概率论附件选做习题题解

1、概率论与数理统计（三版）选做习题1.一打靶场备有5 支某种型号的枪,其中3 支已经校正,2 支校正.使用已校正的枪目标的概率为 p1 ,使用校正的枪目标的概率为 p2 .他随机地取一支枪进行射击,已知他射击了 5 次,求他使用的是已校正的枪的概率(设各次射击的结果相互).取得的枪是已经校正的”，则 P(C) = 3 / 5,解 以 M 表示射击了 5 次均未”,以C 表示P(C) = 2 / 5, 又,按题设 P(M | C) = (1 - p )5 , P(M | C) = (1 - p )5 ,由公式12P(MC) ,P(C | M ) =P(M )P(M | C)P(C)=P(M | C

2、)P(C) + P(M | C)P(C)(1 - p )5 315=(1 - p )5 3 + (1 - p )5 212553(1 - p)5=1.3(1 - p )5 + 2(1 - p)5122.共买了 11 只水果,其中有 3 只是二级品,8 只是一级品.随机地将水果分给 A、B、C 三人,各人分别得到 4 只、6 只、1 只.(1) 求C 未拿到二级品的概率.(2) 已知C 未拿到二级品,求 A, B 均拿到二级品的概率.(3)求 A, B 均拿到二级品而C 未拿到二级品的概率.解 以 A，B，C 分别表示A，B，C 取到二级品,则 A，B，C 表示A，B，C 未取到二级品.(1)

3、P(C) = 8 /11.(2)就是需要求 P( AB | C).已知C 未取到二级品,这时 A, B 将 7 只一级品和 3 只二级品全部分掉.而A、B 均取到二级品,只需 A 取到 1 只至 2 只二级品,其它的为一级品.于是3 7 3 7 P( AB | C) = 1 3 + 2 2 = 4 .1010544(3) P( ABC) = P( AB | C)P(C) = 32 / 55.3.一系统 L 由两个只能传输字符 0 和 1 的工作的子系统 L1 和 L2 串联而成(如图 13-1),每个子系1概率论与数理统计（三版）选做习题统输入为 0 输出为 0 的概率为 p(0 p 1) ;

4、而输入为 1 输出为 1 的概率也是 p .今在图中a 端输入字符 1,L 的b 端输出字符 0 的概率.ab图 1解 “系统 L 的输入为 1 输出为 0”这一(记 L(1 0) )是两个不相容之和,即L(1 0) = L1 (1 1)L2 (1 0) U L1 (1 0)L2 (0 0), 这里的记号“ L1 (1 1) ”表示“子系统 L1 的输入为 1 输出为 1,其余 3 个记号的含义类似.子系统工作的性得PL(1 0) = PL1 (1 1)L2 (1 0)+ PL1 (1 0)L2 (0 0)= PL1 (1 1)PL2 (1 0) + PL1 (1 0)PL2 (0 0)= p

5、(1 - p) + (1 - p) p = 2 p(1 - p).4.甲乙二人轮流掷一,每轮掷一次,谁先掷得 6 点谁得胜,从甲开始掷,问甲、的概率各为多少?6 点”.Ai 发生,表示在前i -1次甲或,故有解 以 Ai 表示“第i 次投掷时投掷者得 6 点,而在第i 次投掷甲或6 点.因各次投掷相互 5 i-1 1= P( A ).6i6因甲为首掷,故甲掷奇数轮次,从而甲胜的概率为P甲胜 = PA1 U A3 U A5 U L= P( A1 ) + P( A3 ) + P( A5 ) +L(因A1, A2 L两两不相容)1 5 2 5 4=1 + + +L6 6 6 = 116 .=6 1

6、- (5 / 6)211同样,的概率为P = PA2 U A4 U A6 U L= P( A2 ) + P( A4 ) + P( A6 ) +L2L2L1概率论与数理统计（三版）选做习题1 5 5 3 5 55=+ + +L =.6 6 6 6 11掷两次,考虑A = “第一次掷得点数 2 或 5”, B = “两次点数之和至少为 7”，求5.将一颗P( A), P(B), 并问A, B 是否相互.能结果,故 P( A) = 2 / 6 = 1/ 3. 设以 X i 表示第i 次掷出解 将掷一次共有 6的点数,则P(B) = P(X1 + X 2 7) = 1- P(X1 + X 2 6).因

7、将掷两次共有 36 个样本点,其中 X1 + X 2 6 有 X1 + X 2 = 2,3,4,5,6 共 5 种情况,这 5 种情况分别含有 1,2,3,4,5 个样本点,故P(B) = 1 - (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 36 = 1 - 5 /12 = 7 /12.以( X1, X 2 ) 记两次投掷的结果,则 AB 共有(2,5),(2,6),(5,2),(5,3)(5,4),(5,5),(5,6)这故P( AB) = 7 / 36.今有7 个样本点.P( A)P(B) = (1/ 3)(7 /12) = 7 / 36 = P( AB).按定义 A, B 相互.6. A

8、，B 两人轮流射击,每次各人射击一枪,射击的次序为 A, B, A, B, AL,射击直至两枪为止.设各人的概率均为 p ,且各次与否相互.求的两枪是由同一人射击的概率.解总是在奇数轮射击, B 在偶数轮射击.先考虑两枪的情况.以 A2n+1 表示“在第2n +1轮(n = 1,2,L) 射击,射击在此时结束”. A2n+1 发生表示“前2n 轮第二枪”（这一记为C ），同时“ B 在前2n 轮射击n 枪而射击n 枪但一次其中一枪,且 A 在第2n +1轮时一枪未中”(这一记为 D )，因此P( A2n+1 ) = P(CD) = P(C)P(D) n n-1= 1 p(1 - p)p(1 -

9、 p)n= np 2 (1 - p)2n-1.注意到 A3 , A5 , A7 ,L两两互不相容,故由仍记为 A )的概率为了两枪而结束射击(这一P( A) = P( U A) = P( A) = np 2 (1 - p)2n-1 n=12n+2n+11n=1n=13概率论与数理统计（三版）选做习题n-1= p 2 (1 - p)n(1 - p)2 n=11 - p1p 2 (1 - p)=.1 - (1 - P)2 2(2 - p)2 1(此处级数求和用到公式= 1.这一公式可自等比级数 1nxn-1, x 0,(r) = 25f0,Rr 0.若弹着点离目标不超过 5 m 时,目标被摧毁.

10、(1)求发射一枚炮弹能摧毁目标的概率.(2)为使至少有一枚炮弹能摧毁目标的概率不小于 0.94,问最少需要解 (1)所求概率为发射多少枚炮弹.552r e-r 2 / 25 dr 25PR 5 =f-(r)dr =R0= e-r / 25 52| = 1 - e= 0.632.-10(2)设发射 n 枚炮弹,则这 n 枚炮弹都不能摧毁目标的概率为 (1 - 0.632)n ,故至少有一枚炮弹能摧毁目标的概率为1 - (1 - 0.632)n .按题意需求最小的 n ,使得1 - (1 - 0.632)n 0.94.即0.368n 0.06,n (ln 0.06) /(ln 0.368) = 2

11、.81.发射 3 枚炮弹.故最少需要1 - e-0.03t , t 0,)服从指数分布,分布函数为 F (t) = 11设元件的T (以t 0.0,(1)已知元件至少工作了 30 小时,求它能再至少工作 20 小时的概率.X 20 的概(2)由 3 个工作的此种元件组成一个 2/3G系统(参见第 7 题),求这一系统的率.解 (1)由指数分布的无记忆性(参见(1) 第 56 页)知所求概率为p = PT 50 | T 30 = PT 20= 1 - F (20) = e-0.6 = 0.5488.X 20 的概率为(2)由第 7 题知 2/3G系统的PX 20 = 3 p 2 (1 - p)

12、+ p3 = p 2 (3 - 2 p) = 0.5730.12.(1)已知随量 X 的概率密度为 f (x) = 1 e- x ,- x 0,试求Y 的分布律和分= 1,X(2)已知随量 X 的分布函数为 F (x), 另外有随量Y-1, X 0,X布函数.解 (1)由于1 ex ,- x 0,2f (x) =1X- x ,e0 x +.2当 x 0 时,分布函数xx 11FX (x) = f X (x)dx =e dx =ex,- 22-2-当 x 0 时,分布函数x0 1x 111112FX (x) = f X (x)dx =e dx + e dx =+-x- xe- x= 1 -e-

13、x .- 20 2222-故所求分布函数为1 exx 0,2F (x) =X11 -e- x ,x 0.21(2) PY = -1 = PX 0 = FX (0) = 2 ,PY = 1 = 1 - PY = -1 = 1 - 1 = 1 .22分布律为Y-11pk 1 2 1 2分布函数为y -1,- 1 y 1,y 1.01FY ( y) = 2 ,1,13.(1) X 服从泊松分布,其分布律为lk e-lPX = k =, k = 0,1,2,L,k!PX = k 为最大.问当 k 取(2) X 服从二项分布,其分布律为8概率论与数理统计（三版）选做习题 n PX = k = p (1

14、- p),kn-kk = 0,1,2,Ln.k PX = k 为最大.问当 k 取解 (1)由= lk e-lPX = k (k -1)!lk -1e-l当k l,PX = k -1k!l 1,= 1,k 1,知道,当 k l 时, PX = k 随 k 增大而递减.从而,若l 为正整数,则当 k = l 时, PX = l = PX = l -1 为概率的最大值,即当 k = l或k = l -1 时概率都取到最大值.若l 不是正整数,令k0 = l(即k0 是l的整数部分），则k0 l k0 + 1, 此时有PX = k0 -1 PX = k0 + 1,因此不难推得 PX = k0 = P

15、X = l 为概率的最大值. (2)由 1,当k (n + 1) p,PX = k= (n - k - 1) p = 1 + (n + 1) p - k = 1,PX = k - 1k (1 - p)k (1 - p) 1,知道,当 k (n + 1) p 时, PX = k0 随 k 增大而递减.从而,若(n + 1) p 为正整数,则当 k = (n + 1) p 时, PX = (n + 1) p = PX = (n + 1) p -1 为概率的最大值,即当 k = (n +1) p或k = (n +1) p -1 时概率都取到最大值.若(n + 1) p 不是正整数,令 k0 = (n

16、 + 1) p ,则k0 (n + 1) p k0 + 1,此时有PX = k0 -1 PX = k0 + 1,不难推得 PX = k0 = PX = (n + 1) p 为概率的最大值.14.设 X U (-1,2), 求Y =解X 的概率密度为X的概率密度.9概率论与数理统计（三版）选做习题-1 x 0 时, FY ( y) = P X y = P- y X y= FX ( y) - FX (- y).将 FY ( y) 关于 y 求导可得Y 的概率密度 fY ( y) 如下:X (- y),y 0,其他.f (Y0,当0 y 1时, -1 - y 0 .因而 f X ( y) = 1/

17、3, f X (- y) = 1/ 3, 此时fY ( y) = 1/ 3 +1/ 3.当1 y 2 时, - 2 - y 2 时, f X ( y) = 0, f X (- y) = 0, 因而 fY ( y) = 0.故0 y 1,1 y 2,其他.2 / 3,f ( y) = 1/ 3,Y0,15.设 X 的概率密度0,1x 0,0 x 1,f (x) = ,2X1, 1 x .2x 21求Y =的概率密度.X解 因函数 y = g(x) = 1 严格单调减少,它的反函数h( y) = 1 . 当0 x 时,0 y .xy由第二章(2) 公式(2.1)得Y 的概率密度为10概率论与数理统

18、计（三版）选做习题 f h( y)h ( y) ,0 y ,y 0.f=XY0, 1 1,0 y ,f=X2yy0,y 0.因而0,y 0,f ( y) = 111,0 1,y2Yy 2111, 1 y .2 y 22 (1/ y)即0,y 0,0 y 1,f ( y) = 1 , 2Y1, 1 y 1 ,PX = k,Y = 1 = PY = 1 | X = kPX = k11概率论与数理统计（三版）选做习题= 0 (1/ 2k ) = 0.(因 X = k 1, 首次得正面是不可能的,故 PY = 1 | X = k = 0, k = 2,3,L).PX = 1,Y = 0 = PY =

19、0 | X = 1PX = 1= 0 (1/ 2) = 0(因 X = 1 必须首次得正面,故 PY = 0 | X = 1 = 0).当 k 1PX = k,Y = 0 = PY = 0 | X = kPX = k= 1 (1/ 2k ), k = 2,3,L(因 X = k 1, 必定首次得,故 PY = 0 | X = k = 1).综上,得( X ,Y ) 的分布律及边缘分布律如下:PX = 1,Y = 11/ 2(2) PX = 1 | Y = 1 = 1.1/ 2PY = 1PX = 1,Y = 2 = 0.PY = 2 | X = 1 =PX = 117.设随量 X p (l),

20、 随解X 的分布律为量Y = max( X ,2).试求 X 和Y 的联合分布律及边缘分布律.lk e-lPX = k =k = 0,1,2,L.,k!X 的可能值是0,1,2,L ; Y 的可能值为2,3,4,L.PX = 0,Y = 2 = PY = 2 | X = 0PX = 0 = 1 PX = 0 = e-l .12XY1234PY = j011110222324100021212PX = i111122223241概率论与数理统计（三版）选做习题PX = 1,Y = 2 = PY = 2 | X = 1PX = 1 = 1 PXi 2 时PX = i,Y = j = PY = j

21、| X = iPX = i= 1 = le-l .lie-l1 PX= i, j = i, j = i,j i,= = j = 2,3,4,Li!0 PX = i, j i0,即得 X ,Y 的联合分布律及边缘分布律为18,一等边三角形 ROT (如图 13-2)的边长为三角形 ROT 内均匀分布).1,在三角形内随机地取点Q( X ,Y ) (意指随机点( X ,Y ) 在yRQ( X ,Y )0(1) 写出随量( X ,Y ) 的概率密度.xT图 2(2) 求点Q 的底边OT 的距离的分布密度.解 (1)因三角形 ROT 的面积为 3 / 4 ,故( X ,Y ) 的概率密度为13XY01

22、2345PY = j234M-l-ll2 e-lele0002!l3e-l000003!l4 e-l000004!MMMMMMM2 li e-li=0i!l3e -l3!l4 e -l4!MPX = i-l-ll2 e-ll3e -ll4 e -lele2!3!4!1概率论与数理统计（三版）选做习题f (x, y) = 4 /3,0 y 3x,0 y - 3(x -1),其他.0,（2）点Q( X ,Y ) 到底边OT 的距离就是Y ,因而求Q 到OT 的距离的分布函数,就是求( X ,Y ) 关于Y 的边缘分布函数,现在4 1 - 2 y 3 ,2(x, y)dx =3,0 y 3y / 3

23、从而2 y 4321 -,330 y ,f ( y) = Y0,其他.Y 的分布函数为0,y 0,F ( y) = 43y - 4 y 2 ,33 ,20 y 0, y 0,其他.f (x, y) = 0,(1) 求边缘概率密度 f X (x), fY ( y).(2) 求条件概率密度 f X |Y (x | y), fY | X ( y | x).解 (1)当 x 0 时,xe- x( y+1) dy = e- x (e- xy )0y = y =0= e-x ,f (x) =X当 y 0 时,- xe- x( y+1)1fY ( y) = 0 xey + 1 0- x( y+1)dx =x

24、= x=0+- x( y+1)xedxy + 1= - xe- x( y+1)1x= x=0=( y + 1)2 .( y + 1)2故边缘概率密度分别是14概率论与数理统计（三版）选做习题1y 0,e-x ,x 0,f (x) =f ( y) = ( y + 1)2XY0,其他.0,其他.(2)条件概率密度:当 x 0 时, xe- x( y+1)y 0,y取其他值.f( y | x) = ,e- xY | X0,- xyy 0,y取其他值.xe,=0,当 y 0 时,xe- x( y+1)x 0,1/( y + 1)2f(x | y) = X |Y0,x取其他值.x( y + 1) e2

25、- x( y+1)x 0,x取其他值.,=0,20.设有随量U 和V ，它们都仅取1， - 1两个值已知PU = 1 = 1/ 2,PV = 1 | U = 1 = 1/ 3 = PV = -1 | U = -1.(1) 求U 和V 的联合分布密度.(2) 求 x 的方程 x2 + Ux + V = 0 至少有一个实根的概率.(3)求 x 的方程 x 2 + (U + V )x + +U + V = 0 至少有一个实根的概率.解 (1) PU = 1,V = 1 = PV = 1 | U = 1PU = 1 = (1/ 3)(1/ 2) = 1/ 6.PU = -1,V = -1 = PV =

26、 -1 | U = -1PU = -1= (1/ 3) 1 - PU = 1 = (1/ 3)(1/ 2) = 1/ 6.PU = 1,V = -1 = PV = -1 | U = 1PU = 1= 1 - PV = 1 | U = 1PU = 1 = (2 / 3)(1/ 2) = 1/ 3.PU = -1,V = 1 = PV = 1 | U = -1 PU = -1= 1 - PV = -1 | U = -1PU = -1 = (2 / 3) (1/ 2) = 1/ 3.15概率论与数理统计（三版）选做习题U ,V 的联合分布密度为(2) 方程 x2 + Ux + V = 0 当且仅当在

27、D = U 2 - 4V 0 时至少有一实根,因而所求的概率为PD 0 = PU 2 - 4V 0 = PV = -1 = 1/ 2.(3) 方程 x 2 + (U + V )x + +U + V = 0 当且仅当在D = (U + V )2 - 4(U + V ) 0 时至少有一实根,因而所求的概率为PD 0 = PU = -1,V = -1 + PU = -1,V = 1 + PU = 1,V = -1 = 5 / 6.一天的读者人数 X p (l) ,任一读者借书的概率为 p ,各读者借书与否相互21.某.记一天读者借书的人数为Y ,求 X 与Y 的联合分布律.解 读者借书人数的可能值为

28、Y = 0,1,2,L,Y X , PX = k,Y = i = PY = i | X = kPX = klk e-lk = 1,2,L k k -i= p (1 - p)i,k!i = 1,2,L, k.i 量 X 和 Y 相互22.设随,且都服从 U(0,1),求两变量之一至少为另一变量之值两倍的概率.解 按题意知,(X,Y)在区域: G = (x, y) | 0 x 1,0 y 1服从均匀分布,其概率密度为f (x, y) = 1, 0 x 1,0 y 2X + PX 2Y= f (x, y)dxdy + f (x, y)dxdyG1G2=G1 的面积+G2 的面积=1/2,G1 ,G2

29、 见图 13-3.yG1 y=2xy=x/2 G2Ox图 323.设 X N (0,s),Y N (0,s ) 且 X ,Y 相互212,求概率216UV-11-111/62/62/61/6概率论与数理统计（三版）选做习题P0 s 2 X - s1Y 2s1s 2.解 因 X ,Y,其线性组合s 2 X - s1Y 仍为正态变量,而E(s 2 X - s1Y ) = s 2 E( X ) - s1E(Y ) = 0D(s X - s Y ) = s D( X ) + s D(Y ) = 2s s2222212112s X - s Y N (0,2s s ).22故2112P0 s 2 X -

30、s1Y 2s1s 2= P0 0,其他- xxe,2f X (x) = 0,测量误差 YU( - e ,e ),X,Y 相互,求 Z=X+Y 的概率密度 f Z (z) ,并验证 1 2e2e2PZ e =解 (1)Y 的概率密度为-u / 2edu0( y) = 12e , - e y 0x 0仅当即时上述积分的- e z - x ez - e x z + exx=z+Oyx=z+图 4被积函数不等于零,参考图 4,即得17概率论与数理统计（三版）选做习题 1 z +e- x1 2xedx, - e z e22e0f Z (z) = 1 z +e- x1 2xedx, z e，22ez -e

31、 10,其他，- ( z +e12)1 - e- e z e = e f Z (z)dz1- 1 ( z -e )2- 1 ( z+e )2= edz - edz222e记成ee12e+- 1 ( z-e )2 dz 令z - e = u- 1 u 2其中=eedu,2 2e0令z + e = u- 1 ( z +e )2- 1 u 2- edu= -edz22e2e112e- 1 u 2于是 PZ e =+=edu22e2e0的读者借阅甲种图书的概率为 p ,借阅乙种图书的概率为a ,设每人借阅甲、乙图书的25.设行动相互，读者之间的行动也相互.(1)某天恰有 n 个读者,、种图书中至少借阅

32、一种的人数的数学期望.解 (1)以 X 表示某天读者中借阅甲种图书的人数，因各人借阅甲种图书的概率均为 p,且由题设各,故 X b(n, p),因此E( X ) = np .“读者借阅甲种图书”,以 B 表示P( A U B) = P( A) + P(B) - P( AB).人是否借阅相互(2)以 A 表示“读者借阅乙种图书”,则就读者而言,有借阅两种图书的行动相互,故 P( A B) = P( A) + P(B) - P( A)P(B) = p + a - pa .以 Y 表示至少借阅一种图书的人数,由题设各人是否借阅相互,知Y b(n, p + a - pa ) ,故E(Y ) = n( p + a - pa ).1, 若第i位读者至少借阅甲、乙两种图书的一种,也可这样做.引入随量: Zi = 0, 若第i位读者不借阅甲、种图书的任一种.i = 1,2,L, n18概率论与数理统计（三版）选做习题nnnY = Zi , E(Y ) = E Zi = E(Zi ) = n( p + a - pa ) .i=1i=1i=1这里不需假设读者之间的行动相互.26.某种鸟在某时间区间(0, t0 下蛋数为15 只,下 r 只蛋的概率与 r 成正比.一个收集鸟蛋的人在t0时去收集鸟蛋,但他仅当鸟窝多于 3 只蛋时他从中取走一只蛋.在