第四章根轨迹

1、第四章 线性系统的根轨迹分析 自动控制理论的宗旨: 分析稳定性动特性静特性问题的提出：分析系统特性-需要知道闭环极点（即特征方程根）的位置-高次方程直接求解的困难 根轨迹与系统特性的关系: 由于微分方程求解比较困难,通过根轨迹的分析间接把握系统特性:分析稳定性动特性 分析方法:开环时的根一般多为已知，但闭环后要想分离出每个根就必须求解一元高次方程。由开环零极点的位置大致绘制出闭环后当参数变化(如放大系数K)时,闭环极点的变化.间接求解了高次方程. 举例说明：假设由3个惯性环节串联后引入闭环反馈，组成闭环系统。此时系统会出现不稳定，即有闭环特征根存在于s的右半平面。第一节 根轨迹的基本概念 从开

2、环零点和极点的位置分析闭环极点的位置(因为闭环极点的位置直接决定了系统特性) 相角的0方向：以实部正方向为基准； 说明幅值条件和相角条件的几何意义。令开环增益从变化到，用解析方法求不同所对应的特征根的值，将这些值标在平面上，并连成光滑的粗实线，这就是该系统的根轨迹。箭头表示随着值的增加，根轨迹的变化趋势。从系统的根轨迹图，可以获得下述信息:.稳定性：因为根轨迹全部位于左半平面，故闭环系统对所有的值都是稳定的。.稳态性能：因为开环传函有一个位于坐标原点的极点，所以是I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。K=0.25K=0K=0KK-1j设有开环传函：G（s）= K s(s+1)当K=0时，S1=0

3、，S2=-1当K变化时，闭环极点随之而变，动静态和稳定性随之而变（）当m，所以根轨迹从n个开环极点处起始，到m个开环零点处终止，剩下的nm条根轨迹将趋于无穷远处。举例如题，起点：，无零点，n=，m=0，nm=2，有两条根轨迹) 1()(SSKSGK=0.25K=0K=0KK-1j绘制根轨迹的基本规则规则三当实轴上右侧的规则三当实轴上右侧的零极点数为奇数时存在根零极点数为奇数时存在根轨迹轨迹设系统开环零、极点分布如图所示。为在实轴上确定属于根轨迹的线段，首先在 和 之间任选一个试验点 。3p1z1s绘制根轨迹的基本规则共轭复数极点到的幅角之和为，相互抵消，因此开环共轭复数极点、零点对实轴上根轨迹

4、的位置没有影响，仅取决于实轴上的开环零、极点。若实轴上的某一段是根轨迹，一定满足相角条件。试验点左侧的开环零、极点提供的相角为,而右侧的相角为180。S1点满足相角条件，所以z1p3 之间是根轨迹。1s-2-4绘制根轨迹的基本规则例-2-1：)4)(2()3)(1()(1SSSSSKSG（单位反馈）有三个极点，根轨迹有三条分支jn=3,m=2有条根轨迹，条终止于开环零点。在实轴上不同段上取试验点oo-3-1绘制根轨迹的基本规则规则四根轨迹的渐近线相角规则四根轨迹的渐近线相角根轨迹中（nm）条趋向无穷远处的分支的渐近线的倾角为mnqa180) 12(, 2 , 1q，（n-m-1)当时，求得的渐

5、近线倾角最小，0qq绘制根轨迹的基本规则mnzpnimjjia11渐近线的交点总在实轴上，即 必为实数在计算时，考虑到共轭复数极点、零点的虚部总是相互抵消，只须把开环零、极点的实部代入即可a规则五根轨迹的渐近线与实轴交点规则五根轨迹的渐近线与实轴交点实际渐进线分析 1阶:实轴上一条线,-180 2阶:垂直于实轴, 90 ,上下个一条 3阶: 60 ,-180,三条 4阶:45 :135 ,四条绘制根轨迹的基本规则六六.分离点和会合点分离点和会合点两条根轨迹分支在平面上某一点相遇，然后又立即分开的点，称根轨迹的分离点（或会合点）。它对应于特征方程中的二重根（如例，实轴上的根轨迹要从某一点分开，然

6、后沿渐近线方向趋向无穷远处，把分离点所对应的1值代入特征方程，应求得二重根）。根轨迹关于实轴对称，分离点或会合点必然是实数或共轭复数常见的分离点或或会合点位于实轴上。求方程式的根，可以确定分离点或会合点。注意: 可能有虚根,根有无意义要分析判断.01dsdK绘制根轨迹的基本规则例-2-2系统的特征方程为或0) 2)(1(1)(11sssKsG)2)(1(1sssK0)263(21ssdsdK上式的根577. 1,423. 06243662, 1s因为分离点在至之间，故为分离点的坐标，而舍弃423. 01s577. 12s用幅值条件确定分离点的增益：385.0577.1577.0423.0210

7、1sssk牛顿-拉夫逊法求根简介 Xk+1=Xk- f（Xk）/ f （Xk）绘制根轨迹的基本规则七七.根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点当增加到一定数值时，根轨迹可能穿过虚轴，进入右半平面，这表示将出现实部为正的特征根，系统将不稳定。必须确定根轨迹与虚轴的焦点，并计算对应的使系统处于临界稳定状态的开环增益。在根轨迹与虚轴的交点处，在系统中出现虚根。因此可以根据这一特点确定根轨迹与虚轴的交点。可以用 代入特征方程求解，或者利用劳斯判据确定。1K1Kjs 绘制根轨迹的基本规则续例，将代入特征方程。js 0230)23(0)2)(1(123121KjjKjjKjjj当时，系统出现共轭虚根，此时系

8、统处于临界稳定状态。2j61K实部虚部63,2020321321KK在确定根轨迹与虚轴的交点，求出分离点，并做出渐近线以后，根轨迹的大概趋势知道了，为了能较精确的画出根轨迹，需在分离点附近取几个试验点，使其满足相角条件。然后连成光滑曲线，最后逐渐靠近渐近线。绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则八八.根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角当系统存在共轭复数极点（或零点）时，为了准确地做出根轨迹的起始段（或终止段），必须确定根轨迹的出射角（或入射角）根轨迹离开开环复数极点的切线方向与实轴正方向的夹角称为出射角出射角表示根轨迹从复数极点出发时的走向 180p开环复数零点处，根轨迹的入射角为

9、 180z式中pz即为其它开环零、极点对出射点或入射点提供的相角开环复数极点处，根轨迹的出射角为绘制根轨迹的基本规则求从出发根轨迹的出射角。5p45)904070130(105180)(18043215ppppzp用量角器量后，得，在图上标出。的出射角和对称。5p5p4p5p 例题4-2-4:p126 例题4-2-5:p127 例题4-2-7:p129 例题4-2-6:p128反馈控制系统的根轨迹分析渐近线的相角和交点为25.14113315,225,135,454180)12(aaq求根轨迹的分离点0) 5 . 1475. 3(4)685()22)(3(0)22)(3(2312342112S

10、SSdsdKSSSSSSSSKKSSSS系统的特征方程反馈控制系统的根轨迹分析上式的根为，。只有是实际分离点。3 . 2S对应分离点的 值可按幅值条件确定1K11ipSK33.464.164.17.03.2111133.21sjsjsssK求根轨迹在 的出射角3p6 .431)6 .2690135(180p），为减去6 .71360(365. 0725. 0jS3 . 2S反馈控制系统的根轨迹分析求根轨迹与虚轴的交点此处利用劳斯判据，由特征方程06851234Kssss4s3s2s1s0s5341K534552041K1K列劳斯表反馈控制系统的根轨迹分析令，得0534552041K16. 81

11、K根据行的系数写出辅助方程2S0)534(12 KS将代入，得16. 8,1kjs1 . 1.作根轨迹图在分离点附近取n个试验点，知分离角为90,在 附近取n个试验点3p反馈控制系统的根轨迹分析确定闭环极点.在上例中给定一对主导极点的阻尼比5 . 01.画出线60arccos6012或arctg反馈控制系统的根轨迹分析线的根轨迹交点的坐标就是时，系统的一对闭环主导极点5 . 0主导极点处对应的值用幅值条件求1K91.268.074.286.184.01K用试探法可找到另两个闭环极点;也可以用综合除法85. 24 . 121ss和当时，系统的闭环传函为91. 21K)85. 2)(4 . 1)(

12、7 . 04 . 0)(7 . 04 . 0(91. 2)()(ssjsjsSRsC反馈控制系统的根轨迹分析根轨迹法分析系统的一般步骤：根轨迹法分析系统的一般步骤：绘制系统的根轨迹图；分析根轨迹图，估计系统增益 对闭环零、极点分布的影响；根据闭环零、极点的分布估算系统暂态响应指标；对高阶系统要尽可能准确地找出它的闭环主导极点。1K常见的根轨迹 P131考研题举例 中科院2007，四,海欣P277第三节 广义根轨迹根轨迹方法的灵活应用: 参数根轨迹 多回路根轨迹 正反馈的根轨迹广义根轨迹分析一。参数根轨迹有时需要分析某个参数对根轨迹的影响（不一定是K），思路：将该参数化为显式形式（即K的位置）举

13、例：P133 例4-3-1讨论:a变化对根轨迹的影响,P135图4-3-2说明零点(微分)对改变系统性能的作用 P136 例4-3-2说明:由a的显式特征方程(P135下),可以先绘制K1的内环根轨迹例：王彤P253二例-3-3已知系统框图，绘制以a为参数的根轨迹.二、多回路根轨迹解决问题的思路：由内向外依次解决反馈控制系统的根轨迹分析解：（1）系统的开环传递函数SSSSG)1(1)(特征方程0)(1SG012sss（2）以为参变量，特征方程可写为0112sss即1)(2SSSSG绘制的根轨迹)(SG反馈控制系统的根轨迹分析（3）开环极点 闭环极点023212,1zjp（4）实轴上的根轨迹（5

14、）渐近线倾角（6）会合点 求 ，得 为实际会合点，该点（7）出射角0,( 180a0dsd11s1, 121ss1150)90120(180p 例4-3-4 从内环向外环依次解决 例4-3-5三、正反馈的根轨迹 特征：恰与负反馈根诡计互补 基本规则：G（s）H（s）= 1幅值条件：G（s）H（s）= 1 ；与负反馈相同相角条件：G（s）H（s）= 360 ；与负反馈不同由此可以导出类似的8条规则 例4-3-6 例4-3-7 例4-3-8:说明正反馈极易造成系统不稳定,而通过负反馈有可能将不稳定的系统变为稳定.第4节 滞后系统根轨迹1. 滞后系统：概念，实际中的例子2. 数学模型：e-s3. 基本方法：化为近似代数式；或直接作图(不要求)例:4-4