第2章 逻辑代数基础(5)

1、2 2 2 1 1 1电子技术2 2 2 2 2 2掌握最小项和掌握最小项和 最大项的概念；最大项的概念；2.掌握逻辑函数掌握逻辑函数 两种标准形式的求法。两种标准形式的求法。【 】内容内容回顾回顾2 2 2 3 3 3二变量、三变量和四变量的最小项二变量、三变量和四变量的最小项A AB Bm mi0 00 00 01 10 01 11 11 1)(0mBA)(1mBA)(2mBA )(3mAB表2.5.10 二变量表2.5.10 二变量十进十进制数制数0 01 12 23 3二变量最小项二变量最小项A AB Bm mi0 00 00 01 10 01 11 11 1)(0mCBA)(1mCB

2、A)(2mCBA)(3mBCA表2.5.11 三变量表2.5.11 三变量C C0 00 00 00 01 10 00 01 10 01 11 11 10 01 11 11 1)(4mCBA)(5mCBA )(6mCAB )(7mABC十进十进制数制数0 01 12 23 34 45 56 67 7三变量最小项三变量最小项2 2 2 4 4 4A AB Bm mi0 00 00 01 10 01 11 11 1)(0mDCBA)(1mDCBA)(2mDCBA)(3mCDBA表2.5.12 四变量表2.5.12 四变量C C0 00 00 00 01 10 00 01 10 01 11 11 1

3、0 01 11 11 1)(4mDCBA)(5mDCBA)(6mDBCA)(7mBCDAA AB Bm mi0 00 00 01 10 01 11 11 1)(8mDCBA)(9mDCBA)(10mDCBA)(11mCDBA C C0 00 00 00 01 10 00 01 10 01 11 11 10 01 11 11 1)(12mDCAB)(13mDCAB )(14mDABC )(15mABCDD D1 11 11 11 11 11 11 11 10 00 00 00 00 00 00 00 0D D四变量最小项四变量最小项常见逻辑函数的几种形式转换常见逻辑函数的几种形式转换与或式、与非

4、与或式、与非- -与非式、与或非式、与非式、与或非式、或非或非- -或非式或非式与与或或式式两次取反两次取反与非与非- -与非式与非式摩根定理摩根定理展开展开与或非式与或非式一次取反一次取反或非或非- -或非式或非式摩根定理摩根定理展开展开摩根定理展开摩根定理展开2 2 2 6 6 62.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法 一个逻辑函数有多种不同形式的逻辑表一个逻辑函数有多种不同形式的逻辑表达式，虽然描述的逻辑功能相同，但电路实现达式，虽然描述的逻辑功能相同，但电路实现的复杂性和成本是不同的。逻辑表达式越简单，的复杂性和成本是不同的。逻辑表达式越简单，实现的电路越简单可靠，且低成本。因此

5、在设实现的电路越简单可靠，且低成本。因此在设计电路时必须将逻辑函数进行简化。计电路时必须将逻辑函数进行简化。逻辑函数的简化方法很多，主要有逻辑代数简逻辑函数的简化方法很多，主要有逻辑代数简化法（公式法）和卡诺图法化法（公式法）和卡诺图法2 2 2 7 7 72.6.1 公式化简法公式化简法 公式法化简就是利用逻辑代数的一些定理、公式公式法化简就是利用逻辑代数的一些定理、公式和运算规则，将逻辑函数进行简化。实现电路的器件和运算规则，将逻辑函数进行简化。实现电路的器件不同，最终要得到的逻函数的形式不同，其最简的定不同，最终要得到的逻函数的形式不同，其最简的定义也不同。义也不同。 对于小规模集成门电

6、路实现的电路，对于小规模集成门电路实现的电路，常用的门为常用的门为与非门、或非门、与或非门等。与非门、或非门、与或非门等。由上一节可知，任由上一节可知，任何形式的逻辑函数最终都可以由与或式、或与式转何形式的逻辑函数最终都可以由与或式、或与式转换而成。故最常用的是最简换而成。故最常用的是最简与或式和最简或与式与或式和最简或与式。最简与或式最简与或式：最简的与或式所含乘积项最少，且每个：最简的与或式所含乘积项最少，且每个乘积项中的因子也最少。乘积项中的因子也最少。最简或与式最简或与式：最简的或与式所含和项最少，且每个：最简的或与式所含和项最少，且每个和项中的相加的项也最少。和项中的相加的项也最少。

7、2 2 2 8 8 81. 最简的与或式最简的与或式:在逻辑函数式中所含与项最在逻辑函数式中所含与项最少，且每个与项的逻辑变量最少，则这个与或少，且每个与项的逻辑变量最少，则这个与或式是最简的。式是最简的。 例如：例如：下面讨论公式法常用的化简方法。下面讨论公式法常用的化简方法。CBACYACDCBABCY21 上式上式Y1和和Y2实现同样的逻辑功能，但实现同样的逻辑功能，但Y1中不仅中不仅所含变量多，而且乘积项也多了一项，要用所含变量多，而且乘积项也多了一项，要用3个与门个与门（不含非门）和一个或门实现，而（不含非门）和一个或门实现，而Y2的变量有的变量有3个，个，两个乘积项，用两个乘积项，

8、用2个与门、个与门、1个或门实现即可，这样个或门实现即可，这样即节省元件，也减少布线和功耗。即节省元件，也减少布线和功耗。2 2 2 9 9 92. 与或式的化简方法与或式的化简方法a. 合并项法合并项法:利用利用ABA BB消去一个变量；消去一个变量；b. 消除法消除法:利用利用A A BAB消去多余变量；消去多余变量；c. 配项法配项法:利用利用 AA 1 增加一些项增加一些项,再进行简化再进行简化 说明说明：一般化简需要各种方法综合起来。：一般化简需要各种方法综合起来。化简需要技巧和经验，需多练习。另外最后化简需要技巧和经验，需多练习。另外最后的结果是否为最简，难以判断。的结果是否为最简

9、，难以判断。2 2 2 101010例例1. 将下式化为最简与或式将下式化为最简与或式ABCABCBCACABYABCABCBCACABY配项配项ABC)()()(ABCABCABCBCAABCCABY)()()(CCABBCAABBACABBCAC解法一：配项法解法一：配项法2 2 2 111111解法二：用吸收法和消去法解法二：用吸收法和消去法ABCABCBCACABY)(CCABBCACABBACACABABBCACAB)(ABBCCABBACCAB)(ABCBAABCBAB)()(ABBCAC二种方法结果一致，但过程繁简不同。尽量选择二种方法结果一致，但过程繁简不同。尽量选择最佳方法，

10、使化简过程简单最佳方法，使化简过程简单2 2 2 121212例例2.试将下面的逻辑函数简化为最简与或式试将下面的逻辑函数简化为最简与或式CBBCBAABY解：解：注：从原式看，很难看出是不是最简，而且用代数注：从原式看，很难看出是不是最简，而且用代数法简化逻辑函数，不仅要熟悉逻辑代数公式，而且法简化逻辑函数，不仅要熟悉逻辑代数公式，而且要灵活运用，而且不能保证最后结果最简。要灵活运用，而且不能保证最后结果最简。CBBCBAABYCBCBAABACCAB) () ( )( )1 () 1(BBCACBAACBACBACBCBCBAABCBACABCAB2 2 2 131313【 练习题】化简成

11、最简与或式。练习题】化简成最简与或式。BABABY. 1. 2CBACABY)() (. 3CBACBACBAYCDACDABCACY. 4BA 1 CBACDAADACABACDADCBCA)()C(2 2 2 141414*2.6.2 卡诺图化简法卡诺图化简法 公式法简化逻辑函数不直观，公式法简化逻辑函数不直观，且要熟练掌握逻辑代数的公式以及简且要熟练掌握逻辑代数的公式以及简化技巧，而卡诺图法能克服公式法的化技巧，而卡诺图法能克服公式法的不足，可以直观地给出简化的结果。不足，可以直观地给出简化的结果。2 2 2 1515152.6.2 卡诺图化简法卡诺图化简法一一.卡诺图卡诺图定义定义:将

12、将n变量的全部变量的全部最小项最小项（2n个）用小方个）用小方格表示，并格表示，并逻辑相邻逻辑相邻的最小项的最小项几何位置几何位置也相也相邻地排列起来，所得到的图形即为邻地排列起来，所得到的图形即为n变量最变量最小项的卡诺图。小项的卡诺图。它是由卡诺（它是由卡诺（Karnaugh）和范奇（和范奇（Veich）提出的。）提出的。卡诺图实质：将逻辑函数的最小项以图形卡诺图实质：将逻辑函数的最小项以图形的方式表示出来。最小项的的方式表示出来。最小项的相邻性相邻性就是它就是它们中变量只有一个是不同的。们中变量只有一个是不同的。2 2 2 161616表表2.6.1 是二变量的卡诺图是二变量的卡诺图A

13、AB B0m0 00 01 11 11m2m3m表表2.6.1 二变量的卡诺图二变量的卡诺图A AB Bm mi0 00 00 01 10 01 11 11 1)(0mBA)(1mBA)(2mBA )(3mAB表2.5.10 二变量表2.5.10 二变量十进十进制数制数0 01 12 23 3二变量真值表及二变量真值表及最小项编号表最小项编号表ABBAABBA2 2 2 171717表表2.6.2为三变量的卡诺图为三变量的卡诺图A ABCBC00000101111110100 01 12m3m1m0m4m5m7m6m表表2.6.2 三变量的卡诺图三变量的卡诺图A AB Bm mi0 00 00

14、 01 10 01 11 11 1)(0mCBA)(1mCBA)(2mCBA)(3mBCA表2.5.11 三变量表2.5.11 三变量C C0 00 00 00 01 10 00 01 10 01 11 11 10 01 11 11 1)(4mCBA)(5mCBA )(6mCAB )(7mABC十进十进制数制数0 01 12 23 34 45 56 67 7三变量真值表及三变量真值表及最小项编号表最小项编号表2 2 2 181818表表2.6.3为为4变量的卡诺图变量的卡诺图ABABCDCD000001011111101010102m3m1m0m4m5m7m6m表表2.6.3 四变量的卡诺图四

15、变量的卡诺图00001111010114m15m13m12m8m9m11m10m2 2 2 191919 n变量的卡诺图可有变量的卡诺图可有n1变量的卡诺图采用折叠法构变量的卡诺图采用折叠法构成成,如五变量的卡诺图可由四变量的卡诺图折叠得到，如五变量的卡诺图可由四变量的卡诺图折叠得到，如表如表2.6.4ABABCDECDE000000 001001011011 01001010102m3m1m0m16m24m23m20m表表2.6.4 五变量的卡诺图五变量的卡诺图00001111010127m15m13m12m8m9m11m10m110110 111111 101101 1001004m5m7

16、m6m25m21m17m19m14m29m31m22m30m26m28m18mC取0C取0C取1C取12 2 2 202020 卡诺图中任何几何位置卡诺图中任何几何位置相邻相邻的两个最小的两个最小项，在逻辑上都是项，在逻辑上都是相邻相邻的。的。由于变量取值的由于变量取值的顺序按格雷码排列，保证了各相邻行顺序按格雷码排列，保证了各相邻行(列列)之之间只有一个变量取值不同，从而保证画出来间只有一个变量取值不同，从而保证画出来的最小项方格图具有这一重要特点。的最小项方格图具有这一重要特点。 n变量的卡诺图有变量的卡诺图有2n个方格，对应表示个方格，对应表示2n个最小项。每当变量数增加一个，卡诺图的个

17、最小项。每当变量数增加一个，卡诺图的方格数就扩大一倍。方格数就扩大一倍。 5变量卡诺图相邻项不直观，因此它只适变量卡诺图相邻项不直观，因此它只适于表示于表示5变量以下的逻辑函数。变量以下的逻辑函数。从卡诺图可以看出从卡诺图可以看出2 2 2 212121 所谓所谓几何相邻几何相邻，一是相接，即紧挨着；，一是相接，即紧挨着； 二是二是相对，即任意一行或一列的两头。相对，即任意一行或一列的两头。 所谓所谓逻辑相邻逻辑相邻，是指除了一个变量不同外其，是指除了一个变量不同外其余变量都相同的两个与项。余变量都相同的两个与项。0001111001ABCCBACBAm1m0BCABCACABCABABCAB

18、Cm2m3m4m5m6m7相邻最小项相邻最小项逻辑相邻逻辑相邻两个最小项中只有一个变量互补。两个最小项中只有一个变量互补。几何相邻几何相邻相接相邻相接相邻对称相邻对称相邻水平对称水平对称以列为中心以列为中心垂直对称垂直对称以行为中心以行为中心2 2 2 222222二二. . 逻辑函数的卡诺图表示法逻辑函数的卡诺图表示法 如果画出逻辑函数的卡诺图，首先将如果画出逻辑函数的卡诺图，首先将逻辑函数化成标准逻辑函数化成标准与或型与或型（最小项和），（最小项和），在相应的最小项位置填在相应的最小项位置填“1”，其方法如下：，其方法如下：1. 利用真值表：利用真值表：将逻辑函数的真值表做出，将逻辑函数的

19、真值表做出，将表中对应将表中对应“1”项的最小项填到卡诺图中项的最小项填到卡诺图中2 2 2 232323解：其真值表如表所示解：其真值表如表所示,输入输入输出输出ABCY00001111001100110101010100110001表表2.6.5A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.6.6 Y的卡诺图的卡诺图1 11 11 1ABCBAY例例1: 画出下面函数的卡诺图画出下面函数的卡诺图其卡诺图如图所示其卡诺图如图所示2 2 2 2424242. 化为标准化为标准与或型与或型imY例例2: 画出下面逻辑函数的卡诺图画出下面逻辑函数的卡诺图DBADBBDAY解：解

20、：)10, 9 , 7 , 5 , 3 , 2 , 1 , 0() ( ) ( ) () (130291057mmmmmmmmmDCBACDBADCBACDBADCABCDABDBCABCDADCCBADCCBAADCCBADBADBBDAY2 2 2 252525卡诺图如图所示：卡诺图如图所示：ABABCDCD00000101111110101010表表2.6.6 Y的卡诺图的卡诺图0000111101011 11 11 11 11 11 11 11 1)10, 9 , 7 , 5 , 3 , 2 , 1 , 0(mY2 2 2 262626*3. 观察法观察法 采用观察法不需要前两种方法需

21、要将逻辑函数采用观察法不需要前两种方法需要将逻辑函数转换成最小项，而是采用观察逻辑函数，将应为转换成最小项，而是采用观察逻辑函数，将应为“1”的项填到卡诺图中的项填到卡诺图中例例: 用卡诺图表示下用卡诺图表示下面的逻辑函数面的逻辑函数ABABCDCD00000101111110101010表2.6.7 Y的卡诺图表2.6.7 Y的卡诺图000011110101解：其卡诺图如图所示解：其卡诺图如图所示ABACDBDADCBAYAA 111111112 2 2 272727例例3: 画出下列函数的卡诺图画出下列函数的卡诺图DBBDCADCBAY),(解解:Y的卡诺图如图所示：的卡诺图如图所示：AB

22、ABCDCD00000101111110101010表表2.6.8 Y的卡诺图的卡诺图00001111010111111111112 2 2 282828例例4:画出下列函数的卡诺图画出下列函数的卡诺图CBABCCAACBAY),(解解: Y的卡诺图如图所示：的卡诺图如图所示：A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.6.9 Y的卡诺图的卡诺图111111112 2 2 292929练习：画出下列函数的卡诺图练习：画出下列函数的卡诺图BCDBBAY1)15,11, 9 , 8 , 7 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0(),(2mDCBAYABCDCBAY3

23、ABABCDCD00000101111110101010表表2.6.8 Y的卡诺图的卡诺图000011110101111111111111ABABCDCD00000101111110101010表表2.6.8 Y的卡诺图的卡诺图00001111010111111111111ABABCDCD00000101111110101010表表2.6.8 Y的卡诺图的卡诺图0000111101011111111111111112 2 2 303030三、利用卡诺图化简逻辑函数三、利用卡诺图化简逻辑函数卡诺图的性质卡诺图的性质a. 卡诺图上任何卡诺图上任何2（21)个标个标“1”的相邻最小项，可的相邻最小项

24、，可以合并成一项，并消去以合并成一项，并消去1个取值不同的变量。个取值不同的变量。例如图中，有例如图中，有ABABCDCD00000101111110101010表表2.6.10 Y的卡诺图的卡诺图0000111101011 11 11 11 11 1111消去变消去变量量DCBADDCBADCBACDBAmm)(322 2 2 313131b. 卡诺图上任何卡诺图上任何4（22)个标个标“1”的相邻最小项，的相邻最小项，可以合并成一项，并消去可以合并成一项，并消去2个取值不同的变量。个取值不同的变量。例如图中，有例如图中，有ABABCDCD00000101111110101010表表2.6.

25、11 Y的卡诺图的卡诺图0000111101011 11 11 11 11 11 11 1111消去变消去变量量ACBDACCACACABDABCDDCABBCDADCBAmmmm)(1513752 2 2 323232DBACCACACADBDCBADCBADCBADCBAmmmm)(10820ABABCDCD00000101111110101010表表2.6.11 Y的卡诺图的卡诺图0000111101011 11 11 11 11 11 11 11112 2 2 333333c. 卡诺图上任何卡诺图上任何8（23)个标个标“1”的相邻最小项的相邻最小项,可以合并成一项可以合并成一项,并消

26、去并消去3个取值不同的变量。个取值不同的变量。例如图所示，有例如图所示，有ABABCDCD00000101111110101010表2.6.12 Y的卡诺图表2.6.12 Y的卡诺图0000111101011 11 11 11 11 11 11 111 11 11 11 11 1消去变消去变量量ABCDABCCABCBACBABCACBACBACBADABCDDCABCDBADCBABCDADCBACDBADCBAmmmmmmmm)(151311975312 2 2 343434ABABCDCD00000101111110101010表2.6.12 Y的卡诺图表2.6.12 Y的卡诺图0000

27、111101011 11 11 11 11 11 11 111 11 11 11 11 1BmY)11,10, 9 , 8 , 3 , 2 , 1 , 0(2 2 2 353535卡诺图化简逻辑函数的步骤卡诺图化简逻辑函数的步骤a. 将逻辑函数化为最小项（可略去）；将逻辑函数化为最小项（可略去）；b. 画出表示该逻辑函数的卡诺图；画出表示该逻辑函数的卡诺图；c. 找出可以合并的最小项找出可以合并的最小项,即即1的项的项(必须是必须是2n个个1), 进进行圈行圈“1”，圈，圈“1”的规则为的规则为：* 圈内的圈内的“1”必须是必须是2n个；个；* “1”可以重复圈可以重复圈,但每圈一次必须包含没

28、圈过的但每圈一次必须包含没圈过的“1”；* 每个圈包含每个圈包含“1”的个数尽可能多，但必须相邻，必的个数尽可能多，但必须相邻，必须为须为2n 个；个；* 圈数尽可能的少；圈数尽可能的少；* 要圈完卡诺图上所有的要圈完卡诺图上所有的“1”。2 2 2 363636d. 圈好圈好“1”后写出每个圈的乘积项后写出每个圈的乘积项,然后相加然后相加,即为化简后的逻辑函数即为化简后的逻辑函数。注：注：卡诺图化简不是唯一，不同的圈法得到的简卡诺图化简不是唯一，不同的圈法得到的简化结果不同，但实现的逻辑功能相同的。化结果不同，但实现的逻辑功能相同的。CBCBCACAY解：其卡诺图如图所示解：其卡诺图如图所示

29、A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.6.13 Y的卡诺图的卡诺图圈法如图，则圈法如图，则CBCABAY例例1:用卡诺图简化下面逻辑函数用卡诺图简化下面逻辑函数1111112 2 2 373737或者圈法如图所示，则或者圈法如图所示，则A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.6.14 Y的卡诺图的卡诺图1 11 11 11 11 11 1CABACBY故卡诺图简化不是唯一的故卡诺图简化不是唯一的CBCABAY与第一种圈法相比与第一种圈法相比A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.6.13 Y的卡诺图的卡诺图1111

30、112 2 2 383838ABABCDCD00000101111110101010表表2.6.15 Y的卡诺图的卡诺图000011110101例例2:用卡诺图简化下面逻辑函数用卡诺图简化下面逻辑函数DCACBADCDCAABDABCY解解:其卡诺图如图所示其卡诺图如图所示则简化后的逻辑函数为则简化后的逻辑函数为DAY1111111111112 2 2 393939注：注： 以上是通过合并卡诺图中的以上是通过合并卡诺图中的“1”项来项来简化逻辑函数的，有时也通过合并简化逻辑函数的，有时也通过合并“0”项项先求先求Y的反函数的反函数Y ，再求反得，再求反得Y例如上面的例题例如上面的例题,圈圈“0

31、”情况情况如图所示，可得如图所示，可得ABABCDCD00000101111110101010表表2.6.15 Y的卡诺图的卡诺图0000111101010 00 00 00 0111111111111DAYDADAY)(2 2 2 404040例例3：用卡诺图简化下面逻辑函数：用卡诺图简化下面逻辑函数)14,12,10. 9 . 8 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0(),(mDCBAYABABCDCD00000101111110101010表2.4.16 Y的卡诺图表2.4.16 Y的卡诺图000011110101解解:卡诺图如图所示：卡诺图如图所示：CBBADY可得可得111

32、111111112 2 2 414141)15,13,11, 7 , 4 , 3 , 0(),(1mDCBAYABCDCBADCBAY),(2练习：练习：卡诺图化简逻辑函数卡诺图化简逻辑函数P6263 作业：作业： 题题2.15(7) 、题、题2.16（b） 题题2.18 (3)（5）（）（7）2 2 2 424242例例2.6.13 用卡诺图将下面逻辑函数简化成最简与或式用卡诺图将下面逻辑函数简化成最简与或式和或与式和或与式)14,10, 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 1 (),(mDCBAYABABCDCD00000101111110101010表表2.6.17 Y的卡诺图的卡诺

33、图000011110101解：其卡诺图如表解：其卡诺图如表2.6.17所示所示对于与或式，圈对于与或式，圈“1”，则，则DBADACDCABADCBAY),(注：注：Y的最简与或式不是的最简与或式不是唯一的唯一的2.6.2 卡诺图化简法卡诺图化简法11111110000000012 2 2 434343对于与或式，圈对于与或式，圈“0”，则，则ABABCDCD00000101111110101010表表2.6.17 Y的卡诺图的卡诺图0000111101011 11 10 010 01 11 10 01 11 11 10 00 00 00 00 0)()()(),(DBACBACBADADCB

34、AY由表由表2.6.17的卡诺图可得的卡诺图可得DBACABCBAADY故故)()()()()()()(DBACBACBADADBACABCBAADDBACABCBAADY 2.6.2 卡诺图化简法卡诺图化简法2 2 2 444444例例2.6.14 试将下面逻辑函数化成最简与或式和或与式。试将下面逻辑函数化成最简与或式和或与式。)15,14,13, 6 , 5 , 4(mY解：卡诺图如表解：卡诺图如表2.6.18所示所示ABABCDCD00000101111110101010表表2.6.18 Y的卡诺图的卡诺图000011110101圈圈“1”化成最简与或式，化成最简与或式，则可得则可得DB

35、CABDCBAY2.6.2 卡诺图化简法卡诺图化简法01111110000000002 2 2 454545圈圈“0”化成最简或与式为化成最简或与式为ABABCDCD00000101111110101010表表2.6.18 Y的卡诺图的卡诺图0000111101011 10 00 010 00 00 00 01 11 10 00 01 11 10 00 0)(DCADCABY2.6.2 卡诺图化简法卡诺图化简法2 2 2 464646例例2.6.15 试将下面逻辑函数化成最简与或式和或与式试将下面逻辑函数化成最简与或式和或与式)14,12,11, 6 , 4 , 3 , 2(MYABABCDC

36、D00000101111110101010表表2.6.19 Y的卡诺图的卡诺图000011110101解：由于最大项对应输入函解：由于最大项对应输入函数取值为数取值为“0”，如，如 M6AB C D，当，当ABCD0110时，时，M6=0，故在相应最大项，故在相应最大项的位置上填的位置上填“0”即可得逻辑即可得逻辑函数的卡诺图。则函数的卡诺图。则Y的卡诺图的卡诺图如表如表2.6.19所示所示则最简与或式为则最简与或式为DBACBBDY2.6.2 卡诺图化简法卡诺图化简法00000001111111112 2 2 474747圈圈“0”可得最简的或与可得最简的或与式为式为ABABCDCD0000

37、0101111110101010表表2.6.19 Y的卡诺图的卡诺图0000111101011 10 00 011 10 01 10 01 11 10 00 01 11 11 10 0)()(DCBCBADBY2.6.2 卡诺图化简法卡诺图化简法2 2 2 484848例试将下面逻辑函数简化成最简与或式例试将下面逻辑函数简化成最简与或式DEABBCDACBACDBDCBACY) (解：解：DEABCBABACDBDCBAC)()1 ( DEABBCDACBACDBDCBACY) (DEABCDBDCBAAC)1(BDCBDEBCADBCBA多余项多余项反演定理反演定理2 2 2 494949练

38、习：试将下面逻辑函数简化成最简与或式练习：试将下面逻辑函数简化成最简与或式)() (1BDACDCCABYCDCBCAADY2)()(3 CBADEBADBCACBADCDBCBACY2 2 2 505050练习：将下列函数简化成最简与或式和或与式练习：将下列函数简化成最简与或式和或与式)14,13,12,10, 6 , 4 , 2 , 1 (),(1DCBAY)15,13,10, 8 , 7 , 5 , 2 , 0(),(2DCBAY)13,12,11, 9 , 6 , 5 , 4 , 3 , 1 (),(3MDCBAY2 2 2 5151512.7 具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的

39、逻辑函数及其化简2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项1.定义：定义：a.约束项约束项 ：在逻辑函数中，输入变量的取值不是任：在逻辑函数中，输入变量的取值不是任意的，受到限制。对输入变量取值所加的限制称为意的，受到限制。对输入变量取值所加的限制称为约约束束，被约束的项叫做，被约束的项叫做约束项约束项。例如有三个逻辑变量例如有三个逻辑变量A、B、C分别表示一台电动机的分别表示一台电动机的正转、反转和停止。若正转、反转和停止。若A1表示电动机正转，表示电动机正转，B1表示电动机反转，表示电动机反转，C1表示电动机停止，则其表示电动机停止，则其ABC的只

40、能是的只能是100、010、001，而其它的状态如，而其它的状态如000、011、101、110、111是不能出现的状态，故是不能出现的状态，故ABC为具有约为具有约束的变量，恒为束的变量，恒为0。可写成。可写成0ABCCABCBABCACBA这些恒等于这些恒等于“0”的最小项称为的最小项称为约束项约束项2 2 2 525252b.任意项：任意项：输入变量的某些取值对电路的功能没影响，输入变量的某些取值对电路的功能没影响，这些项称为这些项称为任意项任意项 。 例如例如8421BCD码取值为码取值为0000 1001十个状态，而十个状态，而10101111这六个状态不可能出现，故对应的函数取这六

41、个状态不可能出现，故对应的函数取“0”或取或取“1”对函数没有影响，这些项就是任意项项。对函数没有影响，这些项就是任意项项。c.无关项：无关项：将约束项和任意项统称为将约束项和任意项统称为无关项无关项 。即把。即把这些最小项是否写入卡诺图对逻辑函数无影响这些最小项是否写入卡诺图对逻辑函数无影响2. 含有无关项的逻辑函数的表示方法含有无关项的逻辑函数的表示方法最小项的表达式为最小项的表达式为dmY其中其中d为无关项为无关项也可以写成也可以写成0约束条件： ddmY2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项2 2 2 535353化简时，根据需要无关项可以

42、作为化简时，根据需要无关项可以作为“1”也可作也可作“0”处理，以得到相邻最小项矩形组合最大（包含处理，以得到相邻最小项矩形组合最大（包含“1”的个数最多）为原则。的个数最多）为原则。3. 无关项在化简逻辑函数中的应用无关项在化简逻辑函数中的应用利用无关项可以使得函数进一步简化利用无关项可以使得函数进一步简化步骤：步骤： 将给定的逻辑函数的卡诺图画出来将给定的逻辑函数的卡诺图画出来;将无关项中的最小项在卡诺图相应位置用将无关项中的最小项在卡诺图相应位置用“ ”表示出来；表示出来；2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项2 2 2 545454例例2.

43、6.1 用卡诺图简化下列逻辑函数，并写成最简与或式用卡诺图简化下列逻辑函数，并写成最简与或式和或与式和或与式)13,12,11,10, 8 , 7 , 4 , 2()15,14, 9 , 6 , 1 , 0(),(dDCBAY解：解：Y的卡诺图如表的卡诺图如表2.6.1所示所示ABABCDCD0000010111111010表表2.6.1 Y的卡诺图的卡诺图000011110101则最简与或式为则最简与或式为CBADY2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项111111 2 2 2 555555还有另一种圈法，如图还有另一种圈法，如图2.6.2所示所

44、示ABABCDCD00000101111110101010表表2.6.2 Y的卡诺图的卡诺图0000111101011 10 011 11 10 01 11 1简化后的逻辑函数为简化后的逻辑函数为BCCBY2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项此种圈法圈数少，变量少，此种圈法圈数少，变量少，比上一种简单比上一种简单2 2 2 565656写成或与式为写成或与式为ABABCDCD00000101111110101010表表2.6.3 Y的卡诺图的卡诺图0000111101011 10 011 11 10 01 11 10 0)(CBCBY2.7.1

45、约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项2 2 2 575757例例1.4.13 试简化下列逻辑函数，写最简成与或式和或试简化下列逻辑函数，写最简成与或式和或与式与式0),(约束条件：BACDBADCBADBCACBADCBAY解：约束条件为解：约束条件为0ABBA则则Y的卡诺图如表的卡诺图如表2.6.4所示所示ABABCDCD00000101111110101010表表2.6.4 Y的卡诺图的卡诺图000011110101最简与或式为最简与或式为DCCAACY（即（即AB取值不能相同）取值不能相同）2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项约束项、任意项

46、和逻辑函数式中的无关项111112 2 2 585858圈圈“0”则最简或与式为则最简或与式为ABABCDCD00000101111110101010表表2.6.4 Y的卡诺图的卡诺图0000111101011 10 011 11 10 00 01 1)(DCACAY2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项2 2 2 595959练习：将下列函数简化成最简与或式和或与式练习：将下列函数简化成最简与或式和或与式)15,11, 9 , 3()14,10, 8 , 7 , 5 , 1 , 0(),(dmDCBAY)10, 8 , 6 , 5 , 4 , 3

47、 , 1 ()15,13, 7 , 2 , 0(),(dmDCBAY不可能相同、约束条件：DCDCABDACDCBAY2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项2 2 2 606060*2.7 卡诺图的其它应用卡诺图的其它应用卡诺图除了简化逻辑函数，还可以有下面的一些应用卡诺图除了简化逻辑函数，还可以有下面的一些应用2.7.1.判明函数关系和进行函数的运算判明函数关系和进行函数的运算1 判明函数关系判明函数关系 利用卡诺图可以判明函数是否相等、互补。若利用卡诺图可以判明函数是否相等、互补。若两个函数的卡诺图相同，则这两个函数一定相等。两个函数的卡诺图相

48、同，则这两个函数一定相等。即若函数即若函数Y和和G的卡诺图相同，则的卡诺图相同，则YG。若两个函。若两个函数的卡诺图中数的卡诺图中“0”和和“1”对调，则这两个函数为互对调，则这两个函数为互补。补。2 2 2 616161例如例如BCCAABYCAABG它们的卡诺图如表它们的卡诺图如表2.7.1所示，则所示，则YGA ABCBC00000101111110100 01 1表表2.7.1 Y和和G的卡诺图的卡诺图1 11 11 11 12.7.1.判明函数关系和进行函数的运算判明函数关系和进行函数的运算2 2 2 626262再例如再例如CBAYCBCAG它们的卡诺图如表它们的卡诺图如表2.7.

49、2和和2.7.3所示所示A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.7.2 Y的卡诺图的卡诺图1 11 11 11 11 1A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.7.3 G的卡诺图的卡诺图1 11 11 1GY则则2.7.1.判明函数关系和进行函数的运算判明函数关系和进行函数的运算2 2 2 6363632.函数运算函数运算若已知函数若已知函数Y1和和Y2，则可利用卡诺图做逻辑运算。，则可利用卡诺图做逻辑运算。例例2.7.1若若Y1A BAC ，Y2ABC 试利用卡诺试利用卡诺图求图求Y1Y2 、Y1Y2及及Y1 Y2解：解： Y1和和Y2的卡

50、诺图如表的卡诺图如表2.7.4及及2.7.5所示所示A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.7.4 Y1的卡诺图的卡诺图1 11 11 11 1A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.7.5 Y2的卡诺图的卡诺图1 11 11 11 11 12.7.1.判明函数关系和进行函数的运算判明函数关系和进行函数的运算2 2 2 646464则两个函数的与为则两个函数的与为=A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.7.6 Y的卡诺图的卡诺图1 11 11 1BCACAYYY212.7.1.判明函数关系和进行函数的运算判明函数关

51、系和进行函数的运算A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.7.4 Y1的卡诺图的卡诺图1 11 11 11 1.A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.7.5 Y2的卡诺图的卡诺图1 11 11 11 11 12 2 2 656565则两个函数的或为则两个函数的或为=A ABCBC00000101111110100 01 1表2.7.7 Y表2.7.7 Y的卡诺图的卡诺图1 11 11 11 11 11 1BAYYY212.7.1.判明函数关系和进行函数的运算判明函数关系和进行函数的运算A ABCBC00000101111110100 01

52、1表表2.7.4 Y1的卡诺图的卡诺图1 11 11 11 1A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.7.5 Y2的卡诺图的卡诺图1 11 11 11 11 12 2 2 666666则两个函数的同或为则两个函数的同或为=A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.7.8 Y的卡诺图的卡诺图1 11 11 11 11 1CACBCAYYY21 A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.7.4 Y1的卡诺图的卡诺图1 11 11 11 1A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.7.5 Y2的卡诺图的

53、卡诺图1 11 11 11 11 12.7.1.判明函数关系和进行函数的运算判明函数关系和进行函数的运算2 2 2 6767672.7.2 逻辑函数表达式类型的转换逻辑函数表达式类型的转换 逻辑函数表达式的形式有很多种，如与或式、逻辑函数表达式的形式有很多种，如与或式、或与式、与非式、与或非式等，不同的表达形式可或与式、与非式、与或非式等，不同的表达形式可由不同的门电路来实现。一般的逻辑函数为与或式由不同的门电路来实现。一般的逻辑函数为与或式（乘积和），这样需要转换成其它的形式，利用卡（乘积和），这样需要转换成其它的形式，利用卡诺图可以很方便的实现转换。诺图可以很方便的实现转换。1. 与或式转

54、换成或与式与或式转换成或与式 已知逻辑函数的与或式，先画出逻辑函数的卡已知逻辑函数的与或式，先画出逻辑函数的卡诺图，再圈诺图，再圈“0”，便可得到最简的或与式。，便可得到最简的或与式。2 2 2 686868例例2.7.2将下面逻辑函数化成最简或与式将下面逻辑函数化成最简或与式CACBBAY解：其卡诺图如表解：其卡诺图如表2.7.8所示所示A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.7.8 Y的卡诺图的卡诺图)(CBACBACACBBAY2.7.2 逻辑函数表达式类型的转换逻辑函数表达式类型的转换1则则11111002.将与或式转换成与或非式将与或式转换成与或非式已知逻辑

55、函数式，先画出其卡诺图，然后圈已知逻辑函数式，先画出其卡诺图，然后圈“0”写出写出逻辑函数的补函数的与或式，再取反即可得到与或非逻辑函数的补函数的与或式，再取反即可得到与或非式式2 2 2 696969例例2.7.3 将下面逻辑函数简化成最简与或非式将下面逻辑函数简化成最简与或非式CADCBAABDY解：其卡诺图如表解：其卡诺图如表2.7.9所示所示ABABCDCD00000101111110101010表表2.7.9 Y的卡诺图的卡诺图000011110101CDBDBCAY取反即得与或非式，即取反即得与或非式，即)(DBCCDBAY2.7.2 逻辑函数表达式类型的转换逻辑函数表达式类型的转换1111110000000000圈圈“0”可得