矩阵位移法习题

1、广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE1例例1 1：已知某单元的单元坐标下的杆端力：已知某单元的单元坐标下的杆端力：TemKNKNKNmKNKNKNF.4 . 35 . 124. 1.6 . 25 . 124. 1)(作出单元的内力图。作出单元的内力图。1.241.52.61.241.53.4jiyx-1.241.52.63.4N图图Q图图M图图单位（单位（KN）单位（单位（KN.m）广西大学土木建筑工程学

2、院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE23.044.381.240.43M (KN.m)Q (KN)N (KN)例例2 2：已知单元内力图，列出单元的杆端力向量：已知单元内力图，列出单元的杆端力向量xy ( )0.43 1.244.380.431.243.04eTF ( )1.240.434.381.240.433.04eTF 1.240.434.381.240.433.04单元坐标表示：单元坐标表示：整体坐标表示：整体坐标表示

3、：广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE34440,0,36436/uvE333140988/,763/,32874/uE vEE 2020701234( 1 )( 2 )( 3 )xy作业：已知单元和结点的离散如图，给定荷载作用作业：已知单元和结点的离散如图，给定荷载作用下各结点整体坐标下的位移：下各结点整体坐标下的位移：222141006/,37/,18356/uE vEE 写出单元坐标及整体坐标表示的

4、单元杆端写出单元坐标及整体坐标表示的单元杆端位移向量，整体坐标表示的单元杆端力向位移向量，整体坐标表示的单元杆端力向量，并作出单元的内力图。量，并作出单元的内力图。 (1)(2)(3)0.93 19.5643.700.9319.5634.520.4519.0834.520.45 19.0871.7819.080.451.7819.080.450FFF单元坐标下：各单元的杆端力向量如下：单元坐标下：各单元的杆端力向量如下：广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL EN

5、GINEERING AND ARCHITECTURE4习题习题1 1：列出下列结构各单元的刚度矩阵。：列出下列结构各单元的刚度矩阵。习题6m6m120KN3m3m653421150KN20 KN/m15 KN/m1210 KN15 KN20 KN5 KN15 KN10 KN2 m34562 m2 m( b )( a )3 m6 m6 m3 m4 i3 i3 i150 KN20 KN/m( c )EI = 4EI = 4EI = 630 KN/m120 KN-m3 m4 m2 m( d )xy广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING

6、 AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE5习题n习题习题2 2：求图示各单元用单元坐标和整体坐标描述求图示各单元用单元坐标和整体坐标描述的单元刚度矩阵。已知：各单元坐标系如图所示，的单元刚度矩阵。已知：各单元坐标系如图所示，各杆各杆EIEI常量。如果忽略轴向变形，有何不同常量。如果忽略轴向变形，有何不同? ?yl lx21433u3v34u4v4广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVI

7、L ENGINEERING AND ARCHITECTURE6作业作业1 1：按概念列出两端刚结点平面梁单元在单元：按概念列出两端刚结点平面梁单元在单元及整体坐标系下的单元刚度方程，画出计算单元杆及整体坐标系下的单元刚度方程，画出计算单元杆端力和变形的示意图。端力和变形的示意图。xyl作业作业作业2 2：写出课本：写出课本P429P429页题页题9-69-6、9-79-7中的各单元中的各单元刚度矩阵。刚度矩阵。7例例3. 列出先处理法各单元整体坐标下的刚度列出先处理法各单元整体坐标下的刚度矩阵。已知各杆矩阵。已知各杆EI、EA均为常量。均为常量。1 2 3 41 2 3 42232(1)246

8、20612600002640EIEIEIlllEIEIEIlllEAlEIEIEIlllK= =(2)322001260640EAlEIEIllEIEIllK= =2 3 4 234例例4. 平面桁架如图所示，各杆截面平面桁架如图所示，各杆截面EA均均为常数。已知为常数。已知P1=15kN,P2=20kN，试桁架各杆轴力。试桁架各杆轴力。 1. 结构离散如图所示结构离散如图所示(1)10100000101030000EAK2. 单元坐标描述的各单元刚度矩阵单元坐标描述的各单元刚度矩阵(1)10003EAK后处理法后处理法先处理法先处理法20000010100000101)2(EAK(2)100

9、02EAK(1)(1)10100000101030000EAKK3. 整体坐标描述的各单元刚度矩阵整体坐标描述的各单元刚度矩阵(1)(1)10003EAKK20000010100000101)2(EAK(2)10002EAK单元（单元（1 1）的单元坐标和整体坐标一致）的单元坐标和整体坐标一致后处理法后处理法先处理法先处理法单元（单元（2 2）需要坐标变换，）需要坐标变换，a=30=300 0(2)31cossin22sincos3122aaaa(2)(2)(2)(2)33311130103322222220022813333111102222222TKKEAEAEA先处理法先处理法20000

10、010100000101)2(EAK33110000222210103311000000002222101023311000000002222331100002222EA33333131833333131EA (2)310022310022310022310022T00后处理法后处理法(2)(2)(2)(2)TKTKTKTKT4. 装配结构总刚度矩阵，建立结构的刚装配结构总刚度矩阵，建立结构的刚度方程度方程(1)10003EAK先处理法先处理法(2)33831EAK 3388318810300KEA1520TkNkNP P 22Tuv 2233883188103010520ukNEAvkNu

11、总刚度矩阵：总刚度矩阵：u 荷载向量：荷载向量：u 结构刚度方程：结构刚度方程：u 位移向量：位移向量：5. 求解结构的刚度方程可得：求解结构的刚度方程可得：(1)10085.98309TEA 2285.981309uvEA (2)10 0 85.98309TEA (2)(2)(2)0.8660.5000.50.866010.8660.585.9830900.50.86610080.03310.58TEAEAT T6. 单元坐标下各单元的杆端位移向量：单元坐标下各单元的杆端位移向量：整体坐标下：整体坐标下：单元坐标下：单元坐标下：(1)(1)10085.98309TEA7. 单元坐标下各单元的

12、杆端力向量：单元坐标下各单元的杆端力向量：(1)(2)49.6440.01NNFkNFkN (1)(1)(1)1010049.640000001101085.9849.641.73200003090EAEA FK(2)(2)(2)1010040.010000001101080.0340.0120000310.580EAEA FK单元内力：单元内力：(2)10080.03310.58TEA(1)10085.98309TEA例例 4. 平面刚架如图所示，各杆截面相同。平面刚架如图所示，各杆截面相同。E=1107kN/m2,A=0.24m2,I=0.0072m4，求各杆端力，并画出内力图。求各杆端力

13、，并画出内力图。 解：解： 1. 结构离散如图所示结构离散如图所示;单元单元 a=0单元单元a=4554 10EAl50.12 10EIl 2.列出单元参数表列出单元参数表;52.8285 10EAl50.0849 10EIl3. 单元坐标表示的单单元坐标表示的单元刚度矩阵元刚度矩阵 (1)532200400126000.040.121000.120.48640EAlEIEIllEIEIllK K(3)322500126064040000.040.121000.120.48EAlEIEIllEIEIllK K先处理法先处理法例例 4. 平面刚架如图所示，各杆截面相同。平面刚架如图所示，各杆截面

14、相同。E=1107kN/m2,A=0.24m2,I=0.0072m4，求各杆端力，并画出内力图。求各杆端力，并画出内力图。 解：解： 1. 结构离散如图所示结构离散如图所示;单元单元 a=0单元单元a=4554 10EAl50.12 10EIl 2.列出单元参数表列出单元参数表;52.8285 10EAl50.0849 10EIl3. 单元坐标表示的单单元坐标表示的单元刚度矩阵元刚度矩阵 (2)5322002.828500126000.01420.0601000.0600.3396640EAlEIEIllEIEIllK K先处理法先处理法3. 单元坐标表示的单元刚度矩阵单元坐标表示的单元刚度矩

15、阵 (1)54004000.040.1200.040.120.4800.120.24104000.040.120.48对称K KlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAe4602606120612000002604606120612000002223232222323)(K K将各单元的参数代入梁单元的统一刚度矩阵公式：(2)52.8285002.8285000.01420.06000.01420.0600.339600.0600.1698102.8285000.01420.0600.3396对称K K) 1 ()

16、 3 (K KK K后处理法后处理法4. 整体坐标表示的单元刚度矩阵整体坐标表示的单元刚度矩阵 单元（1）(3)的单元坐标和整体坐标一致，所以(1)(1)540000.040.121000.120.48K KK K(3)(3)540000.040.121000.120.48K KK K先处理法先处理法(2)(2)(2)(2)522220022222.8285002222000.01420.060100222200.0600.33960010011.42131.40720.042431.40721.42130.042430.042430.042430.3394TKK 单元（2）的单元坐标和整体坐

17、标成450角，要坐标变换4. 整体坐标表示的单元刚度矩阵整体坐标表示的单元刚度矩阵 (1)(3)54004000.040.1200.040.120.4800.120.24104000.040.120.48对称K KK K后处理法后处理法(2)52.8285002.8285000.01420.06000.01420.0600.339600.0600.1698102.8285000.01420.0600.3396对称K K(2)22000022220000220010002200002222000022000001T(2)2(2)251.4213 1.40720.042431.42131.4072

18、0.042431.42130.042431.40721.42130.042430.33940.042430.042430.1697101.42131.40720.042431.42130.042430.3394T对称K KT TK K T T广西大学土木建筑工程学院广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURECOLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE19结构的结点位移和结点力向量结构的结点位移和结点力向量22Tuv 112233Tuvuvuvv例例5。写出图示结构的结点位移向量

19、写出图示结构的结点位移向量和结点力向量和结点力向量P。先处理法：先处理法：后处理法：后处理法：1520TkNkNP P11331520TxyxyPFFkNkNFF支座反力支座反力支座反力支座反力自由结点外力自由结点外力20 101520,0 0 30,015 30, 1020 0TP 2468TTTTT 12345678TTTTTTTTTTiiiiuv 22468Tuv例例6。写出图示结构的结点位移向量和结点力向量。写出图示结构的结点位移向量和结点力向量。先处理法先处理法后处理法后处理法TiixiyiPFYM如果忽略轴向变形，则：如果忽略轴向变形，则： 2020.30.30.0TPkNkN m

20、kN mkN mTiiiiuv12345678TTTTTTTTTPPPPPPPPP21333Tuv 111222333444Tuvuvuvuvv写出图示结构矩阵位移法的基本写出图示结构矩阵位移法的基本未知量。未知量。先处理法先处理法后处理法后处理法v例例7。写出图示结构的结点位移向量。写出图示结构的结点位移向量。先处理法：先处理法：后处理法：后处理法：17*3=51考虑轴向变形：考虑轴向变形：1414* *3=423=42忽略轴向变形：忽略轴向变形：14+5=1914+5=1922例例8. 列出先处理法的总刚度方程。列出先处理法的总刚度方程。EI、EA均为常量。均为常量。11234U 2234

21、U(2)3220000000126006400EAlEIEIllEIEIllK= =(2)322001260640EAlEIEIllEIEIllK= =2 3 4 234贡献矩阵贡献矩阵整体坐标描述的单元刚度矩阵整体坐标描述的单元刚度矩阵1 2 3 41 2 3 42232(1)24620612600002640EIEIEIlllEIEIEIlllEAlEIEIEIlllK= =(1)(2)22323222462061260126002668EIEIEIlllEIEIEAEIllllEAEIEIlllEIEIEIEIllllKKK= =定位向量定位向量贡献矩阵直接代数相加贡献矩阵直接代数相加2

22、3常用作法，不写出贡献矩阵，根据定位向量直接装配总刚。常用作法，不写出贡献矩阵，根据定位向量直接装配总刚。11234U 2234U322322224620600126012600002640640EAlEIEIEIEIllEIEIEIlllEIEIEIlllEAlEIEIEIlllllK= =1 2 3 41 2 3 42(2)32001260640EAlEIEIllEIEIllK= =2 3 4 2341 2 3 422322(1)4620612600002640EIEIEIlllEIEIEIlllEAlEIEIEIlllK= =1 2 3 4装配总刚矩阵：装配总刚矩阵：荷载向量：荷载向量：

23、 0828TPlPPlP KP 结构的刚度方程结构的刚度方程: :24例例9 9：写出图示连续梁的整体刚度矩阵。：写出图示连续梁的整体刚度矩阵。xy(0,1,0)(0,0,2)(0,0,3)(0,4,0)123122334UUU2(1)3212664EIEIllEIEIllK= =1 2 12定位向量定位向量(2)8448EIEIllEIEIllK= =2 3 232(3)2346612EIEIllEIEIllK= =3 4 3422332246612844800001200664EIEIllEEIEIllEEIEIllIEIllEIEIIEIllllK= =1 2 3 41 2 3 4装配总

24、刚矩阵：装配总刚矩阵：单元刚度矩阵：单元刚度矩阵：如：图示平面刚架的总刚度矩阵的集成如：图示平面刚架的总刚度矩阵的集成n各结点编号如图。用矩阵可记为：6564434221Gn如果求出各单元整如果求出各单元整体坐标下的单元刚体坐标下的单元刚度矩阵：度矩阵：jjjiijiiKKKKeK)(1 2 3 4 5 6123456n根据结点编号把各根据结点编号把各单元的子块搬入总单元的子块搬入总刚刚K中的对应位置。中的对应位置。 同一位置各子块的同一位置各子块的对应元素相加；空对应元素相加；空位补位补0。)1 (iiK) 1 (ijK) 1 (jiK) 1 (jjK)2(iiK) 3(ijK) 2(jiK

25、) 2(jjK) 3(iiK) 2(ijK) 3(jiK) 3(jjK)4(iiK) 4(ijK) 4(jiK) 4(jjK) 5 (iiK) 5 (ijK) 5 (jiK) 5 (jjKK00000000000000000000n如果修改各结点编如果修改各结点编号如图。则用矩阵：号如图。则用矩阵：6564434221G1 2 3 4 5 6123456n把各单元的子块搬把各单元的子块搬入总刚度矩阵入总刚度矩阵K中中的相应位置。的相应位置。 )1 (iiK) 1 (ijK) 1 (jiK) 1 (jjK)2(iiK) 3(ijK) 2(jiK) 2(jjK) 3(iiK) 2(ijK) 3(j

26、iK) 3(jjK)4(iiK) 4(ijK) 4(jiK) 4(jjK) 5 (iiK) 5 (ijK) 5 (jiK) 5 (jjKK00000000000000000000v 单元的子块搬入单元的子块搬入总刚度矩阵中的总刚度矩阵中的位置，完全取决位置，完全取决于结构结点编号。于结构结点编号。对同一结构，如对同一结构，如果改变了结点的果改变了结点的编号，则总刚度编号，则总刚度矩阵完全不同。矩阵完全不同。 u判断图示结构矩阵位移法（后处理法）总刚判断图示结构矩阵位移法（后处理法）总刚矩阵的最大半带宽。矩阵的最大半带宽。d=(3+1)*3=1227d=(6+1)*3=21n总刚矩阵中元素的排列

27、与结点的顺序直接相关。总刚矩阵中元素的排列与结点的顺序直接相关。d=(7+1)*2=1628例例10. 列出后处理法的总刚度方程。列出后处理法的总刚度方程。EI、EA均为常量。均为常量。32322232(1)3222126126000000646200126126000000626400EIEIEIEIllllEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllEAEAllEIEIEIEIllllK= =1 2 122.2.整体坐标描述的单元刚度矩阵整体坐标描述的单元刚度矩阵2 32 3323222323222(2)00001261260064620000001261260062640

28、0EAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllK= =1.结构离散如图结构离散如图123 1 2 33.3.装配总刚矩阵：装配总刚矩阵：1 2 332322232(1)3222126126000000646200126126000000626400EIEIEIEIllllEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllEAEAllEIEIEIEIllllK= =1 2 12322126000640EIEIllEAlEIEIll322126000620EIEIllEAlEIEIll322126000620EI

29、EIllEAlEIEIll322126000640EIEIllEAlEIEIll 1 2 3装配总刚矩阵：装配总刚矩阵：1 2 32 3 23323222323222(2 )000012612600646200000012612600626400EAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllK= =322001260640EAlEIEIllEIEIll322001260640EAlEIEIllEIEIll322001260620EAlEIEIllEIEIll322001260620EAlEIEIllEIEIll32212

30、6000640EIEIllEAlEIEIll322126000640EIEIllEAlEIEIll322126000620EIEIllEAlEIEIll322126000620EIEIllEAlEIEIll31 K= =P P结构刚度方程：结构刚度方程：荷载向量：荷载向量： 000002828TPPlPPlP 111222333Tuvuvuv 位移向量：位移向量：100010001000000000000000000100010004EIl32322212601260668EIEAEIlllEAEIEIlllEIEIEIlll2000000620EIEIll2000600002EIlEIl80

31、0080020PlPPl111222333uvuvuv 主元素置主元素置1 1 法修正后的结构刚度方程：法修正后的结构刚度方程：h/2h/2PlQq1234qql12112ql2ql12ql1212 等效移置的方法等效移置的方法: 首先求出首先求出基本结构基本结构在非在非结点荷载作用下引起的结点荷载作用下引起的固端力固端力。最后将。最后将各固端力反向作用到结构的结点上去，各固端力反向作用到结构的结点上去，即为该结点的等效结点荷载。即为该结点的等效结点荷载。18P211P2ph21qlql12ql122181ph1221ql1234 220,0,0002822128212TqlqlqlqlPPl

32、PPlPQ220, 0, 0 0 02822128212TEqlqlqlqlPPlPPlP等效结点荷载向量等效结点荷载向量:phPph18P21P1281EdPPP荷载向量荷载向量:2312荷载等效图荷载等效图基本结构基本结构: :两端固定的梁。两端固定的梁。6m6m120KN3m3m653421150KN20 KN/m15 KN/m1210 KN15 KN20 KN5 KN15 KN10 KN2 m34562 m2 m( b )( a )3 m6 m6 m3 m4 i3 i3 i150 KN20 KN/m( c )EI = 4EI = 4EI = 630 KN/m120 KN-m3 m4 m

33、2 m( d )例例1111：计算图示结构的荷载向量。：计算图示结构的荷载向量。 0 0 0, 15060 60,0 0 0,010515,60 090,6045 45TP 0 0 0, 15060 60,0 0 0,0105150 0 0,6045 45TP 15060 60,010515,6045 45TP 90 6015 45TP 荷载等效图荷载等效图 原始荷载向量：原始荷载向量： 2. 先处理法先处理法1. 后处理法后处理法考虑边界后荷载向量：考虑边界后荷载向量： 考虑轴向变形：考虑轴向变形： 忽略轴向变形：忽略轴向变形： 例例1212：计算图示结构的荷载向量。：计算图示结构的荷载向量

34、。 24 0 16,24816,0 0 0,088,24 016,4 0 16TP 24816,088,40 16TP 20168 16TP 荷载等效图荷载等效图 原始荷载向量：原始荷载向量： 2. 先处理法先处理法1. 后处理法后处理法考虑边界后荷载向量：考虑边界后荷载向量： 考虑轴向变形：考虑轴向变形： 忽略轴向变形：忽略轴向变形： ,24816,088,40 10000000600TP 例例1313：写出图示结构的荷载向量。写出图示结构的荷载向量。 00,1015,010,020,00,515TP 0, 1015,010,020, 5 15TP 原始荷载向量：原始荷载向量： 1. 后处理

35、法后处理法考虑边界后荷载向量不变：考虑边界后荷载向量不变： 00,1015,010,020,00,515TP 2. 先处理法先处理法 52.5060TP 288082860612iiKiiiii例例14：写出图示结构矩阵位移法的刚度方程。写出图示结构矩阵位移法的刚度方程。返回目录返回目录 KP 223T (1)12ki (2)168816iikii (3)126612iikii111 212232 3（0,0,1）（0,0,2）（0,0,3）1231 2 3结构的刚度方程结构的刚度方程: :例例1515：计算图示结构的内力。：计算图示结构的内力。 忽略轴向变形，已知求得结忽略轴向变形，已知求得

36、结构的结点位移向量：构的结点位移向量：(1)10030.82 1.4TEI 130.82 1.40 1.5312.73 16.58TEI 2. 单元坐标下各单元的位移向量单元坐标下各单元的位移向量1. 单元坐标下各单元的刚度矩阵单元坐标下各单元的刚度矩阵为了同时计算弯矩和剪力，取四项：为了同时计算弯矩和剪力，取四项： (1)(3)(4)(5)3232223232221261266462=1261266264EIEIEIEIllllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllKKKK= = = =(2)(1)2KK= =(3)1012.7330.82 16.58TEI

37、(4)10 1.400 1.53TEI(5)10 1.530 16.58TEI(2)10030.82 1.53TEI1234562446C单元信息单元信息例例1515：计算图示结构的内力。：计算图示结构的内力。 忽略轴向变形，已知求得结忽略轴向变形，已知求得结构的结点位移向量：构的结点位移向量：(1)241624 16TF 130.82 1.40 1.5312.73 16.58TEI 4. 单元杆端力向量单元杆端力向量3. 单元固端力向量单元固端力向量(1)(1)()(1)1261266416641602429.256462016-26.86116416412612630.822418.751

38、.4165.84641664166264164164EIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEI FKF= = =(3)24 162416TF (4)8888TF39(2)(2)(2)12612664166416010.4164620-21.581164164=212612630.82-10.411.53-20.05641664166264164164EIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEI FK= =(3)(3)(3)(3)12612664166416024-19.66646212.73160.00116416412612630.8224-

39、28.3316.5816-17.34641664166264164164EIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIFKF= =(3)1012.7330.82 16.58TEI(2)10030.82 1.53TEI(3)24 162416TF 40(5)(5)(5)126126641664160-6.7964621.539.821164164=12612606.7916.5817.34641664166264164164EIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEI FK= =(4)(4)(4)(4)12612664166416086.9064621.48-5.841164164= 126126089.101.53810.23641664166264164164EIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEIEI FKF(4)10 1.400 1.53TEI(5)10 1.530 16