根轨迹法习题和答案

1、第四章根轨迹法习题及答案204-1系统的开环传递函数为G(s)H(s)(s 1)(s 2)(s 4)试证明®1 j ： 3在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益K*和开环增益K 。解 若点6在根轨迹上，则点 ®应满足相角条件G(s)H(s)对于s 1G(s)H(s) (1 j3(2k1)，如图所示。j .3，由相角条件j . 31)j.34)2)满足相角条件，因此s11 j.3在根轨迹上。将3代入幅值条件:G(s)H( s)b从零变化到无穷大时的根轨解出：K 12，4-2已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数 迹方程，并写出b 2时系统的闭环传递函数。 G(s) (s 4

2、)(s b)(2)G(s)10(s 2b)s(s 2)(s b)解 G (s)4s 4s 20b(s 4)(s 2j4)(s 2j4)(s)G(s)1 G(s)20s2 6s 285 g(s)b(s22s20) = b(s 1M9)(s 1jV19)()s(s22s10) = s(s1 j3)(s 1j3)°、 G(s)10(s 4)(s)321 G(s) s 4s 14s 404-3已知单位反馈系统的开环传递函数G(s)2s(s 4)(s b)试绘制参数b从零变化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。解 G (s) 血勺s(s 6)根轨迹如图。s 2 时 b

3、4，,、2s2s(s)s210s 16 (s 2)(s 8)4-4已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 G(s)k G(s)k(s 1) s(2s 1)s(0.2s 1)(0.5s1)(3) G(s)k*(s 5) G(s)k* (s 1)(s 2)s(s 2)(s 3)s(s 1)解G(s)K10Ks(0.2s 1)(0.5s1)s(s 5)(s 2)三个开环极点：P1 0，P22 ,P3实轴上的根轨迹：，5 ,2,0渐近线:3(2k1) 33分离点：111c0 d d 5 d 2解之得：d10.88 , d23.7863(舍去)。与虚轴的交点：特征方程为D(s) s3 7

4、s210s 10k0令 ReD(j )7 210k0V ImD(j )3 100解得k 7G(s)讐1)K(s 1)s(2s1)2s(s 1)根轨迹绘制如下：实轴上的根轨迹:,1 ,0.5,0分离点：11 1dd 0.5 d 1解之得：d0.293,d1.707 o与虚轴的交点(0，10j)o根轨迹如图所示。根轨迹如图所示。根轨迹绘制如下：实轴上的根轨迹：5, 3 ,2,0渐近线:0 2 3 ( 5)2(2k1)a2 2分离点:1111d 2 3 5用试探法可得 d 0.886。根轨迹如图所示。(4)根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：0, 1,卜1,-21111 分离点：11d d 1 d 1

5、 d 2求解得：d10.37，d21.37根轨迹如图所示。4-5已知单位反馈系统的开环传递函数为G(s)ks(0.02s 1)(0.01s 1)要求： 绘制系统的根轨迹；(2)确定系统临界稳定时开环增益k的值;确定系统临界阻尼比时开环增益 k的值。解G(s)s(0.02s 1)(0.01s 1) 实轴上的根轨迹：0,-50,-100,-5000ks(s 50)(s 100)1分离点：11 0dd 50 d100求解得d121.13, d278.87aa渐近线:50,60°,，80o根轨迹如图所示。 系统临界稳定时 k*750000, k 150 系统临界阻尼比时 k*48112.5,

6、 k 9.624-6已知系统的开环传递函数为G(s)H(s)s(s2 8s 20)，要求绘制根轨迹并确定系统阶跃响应无超调时开环增益k的取值范围。G(s)H(s)Ks(s2 8s 20)实轴上的根轨迹:,0渐近线:0 ( 4j2) ( 4分离点:解之得:(2k1)2,dD(s)4 j23.33d 4 j23 c 2s 8s 20s kRe(D(j)k8 2 0lm(D(j)203 002 5解得：k0k 160起始角：由相角条件A?63，p363。与虚轴交点:把s j代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得:根轨迹如图所示。所有根为负实根时阶跃响应无超调，此时14.8 k* 16,所以0.74

7、 k0.84-7单位反馈系统的开环传递函数为G(s)k(2s 1)2 4(si)2© 1)试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的k值范围。解：根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：0.5,7/4 渐近线：117/4( 0.5)1a2 8(2k1)_a 2 2与虚轴交点：闭环特征方程为4 31 210D(s)s3s2 (2k )s k 1 0777把s j代入上方程,Re(D(j ) 令Im(D(j )解得:(2K*根轨迹如图所示。由图可知使系统稳定的K值范围为1 K 9 7。4-8已知控制系统的开环传递函数如下，试绘制系统根轨迹（要求求出起始角）G(s)H(s)K (s 2)(s2 4s

8、9)2解根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹: 渐近线:2 j 一 5 2 j 一 5 ( 2)3(2k 1)_3 3，分离点:2 2d 2 j 5 d 2 5解之得：d3.29 d 0.71 (舍去)与虚轴交点：闭环特征方程为2 2D(s) (s 4s 9)把s j代入上方程，4令 Re(D(jIm(D(j)(7234812K3解得：K2196 起始角：90(2 p 2 90) (2k 1解出p1 45 , p2135根轨迹如图所示。4-9已知系统开环传递函数如下，试分别绘制以a和T为变化参数的根轨迹。(1) G(s) “警 a)，a 0 ； (2) G(s) s (s 1)2.6s(0.1s

9、1)(Ts1)解(1)G(s)a/4s(s 0.5)2实轴上的根轨迹:(,0)渐近线:a1/3,a60° ,80o分离点：d 1/6 根轨迹如图所示。2Ts2(s 10) G (s)”s210s 26 实轴上的根轨迹：(，0) 起始角终止角：°i 1i 1°°2(180 tg -) tg -( p 90 )18055解得起始角p78.7°2 z 0°(tg 1 1 tg)180°55解得终止角 z90°根轨迹如图所示。k的值。4-10已知系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹， 并求出所有根为负实根时开环增

10、益k的取值范围及系统稳定时g(s)h(s)总解实轴上的根轨迹:18, 1分离点：d14.22，d26.28渐近线：a7.5， a90° 与虚轴交点：s121.86j , k* 37.7根轨迹如图所示。d1 处k*116.6 , d2处k*117.6 , k k* /18结论：6.48 k 6.53时所有根为负实根，k 2.095时系统稳定。4-11已知系统结构图如图所示，试绘制时间常数T变化时系统的根轨迹，并分析参数T的变化对系统动态性能的影响。60解：G(s)10032Ts s 20s作等效开环传递函数 G*(s)1 T(s220s 100)3s根轨迹绘制如下：(注意:k*1/T)

11、实轴上的根轨迹：(,10 , 10,03分离点：32解得d 30。d d10根据幅值条件，对应的T0.015。 虚轴交点：闭环特征方程为32D (s) Ts s 20 s 1000把s j代入上方程，整理，令实虚部分别为零得:Re(D(j)1002 0Im(D(j)20T 30解得：10T 0.2起始角:参数T从零到无穷大变化时的根轨迹如图所示。（请注意根轨迹的方向！）从根轨迹图可以看出，当0 T 0.015时，系统阶跃响应为单调收敛过程；0.015 T 0.2时，阶跃响应为振荡收敛过程；T 0.2时，有两支根轨迹在平面，此时系统不稳定。s右半cTsG (s)2s 20s100三条根轨迹中两条

12、起于-10,一条起于，均终止于原点实轴上的根轨迹：(,10,10,03分离点：32解得d30。d d10若取另外一种等效开环传递函数则解题步骤如下:其余步骤与上基本相同，根轨迹相同，只是-10处为两个开环极点，原点处为环零点，根轨迹方向与图中一样。3个开4-12控制系统的结构如图所示，试概略绘制其根轨迹（k*0）。R(s)£(”1)C(窈1yL 4k解此系统为正反馈系统，应绘零度根轨迹。实轴上的根轨迹：，2 , 1,分离点:解得 d 0.5起始角：根据相角条件,mn2ki 1j 1得p1 60 , p260 , p3 180。根轨迹如图所示。4-13设单位反馈系统的开环传递函数为G(s) k s)，试绘制其根轨迹，并求出s(s 2)使系统产生重实根和纯虚根的 k值。解由开环传递函数的表达式知需绘制o根轨迹。实轴上的根轨迹：2,0,1,1分离点：1 1dd2 d 1解得：d10.732,d22.732将 s d10.732 ,sd22.732代入幅值条件得：K d10.54,Kd27.46与虚轴交