中考经典相似三角形练习题

1、经典练习题相似三角形(附答案)一.解答题(共30小题)1 .如图，在&ABC 中,DEll BCfEFllABiiE:ADE-EFC . B2 .如图，梯形ABCD中,A B II C D ,点F在BC上，连D F与A B的延长线交于点G.(1 )求证：CDF-aBGF ;(2)当点F是B C的中点时，过F作EFII C D交AD于点E ,若AB=6cm , EF=4cm，求CD的长.3 .如图，点 D, E 在 BC 上，且 FDllAB , FEllAC.求证:ABOFDE.DE4 .如图，已知E是矩形A BCD的边CD上一点，BF_LAE于F,试说明：SBFjEAD.5 .已知:

2、如图的，在2ABC和3ADE中,AB=AC , AD=AE/BAC=nDAE,且点B , A , D在直线上， 连接B E , CD,M,N分别为BE , CD的中点.(1)求证：BEnCD;&AMN是等腰三角形；(2 )在图的基础上，将上ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变彳导到图所示的图形.请直 接写出(1)中的两个结论是否仍然成立；(3)在(2 )的条件下，请你在图中延长ED交线段BC于点P.求证：£PBD - AMN.6 .如图,E是nABCD的边BA延长线上一点,连接EC ,交A D于点F.在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形

3、，并任选一对相似三角形给予证明.7 .如图，在4x 3的正方形方格中产ABC和2EF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空：nABC=*BC= (2 )判断占ABC与&DEC是否相似，并证明你的结论.8 .如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm,B C=6cm .某一时刻，动点M从A点出发沿A B方向以lcm/s的速度向B点匀速运动;同时，动点N从D点出发沿D A方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：(1)经过多少时间, AMN的面积等于矩形A BCD面积踪？9(2)是否存在时刻t,使以A , M , N为顶点的三角形与JACD相似？若存在，求t的值;若不存在，请说明理

4、由.9 .如图，在梯形ABCD中，若ABllDC , AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中彳壬选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；(注意：全等看成相似的特例)(2 )请你任选一组相似三角形，并给出证明.10 .如图3A B C 中,D 为 AC上一点，CD = 2DA/BAC=45°/B DC = 60°, C E，BD 于 E,连接 AE .(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明；(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有，请说明理由；(3 )求BEC与YEA的面积之比.11

5、 .如图，在SBC中，AB=AC = azM为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长；(2 )写出图中的两对相似三角形(不需证明)； (3 )M位于B C的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论.A12 .已知：P是正方形ABCD的边B C上的点，且BP=3PC,M是CD的中点试说明:&ADM-4M C P .13 .如图，已知梯形ABCD中,ADIIBC , AD=2,AB= BC=8 , CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;动点P从点B出发，以1 c m/s的速度，沿B = A= D= C方向，向点C运

6、动；动点Q从点C出发，以1 c m/s的速度，沿C= D= A方向，向点A运动，过点Q作QE_lBC于点E .若P、Q两点同时出发，当其中一 点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒.问：当点P在B= A上运动时，是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形A BCD的周长平分?若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与ACQE相似？若存在，请求出所有符 合条件的t的值;若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？ 若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不

7、存在,请说明理由.14,已知矩形ABCD ,长BC=12cm,竞AB=8 c m,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发，以lcm / s的速度沿A B方向运动，同时,Q自点B出发以2 cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒 以P、B、Q为顶点的三角形与3BDC相似？15如图，在ABC中，AB= 1 Ocm , BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动， 点Q从点B开始沿B C边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟, PBQ与SBC相似.16 .如图，zAC B =zADC=90 AC=V6 , AD= 2 .问当A

8、B的长为多少时，这两个直角三角形相似.A17 .已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中,M是A D的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B）, 使得乙c DM与 MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由.18 .如图在占ABC中/C=9 0°/BC=8cm/AC= 6cm，点Q从B出发，沿B C方向以2cm/s的速度移动, 点P从C出发，沿C A方向以lcm / s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后，以 点c、P、Q为顶点的三角形与ACBA相似？19 .如图所示，梯形A B CD中，AD II B C/A= 9 O'AB=7,AD =2

9、, B C=3,试在腰A B上确定点P的位置，使得以RA,D为顶点的三角形与以RB , C为顶点的三角形相似.20 .-A B C和乙DE F是两个等腰直角三角形，nA=n D二9 01乙DEF的顶点E位于边B C的中点上.(1)如图1 ,设DE与AB交于点M , EF与AC交于点N ,求证:口 B EM"CNE;(2)如图2 ,将2 E F绕点E旋转，使得D E与B A的延长线交于点M, E F与AC交于点N,于是，除Q )中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.2 1 .如图，在矩形A BCD中，AB=15cm,BC =10cm，点P沿A B边从点A开始向B

10、以2 cm / s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/ s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t (秒)表示移动的时间，那 么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与占ABC相似.22.如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（0点）2 0米的A点，沿0 A所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米？2 3 .阳光明媚的丑,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达,顶部不易到达）他 们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设 计一种测量方案.（1）所

11、需的测量工具是:;（2 ）请在下图中画出测量示意图；（3 ）设树高A B的长度为x ,请用所测数据（用小写字母表示）求出x.24 .问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测 > .下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组：如图L测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm .乙组：如图2 ,测得学校旗杆的影长为900 c m.丙组:如图3 ,测得校园景灯（灯罩视为球体,灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为2 0 0cm ,影长为15 6cm .彳壬络求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;（2 ）如图3 ,设太阳

12、光线NH与。O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径.（友情 提示如图3 ,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1 5 62+2 0 8 2 =2602）25.阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2 . 7m竞的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高A B=1.8m ,求窗口底边离地面的高B C.26如图，李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高A B = h，灯柱的高O P =OP=I ,两灯柱之间的距离OO =m.(1)若李华距灯柱0P的水平距离0A二a,求他影子AC的长；(2 )若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和(DA

13、+ AC)是否是定值请说明理由；(3 )若李华在点A朝看影子(如图箭头)的方向以v 1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.27.如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S i,S2 , S3表示，则不难证明S 1= S 2 + S3.(1)如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用Si, S2 , S3表示，那么S16263之间有什么关系；(不必证明)(2)如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用Si、S2、S3表示，请你确定SlSzS3之间的关系并加以证明；(3港分别以直角三角形ABC三边为边向外作三

14、个一般三角形,其面积分别用Si ,Sz S3表示，为使SlS 2 ,S3之间仍具有与(2 )相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论； (4)类比(1), ( 2 ), ( 3 )的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论.28已知:攵口图,&ABC-ADE,AB=15 , AC=9,BD= 5,求AE .29.已知：如图 RtMBC-RUBDC, §AB=3rAC = 4 .(1)求BD、CD的长；(2 )过8作BEDC于E，求BE的长.DEC30.(1),且 3 x+4z - 2y=40，求 x , y , z 的值;(2 )已知:两相似三角形对应高的比为3 : 1

15、0,且这两个三角形的周长差为5 60 c m,求它们的周长.参考答案与试题解析一.解答题（共30小题）1 如图,在SBC 中QEllBC , EFllAB ,求证:SDEiEFC .考点：相似三角形的判定；平行线的性质。专题：证明题。分析：根据平行线的性质可知nA ED=zC, zA=z F EC,根据相似三角形的判定定理可知&AD EF C.解答：证明:DEllBC ,.'.DE II FC,/.zAED=zC .又EF llAB,/.EFllAD ,/.zA=zFEC .rADEiE FC.点评：本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理.2 .如图，梯形ABCD中，A

16、BIICD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G .（1）求证：&CDBGF ;（2）当点F是B C的中点时，过F作EF II CD交AD于点E,若AB=6cm , EF=4cm ,求CD的长.考点：相似三角形的判定;三角形中位线定理才弟形。专题：几何综合题。分析：（1）利用平行线的性质可证明ACDFsABGF .（2）根据点F是BC的中点这一已知条件，可得&CDF当BGF,则CD= B G,只要求出BG的长即可解题.解答：（1）证明:，.梯形 A B CD,AB ll CD,-.zCDF=zFGB , nDCF=nGBF,（2 分）."CDFBGF .（3分）

17、(2 )解：由(1 )M：DFBGF ,又F是BC的中点，BF=FC ,.CD2BGF,-.DF=GF , CD= BG ,（6分）vABllDCllEF ,尸为"中点,.E为AD中点，.1.E F是"DAG的中位线，.-.2 E F=AG=AB+BG.-.BG =2EF - AB=2x4 - 6=2,.CD= BG=2cm . （8 分）点评：本题主要考查了相似三角形的判定定理及性质，全等三角形的判定及线段的等量代换，匕限复杂.3 .如图，点 D, E在 BC 上，且 FDllAB , FEllAC .求证：aABJaFDE .考点：相似三角形的判定。专题：证明题。分析：

18、由FD IIAB,F E HAC ,可知/B=nFDE,nC=nF E D,根据三角形相似的判定定理可知:ABOFDE.解答:证明:vFDllAB,FEllAC,-.zB=zFDE,zC=zFED , .“ABCsaFDE.点评：本题很简单,考查的是相似三角形的判定定理：(1)如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形 相似；(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.4 .如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，B F_lA E于F,试说明:MBF

19、-aEAD.考点：相似三角形的判定;矩形的性质。专题：证明题。分析：根据两角对应相等的两个三角形相似可解.解答：证明，,矩形A BCD中，ABilCD/D=90。分）./BAF=nAED . （4分）-. BF±AE ,.-.zAFB=90°.-.zAFB = zD.（5 分）.ABF"EAD .（ 6分）点评：考查相似三角形的判定定理，关键是找准对应的角.5 .已知：如图所示，在认BC和&ADE中，AB=AC,AD = AE, zBAC=zDAE ,且点B,A,D在一条直线 上，连接BE , CD,M , N分别为BE,CD的中点.（1）求证：BE=CD

20、 ;&AMN是等腰三角形；（2 ）在图的郭出上，将MDE绕点A按顺时针方向旋转18 0°,其他条件不变，得到图所示的图形.请直接 写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3 ）在（2 ）的条件下，请你在图中延长ED交线段BC于点P .求证：&P B D-AMN.考点：相似三角形的判定;全等三角形的判定；等腰三角形的判定；旋转的性质。专题：几何综合题。分析：(1)因为nBAC =/DAE ,所以nBAE=nC A D,又因为AB=AC, A D=A E利用S A S可证出 B A E 学CAD ,可知BE、CD是对应边，根据全等三角形对应边上的中线相等，可证 AMN是等腰

21、三角形.(2 )利用(1)中的证明方法仍然可以得出(1 )中的结论，思路不变.先证出5BM%ACN ( SAS )，可得出nCAN=n B AM，所以/BAC=/MAN(等角加等角和相等) 又.2BAC=nDAE,所以/MAN = nDAE=nBAC，所以 &AMN , &A D E 和 A BC 都是顶角相等的 等腰三角形，所以n PBD=nAMN,所以针BDAMN(两个角对应相等，两三角形相似).解答：(1)证明:zBAC =/DAE , .*.zBAE=zCAD,. AB=AC,AD=AE ,.A BEyACD ,.BE; CD .由&ABE用AC。得zABE=z

22、ACD,BE=CD ,M、N分别是BE, CD的中点，.-.BM = CN.又AB 二 AC,.“ABM2ACN.，AM二AN ,即4AM N为等腰三角形.(2)解:(1)中的两个结论仍然成立.(3 )证明：在图中正确画出线段P D ,由(1)同理可证&A B MACN,.-.zCAN=zBAM.zBAC = zMAN .又.2BAC=nDAE ,-.zMAN=zDAE = zBAC.2AMN,&ADE和3ABC都是顶角相等的等腰三角形."PBD和&AMN都为顶角相等的等腰三角形，.-.zPBD =zAMN,zPDB = zANM,.PBDiAMN .点评：本

23、题利用了全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形一个顶角相等，则底角相等的性质，还有相似三角形的判定(两个角对应相等的两个三角形相似).6 .如图,E是二ABCD的边BA延长线上一点，连接EC ,交AD于点F .在不添加辅助线的情况下，请你写出 图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明.考点：相似三角形的判定;平行四边形的性质。专题：开放型。分析：根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有KA E F"BEGAE FDCF ; BEC-DCF .解答：解:相似三角形有 kAEF-aBEC ； aAEF-aDCF ； ECDCF. （ 3

24、分）如:aAEF-BEC .在nA BCD 中,AD II BC ,/.zl = nB/2=n3 .（6 分）.AEIBEC.” 分）点评：考查了平行线的性质及相似三角形的判定定理7 .如图，在4x3的正方形方格中，MBC和2EF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空：zABC= 1350 °,BC= 2V2 ；(2)判断 ABC与a D EC是否相似，并证明你的结论.考点：相似三角形的判定正方形的性质。专题：证明题；网格型。分析：(1)观察可得:BF=FC= 2，故nF BC = 45°则nABC=135°,BC=J=2&(2 )观察可得：BC

25、、EC的长为26、可得普考，再根据其夹角相等；故SBC "DEC .解答：解：/ABC=135°, BC=相似；,BC =12212 2：2V7，EC=Y1+1=& ；,AB 2 厂BC 2泥厂.ABJBC. .而隹又 nABC=nCED=135°,ABJDEC.点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质.注意在正方形中的特殊三角形的应用,搞清楚矩形、菱形、正 方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率.8 .如图，已知矩形A B CD的边长AB=3cm ,BC=6cm 某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以lcm/s的速度向B点匀速运动；同时，

26、动点N从D点出发沿D A方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：(1)经过多少时间， AMN的面积等于矩形ABCD面积的4?(2)是否存在时刻t,使以A , M,N为顶点的三角形与之ACD相似?若存在，求t的值；若不存在,请说明理由.考点：相似三角形的判定;一元二次方程的应用；分式方程的应用；正方形的性质。专题：动点型。分析：(1)关于动点问题，可设时间为X ,根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程 求解即可,如本题中利用，MMN的面积等于矩形ABCD面积的1作为相等关系；(2 )先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可说明存在，反之则解答：解：

27、（1 ）设经过x秒后,JAMN的面积等于矩形ABCD面积盼!则有：工（6 -2x ） x=lx3x6,gp x 2 - 3 x + 2 =0, （ 2 29解方程彳导X1=LX2 =2,（ 3分）经检验,可知xi=l,x2= 2符合题意，所以经过1秒或2秒后，&AMN的面积等于矩形ABCD面积的（4分）（2 ）假设经过t秒时以A , M,N为顶点的三角形与 A CD相似,由渐 ABCD ,可彳导nCDA=/MAN=90° ,解，得t =2 ;解彳导t=W （7分） 25经检验,t=¥都符合题意， 25所以动点M , N同时出发后，经过青少或争少时，以A,M,N为顶点

28、的三角形与ACD相似.（ 8分）25点评：主要考查了相似三角形的判定，正方形的性质和一元二次方程的运用以及解分式方程要掌握正方形和 相似三角形的性质，才会灵活的运用.注意：一般关于动点问题，可设时间为X，根据速度表示出所涉及 到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可.9.如图，在梯形A B C D中若AB II DGAD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;（注意：全等看成相似的特例）（2 ）请你任选一组相似三角形，并给出证明.考点：相似三角形的判定;概率公式。专题：开放

29、型。分析：（1）采用列举法,列举出所有可能出现的情况,再找出相似三角形即可求得;与，与相似;（2 ）利用相似三角形的判定定理即可证得.解答：解：（1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：， ,，（2分）其中有两组（，）是相似的.二.选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P =（4分）证明：（2 ）围举、证明.在“0B与2C0D中，.AB II CD ,.,.zC D B = zDBA,zDCA=zC A B ,.AOB"COD(8 分)选择、证明.四边形ABCD是等腰梯形，.,.zDAB=zCBA,.在aDAB与aC BA中有AD= BC,zDAB=zCAB,AB=AB ,.D

30、AB2CBA, (6 分).zADO = zBCO.又nDOA=nCOB ,.,.D0AiC0B(8分).点评：此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结 果，那么事件A的概率P(A)=8,即相似三角形的证明,还考查了相似三角形的判定.n10 .附力口题:如图LABC 中，D 为 AC上一点，CD=2DA,zBAC = 4 5 °/BDC =60°,CE_lBD 于 E,螃 AE .(1 )写出图中所有相等的线段，并加以证明；(2)图中有无相似三角形?若有，请写出一对；若没有，请说B月理由； (3)求乙B EC与YEA的面积之

31、比.B考点：相似三角形的判定；三角形的面积；含3 0度角的直角三角形。专题：综合题。分析：Q）根据直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半，可知C D=2ED,则可写出相等的线段；（2 ）两角对应相等的两个三角形相似则可判断 A DE-&AEC ;要求 B E C与蛇E A的面积之比，从图中可看出两三角形有一公共边可作为底边，若求得高之比可知面积之比，由此需作&BEA的边B E边上的高即可求解.解答：解:（1）AD= DE , AE=CE.CE±BD , zBDC=60° ,.在 Rt M2ED 中/ECD = 30° .-.CD = 2ED

32、.CD=2DA,.-.AD=DE ,-.zDAE=zDEA=30° = zECD .-.AE=CE .(2 )图中有三角形相似,“DE-AEC;vzCAE=zCAE/zADE=zAEC z"ADE-AEC;(3)作AFJLBD的延长线于F,设AD=DE=x,在 Rt&C ED 中，可得CESx,故AE3x.zECD=30°.在 RhAEF 中,A E=Jx, nAED=nDAE = 30°,.".sinzAE F =, AE.AF= A E*si n zAEF= x x 方x-.S:BEC 二ECE 二比二'S&EA I

33、be-af22点评：本题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定及三角形面积的求法等，范围较J11 .如图，在4ABC中，AB=AC=a , M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交A C于P ,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长；(2 )写出图中的两对相似三角形(不需证明)；(3 )M位于B C的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论.考点：相似三角形的判定;菱形的判定。专题：综合题。分析：(1)根据平行四边形的性质可得到对应角相等对应边相等,从而不难求得其周长；(2 )因为 nB=/C = zPMC=zQM B ,所以 &PMC jQMB-AA

34、B C ;(3 )根据中位线的性质及菱形的判定不难求得四边形A QM P为菱形.解答：:(l)vABllMP, QMllAC ,，四边形APMQ是平行四边形,nB=nPMC , / C=/QMB.AB=AG.'.z B = zC,.-.zPMC=zQMB .,1.BQ=QM , PM = PC.二.四边形AQMP的周长= AQ+AP+QM + MP= AQ+QB+AP+PC=AB+AC = 2a .(2)-.PMllAB,.PCMiACB,. QMllAC , ."BMQ"BCA;(3 )当点M中B C的中点时,四边形APMQ是菱形，.点M是 BC 的中点,ABII

35、MBQMHAC,.QM,PM是三角形ABC的中位线.AB=AC,.QM = PM=°AB :1AC.又由(1)知四边形APMQ是平行四边形，平行四边形APMQ是菱形.点评：此题主要考查了平行四边形的判定和性质，中位线的性质，菱形的判定等知识点的综合运用.12 .已知：P是正方形ABC D的边BC上的点，且BP=3PC , M是CD的中点，试说明:&ADMMCP.考点：相似三角形的判定;正方形的性质。专题：证明题。分析：欲证&ADMs£MCP ,通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即nD=nC,此时,再求夹 此对应角的两边对应成比例即可.解答：证明：

36、二正方形ABC D,M为CD中点， .CM = MDAD.2 BP =3PC, ,.PCBCAD=kM . 442.CP JiID, 1 'c】OvzPCM=zADM= 9 0°,dMCPsADM .点评：本题考查相似三角形的判定,识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比.本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法.1 3.如图，已知梯形ABCD中，ADllBC , AD=2 , AB=BC=8 , CD=10.(1)求梯形A BCD的面积S ;(2

37、)动点P从点B出发以lcm/s的速度沿B= A= D= C方向，向点C运动;动点Q从点C出发以1 c m/s 的速度，沿c = D= A方向，向点A运动，过点Q作QE± B C于点E .若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒.问：当点P在B= A上运动时，是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形A BCD的周长平分？若存在，请求出t 的值；若不存在,请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的t使得以P、A、D为顶点的三角形与KQE相似？若存在，请求出所有符 合条件的t的值；若不存在，请说明理曲在运动过程中，是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三

38、角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形?若存在，请求出所有符合条件的t的值;若不存在，iWi兑明理由.考点：相似三角形的判定；三角形三边关系；等腰三角形的判定;勾股定理;直角梯形。专题：动点型;开放型。分析：(1 )求面积要先求梯形的高，可根据两底的差和CD的长，在直角三角形中用勾股定理进行求解彳导出高 后即可求出梯形的面积.(2 )PQ平分梯形的周长，那么AD+DQ+AP= B C +CQ + BP ,已知了 AD, BC的长，可以用t来 表示出AP , BRCQ, QD的长，那么可根据上面的等量关系求出t的值.本题要分三种情况进行讨论：一,当P在AB上时，即0 < tw 8，如果两三角形

39、相似，那么nC=nA D P,或nC=nAP D ,为陷在&ADP 中根据/C的正切值求出t的值.二，当P在AD上时，即8 < t <10,由于B A , D在一条直线上，因此构不成三角形.三当P在CD上时，即lOvtw 12,由于/ADC是个钝角，因此dADP是个钝角三角形因此不可能直 角CQE相似.综合三种情况即可得出符合条件的t的值.(3)和(2)相同也要分三种情况进行讨论：一,当P在A B上时，即0 < tw8,等腰PDQ以DQ为腰，因此DQ二DP或DQ=P Q可以通过构建直角 三角形来表示出DP , PQ的长，然后根据得出的等量关系来求t的值.二，当 P 在

40、 AD 上时，即 8<twl0,由于 BA+AD=CD=10,因此 DP=DQ = 10 - t,因此 DRDQ 恒 相等.三，当P在C D上时，即10 < t <12，情况同二.综合三种情况可得出等腰三角形以DQ为腰时,t的取值.解答：解：过D作DHIIAB交BC于H点，'.ADllBH,DH II AB,.四边形ABHD是平行四边形.-.DH = AB=8; BH=AD=2.-.CH=8-2 = 6.CD=10,.DH2+CH2=CD2/.zDHC=9 0°.zB=zDHC=90° .梯形A BCD是直角梯形.-.Sabcd =4aD+BC )

41、 AB = ix(2 + 8) x8=40.(2)vBP=CQ=t,/.AP=8 -t, DQ = 10 - t ,. AP + AD+DQ=PB+BC+CQ ,8 -1+ 2 + 10 - t = t +8+t./.t = 3<8 .，当t=3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分.第一种情况：0<tw8 若PAD-aQEC 则 nADP=nC/. t anzADP=t a nzC = 6 3.8-t_4 ，t_16233若 SA D s C EQ 贝 MAP D=zC.,.tanzAP D=tanzC= 6 3 8-t 3,t 二堂 2第二种情况：8<t<10 , P、A

42、、D三点不能组成三角形；第三种情况：10 < t<12 A DP为钝角三角形与RUCQE不相似；.t =学£ t 二争t, WAD 与&CQE 相似.第一种情况:当0wt&8时.过Q点作QE_LBC,QH_LAB ,垂足为E、H. AP=8 - t,AD=2,/1PD=VAP2+AD 2=Vt2 - 16t+68 .CE=&QE=& ,55.-.QH=BE = 8 W,BH=QE=M. 55.PH=t支=L .5 5，PQ =VqH2+PH2=J- t2 -半t+64，DQ=10-t. V b bI:DQ = DR10 -1=3_ 6t+6

43、8,解得t = 8秒.n：DQ=PQ10-t=J2 2-h64 , V 55化简得:3 t 2 - 52t+180=0解得:t=更二箸,t二生粤羽>8（不合题意舍去）26-27343第二种情况：8wtwlO时.DP=DQ=10 - t.，当8< t <10时，以DQ为腰的等腰DPQ恒成立.第三种情况：10 v t <12时.DP=DQ=t - 10 .，当10 < G12时，以DQ为腰的等腰 DPQ恒成立.立Et412时，以DQ为腰的等腰JDPQ成点评：本题主要考查了梯形的性质以及相似三角形的判定和性质等知识点,要注意(2 )中要根据RQ的不同 位置进行分类讨论，

44、不要漏解.14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发， 以1 cm / s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2 cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与BDC相似？B考点：相似三角形的判定;矩形的性质。专题：几何动点问题;分类讨论。分析：要使以P、B、Q为顶点的三角形与&BDC相似，则要分两两种情况进行分析.分别是WBQiBDC或&QBPiBDC ,从而解得所需的时间.解答：解:设经x秒后，W B Qj B CD,由于 nPBQ=nBCD=90。，（1）-2时，有嘿嗡咛窃号点

45、评：此题考查了相似三角形的判定及矩形的性质等知识点的综合运用.15.如图在3A B C中，A B=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2 c m/ s的速度移动，点Q从点B开始沿B C边向点C以4cm / s的速度移动如果P、Q分别从A、B同时出发问经过几秒钟/PBQ 与& ABC相似.考点：相似三角形的判定；一元一次方程的应用。专题：动点型。分析：设经过t秒后，WBQ与&ABC相似，根据路程公式可得AP=2t, BQ =4t, B P=10 - 21,然后用 相似三角形的性质对应边的比相等列出方程求解即可.解答：解:设经过秒后t秒后P BQ与 A BC相似

46、，则有A P=2 t ,BQ=4 t , BP=10-2t,当dPBQsABC 时，有 BP:AB = BQ : BC,g|(10-2t):10=4t:20f解得t=2.5( s )(6分)当心QBPiABC时，有BQ : AB=BP : BC ,即4t : 10= (10 - 2t) :20 ,解得t=l .所以，经过2.5s或1 s时,”BQ与 A BC相似（10分）.解法二:设 ts 后/PBQ 与aABC 相似，则有,AP=2t,BQ=4t,BP=10 - 2t分两种情况：（1）当BP与AB对应时有些二蚂即1 °=）解得t=2. 5 sAB B己1020（2 ）当BP与BC对

47、应时，有典二骂艮包二”或工解得t=1sAB 1020所以经过1s或2.5 s时，以P、B、Q三点为顶点的三角形与 ABC相似.点评：本题综合了路程问题和三角形的问题,所以学生平时学过的知识要会融合起来.16 .如图，ACB=/ADC=90°,AC=ME, AD=2 .问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似.考点：相似三角形的判定。专题：分类讨论。分析：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么 这两个直角三角形相似,在R h A BC和R仁A CD,直角边的对应需分情况讨论.解答：解:水=倔9=2 ,痛2 一讪2二脏.要使这两个直角三

48、角形相似,有两种情况:2(1)当 R t aABJR t aAC D 时，有理=吗加=竺-=3 ;AD AC AD2(2 )当R t aACBRt CDA 时，有生=坡，AB =火=3 血. CD AC CD故当A B的长为3或3 J加，这两个直角三角形相似.点评：本题考查相似三角形的判定.识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比.17 .已知，如图，在边长为a的正方形A BCD中,M是AD的中点,能否在边AB上找一点N（不含A、B ）, 使得乂 DM与AM AN相似?若能，请给出证明,若不能

49、,请说明理由.考点：相似三角形的判定；正方形的性质。专题：探究型；分类讨论。分析：两个三角形都是直角三角形，还只需满足一对角对应相等或夹直角的两边对应成比例即可说明两个三角形相似.若DM与AM对应则MS DM与 MA N全等,N与B重合，不合题意；若DM与AN对应，则CD:AM = DM : AN ,得AN=Z，从而确定N的位置 4解答：证明:分两种情况讨论:若±CDM - M AN,贝曲二AN AM边长为a, M是AD的中点,若&CDM“NAM ,贝喘若,边长为a,M是AD的中点.,.AN=a和N点与B重合，不合题意.所以,能在边A B上找一点N（不含A、B）,使得&quo

50、t;CDM与"MAN相似.当AN=当时,N点的位置满足 4条件.点评：此题考查相似三角形的判定,因不明确对应关系，所以需分类讨论.18 .如图在VBC中/C=9 0°,BC=8cm , AC = 6cm ,点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移 动，点P从C出发，沿CA方向以1 c m/s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少 秒后，以点c、P、Q为顶点的三角形与ACBA相似？考点：相似三角形的判定。专题：综合题；动点型。分析：此题要根据相似三角形的性质设出未知数即经过X秒后，两三角形相似，然后根据速度公式求出他们 移动的长度，再根据相似三角形的性质

51、列出分式方程求解.解答：解：设经过x秒后,两三角形相似，则CQ=（8 - 2x）cm,CP=xcm ,（1分）vzC = zC=9 0°,当普徵管，两三角形相似, 6分）端普分）（2）当会等，空哈十等5分）所以，经过屿少或碎后,两三角形相似.（6分）511点评：本题综合考查了路程问题，相似三角形的性质及一元一次方程的解法.19 .如图所示，梯形ABCD中,ADHBCzA =90*AB=7 , AD=2 , BC = 3 ,试在腰AB上确定点P的彳漫,使得以BA f D为顶点的三角形与以BB,C为顶点的三角形相似.考点：相似三角形的判定;梯形。专题：分类讨论。分析：此题考查了相似三角形

52、的判定与性质，解题时要认真审题，选择适宜的判定方法.解题时要注意一题多 解的情况,要注意别漏解.解答：解：(1)若点A , RD分别与点B , C,P对应，即dAPD-BCP , AD_ AP'而一瓦',2 ,AP'LAP/.AP2-7AP+6=0,.AP=1AP=6,瞰:当 AP=1 时，由 BC=3,AD = 2, BP = 6 ,.AP=AD"bc bf'又.nA=nB=90° ,APD-BCP .当 AP=6 时，由 BC=3 , AD=2 , BP=1,又,nA=nB = 9 0°,/.AP B CP .若点A,P, D分

53、别与点B, HC对应，即APD-aB PC.AP_AD . AP _2,ap-14. . .-.ri -.BP BC LAP 35检睑当AP二挡时，由 BP=-,AD=2 , BC=3 , .AP=AD ,'BP BC又.nA = zB =90° , /.APDsBPC .因此，点P的位置有三处，即在线段AB距离点A的1、M、6处.5点评：此题考查了相似三角形的判定和性质；判定为：有两个对应角相等的三角形相似；有两个对应边的匕价目等，且其夹角相等，则两个三角形相似；三组对应边的比相等,则两个三角形相似;性质为相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.20 . -ABC和&

54、;D E F是两个等腰直角三角形,nA二nD=9 0° , &D E F的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图L设DE与AB交于点M , EF与AC交于点N ,求证：&BEMCNE;(2 )如图2，将2EF绕点E旋转，使得D E与BA的延长线交于点M,E F与AC交于点N,于是，除Q )中的 一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.考点：相似三角形的判定；等腰直角三角形。专题：证明题;开放型。分析：因为此题是特殊的三角形，所以首先要分析等腰直角三角形的性质:可得锐角为4 5°,根据角之间的 关系，利用如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么

55、这两个三角形相似可判定三角形相似;再根据性 质得到比例线段，有夹角相等证得&ECN ME N .解答：证明B C是等腰直角三角形，,-.zMB E =45°,/.zBME+zMEB= 135°又“DEF是等腰直角三角形,，nDEF=4 5°.-.zNEC+zMEB=13 5o./BEM=nNEC,（4 分）而 nMBE=nECN=45°,.BEMyCN E. （ 6分）（2）与（1）同理3BEMsaCNE,.翅旦.（8分） CN NE又. BEnEC ,区里（10分） CN WE则上E CN与aM E N中有迎i ,CN EN又nECN=nMEN

56、=45° ,FE CN-4MEN .（12分）点评：此题考查了相似三角形的判定和性质:如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似;如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似.2 1如图,在矩形A BCD中,A B = 15 c m,BC=10 cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动； 点Q沿DA边从点D开始向点A以lcm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t （秒）表示移动的时间, 那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与占AB C相似.考点：相似三角形的判定;矩形的性质。专题：几何动点问题；分类讨论。分析：若以点Q、