四川省中考突破复习题型专项十一几何图形综合题

1、题型专项（十一）几何图形综合题题型 1 与三角形、四边形有关的几何综合题类型 1 操作探究题1. （2016 资阳）在 RtAABC 中，/ C = 90 , RtAABC 绕点 A 顺时针旋转到 RtAADE 的位置，点 E 在斜边 AB 上, 连接BD ,过点 D 作 DF 丄 AC 于点 F.图图2(1) 如图 1,若点 F 与点 A 重合，求证：AC = BC;(2) 若/ DAF=ZDBA.1如图 2,当点 F 在线段 CA 的延长线上时，判断线段 AF 与线段 BE 的数量关系，并说明理由;2当点 F 在线段 CA 上时，设 BE = x，请用含 x 的代数式表示线段 AF.解：(

2、1)证明：由旋转得，/ BAC =/ BAD ,/ DF 丄 AC ,/CAD = 90 ./BAC= ZBAD=45./ACB = 90 ,/ABC = 45 . AC = BC.AF = BE.理由：由旋转得 AD = AB ,ABD=ZADB./DAF=ZABD,DAF=ZADB. AF/BD. BAC=ZABD./ABD=ZFAD ,由旋转得/ BAC =ZBAD.1/FAD= ZBAC=ZBAD=1x180=60.3由旋转得,AB = AD. ABD 是等边三角形. AD = BD./F=ZBED=90 ,在厶 AFD 和厶 BED 中，丿/ FAD =ZEBD ,AD = BD ,

3、 AFDBED( AAS). AF = BE.cD如图，由旋转得/ BAC=ZBAD./ABD=ZFAD=ZBAC+ ZBAD=2/BAD,由旋转得 AD = AB ,/ABD=ZADB=2/BAD./BAD+ZABD+ZADB=180,/BAD+2/BAD+2/BAD=180./BAD=36.设 BD = a,作 BG 平分/ ABD ,/BAD=ZGBD=36. -AG=BG=BD=a. DG=ADAG=ADBG=ADBD./BDG= ZADB,BDG ADB. BD=DGAD=DB. BD=ADBD AD=1+V5AD=BD .BD=2./FAD= ZEBD, /AFD= ZBED,AF

4、D BED.AD = AFBD = BE.(1)求证：DE 丄 AG ;正方形 ABCD 固定，将正方形 OEFG 绕点 O 逆时针旋转a角(0 aV360 )得到正方形 OE F,G 如图 2.1在旋转过程中，当/OAG 是直角时，求a的度数；2若正方形 ABCD 的边长为 1,在旋转过程中，求 AF长的最大值和此时a的度数，直接写出结果不必说明理由. 解：(1)证明：延长 ED 交 AG 于点 H ,点 O 是正方形 ABCD 两对角线的交点， OA = OD , OA 丄 OD.在厶 AOG 和厶 DOE 中，-pOA = OD ,/AOG= ZDOE=90 ,OG = OE, AOGD

5、OE.AGO=ZDEO./AGO+ ZGAO=90 ,GAO+ZDEO=90 /AHE = 90 ,即 DE 丄 AG.(2)在旋转过程中，/ OAG 成为直角有两种情况： AF = AD BE =BDx.2.(2016 南充营山县一诊)如图 1，点 O 是正方形 ABCDOG = 2OD，OE = 2OC，然后以 OG , OE 为邻边作正方形两对角线的交点，分(I)a由 0增大到 90过程中，当/ OAG = 90时，1 1OA = OD = qOG = qOG ,OA 1在 RtAOAG，中，sin / AG O=話=/ AG O= 30 ./ OA 丄 OD , OA 丄 AG , O

6、D / AG .DOG=/AGO =30 ,即a=30.(n)a由90增大到180过程中，当/OAG = 90时， 同理可求/ BOG = 30 , 正方形 ABCD 的边长为 1, - OA = OD = OC = OB = 22 -/ OG= 2OD , OG = OG = 2. OF= 2. AF = AO + OF =子+ 2./ COE = 45 , 此时a=315ANM.(1) 当 AN 平分/ MAB 时，求 DM 的长；(2) 连接 BN ,当 DM = 1 时，求厶 ABN 的面积；当射线 BN 交线段 CD 于点 F 时，求 DF 的最大值.解：(1)由折叠可知 ANMAD

7、M ,/MAN=ZDAM./ AN 平分/ MAB ,/MAN=ZNAB./DAM=ZMAN=ZNAB.四边形 ABCD 是矩形，/ DAB = 90 / DAM = 30 .综上所述,当/ OAG = 90时，a =180 -30=150.a =30或 150.3.(2016 福州)如图，矩形 ABCD 中，AB = 4, AD = 3,M 是边CD 上AF 的最大值为2,此时提示：如图 3,当旋转到 A , O,a=315(2)如图 1,延长 MN 交 AB 延长线于点 Q.四边形 ABCD 是矩形， AB / DC./DMA=ZMAQ.由折叠可知 ANMADM ,/DMA=ZAMQ,AN

8、=AD=3,MN=MD=1./MAQ=ZAMQ. MQ = AQ.设 NQ = x,贝 U AQ = MQ = 1 + x.在 RtAANQ 中，AQ2= AN2+ NQ2, (x + 1)2= 32+ x2.解得 x = 4. - NQ = 4, AQ = 5.TAB=4,AQ=5,类型 2 动态探究题（1）如图 1,已知折痕与边 BC 交于点 0,连接 AP , OP, OA.若厶 0CP 与厶 PDA 的面积比为 1 : 4,求边 CD 的长； 如图 2,在（1）的条件下，擦去折痕 A0 ,线段 0P,连接 BP 动点 M 在线段 AP 上（点 M 与点 P, A 不重合）,动点 N 在

9、线段 AB 的延长线上，且 BN = PM ,连接 MN 交 PB 于点 F,作 ME 丄 BP 于点 E.试问当动点 M , N 在移动的过 程中，线段 EF 的长度是否发生变化？若变化 ,说明变化规律若不变，求出线段 EF 的长度.解：（1） 四边形 ABCD 是矩形，C=ZD = 90 ./APD+ ZDAP=90.由折叠可得/ AP0 = / B = 90 ,/ DM = AD- tan / DAM=3x33=3.则厶 ABHBFC , 器 CFBC AHWAN=3,AB=4,当点 N , H 重合(即 AH = AN)时,DF 此时M , F 重合，B, N, M 三点共线,CF=

10、BH = AB DF 的最大值为 4 最大.(AH 最大，BH 最小 ABHBFC(如图 3),2 AH2=42 32= _7.7CF 最小，DF 最大）-SANAB=如图 2,过点 A 作 AH 丄 BF 于点 H,B Q郎图 1D MB 落在 CD 边上的 P 点处.4./APD+ ZCP0=90 ./CP0=ZDAP.又/D= ZC,OCPsPDA.OCP 与厶 PDA 的面积比为 1 : 4,“ 1二 CP = 2AD = 4.设 OP= x,贝 U CO= 8-x.在 RtAPCO 中，/ C= 90 ,由勾股定理得 x2= (8 x)2+ 42,解得 x = 5.AB = AP =

11、 2OP= 10. CD = 10.过点 M 作 MQ / AN ,交 PB 于点 Q./AP = AB , MQ / AN ,/APB= ZABP= ZMQP. MP = MQ./BN = PM , BN = QM.1/MP = MQ , ME 丄 PQ , EQ = ?PQ./MQ/AN,QMF= ZBNF./QFM=ZNFB,在厶 MFQ 和厶 NFB 中,/ QMF =ZBNF ,MQ = BN , MFQNFB(AAS).1 QF= BF = 2QB.1 1 1 EF = EQ + QF=，PQ+ QB = ?PB.由(1)中的结论可得 PC= 4, BC = 8, / C= 90

12、, PB =82+ 毕=4 5. EF = PB = 2 5.在(1)的条件下，当点 M , N 在移动过程中，线段 EF 的长度不变，它的长度为 2.5.5.(2016 乐山)如图，在直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的顶点 A, C 分别在 x 轴和 y 轴正半轴上，点 B 的坐标是 (5, 2)，点 P是 CB 边上一动点(不与点 C, B 重合)，连接 OP, AP ,过点 O 作射线 OE 交 AP 的延长线于点 E,交CB 边于点 M ,且/ AOP =ZCOM ,令 CP = x, MP = y.(1)当 x 为何值时，OP 丄 AP?求 y 与 x 的函数关系式，并写出

13、x 的取值范围；在点 P 的运动过程中，是否存在 x,使厶 OCM 的面积与厶 ABP 的面积之和等于厶 EMP 的面积.若存在，请求 x 的值；若不存在，请说明理由.2当点 P 在线段 AB 或线段 BC 上运动时，求出 PBD 的面积 S 关于 t 的函数关系式，并写出相应 t 的取值范围；解：(1)由题意知 OA = BC = 5, AB = OC= 2, / B=ZOCM = 90 , BC / OA./ OP 丄 AP ,/OPC+ZAPB= ZAPB+ ZPAB=90/OPC=ZPAB.OPCsPAB. CP_OC 旳 x2AB- PB，即 2 - 5x.解得 X1= 4 , X2

14、= 1（不合题意，舍去）.当 X = 4 时，OP 丄 AP.（2）/ BC/OA, .ZCPO=ZAOP.vZAOP= ZCOM, .ZCOM=ZCPO.vZOCM= ZPCO,OCM PCO. CM=CO 即 xy = 2CO CP，卩 2x.4 y= X-X(2x5) 存在 x 符合题意过点 E 作 ED 丄 OA 于点 D,交 MP 于点 F,贝 U DF = AB = 2.OCM 与厶 ABP 面积之和等于 EMP 的面积， ED = 4, EF= 2.vPM/OA,EMPEOA.EF= MP 即 2 = yED OA，即 45.5解得 y = u 由y = x4,得 x-4= |.

15、解得 x1=5+489, X2=5-489（不合题意舍去）在点 P 的运动过程中，存在 x=5+89,使厶 OCM 与厶 ABP 面积之和等于 EMP 的面积.6.(2015 攀枝花)如图 1,矩形 ABCD 的两条边在坐标轴上，点 D 与坐标原点 O 重合，且 AD = 8, AB = 6如图 2, 矩形 ABCD沿 OB 方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，同时点 P 从 A 点出发也以每秒 1 个单位长度的速度沿矩形 ABCD 的边 AB 经过点 B 向点 C 运动，当点 P 到达点 C 时，矩形 ABCD 和点 P 同时停止运动，设点 P 的运动时 间为 t 秒.当点 P 在边 BC

16、 上时，BP= t 6.S= ?BP AB =1(t 6) 6= 3t 18.4t+24(0Wtw6), S= 3t18(6vt14).4348(3) / D( 5t, 5t),当点 P 在边 AB 上时，P( 5t 8, 5t). s=；BPAD =如-t) 8=- 4t+ 24.-SAEOA=1 2 * * S矩形OABC1=2X5= 5ED.当 PE当 OECC 时,35t+61145t6，解得 t = 6.8若氏=OE3BC时8CD 时， 16，145t解得 t=19013 ./ 6tw14,190 t = 130时，点 P 不在边 BC 上,不合题意.类型 3 类比探究题7. (20

17、16 眉山青神县一诊)如图 1 ,在正方形 ABCD 中，P 是对角线 BD 上的一点，点 E 在 AD 的延长线上,且 PA=PE, PE 交 CD 于点 F.(1)求证：PC= PE;求/ CPE 的度数；(3)如图 2,把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD ,其他条件不变 段 CE的数量关系，并说明理由.,当/ ABC = 120时，连接 CE,试探究线段AP 与线/ 0wtw6, t = 20 时，点 P 不在边 AB 上，不合题意.13当点 P 在边 BC 上时，P( 14+ 5t, 5t + 6).PEOE器时，JL4 4t+86，解得 t = 6.PE=CBOE=CD时,88t

18、4t + 856，解得 t = 20.图L图2解：证明：在正方形 ABCD 中，AB = BC, / ABP =ZCBP = 45AB=BC,在厶 ABP 和厶 CBP 中,/ ABP=ZCBP, PB=PB, ABPCBP(SAS). PA = PC.又 PA=PE, PC=PE.(2) 由知，ABPCBP,/BAP= ZBCP. DAP= ZDCP./ PA=PE,DAP=ZE./DCP= ZE./CFP=ZEFD(对顶角相等)， 180/PFC-ZPCF=180/DFE-ZE,即/ CPF=ZEDF = 90 .(3) 在菱形 ABCD 中，AB = BC , / ABP = / CBP

19、= 60 ,AB=BC,在厶 ABP 和厶 CBP 中，/ ABP =/ CBP,PB=PB,ABPCBP(SAS). PA=PC, /BAP= /BCP./ PA=PE, PC=PE./DAP= /DCP./ PA=PE, /DAP=/AEP./DCP= /AEP./CFP=ZEFD(对顶角相等)，180/PFCZPCF=180/DFE/AEP,即/ CPF=ZEDF = 180 / ADC = 180 120= 60 EPC 是等边三角形. PC= CE. AP=CE.8. (2015 成都)已知 AC , EC 分别为四边形 ABCD 和 EFCG 的对角线，点 E 在厶 ABC 内，/

20、 CAE +/ CBE = 90(1)如图 1,当四边形 ABCD 和 EFCG 均为正方形时，连接 BF.1求证： CAECBF ;2若 BE = 1, AE = 2,求 CE 的长；(3)如图 3,当四边形 ABCD 和 EFCG 均为菱形，且/ DAB =/ GEF= 45时，设 BE = m, AE = n, CE= p，试探究 m, n, p三者之间满足的等量关系.(直接写出结果，不必写出解答过程)解：(1)证明：四边形 ABCD 和 EFCG 均为正方形， / ACB = 45 , / ECF = 45 . / ACB / ECB = / ECF / ECB ,即/ ACE =/

21、BCF.(2)如图 2,当四边形 ABCD 和 EFCG 均为矩形，且ABBC若 BE = 1, AE = 2,CE= 3,求 k 的值;图丨图2圜?AECAECBF, z.ZCAE= ZCBF,=2.BF BF =2.又/ CAE+ZCBE = 90 ,/ CBF + Z CBE = 90 ,即/ EBF = 90 . CE2= 2EF2= 2(BE2+ BF2) = 6.解得 CE= 6.连接 BF, AC=H=k, /CFE=ZCBA, CFEs CBA./ACE=ZBCF.CAE=ZCBF.CAE+ZCBE=90CBF+ ZCBE=90EBF=90 ,AC=器+1.- BF = jAP

22、r, BF2=2.1.Jk2+ 1k +1CE2=严EF2 =害(BE2+ BF, 三=节%2+ )解得 k=严.(3)p2 n2= (2 + 2)m2.题型 2 与圆有关的几何综合题9. (2016 成都)如图，在 RtAABC 中，/ ABC = 90，以 CB 为半径作OC,交 AC 于点 D，交 AC 的延长线于点 E, 连接 ED ,BE.(1)求证： ABD AEB ;当 BC=4时，求 tanE；(3)在的条件下，作/ BAC 的平分线，与 BE 交于点 F,若 AF = 2,求OC 的半径.解：证明：/ ABC = 90 , /ABD = 90/ DBC. / DE 是直径，/

23、 DBE = 90 ./ E= 90/ BDE./ BC = CD , / DBC =/ BDE. / ABD =/ E.三 BC : AB : AC = 1 : k :/ECF=ZACB,CEACBCCF : EF : EC = 1 : k :,k2+ 1.即/2AE/ BAD =/ DAB , ABD AEB.(2) / AB : BC = 4 : 3,设 AB = 4k, BC = 3k. AC = AB2+ BC2= 5k.BC = CD = 3k, AD = AC CD = 2k./ ABDAEB , AB = AD = BDAE = AB = BE. AB2= AD- AE. (4

24、k)2= 2k AE. AE = 8k.在 RtA DBE 中，BD AB 4k 1tanE= BE AE 8k 2.过点 F 作 FM 丄 AE 于点 M.由知，AB = 4k, BC = 3k, AD = 2k, AC = 5k, 则 AE = 8k, DE = 6k./ AF 平分/ BAC ,ABF= BF = ABSAFEEF AE . BF = 4k = 1EF = 8k = 2. tanE= 2 cosE =罕,sinE =*.55.BE=2.5DE= 5二 BE =昭528 5:EF=3BE=TksinE= MF =巫EF 5 8二 MF = -k.51 tanE= 2， ME

25、 = 2MF = 16k.AF2= AM2+ MF2,O C 的半径为 3k=欝010. (2016 内江)如图，在 RtAABC 中，/ ABC = 90 , AC 的垂直平分线分别与 AC, BC 及 AB 的延长线相交于点 D，E，FOO 是厶 BEF 的外接圆，/ EBF 的平分线交 EF 于点 G,交OO 于点 H ,连接 BD , FH.(1)试判断 BD 与OO 的位置关系，并说明理由；当 AB = BE = 1 时，求OO 的面积；在的条件下，求 HGHB 的值.解：(1)直线 BD 与OO 相切.理由：连接 OB./ BD 是 RtAABC 斜边上的中线， DB = DC./

26、DBC= ZC./ OB = OE ,/OBE= ZOEB.又/OEB= ZCED,OBE= ZCED./ DF 丄 AC ,CDE = 90 ./C+ZCED=90./DBC+ ZOBE=90. BD 与OO 相切.连接 AE.在 RtAABE 中，AB = BE = 1 , AE = .2./ DF 垂直平分 AC , CE = AE = 2. BC = 1+ . 2./ZC+ZCAB=90 , ZDFA+ ZCAB=90 k =.108 AM = AE ME =,242 4=(yk) +:丄ACB=ZDFA.又/ CBA =ZFBE = 90 , AB = BE,CABFEB.BF =

27、BC = 1+ 2. EF2= BE2+ BF2= 12+ (1+ 2)2= 4+ 2 2.(3) / AB = BE , / ABE = 90 ,/AEB = 45 ./ EA = EC,C = 22.5 ./H= ZBEG= ZCED=9022.5=67.5./ BH 平分/ CBF ,/EBG= ZHBF=45./BGE= ZBFH=67.5.BG = BE = 1, BH = BF = 1+ 2. GH = BH BG = 2. HBHG=2X(1+2)=2+2.11. (2015 内江)如图，在厶 ACE 中，CA = CE, / CAE = 30 ,OO 经过点 C,且圆的直径 A

28、B 在线段 AE 上.(1) 试说明 CE 是OO 的切线；(2) 若厶 ACE 中 AE 边上的高为 h,试用含 h 的代数式表示OO 的直径 AB ;1(3) 设点 D 是线段 AC 上任意一点(不含端点),连接 OD ,当CD + OD 的最小值为 6 时，求OO 的直径 AB 的长.解：证明：连接 OC./ CA = CE , / CAE = 30 ,/E=ZCAE=30 , /COE=2/A=60. / OCE = 90 . CE 是OO 的切线.过点 C 作 CH 丄 AB 于点 H ,由题可得 CH = h.在 RtAOHC 中，CH = OC- sin / COH , h= O

29、C- sin60 = OC.(3)作 OF 平分/ AOC ,交OO 于点 F,连接 AF , CF, DF.SoO=n (1 1 则/ AOF =ZCOF =寸寸/ AOC =专X(180 - 60 ) = 60 .TOA=OF=OC,AOF , COF 是等边三角形.AF = AO = OC = FC.四边形 AOCF 是菱形.根据对称性可得 DF = DO.过点 D 作 DM 丄 OC 于点 M ,/ OA = OC,OCA = / OAC = 30 .1 DM = DC- sin/ DCM = DC- sin30= qDC.2CD+ OD = DM + FD.根据两点之间线段最短可得：

30、当 F, D, M 三点共线时，DM + FD(即*CD + OD)最小，此时 FM = OF -sin / FOM =-23OF= 6,则 OF= 4 3, AB = 2OF = 8 3.当 1CD + OD 的最小值为 6 时，OO 的直径 AB 的长为83.12.(2014 南充)如图，已知 AB 是OO 的直径，BP 是OO 的弦，弦 CD 丄 AB 于点 F,交 BP 于点 G, E 在 CD 的反向延长线上，EP = EG,(1)求证：直线 EP 为OO 的切线；点 P 在劣弧 AC 上运动，其他条件不变，若 BG2= BF-BO.试证明 BG = PG;解：证明：连接 OP./

31、EP=EG,/EGP=/EGP.又/ EGP=/ BGF ,/EPG=/BGF./ OP=OB,/OPB= /OBP./ CD 丄 AB ,BGF +/ OBP = 90 ./EPG+ZOPB=90 ,即/ EPO=90.直线 EP 为OO 的切线.证明：连接 OG, AP. BG2= BF-BO , 轶=张 BO BG-又/ GBF = / OBG , BFGBGO./BGF= /BOG, /BGO= /BFG=90 /APB= /OGB=90 , OG/AP.在满足的条件下，已知OO 的半径为 3,又 AO = BO, BG = PG.(3)连接 AC, BC.TOB=r=3, -OG=3. 由得/ EPG+/ OPB = 90 ,/B+ZBGF= ZOGF+ ZBOG=90 ,又/BGF= ZBOG,.sin/OGF= #=O|. OF = 1. BF = BO OF= 3 1 = 2,FA = OF+ OA = 1 + 3 = 4. 在 RtABCA 中，CF2= BF-FA,CF=BF-FA=2X4=2 2.CD = 2CF = 4.2.13.(2016 攀枝花)如图，在厶 AOB 中，/ AOB 为直角，OA = 6, OB = 8,半径为 2 的动圆圆心 Q 从点 O 出发