电子自旋华南师范大学物理与电信工程学院

1、第九章第九章 电子自旋电子自旋（一）（一）Stern-GerlachStern-Gerlach 实验实验 ( (二）光谱线精细结构二）光谱线精细结构 （三）电子自旋假设（三）电子自旋假设 （四）回转磁比率（四）回转磁比率1 1 电子的自旋电子的自旋（1 1）实验描述）实验描述Z处于处于 S S 态的态的氢原子氢原子（2 2）结论）结论I I。氢原子有磁矩。氢原子有磁矩 因在非均匀磁场中发生偏转因在非均匀磁场中发生偏转IIII。氢原子磁矩只有两种取向。氢原子磁矩只有两种取向 即空间量子化的即空间量子化的S S 态的氢原子束流，经非均匀磁场态的氢原子束流，经非均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分

2、立线。发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。NS（一）（一）Stern-GerlachStern-Gerlach 实验实验（3 3）讨论）讨论中中的的势势能能为为：向向外外场场则则原原子子在在，外外磁磁场场为为设设原原子子磁磁矩矩为为BZBM coszMBBMU 原子原子 Z Z 向受力向受力 coszBMzUFzz 分析分析若原子磁矩可任意取向，若原子磁矩可任意取向， 则则 coscos 可在可在 （-1-1，+1+1）之间连续变化，）之间连续变化，感光板将呈现连续带感光板将呈现连续带但是实验结果是：出现的两条分立线对应但是实验结果是：出现的两条分立线对应 coscos = -1 = -1 和

3、和 +1 +1 ，处于，处于 S S 态的氢原子态的氢原子 =0=0，没有轨道，没有轨道磁矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩，即自旋磁矩。磁矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩，即自旋磁矩。3p3s58933p3/23p1/23s1/2D1D258965890钠原子光谱中的钠原子光谱中的一条亮黄线一条亮黄线 5893 5893，用高分辨率的光谱仪观用高分辨率的光谱仪观测，可以看到该谱线其测，可以看到该谱线其实是由靠的很近的两条实是由靠的很近的两条谱线组成。谱线组成。其他原子光谱中其他原子光谱中也可以发现这种谱线由更也可以发现这种谱线由更细的一些线组成的现象，细的一些线组成的现象，称之为光谱线

4、的精细结构。称之为光谱线的精细结构。该现象只有考虑了电子的该现象只有考虑了电子的自旋才能得到解释自旋才能得到解释（二）光谱线精细结构（二）光谱线精细结构UhlenbeckUhlenbeck 和和 GoudsmitGoudsmit 1925 1925年根据上述现象提出了年根据上述现象提出了电子自旋假设电子自旋假设（1 1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：的投影只能取两个数值：2 zSS（2 2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为：）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为：SceMS 自旋磁矩，在空

5、间任何方向上的投影只能取两个数值：自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：)(2CGSMceMBzS Bohr Bohr 磁子磁子（三）电子自旋假设（三）电子自旋假设（1 1）电子回转磁比率）电子回转磁比率LceML 2 我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：ceSMzzS （2 2）轨道回转磁比率）轨道回转磁比率则，轨道回转磁比率为：则，轨道回转磁比率为：ce 2 可见可见电子回转磁比率是轨道电子回转磁比率是轨道回转磁比率的二倍回转磁比率的二倍（四）回转磁比率（四）回转磁比率2 2 电子的自旋算符和自旋波函数电子的自旋算符和自旋波函数自旋角动

6、量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释。 自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学量有着根本的差别通常的力学量都可以表通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数示为坐标和动量的函数),(prFF 而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。与其他力学量一样，自旋角动量与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算符描写，记为也是用一个算符描写，记为S自旋角动量自旋角动量 轨道角动量轨道角动量 异同点异同点与坐标、动量无关与坐标、动

7、量无关pr 不适用不适用同是角动量同是角动量满足同样的角动量对易关系满足同样的角动量对易关系（一）自旋算符（一）自旋算符yxzyxzxzyxzyzyxzyxSiSSLiLLSiSSLiLLSiSSLiLLSiSSLiLLSL, 自自旋旋角角动动量量轨轨道道角角动动量量由于由于自旋角动量自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取在空间任意方向上的投影只能取 /2 /2 两个值两个值所以所以zyxSSS的本征值都是的本征值都是 /2/2，其平方为，其平方为 /2/22 22S算符的本征值是算符的本征值是2432222zyxSSSS仿照仿照22) 1( llL2124322) 1(sssS自旋量子数自旋

8、量子数 s s 只有一个数值只有一个数值（2 2）PauliPauli 算符算符1. Pauli 算符的引进算符的引进 2 S令令 zzyyxxSSS 222分量分量形式形式 2iSiSS 对对易易关关系系：因为因为S Sx x, S, Sy y, S, Sz z的本征值都是的本征值都是 /2/2， 所以所以x x,y y,z z的本征值都是的本征值都是1 1； x x2 2,y y2 2,Z Z2 2 的本征值都是的本征值都是 。1222zyx yzxxzxyzzyzxyyxiii 222分分量量形形式式：2. 2. 反对易关系反对易关系基于基于的对易关系，可以证明的对易关系，可以证明 各分

9、量之间满足反对易关系各分量之间满足反对易关系: : 000zxxzyzzyxyyx 证：证：我们从对易关系我们从对易关系:xyzzyi2出发出发左乘左乘y yxyyzyzyyi 2 xyyzyzyi 22 xyyzyzi 2 右乘右乘y yyxyzyzyi 22 yxzyzyi 2 二式相加二式相加0 xyyx 同理可证同理可证:x, y 分量的反对易分量的反对易关系亦成立关系亦成立. 证毕证毕 xyyx 或或由对易关系和反对易关系还由对易关系和反对易关系还可以得到关于可以得到关于 PauliPauli 算符算符的如下非常有用性质：的如下非常有用性质： yzxxzxyzzyzxyyxiii y

10、2=13. Pauli3. Pauli算符的矩阵形式算符的矩阵形式根据定义根据定义 1001100122zzzS 求求 Pauli 算符的算符的 其他两个分量其他两个分量令令 dcbax 利用反对易利用反对易关系关系zxxz 10011001dcbadcba得得： dcbadcba 00daX 简化为：简化为： 00cbx 0000*2ccccx 22|00|ccI1|2 c令：令：c = expi c = expi (为实），则为实），则 00 iixee 000000*cbbccbxx 得：得：b = c*(或或c = b*) 00*ccx x2 = I求求y 的矩阵形式的矩阵形式出出发发

11、由由xzyxzyii 001001 iiyeei得得： 00)()( iiee这里有一个相位不定性，习惯上取这里有一个相位不定性，习惯上取= 0= 0， 于是得到于是得到 PauliPauli 算符的矩阵形式为：算符的矩阵形式为： 1001000110zyxii 从自旋算符与从自旋算符与 PauliPauli 矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵表示：矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵表示： 1001200201102zyxSiiSS写成矩阵形式写成矩阵形式因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用 (x, y, z) (x, y, z)

12、 三个坐三个坐标变量外，还需要一个自旋变量标变量外，还需要一个自旋变量 (S(SZ Z），于是电子的含自旋的波函数需写为：），于是电子的含自旋的波函数需写为：),(tSzyxz 由于由于 S SZ Z 只取只取 /2 /2 两个值，两个值， 所以上式可写为两个分量：所以上式可写为两个分量： ),(),(),(),(2221tzyxtrtzyxtr 写成列矩阵写成列矩阵 ),(),(21trtr 规定列矩阵规定列矩阵 第一行对应于第一行对应于S Sz z = = /2/2， 第二行对应于第二行对应于S Sz z = - = - /2/2。若已知电子处于若已知电子处于S Sz z = = /2/2

13、或或S Sz z = - = - /2/2的的自旋态，则波函数可分别写为：自旋态，则波函数可分别写为： ),(00),(212121trtr （二）含自旋的状态波函数（二）含自旋的状态波函数（1 1）归一化）归一化电 子 波 函电 子 波 函数表示成数表示成 ),(),(21trtr 矩阵形矩阵形式后，式后，波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标积分，即波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标积分，即 dtrtrd ),(),(21*2*11|2221 d（2 2）几率密度）几率密度 ),(tr 2221| ),(),(21trtr 表示表示 t t 时刻在时刻在 r r 点附近

14、点附近 单位体积内找到电子的几率单位体积内找到电子的几率表示表示 t t 时刻时刻 r r 点处点处 单位体积内找到自旋单位体积内找到自旋 S Sz z= = /2/2的电子的几率的电子的几率表示表示 t t 时刻时刻 r r 点处单位点处单位 体积内找到体积内找到 自旋自旋 S Sz z = = /2 /2 的电子的几率的电子的几率 dtr),(1 在全空间找在全空间找到到Sz = /2的的电子的几率电子的几率 dtr),(2 在全空间找到在全空间找到 Sz = /2 的电子的几率的电子的几率（四）含自旋波函数的归一化和几率密度（四）含自旋波函数的归一化和几率密度波函数波函数 21 这是因为

15、，通常自旋和轨道运动之间是有相互作用的，所以电子的自旋状态对这是因为，通常自旋和轨道运动之间是有相互作用的，所以电子的自旋状态对轨道运动有影响。轨道运动有影响。但是，当这种相互作用很小时，可以将其忽略，则但是，当这种相互作用很小时，可以将其忽略，则1 1 , ,2 2 对对 (x, y, z) (x, y, z) 的依赖一样，即函数形式是相同的。此时的依赖一样，即函数形式是相同的。此时可以写成如下形式：可以写成如下形式：波波函函数数。的的本本征征函函数数，称称为为自自旋旋是是其其中中zzzzSSStrtSr)()(),(),( 求：自旋波函数求：自旋波函数(S(Sz z) )S SZ Z 的本

16、征方程的本征方程)(2)(zzzSSS 令令的的自自旋旋波波函函数数，即即和和分分别别为为本本征征值值和和22)()(2121 zzSS )(2)()(2)(21212121zzzzzzSSSSSS 一般情况下，一般情况下，1 1 2 2，二者对，二者对(x, y, z)(x, y, z)的依赖是不一样的。的依赖是不一样的。（五）自旋波函数（五）自旋波函数)()()()(21212121zzzzzzSSSS21212/12/11001)()(ccccSSzzz1|1)(| )(0)(|212/12/112/1cSScSzzz01)(12/11zScsimilarly10)(2/1zSiForForyx1211121平均值的计算FFFF例: 平均值。的可能值，相应概率和中，求在态z112110)(;01)(2/12/1zzSS22/12|kkcpzz粒子在电磁场中的运动: Pauli方程qAqpmH221经典力学：HtiqAqpmH212量子力学：无自旋粒子电子:HtiBmeLSdrdVrcmeAepmH212121222量子力学：不考虑自旋轨道耦合BHHHHss0),(),(),(tstrtsrzz可分离变量:sHtiHti0sssEEEEHEH000磁共振tStSSHyxzsincos1001102titieeH)()(tataHdtdi)(2)(2)(