2021版教材课后习题答案4_7章

1、P78第四章3. 物体按规律x= ct3在流体媒质中作直线运动，式中 c为常量，t为时间.设媒质对物体 的阻力正比于速度的平方，阻力系数为 k,试求物体由x= 0运动到x= I时，阻力所作的功.解：由x= ct3可求物体的速度:dx dt3ct2物体受到的阻力大小为：力对物体所作的功为：IW dW =022 4f kv 9kc t9k3/3dx =27kc%l%79kc'3x434. 一人从10 m深的井中提水.起始时桶中装有10 kg的水，桶的质量为 1 kg ,由于水桶漏水，每升高1 m要漏去0.2 kg的水求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功.解：选竖直向上为坐标y轴的正方向，

2、井中水面处为原点.由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力F等于水桶的重量即:F=P=P0 ky mg 0.2gy=107.8 1.96y(SI)3 分人的拉力所作的功为：H10W= dW 0 F d y = ° (107.8 1.96y)dy =980 J 2 分12t i (SI)的作用下，从静止出发沿 x轴正向作直线运动,F d r 12tv dt5. 质量m= 2 kg的质点在力 求前三秒该力所作的功.解：而质点的速度与时间的关系为所以力F所作的功为V0tadt0：12t(3t2)dt'-dt0 m3112tdt0 2336t3dt=7293t206.如下图，质量m为0

3、.1 的轻弹簧碰撞，木块将弹簧由原长压缩了 摩擦系数解：根据功能原理，木块在水平面上运动时,能的增量由题意有kg的木块，在一个水平面上和一个劲度x = 0.4 m.假设木块与水k为0.25，问在将要发生碰撞时木块的速率v为多少？摩擦力所作的功等于系统(木块和弹簧)机械1mv2fr x 1 kx22kmg由此得木块开始碰撞弹簧时的速率为另解根据动能定理，摩擦力和弹性力对木块所作的功,kxdx 01 mv22kmgx 0其中系数k为20 N/m平面间的滑动2kx2v 2 kgxm=5.83 m/s等于木块动能的增量，应有1kxdx kx27.物体与斜面间的摩擦系数=0.20，斜面固定，倾角=45

4、° .现给予物体以初速率 v o = 10 m/s，使它沿斜面向上滑，如下图求：(1) 物体能够上升的最大高度h;(2) 该物体到达最高点后，沿斜面返回到原出发点时的速率v .1 2解：根据功能原理，有fs - mv2 mgh2Nhcos1 2fsmghsinmgh ctgmv 0 mghsinh2v。2=4.5 m2g(1ctg)(2)根据功能原理有mgh1 2 -mv2fs12 mvmghmgh ctg21v2gh(1ctg)2 =8.16 m/s2分2分2分1分1分2分& 一链条总长为I,质量为m,放在桌面上，并使其局部下垂,下垂一段的长度为a.设链条与桌面之间的滑动摩

5、擦系数为.令链条由静止开始运动，那么(1) 到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？(2) 链条刚离开桌面时的速率是多少？解：(1)建立如图坐标.某一时刻桌面上全链条长为y,那么摩擦力大小为mf摩擦力的功Wf0lafdym-pgydymg2I yIWp =I mgPdx =dmg(I2 a2)xdxaa I2I由上问知Wfmg(Ia)22I所以mg(I2a2)mg212(I a)mv2I2I2得vgI (I2a2)(I a)21212 12 以链条为对象，应用质点的动能定理刀W= - mvmv02 2 其中刀W=Wp+ Wf , v0 = 01分2分2分1分2分2分圆周的半径 R=

6、l ,如下图.求弹性力9劲度系数为k、原长为I的弹簧，一端固定在圆周上的A点,弹簧的另一端点从距 A点2l的B点沿圆周移动1/4周长到C点,在此过程中所作的功.解：弹簧长为 AB时，其伸长量为X121 111分弹簧长为AC时，其伸长量为X2211 C. 21)11分弹性力的功等于弹性势能的减少WEp1EP21 kx12kxf2分22 2!ki221 ( . 21)2(21)k121分m的质点在Oxy平面上运动，其位置矢量为10.质量为Ekb=1 2 mv x21 22mVy1m2ia2 2Fmaxi mayj =ma 2 cos t imb2 sint jWx0Fxdx0m2acostdx=0

7、m2xdx1 2 2maaaa2Wybb2. tdy =b2 .1 2 2°Fydym0bsi nm0ydymb2由At B2分2分2分2分r a cos t i bsin t j(si)式中a、b、 是正值常量，且 a>b.(1)求质点在A点(a, 0)时和B点(0, b)时的动能；求质点所受的合外力F以及当质点从A点运动到B点的过程中F的分力Fx和Fy分别作的功.解：(1)位矢r acos t i bsin t j (si)可写为x acos t , y bsin tv xdxasint ,Vy矽bcos tdtdt在A 点(a,0),cost1,sin t012 1 21

8、 2 22分Eka=mvX- mV ymb22 y2在B 点(0,b),cost0,sin t111.某弹簧不遵守胡克定律设施力F，相应伸长为X,力与伸长的关系为 F = 52.8 x + 38.4 x2 ( SI)求：(1)将弹簧从伸长X1 = 0.50 m拉伸到伸长x2= 1.00 m时，外力所需做的功.(2) 将弹簧横放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一个质量为2.17 kg的物体，然后将弹簧拉伸到一定伸长X2= 1.00 m,再将物体由静止释放，求当弹簧回到X1 = 0.50 m时，物体的速率.(3) 此弹簧的弹力是保守力吗？ 解：(1)外力做的功WF dx3分1分X2(52.8x

9、X1=31 J238.4x )dx(2)设弹力为F'1 2X1'X1mv2F dxFdx W2X2X212如下图，悬挂的轻弹簧下端挂着质量为mm2的两个物体，开始时处于静止状态.现在突然把m1与m2间的连线剪断，求 m1的最大速度为多少？设弹簧的劲度系数 k= 8.9 x 104 N/m, m1 = 0.5 kg, m2= 0.3 kg . 解：以弹簧仅挂重物 mi时，物体静止(平衡)位置为坐标原点，竖直向下为 y轴正向，此时弹簧伸长为：l1 = m 1 g / k再悬挂重物m2后，弹簧再获得附加伸长为l2= m2 g /k当突然剪断连线去掉 m2后，m1将上升并开始作简谐振动

10、，在平衡位置处速度最大根据机 械能守恒，有舟皿 I2)2 ggl2 =討尤2分将、代入得Vmm2 1(mk) 0.014 m/s1分13用劲度系数为 k的弹簧，悬挂一质量为m的物体，假设使此物体在平衡位置以初速v突然向下运动，问物体可降低到何处？解：取物体在平衡位置时，重力势能Ep = 0，设平衡时弹簧的伸长量为 x0，那么物体开始向下运动的一瞬间，机械能为设物体刚好又下降E1x距离的一瞬间速度为零丄kx2 mv22 2(不再下降)，那么该瞬时机械能为E2 k(x0 x)2 mgx 2物体运动过程中，只有保守力作功，故系统的机械能守恒：12 12 12kx0 mvk(x0 x) mgx2 2

11、2把kx0 = mg代入上式，可解得：x v m k1分1分2分1分=5.34 m/s(3) 此力为保守力，因为其功的值仅与弹簧的始末态有关.P103第五章3一飞轮以等角加速度 2 rad /s2转动，在某时刻以后的5s飞轮转过了 100 rad 假设此飞轮是由静止开始转动的，问在上述的某时刻以前飞轮转动了多少时间？解：设在某时刻之前，飞轮已转动了tl时间，由于初角速度那么而在某时刻后t2 =5 s时间，转过的角位移为1 tlt；将量100 rad, t2 =5s,2 rad /s2代入式，得i = 15 rad /s从而ti =1/7.5 s即在某时刻之前，飞轮已经转动了7.5 s.1分2分

12、1分1分4有一半径为 R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为 绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度3 0开始旋转，它将在旋转几圈后停止?1 2mR2，其中m为圆形平板的质量2的环带面积上摩擦力矩为圆形平板的转动惯量解：在r处的宽度为drdM总摩擦力矩口，假设平板故平板角加速度设停止前转数为n,那么转角 由可得2 2 r rdr3分2 dMmgR1分3=M /J1分14 Mn / J2分3R 2/16冗 g1分0n20=22RR5.如下图，转轮 A、B可分别独立地绕光滑的固定轴 量分别为 mA= 10 kg和mB= 20 kg ,半径分别为a和b. 向下拉绕在轮上的细绳且使绳

13、与轮之间无滑动为使 加速度相同，相应的拉力fA、fB之比应为多少？其中A、1 2 1 2的转动惯量分别为 JAmAr：和JBmBr；2 2解：根据转动定律fAA = J A1 2mAA，且21 2mBB .要使A、B轮边上的切向加速度相同,2其中Ja其中Jb由、式，有由式有将上式代入式，得fBB = J B BO转动，它们的质 现用力fA和fB分别 A、B轮边缘处的切向B轮绕O轴转动时fAB应有a = r a a = r b bJ A rBAmArA AJ B rABmBrB BA / B = rB / rAfA / fB = mA / mB =6.质量为 m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端

14、绕在一轮轴的轴上，如 图所示轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承之上当物体从静止释放后，在时间t下降了一段距离 S.试求整个轮轴的转动惯量(用m、r、t和S表示).解：设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T,那么根据牛顿运动定律和转动定 律得：m、mg-T = ma由运动学关系有:由、式解得： 又根据条件V0= 01 . 2S一 at ,2T r = Ja =J= m( g a) r2 / aa = 2S/ t22分代入式得：J= mr2(9L 1)2S2分T Aamg屮F = 0.5t (SI)7.定滑轮半径为 0.1 m,相对中心轴的转动惯量为沿切线方向作用在滑轮的

15、边缘上，如果滑轮最初处于静止状态，忽略轴承的摩擦.试求它在1 s末的角速度.解：根据转动定律M = Jd / dt即d = (M / J) dt其中 M = Fr, r = 0.1 m , F = 0.5 t, J= 1 x 10 3 kg m2,分别代入上式，得 d = 50t dt11 =50t dt = 25 rad / s0那么1 s末的角速度ml2,其& 一长为1 m的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动抬起另一端使棒向上与水平面成 60°,然后无初转速地将棒释放.棒对轴的转动惯量为 中m和I分别为棒的质量和长度.求：(1) 放手时棒的角加速度；(2)

16、 棒转到水平位置时的角加速度.解：设棒的质量为 m,当棒与水平面成 60°角并开始下落时，根据转 动定律M = J1分其中M1mglsi n30 mgl/41分于是M7.35 rad/s21分J4l当棒转动到水平位置时，M :1 =mgl1分2那么M3g 14.7 rad/s21分J 2l最大静摩擦，仍处于平衡状态不稳定的.1分N1 f = 0,N2- P = 01分N1 h Px ctg = 01分f= N21分解得x h tgh2 / . L2h21分9.长为L的梯子斜靠在光滑的墙上高为 h的地方，梯子和地面间的 静摩擦系数为，假设梯子的重量忽略，试问人爬到离地面多高的地方， 梯

17、子就会滑倒下来？解：当人爬到离地面 x高度处梯子刚要滑下，此时梯子与地面间为转动周期为To.如10.有一半径为R的均匀球体，绕通过其一直径的光滑固定轴匀速转动,1它的半径由R自动收缩为-R，求球体收缩后的转动周期.球体对于通过直径的轴的转动2惯量为J = 2mR2 / 5，式中m和R分别为球体的质量和半径 .11. 一匀质细棒长为 2L,质量为m,以与棒长方向相垂直的速度 ' 在光滑水平面平动时，与前方一固定的光滑支点 O发生完全非弹性碰1 一撞.碰撞点位于棒中心的一侧 L处，如下图.求棒在碰撞后的瞬2时绕O点转动的角速度.细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时1 2的转动惯量为 -ml

18、 ，式中的m和I分别为棒的质量和长度.3解：碰撞前瞬时，杆对 O点的角动量为3L/2vo-L八UWLwvoOVovoxd xL/2voxd xVoL21 mv2式中为杆的线密度.碰撞后瞬时,杆对O点的角动量为解：球体的自动收缩可视为只由球的力所引起，因而在收缩前后球体的角动量守恒.1分设Jo和o、J和分别为收缩前后球体的转动惯量和角速度，那么有Jo 0 = J2分由条件知：Jo = 2mR2 / 5, J = 2m(R / 2)2 / 5代入式得=4 o1分即收缩后球体转快了，其周期T22To1分T4 04周期减小为原来的1 / 4.mL212因碰撞前后角动量守恒,所以7mL2mvo L/12

19、 - 2=6vo / 7L的轻杆，两端各固定质量分别为m和2m的小112.如下图，长为I2m球，杆可绕水平光滑固定轴 O在竖直面转动，转轴O距两端分别为-l3O1Vo2和I轻杆原来静止在竖直位置今有一质量为m的小球，以水平速度 V。与杆下端小球31 、 、 m作对心碰撞，碰后以v 0的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度.13. 一半径为25 cm的圆柱体，子圆柱体初角速度为零，现拉绳的端点，使其以 对滑动.(1)(2)(3)2解：将杆与两小球视为一刚体,水平飞来小球与刚体视为一系统.由角动量守恒得1分mv02lv 21m 0J(逆时针为正向)2分32 3又J/2l 21 、2m()2m(_

20、)1分33将代入得3v 01分21可绕与其中心轴线重合的光滑固定轴转动.圆柱体上绕上绳1 m/s2的加速度运动.绳与圆柱外表无相试计算在 t = 5 s时圆柱体的角加速度，圆柱体的角速度，如果圆柱体对转轴的转动惯量为2 kg -m2,那么要保持上述角加速度不变 ，应加的拉力为多少？ 解：(1)圆柱体的角加速度=a / r = 4 rad / s2根据t 0 t,此题中0 =0 ,那么有t = tt 5 tt 520 Msfr = Jf= J / r= 32 N(3)根据转动定律 贝U那么圆柱体的角速度14.一台摆钟每天快1分27秒，其等效摆长I = 0.995 m ,摆锤可上、下移动以调节其周

21、期.假 如将此摆当作质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，那么应将摆锤向下移动多少距离， 才能使钟走得准确？解：钟摆周期的相对误差T / T =钟的相对误差t / t等效单摆的周期T 2 . I/g，设重力加速度g不变，那么有2dT / T =d l / l令 T = dT, l = dl，并考虑到 T / T = t / t，那么摆锤向下移动的距离87l = 2l t / t = 2 0.995mm = 2.00 mm86400即摆锤应向下移 2.00 mm，才能使钟走得准确.P124第六章3. 一体积为V。，质量为m。的立方体沿其一棱的方向相对于观察者A以速度v运动.求:观察者A测得其密度是

22、多少？解：设立方体的长、宽、高分别以X0 , y0, Z0表示，观察者A测得立方体的长、宽、高分别2 vy yo, zzo.相应体积为2 v观察者A测得立方体的质量mo故相应密度为mo2_vVo(1)c4. 一艘宇宙飞船的船身固有长度为Lo =90 m,相对于地面以v速度在地面观测站的上空飞过.(1) 观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？(2) 宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少？ 解：(1)观测站测得飞船船身的长度为I2LLo、1 (v /c)54 m贝 Vti = L/v =2.25 X 1O-7 s(2)宇航员测得飞船船身的长度为Lo,那么-7t2 = Lo/v =3.

23、75 X 10 s0.8 c (c为真空中光速)的匀5. 一电子以v 0.99c (c为真空中光速)的速率运动.试求:(1)电子的总能量是多少？电子的经典力学的动能与相对论动能之比是多少?me=9.11 X 10-31kg)解:(1)E mc2mec2/ .1 (v /c)2=5.8 X 10-13 J(2)1 2Ek ome v =24.01 X 10-14 J2Ek mc m°c2(1八1 (v/c)2)1mec2 = 4.99X 10-13 JEk o/Ek8.04 X 10-2(电子静止质量P150第七章振幅是12 cm,在距平衡位置 6 cm处速度是24 cm/s.3. 一

24、物体在光滑水平面上作简谐振动, 求(1) 周期T;(2)当速度是12 cm/s时的位移.解：设振动方程为 x A cos t，那么vA sin t(1) 在 x = 6 cm , v = 24 cm/s 状态下有6 12 cos t2412 sint解得 4/ 3 , T 2 /.3 /2s 2.72 s(2) 设对应于v =12 cm/s的时刻为t2，那么由v A sin t 得1212 (4/ . 3) sin t2,解上式得sin t20.1875相应的位移为x Acos t2A 1 sin2 t210.8 cm4.一质点作简谐振动，其振动方程为解: (1)势能 WPIkx2总能量EkA

25、2221 2由题意，一kx2kA2 /4,Ax 224.24 10 m(2)周期T =:2 / = 6 s从平衡位置运动到 xA2的最短时间t为 T/8.t =0.75 s.5.在一轻弹黄下端悬挂 mo = 100 g砝码时，弹黄伸长 g的物体，构成弹簧振子.将物体从平衡位置向下拉动 度(令这时t = 0).选x轴向下，求振动方程的数值式.0 19 8解:k = mog / lN/m 12.250.082 1 1x 6.0 10 cos( t ) (SI)34(1) 当x值为多大时，系统的势能为总能量的一半？(2) 质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少?8 cm.现在这根弹黄下端悬挂

26、m = 2504 cm,并给以向上的 21 cm/s的初速/m.k/m、12.25 s1 7s1X 0.25A .X。2vo / 2J42 C21)2 cm0.75 cm2分xtgv 0/(X0)(21)/(4 7)3/4 ,=0.64 rad3分x 0.05cos(7t0.64)(SI)1分6.质量m = 10 g的小球与轻弹簧组成的振动系统，按x 0.5cos(8 t £ )的规律作自由振动，式中t以秒作单位，x以厘米为单位，求(1)振动的角频率、周期、振幅和初相；(2)振动的速度、加速度的数值表达式;振动的能量E;(4)平均动能和平均势能.解：(1)A = 0.5 cm ;=

27、8 s-1; T = 2 / = (1/4) s;= /3(3)(4)平均动能同理EEk10 2 sin(8 t32Ep2 101kA2T1 -Ek (1/T) mv 02T1(1/T) 2m( 40 2dt103)2 cos(3 t 1!m 2A222 2 2)sin (8-51匸=3.95 X 10 5 J = E21 -5Ep- E = 3.95X 10 5 J2(SI)(SI)=7.90 X 10-5 J3 )dt7.在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长10 = 1.2 cm而平衡.再经拉动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 2 cm的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位

28、移处开始计时，写出此振动的数值表达式.解：设小球的质量为 m,那么弹簧的劲度系数k mg/lo.选平衡位置为原点，向下为正方向小球在x处时，根据牛顿第二定律得mg k(l0 x) md2 x/dt2将 k mg/lo代入整理后得d2x/dt2 gx/l000+xIX-<xI此振动为简谐振动，其角频率为.3分.g/l028.58 9.12 分设振动表达式为x Acos( t )由题意：t = 0 时，X。= A= 2 10 2 m, V0 = 0 ,解得=01分x 2 10 2 cos(9.1 t)2 分8. 在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为100 g的物体，当物体处于平衡状态时，再对物体

29、加一拉力使弹簧伸长，然后从静止状态将物体释放物体在32 s完成48次振动，振幅为 5 cm.(1) 上述的外加拉力是多大？(2) 当物体在平衡位置以下 1 cm处时，此振动系统的动能和势能各是多少？解一：(1)取平衡位置为原点，向下为 x正方向设物体在平衡位置时弹簧的伸长量为I,那么有mg k l ,加拉力F后弹簧又伸长X0,那么F mg k( l Xo)0F= kxo99*那么 A . Xo (Vo/ )Xo32又由题给物体振动周期 T 一s,可得角频率2 .,k m48TFkA2 2(4 m/T )A0.444 N(2)平衡位置以下1 cm处：v2(2/T)2(A2 x2)Ek1 2 mv

30、21.0710 2 J12 1/2,十2、 2Ep -kx p 2(4 m/T)X=4.44 x 104 J2解得由题意，t = 0 时 Vo = 0； x = xokF2 mkA4m2 2=1.5 HzF =0.444 N总能量E丄kA21 FA 1.1110 2 J22X =:1 cm 时，x :=A/5, Ep占总能量的1/25,Ek占 24/25Ek(24/25)E1.0710 2J,EpE/254.44104J解二：(1)从静止释放，显然拉长量等于振幅A ( 5 cm),2分2分1分2分2分1分2分2分1分2分2分1分9. 一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为X1 =

31、5 x 1o-2cos(4t + /3) (SI) , X2 =3 x 1o-2sin(4t - /6) (SI) 画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程.解:X2 = 3 x 10-2 Sin(4t- /6)=3 x 10-2cos(4t - /6- /2)=3 x 10-2cos(4t - 2 /3).作两振动的旋转矢量图，如下图. 由图得：合振动的振幅和初相分别为A = (5- 3)cm = 2 cm ,= /3 .合振动方程为x = 2 x 10-2cos(4t + /3) (SI) 1 分10. 一轻弹簧在60 N的拉力下伸长30 cm .现把质量为4 kg的物体悬挂在该弹簧的

32、下端并 使之静止，再把物体向下拉10 cm，然 后由静止释放并开始计时.求(1)物体的振动方程;物体在平衡位置上方 5 cm时弹簧对物体的拉力;5 cm处所需要的最短时间.(3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方 解:k = f/x =200 N/m ,2分(如下图)，k / m 7.07 rad/s(1)选平衡位置为原点，x轴指向下方 t = 0 时， xo = 10Acos , vo = 0 = - A sin . 解以上二式得A = 10 cm ,= 0.振动方程 x = 0.1 cos(7.07t) (SI)(2)物体在平衡位置上方5 cm时，弹簧对物体的拉力f = m(g

33、- a )，而 a = - 2x = 2.5 m/s2f =4 (9.8 2.5) N= 29.2 N(3)设ti时刻物体在平衡位置，此时x = 0，即卩0 = Acos ti 或 cos ti = 0./此时物体向上运动，v < 0ti = /2, t1= /2= 0.222 s再设t2时物体在平衡位置上方5 cm处，此时x = -5,即-5 = Acos ti, cos ti = 1/2v < 0,t2 = 2 /3 ,t2=2 /3 =0.296 st = ti-t2 = (0.296 0.222) s = 0.074 sii. 一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点(t = 0 ),经过2秒后质点第一次经过 B点，再经过2秒后质点第二次经过 B点,假设该质点在 A、B两点具有相同的速率，且AB = i0 cm求：(1) 质点的振动方程；(2) 质点在A点处的速率.解：由旋转矢量图和|va|