轴的等直杆承受距离截面形以横截面具有两对称轴的等直杆承受距离截面形心为心为 e ( (称为偏心距称为偏心距) )的偏心拉力的偏心拉力F为例，来说明为例，来说明. . 将偏心拉力将偏心拉力 F 用用静力等静力等效力系效力系来代替。把来代替。把A A点处点处的拉力的拉力F向截面形心向截面形心O1 1点点简化，简化，得到轴向拉力得到轴向拉力F和和两个在纵对称面内的力两个在纵对称面内的力偶偶Meyey、Mezez。FezFeyFyMFzM, 因此，杆将因此，杆将发生轴向拉伸和在两个纵对称面发生轴向拉伸和在两个纵对称面O1xy、O1xz内的纯弯曲。内

11、的纯弯曲。 在任一横截面在任一横截面n-n上任一点上任一点 C(y,z) 处的正应力分别为处的正应力分别为z1yOeFA(y ,z )FFO1yzFFMeyzF=eMz=FyFOnnzy, yC( z)9-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合轴力轴力FN=F 引起的正应力引起的正应力AFFAN弯矩弯矩My=Mey 引起的正应力引起的正应力yFyyIzFzIzM弯矩弯矩Mz=Mez 引起的正应力引起的正应力zFzzIyFyIyM 按叠加法，得按叠加法，得C点的点的正应力正应力zFyFIyFyIzFzAFA为横截面面积；为横截面面积；Iy、Iz分别为横截面对分别为横截面对y轴、轴、z轴

12、的轴的惯性矩。惯性矩。 9-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合利用惯性矩与惯性半径间的关系利用惯性矩与惯性半径间的关系 22,zzyyiAIiAIC点的点的正应力表达式变为正应力表达式变为221zFyFiyyizzAF 取取 =0 ，以，以y0、z0代代表中性表中性轴上任一点的坐轴上任一点的坐标，标，则可得则可得中性轴方程中性轴方程010202yiyzizzFyFyOz中性轴9-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合 可见，在偏心拉伸可见，在偏心拉伸( (压缩压缩) )情况下，中性轴是一条情况下，中性轴是一条不通过截面形心的直线。不通过截面形心的直线。 求出中性轴在求出

13、中性轴在y、z两轴上的截距两轴上的截距 FyzFzyziayia22, 对于周边无棱角的截面，可作两对于周边无棱角的截面，可作两条与条与中性轴平行的直线中性轴平行的直线与横截面的与横截面的周边相切，两切点周边相切，两切点D1、D2，即为横即为横截面上最大拉应力和最大压应力所截面上最大拉应力和最大压应力所在的在的危险点危险点。相应的应力即为最大。相应的应力即为最大拉应力和最大压应力的值。拉应力和最大压应力的值。 中性轴D (y ,z2 22 )2azayOzyD (y ,z )1119-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合 对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面对于周边具有棱角的

14、截面，其危险点必定在截面的棱角处。如，矩形截面杆受偏心拉力的棱角处。如，矩形截面杆受偏心拉力F作用时，作用时，若杆任一横截面上的内力分量为若杆任一横截面上的内力分量为FN=F、 My=FzF， Mz=FzF，则与各内力分量相对应的正应力为：，则与各内力分量相对应的正应力为：按叠加法叠加得按叠加法叠加得OD2D1 AFyzyOzhbD1D2 FWzFyzyOD2D1 FyFWz中性轴yzOD1 t,maxD2c,max9-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合 可见，最大拉应力和最大压应力分别在截面的可见，最大拉应力和最大压应力分别在截面的棱角棱角D1、D2处，其值为处，其值为zFyF

15、WFyWFzAFmax, cmax, t危险点处仍为单轴应力状态，其强度条件为危险点处仍为单轴应力状态，其强度条件为 cmaxc,tmaxt,9-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合MPa75. 8200200103503max2AF11max1zWMAFMPa7 .113 .02 .06503503 .02 .03500002解：解：两柱均为两柱均为压应力压应力 例例3 图示不等截面与等截面杆，受力图示不等截面与等截面杆，受力F=350kN，试，试分别求出两柱内的绝对值最大正应力。分别求出两柱内的绝对值最大正应力。图（1）图（2）F300200200F200200MFFd9-2

16、拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合例例4 图示立柱，欲使截面上的最大拉应力为零，图示立柱，欲使截面上的最大拉应力为零，求截面尺寸求截面尺寸h及此时的最大压应力。及此时的最大压应力。 解：（解：（1）内力分析）内力分析 mNMkNFN.60002003015030120（2）最大拉应力为零的条件）最大拉应力为零的条件 0150106000615010150233maxhhWMAFNt解得解得 h=240mm 9-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合 120kN 30kN 200 150 h （3）求最大压应力）求最大压应力 MPaWMAFNc33. 824015010600

17、0624015010150233max9-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合平面弯曲平面弯曲斜弯曲斜弯曲9-3 9-3 斜斜 弯弯 曲曲cossinyzFFFF(1) (1) 内力分析内力分析坐标为坐标为x x的任意截面上的任意截面上()()cos()()sinzyyzMF lxF lxMF lxF lx固定端截面固定端截面maxmaxcossinzyMFlMFlx9-3 9-3 斜斜 弯弯 曲曲(2) (2) 应力分析应力分析 x x 截面上任意一点（截面上任意一点（y y，z z）正应力正应力yzzyM zM yIIcossin()()zyyzF lxII9-3 9-3 斜斜

18、 弯弯 曲曲中性轴上中性轴上00cossin()()0zyyzF lxII00tantanzyyIzI 00cossin0zyyzII中性轴方程中性轴方程9-3 9-3 斜斜 弯弯 曲曲maxmaxmaxyztyzMMWWD1点：max,ttD2点：max,cc强度条件：强度条件：固定端截面固定端截面maxmaxmaxyzcyzMMWW maxtmaxc9-3 9-3 斜斜 弯弯 曲曲挠度：22zyfffatantanyzyzIIff正方形zyII affzfy33yyzF lfEI33zzyF lfEI矩形yzIIa斜弯曲斜弯曲平面弯曲平面弯曲9-3 9-3 斜斜 弯弯 曲曲 以圆截面杆在弯

19、扭组合时的强度计算问题以圆截面杆在弯扭组合时的强度计算问题曲拐曲拐, AB, AB段为等直实心段为等直实心圆截面杆圆截面杆, ,作受力简化作受力简化, ,作作M、T图图BAFlaFABMe=Fa_图TFa_FlM图9-4 9-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合F力使力使AB杆发生弯曲，外力偶矩杆发生弯曲，外力偶矩Me=Fa使它发生扭转使它发生扭转由弯矩、扭矩图知，由弯矩、扭矩图知，危险危险截面截面为固定端截面为固定端截面A，危险截面上与弯矩和扭矩危险截面上与弯矩和扭矩对应的对应的正应力、切应力正应力、切应力为为A截面的上、下两个点截面的上、下两个点C1 1和和C2 2是是危险点危险点C1 1

20、点的应力状态，取点的应力状态，取单元体单元体得得-二向应力状态二向应力状态C12CCC34A1C2C3CC4C1FABMe=Fa_图TFa_FlM图9-4 9-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合可用相应的强度理论对其校核，如第四强度理论，第三可用相应的强度理论对其校核，如第四强度理论，第三强度理论。在这种特定的平面应力状态下，这两个强度强度理论。在这种特定的平面应力状态下，这两个强度理论的相当应力的表达式可得（前面强度理论讲过）理论的相当应力的表达式可得（前面强度理论讲过）强度条件为强度条件为按应力状态分析的知识，按应力状态分析的知识， C1 1点三个主应力为点三个主应力为 22314212

21、0222422334rr3422229-4 9-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合注意到注意到 =M/W、 = T/Wp, 相当应力改写为相当应力改写为 上式同样适用于上式同样适用于空心圆截面杆空心圆截面杆，对其它的弯，对其它的弯扭组合，可同样采用上面的分析方法扭组合，可同样采用上面的分析方法。WW2pWTMWTWMr222p234WTMWTWMr222p2475. 039-4 9-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合统一形式：统一形式： WMrr其中：其中： 2224222375. 0TMMMTMMMyzryzr9-4 9-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合外力分析：外力分析：外力向形心简化并外力向形心简化并分解。分解。内力分析：内力分析：每个外力分量对应的内力方程和每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面。内力图，确定危险面。建立强度条件。建立强度条件。弯扭组合问题的求解步骤：弯扭组合问题的求解步骤：2223WTMMzyr75. 02224WTMMzyr9-4 9-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合例例 5 5 传动轴左端的轮子由电机带动，传入的扭