中考反比例函数的常见模型以及例习题--含答案

1、反比例函数的常见模型解决反比例函数的问题，除了掌握反比例函数的图像及性质以及反比例函数常见的面积模型之外，还要熟练掌握以下几个经 典模型：【模型1】正比例函数图像被反比例函数图像所截得的线段相等【模型2 一次函数图像被坐标系和反比例函数图像所截得的相等线段【模型3】同一象限内反比例函数图像上两点连线的平行线【模型4】反比例函数与矩形(1)【模型5】反比例函数与矩形(2)【模型6】反比例函数与最值【模型7】反比例函数与黄金分割【课前热身解决反比M函数问题的几个常见策略31.反比例函数的图像关于原点对称I2、反比例函数图像上的任意一点的横纵坐标的乘积为定值，【模型1】正比例函数图像被反比例函数图像

2、所截得的线段相等(-)基本模型1、如图L若正比例函数丁 =勺工与反 比例函数x与交于点A. B,则 C)A=OB：2、如图2若正比例函数二自*、J = Q与反比例函裁而也5-A) JC-B、C、D,西 OA=OB, OC=ODe C2)四边形AIM：D为平行四边形;(3)§十。三§他初二'也M三.小汗二城iwj配；3、如图2,当ABJLCD时，四边形ADBC为矩形二)典型例JH例I、如留I,匚如直线与双曲线二生伏0)史f人/i两点,R点d的横坐标2x为4.(1)求A的俗(2)如图2过原点O的另一条向线/文意如线1=*(£)0)于C、。两点1点C在第一 x象

3、阳FI在点耳的左边，力四动形/COD的面稹为24时.求点C的坐标.19三举一反三八反比例函数J=上仅 小的图象与经过原的百线1 x儿月两点.已知力点坐标为一2, I).那么8点的坐标为.2如图.已知向线=与&!11|浅交卜4月两点.点H的坐标为47. -2). C为双电线j5味0)上一点且在茶一写眼 工内，工"的而枳为6,则点，,的坐如为_.3、如图.任平面H角坐标系中，正方形OHJC的顶点。与坐标原点田合,其边K为2点L， 7/ «输一轮的正华轴匕晶数)=2”的明领X卜点儿与乐他F=2x的阴饮点嘉 象限沟交:.点片连接EF1)求由蚁，=人的表达式.并直接写出

4、63;尸两点的坐瓦； x与CB文卜点。刷ft F =为常数.£ w 0的图软经过点Q1txs女(2)来无卜的面期.【模型2】一次函数图像被坐标系和反比例函数图像所截得的相等线段-)基本模型（二）兵型例题ft I. （230武汉）如阕，直统T=-9x + bqy粘点A,甘双曲缠1，=一在掂一把限内文于四点B、c, ELXAB-AC=4.则4例2、3、如图小 一次函数.1二”人的图象口k轴.丁轴 交于从用两点.与反比例南数丫巴的图象相更于C。两点,x分别过。小两点修岫，*辘的垂或，垂足为&F.逐接（E DE.为下列四个结论，5力二5"“ eAAOB相似P A/T9

5、63; j"刖二次）其中正侦的结论 於.（把你认为正确结论的序号都里上）三）举一反三I、如阳，已如阍散f = -r + I的图能与工%，丁他分别于r, bM.r.与双曲线j=上之于猫。两点.,若4lhCSb（ , I1H 的值为.3A2,已知如图.f - 注线卜=一 （rO） ffi*3小HM也,与x轴，轴分别之/），两点，若,侏-5,则 4-.3.如图.知一次函数y=kx+b的图较交反比例国政J 2 , y = （x>0）图象十0.八从2 x轴点C仃）求m的取出就I小C2）若苴4 .的坐标是（2, -4）. J1=-.求m的值和AB 3次的故的解析式，俯，反比例由数多三在第一

6、象履内的国舞如图 x工模型31同一象限内反比例函数图像上两点连线的平行线C-)基本模型I、如图1,过反比例函数第=士上 两点.1、B,分别作坐标轴的垂温, 垂足为'、u,则,b|KR2、如图2,过反比例的数|，=：图 金上的点A. B分别向两条坐标轴 作垂线，垂足分别为E.八C. 1>, M AB|C1)|EF;.(二)典型例题例I.如阳，人。足反比例1由故="1-的点,AClyf C. Bl) xM2.如国.直线>'=rM分冽交x林.y轴f A, K两点. 丁= 2(k > o)p是反比例函政x图象匕位于直线下方的一点.过点Ptkx箱的法线.病足方

7、点M, 2AB点E.这点P 作y轴的前线足为点N ,究,AB于点I .则至 32 = () A 2 虚 b.4 C.4& D.S所小,过的上的任意虫/作了抽的丫仃也.交点乩文J 轴干点C过点4件K釉的乘线,交M千点。，%上釉尸点小 注 &BD. CE.则等士.C三)举一反三X = -(at>0)1、如惚.已切点A牌在双曲践X h AC±x岫于点C,BD±y«l卜点D, AC 5 BD交于点PP是AC的中点.fiAABP 的而加为2.则的值为 .2,一歆阳数 = " + /的图象分别与x物.他交十点与反比例的数，=上的阳 x宗相攵F点

8、丸B.过点A分别作AC上、河Ady轴.垂足分别为C、&过点日分别作BFU油. BlkLy柏,垂足分冽为F, D.4芍“。交丁点K.连按(刀.(L)若京4 8在反比例的放T= 上的图祭的同一分支匕如图h试证吗x'$因也用m =$典勘通曲：IN = BU.(2)苦点4 8分别在反比例函数尸二月的图象的不同分支上，如图z购HV与"H还3、如图,在千面仃角坐你系中.。为傲标寂点,，是反比例Fftft v= 9保。楣象上的住电一寸,以P为物5 加9力 x半胫的凰弓-轴分舸交于点4 A.3,判断尸是否生找段才。上.并说明理由：(2)求0日的面枳：* n。是反比例由Hj = 2 r

9、X»图复±界干点尸的x另一点谓以。为I物心,约¥径面脚与二丁恸分别文于点“、内，连接 MV.ML ；Kiit ANffXfH.模型4反比例函数与矩形(-)基本模型I、如图I,反比例函数丫二上的图像跄过矩形OCOD的中心,交两条边于点AB,则，(1) AB|( Dt (2)某=耕Sx?£ = % £ = $皿（上=也即已德=与别作坐标轴的垂线，垂是为C、1,则ACIIBD, 2、如图2,过反比例函数卜=4图像上一点A的矩形ARI, 对角线BD过原点，则Si-S2.(二)典型例题|1性4例1. U013淄博】如图.矩形A0BC的面枳为4.反比例函数

10、尸争 图象的一支经过始於对用线的交点P，典该反比例函收的解析式是()A-W 8.月 c.y=iD一心M2,如图.但膨ARCD的对角线BD经过坐标牌点,4形的边分别平0和弼阳炉+2X+1b上必机轴.点C在反比例函数.£= =的用友一心点A的AT坐标为(-2. -2),则k的值为C )A. J B. -3 C. 4 D. I 或,3(=)举一反三I.（2013内江）如图,反比例函依(x>0)的用蒙经过更形O.ABC对用线的变点M.分别于人以RC交干点D、E,若四边形O»小的面积为9,周 k的值为（）A.1 II2C.3 D 42.如肉.平行四边形/。改？中.时角战史于&#

11、163;取曲线y=3 （RO）经过儿 足的点.X手行网边形.必r.的面积 IX.则，如汨，依平而日向坐时系中台一正方形/f（?8C,反比例炳数y=:经过正方X形.加力角线的交点,半径为（47石）的川内切叫£的电为_.【模型5】反比例函数与矩形2-基本模型如图I,点P为反比例函数r = &的图像上一点，& x过点r作*、轴的垂线pc、ri»交反比例函数=§ 于点A、B则II）w穴=3加”内5胖=3皿小（2）若A 为PC中点则B为PD中点，&“ =4=必"=5"11（3）%也加嫉4同（-）典型例题例I、施fit Y和 凸T.

12、外一眼奴内的图象如图2 x x点p是尸细图象上一漕点 PCL（轴F点一交X尸加图象干点B.给出如下论】ZkODB与（X A的陶积桐等：M与2始终相等；四边形PAOR的面糊大小不公发4：变化icaap.兀中所行正确结论的序号空（脩2,四个反比例的散产和尸工住察一欺眼内的周黛如图3, P fl： Ci匕A.HC1作PC. PD唾百空标轴'支线芍C?交点为A. B.别卜列结论：01）13与ACCA的面职相除四边形PAOB的面枳等新匕PA勺”3始终出等;当点儿是PC的中点对，点B充足FD的中点，战中正确的是（A , B.&）aC.D.三）举一反三1、（20口水州）如图，曲个反比例请注尸

13、闫 X和丫3第一象限内的图象分别是J和G x让点P在。上，PAI.X轴1点A,交Q I点B,4Pl泗的面枳为.2、两个反比例由数r三：租g在第一象限内的图象如图所示.点在，=g的图依，I lAlt 4 A）；匕Lr轴点。交,，=的图痴m防4轴尸点交p = L的图象F点从 当点尸在j二人的图象上运动".以结论，xQ）M）DB kOCA的面相相等12四边形用（JK的面枳小会发生变 化；用与，为始泮粕等；当点d是/的中点时，点四一正是 。的中点,其中一定正硼的是（把你认为正确玷论的序号燃场上工lr3.如招，双曲缆1三一经过RtAOMM斜边上的点！ j直/&边，八Xtfl支干点3，已

14、如a«2/M AQ仍的面轨为5，»H-的（ft是4. m.在平面五角坐标条上6中,直坡43与.r/. J轴分别交7 点儿8.，反比例响数:匕（/力常数.且Q0）在第 堂限的图K软交r,点儿尸过点&作UfX.v轴F AL过点/作F.V± v轴尸M 巨戮£1与EV交千点C 若6£:8F=I:加（制为大11的富致）.C C肝的而枳为Sw A0EF的面积为多.fflA；5r. （ 含鹰的代致贰表示） «« A 一 5.如图.在巨坤坐抵条中，电后（从BC的顶点。与坐打照以苑台. A.C分别作坐标«lk,点H的型电为（

15、4, 2）.包然产交All, I3C 分别上点M，N.反比例由坎产£的图像点M.N.x（U求反比例由数的解:折代:（2）苫.点1巾y轴匕 且外5乂的面枳与四边形的面以相等.未打P的气忸.让我们一起领略反比例函数的神奇一、个人对反比例函数的几点困惑与感悟1 .为何正比例函数的比例系数是比A =工，而反比例函数的比例系数却不是比A=xv? X2 .为何我市中考的反比例函数问题总不像其它函数那么深入？只探究一些皮毛问题！至 多探究一下人的几何意义（而积），例如2016年台州市中考考查的也是“函数的研究 通法二并非专门深入研究反比例函数.3 .过去我们遇到稍难一点的反比例函数问题，就只有“暴

16、力设元”这一途径，总无法避开 多元方程、分式方程、高次方程.4 .个人认为作为老师，不应该只应付中考，而应该研究更纯粹的数学，站在更高的位置来 了解数学本质！做到居高临下、解有依据！5 .实际上，反比例函数中也存在很多的“比”，斜比、直比（纵比、横比、纵横比）、而积 比，可以说“比比皆是”！现在就让我们一起来比出精彩、比出神奇.二、一道曾经困惑我多时的中考题某年宁波市中考的填空压轴题：如图，/?。06的顶点8（2，4）,双曲线y =勺经过X点、C、D,当以8、C、。为顶点的三角形与屈。8的相似时，则k=.1 .常规性解法：0丁F通过设元，例如设c （加，2加），则。（2, /）,再根据条件列方

17、程：利用 BC = 2CD、BC = 4Cq2、BD = McD 或 BD = 5CD 列方程；（2）利用/ -xc = 2（底一”）列方程：（3）利用“一线三等角”模型、和心九=” 二列方程.实际上，在上述常规处理方法中，已经透着一点智慧、一点灵性了，具体操作方法中也具 备了一定的技巧性.但我本人对此，却一直难言满意，耿耿于怀！2 .挖掘隐含性质，巧解此题（1）实际上，此图中含有一些很重要的性质：过点。作CP_L）、轴于P,连接P4,直线。分别交坐标轴于点M、N.则有以/CD. PC = AN，PM = AD ; MC = DN，A ID = CN .基于以上这些性质，有如下解法.我的第一种

18、解法（整体思想）：由。v = 2om, /1N = 2/o = 2pm 可得，on - an = 2(om - pm),即 OA = 2OP ,于是 OP = -OA = 1 , PC = -OP =-.222(3)我一个同事的解法(斜边转直比)：由MC：0C：CN = 1：2：4, A7C = £W 可得，MC ： CD ： D;V = 1 ： 3 ： 1,转为横比，:（工。一 分） ： （、v - X。）= 1 ： 3 ： 1 ,因此五=0A =, 42（4）我一个学生的解法（斜等转直等）：由 W = CN 得/一分=0/ = 2 ,则 yc = 1（xA, - .¥c

19、 ） = 1 ,（5）我的第二种解法（平行导角度）：由 21。得，/PAO = ZMNO = 4,于是。0=1。/=1, 2（6）下面我们要着重解决两件事:上述性质是否永远成立？如何证明？解题技巧除上述方法：整体思想、斜边转直比、斜等转直等、平行导角度外，还有斜长转直长、面积比与边比互转、纯而积转化等等，后面将一、一介绍.三、探究性质L如图，双曲线尸=与与矩形NBC边交于点时、N,直线交坐标轴于点。、E. x如图 1,若 4W：48 = 1：2，则 CN：C8 =:如图 2,若40：48 = 1：4，则。：。8=:如图 3,若 4"：8 = 1：，则 CN：C8=,2 .如图1,双曲

20、线y =勺与直线。E交于点M、N , «L y轴于点/ , NCJ.x轴于 x点C,请探究直线与4C的位置关系，线段EN与的大小关系.如图2,双曲线y = 勺与直线EF交于点M、N,轴于人 MC_Lx轴于C，轴于。，N8_Lx轴于6,请探究直线MN与48、CO的位置关系，以及线段ME与FN的大小关系.图1图2四、最常见思想方法（斜转直）：斜边转直比、斜等转直等、斜长转直长1.如图，直线丁 = x+ 4反比例函数= -（x> 0）图象交直线月8 x于点C、D ,且以6 = 2。，则k的值为.（1）常规方法（斜长转直长）：1 /yCD = AB = 2-72 ,则 x - x =

21、-CD = 2 ,2 2可设c（，4一加），则。（? + 2, 2 加），列方程解决;口算巧解（斜边转直比）:由 4C = D8, zi8 = 2co得，ACCDD5 = 1 ： 2 ： E 转为横比得，xc ： (xD -Xc) ： (x5 -xD) = 1 ： 2 ： 1 > 则a=1，= 4- 1 = 3，2 .同类变式题:如图，直线y =、 +2交坐标轴于点4、B,双曲线歹=勺交直线48于点C、D. x若C0 = 2/8,则A的值为;3 .难题展示(中国数学教育名师讲堂481230254,每日一题第8题，2017/3/29)如图，点/(2, 2), B, C在双曲线上，N比1C

22、= 45",分别交x, j，轴于。，F ,4C分别交x,尸轴于。，E .(1)求Adoe的面积：(2)求证:Szde = Sgj可形明x -4 .原创清新小题和近年的中考题：(1)如图1, AB=BC, A/O8的面积为3,则左的值为.如图2,点乂，8在双曲线旷=勺上运动，轴，AC = BC. x在运动过程中，A46C的面积是不是定值？答：:若A = 2jl,且A/8C是正三角形，则点4的坐标为如图3, UOABC中,N3 = 60。，。/ = 3,双曲线经过点C和乂6中点。，则该双曲线的解析式为.1 1k如图4,直线,=入与y =入+ 3分别与双曲线y =交于点/、B, OA =

23、2BC.2 2x图1图2图3图4（5）（十堰）如图5,正氏1。8的边长为5,双曲线=月经过点C、D,且C0J,O8, x则k的值为.（6）如图6,双曲线y = *与直线y =+ b交于点C、D.x（原创、铺垫）若加=一 nG、b = 6,且46 = y/3CD ,则k =:（常州模拟改编）若6 = 6,且A8 = CD,贝麟?=;（杭州模拟改编）若加=/，且。7。= 8,贝1味=.2（7）（据上题改编）如图7,2为双曲线j，= 上的动点，过点尸作矩形806,直线CO的解析式为y = 2x + b ,交矩形边于时，N ,则DM =.图1图1图319五、面积比、边比互转L（原创、铺垫）如图1，直线

24、y = ±x与双曲线y = 9交于点d,。为双曲线上一点, 2x射线。4交_，轴于点。，若Acod的面积为9,则点C坐标为；a£（成都）如图1，直线y = x与双曲线y = 交于点/、8,。为双曲线上一点， 2x射线C/交方轴于点。，若所。的而积为20,则点c坐标为.2 .（无锡）如图2, X8_Lx轴，8Cx轴，双曲线过点C、D ,且。：。8 = 1：2,已知AOBC的面积为3,则上的值为.o13 .（宁波）如图3,正属。8的顶点/在双曲线y =上，双曲线），=一与边8交于点C， xx连接8C,贝IJAJ8c的面积为.44 .（丽水）如图4,双曲线* =与直线y = -x

25、 + 6交于点/、B , ziE_Lx轴，设点/的 x横坐标为机.用含加的式子表示b =:若AdO厂与四边形8CE尸的而积和为4,则"=.5 .如图5,双曲线y =与与直线y = mx + b交于点C、 x（常州模拟）若6 = 6,且Sz0A = 氐，则:（改编自）若左=6、团=-JJ,且/b = 2c。，则-图6图7图8196 .如图6,轴，C为四中点，延长0c到E,延长CM到。，若双曲线>> =与恰 x好经过点。，E ,且OC = CE,则。1：。=.7 .如图7,双曲线y ="过点/, B , y ="过点c, D ,若/C, 8。均与X轴平行，

26、 XXac = 6, BD = 4,且它们之间的距离瓦'长为5,则仁1一2=.L8 .如图8,直线48交双曲线y = 2卜点C , D ,若S&05 = 8，则%50c =.9 .如图，点乂在双曲线），=一上，轴，AD = 2CD > 08延长线交p轴于E,若 xA5CE的面积为4,则左的值为.10 .如图，点/、8在双曲线y = 4上，4cl%轴，8D_Lx轴，垂足C、。分别在x轴的 x正半轴和负半轴上，CD = k ,的2倍，则k的值为六、反比例函数图象中的“一线三等角”构造，初探黄金比例L如图1, A48C中，OB = BA , NO8/ = 90°,双曲

27、线y = 2经过点月、8,且点B的 x纵坐标为2,则A的值为.（1）剖析：对于坐标系中的一个直角，若两条边均“倾斜”，我们经常构造“K”形全等或相似，即“一线三等角”模型，或叫“矩形大法”，见图2,得m = d5-L（2）后感：我们可以发现，矩形ODCE恰好是一个“黄金矩形”，这到底是一种偶然的巧合，还是一种必然的存在呢？这有待于我们进一步探究探究（2016临沐模拟）：如图3,双曲线y =与与矩形8c七的边交于点月，8,若设点8的坐标为（a, b）,且有。8 = 48, OB Lab,则a"=2.类似题：（2015临海模拟-填空压轴题）如图，OA = AB. NOH8 = 90。，双

28、曲线y =勺经过 x点人双曲线y =土经过点8,已知点片的纵坐标 x为-2,则 =，点8的坐标为.（个人原创）如图2, Ai8c中，OB = BA、NO84 = 90。,kk + 1双曲线y = 上经过点B,双曲线，经过点4,且XX点8的纵坐标为2,则上的值为.3.难题展示（常州于新华老师原创题）如图1,点月（3, 4）, 8均在双曲线，= £上，过点力作）轴垂线，过点8作x轴x垂线，两垂线交于点P，垂足分别为E, F,将88沿48翻折，点P恰好落在x轴上的点。处.求点8的坐标.如图2,点月（3, 4）, 8均在双曲线p = £上，过点片作y轴垂线，过点8作x轴x垂线，两垂

29、线交于点P，垂足分别为E，F ,将88沿翻折，点P恰好落在X轴上的点。处.求点8的坐标.4.如图，矩形48co的边疑的解析式为尸=h +2,若tanZADB = 2,则点。的坐标为:连接。c, OD,若乙。是等边三角形，贝 ij tan 408 =.顶点C,。在双曲线y = 上.后感：若能发现3 = 08,本题将更简单！19拓展：如图，正方形X8C。的顶点月、8在双曲37线丁 = 一上，C、。在双曲线y =上， xx则正方形的面积为.5.（2013湖州模拟）如图1,矩形O4BC的顶点B在y双曲线歹=勺上，若点月（1, 2）,则点B的坐标为. x6 .如图2,矩形48C。中，= 点/ （0, 1）,点C,。在双曲线y =勺上，若E为 x月8中点，则A的值为.图1图2图319图1图227 .如图1,点心8在双曲线丁 = 一上运动，以48为底