复变函数课后习题答案

1、习题一解答1求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。（3） (3 + 4i)(2 - 5i) ；（1） 1 ；（2）1 - 3i ；（4）i8 - 4i 21 + i3 + 2ii1 - i2i3 - 2i11=(3 - 2i)解 （1）=3 + 2i(3 + 2i)(3 - 2i)13所以Re =3， Im = -,1123 + 2 i 133 + 2i 13 2 211(=3 + 2i ，= + -=，3 + 2i1311 = arg + 2kArg 3 + 2 i 3 + 2 i = - arctan 2 + 2kp , k = 0,1,2,3（2） 1 - 3i = - i - 3

2、i(1 + i) = -i - 1 (- 3 + 3i) = 3 - 5 i,i1 - ii(- i)(1 - i)(1 + i)222所以Re1 - = 3 ,3ii1 - i 2Im1 - = - 53ii1 - i 2 3 2 5 2 13i3513i342- =+ i，-= + - =， i1 - i 22i1- i 2 2 1 1Arg-= arg-+ 2k3i3i i1 - i i1 - i = - arctan 5 + 2k,k = 0,1,2,.3（3） (3 + 4i)(2 - 5i) = (3 + 4i)(2 - 5i)(- 2i) = (26 - 7i)(- 2i)(2i

3、)(- 2i)2i4= -7 - 26i = - 7 - 13i22所以(4i)()+ - 5i3 2 7= -，Re2i2 2i2(4i)()+ - 3 5i= -Im13 ，11+ 2i(4i)()+ - 3 2 5i7= -+ l3i2i2(3 + 4i)(2 - 5i) = 5 29，2i2Arg (3 + 4 i)(2 - 5 i) = arg(3 + 4 i)(2 - 5i) + 2k = 2 arctan 26 - + 2k2 i2 i7= arctan 26 + (2k -1)p ,k = 0,1,2, .7（4） i8 - 4i21 + i = (i2 )4 - 4(i2 )

4、10 i + i = (- 1)4 - 4(-1)10 i + i= 1 - 4i + i = 1 - 3i所以Rei8 - 4i21 + i= 1, Imi8 - 4i21 + i= -3i8 - 4i21 + i = 1 + 3i ， | i8 - 4i21 + i |=10Arg(i8 - 4i21 + i)= arg(i8 - 4i21 + i)+ 2k = arg(1 - 3i)+ 2k= -arctan3 + 2kk = 0,1,2,.2如果等式 x + 1 + i(y - 3) = 1 + i 成立，试求实数 x, y 为何值。5 + 3i解：由于x + 1 + i(y - 3)

5、 = x + 1 + i(y - 3)(5 - 3i)(5 + 3i)(5 - 3i)5 + 3i= 5(x + 1)+ 3(y - 3)+ i- 3(x + 1)+ 5(y - 3)341=5x + 3y - 4+ i(- 3x + 5y -18) = 1 + i34比较等式两端的实、虚部，得5x + 3y - 4 = 34或 5x + 3y = 38- 3x + 5 y - 18 = 34- 3x + 5 y = 52解得 x = 1, y = 11 。3. 证明虚i 有这样的性质：-i=i-1= i 。4. 证明1) | z |2 = zz#6) Re(z) = 1 (z + z), I

6、m(z) = 1 (z - z )22i2证明：可设 z = x + iy ，然后代入逐项验证。5. 对任何 z ， z2 =| z |2 是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对 z 那些值才成立？解：设 z = x + iy ，则要使 z2 =| z |2 成立有x2 - y2 + 2ixy = x2 + y2 ，即 x2 - y2 = x2 + y2 , xy = 0 。由此可得 z 为实数。6. 当| z | 1 时，求| zn + a | 的最大值，其中 n 为正整数，a 为复数。i arg a解：由于 zn + a |z|n + |a| 1 + |a| ，且当 z = e时，有n

7、arg a n= (1 + a )ei arg a| zn + a| = ei+ |a|eiarg a= 1 + |a|n故1+ | a | 为所求。8将下列复数化成三角表示式和指数表示式。（1）i；（2）-1；（3）1+ 3 i；(cos5j + isin5j )2 2i j + isinj (0 j ) ；（4）1 - cos（5）（6）；(cos3j - isin3j )- 1 + i3i 解：（1） i = cos+ isin= e 2 ；22（2） - 1 = cos + isin = eii 13 3（3）1 + i 3 = 2+ i = 2cos+ isin = 2e 3 ； 2

8、23 2 jjjj jj （4）1- cosj + isinj = 2sin+ i2sincos= 2sinsin+ icos222222i -jj - j - j j2= 2sin+ isin = 2sine, (0 j ) ；cos22 22 11 2i1=2i(-1 - i) = 1 - i = 2- i22（5）- 1 + i2 4=- isin2 cos4 -i 4= 2e(cos5j + isin5j )2(cos3j - isin3j )3= (ei5j ) / (e-i3j ) = ei10j /e-i9j = ei19j23（6）3= cos19j + isin19j9将下列

9、坐标变换公式写成复数的形式：x = x1 + a1,1）平移公式： y = y+ b ;11x = x1 cosa - y1 sin a ,2）旋转公式： y = xsin a + y cosa.11解：设 A = a1 + ib1 ， z1 = x1 + iy1 ， z = x + iy ，则有1） z = z + A ；2） z = z (cosa + i sin a ) = z e 。ai11110一个复数乘以-i，它的模与辐角有何改变？ i Arg z- 解：设复数 z =| z | eiArg z ，则 z(- i) =| z | eiArg z e-i = |z|e22，可知复数的

10、模不变，辐角减少 p 。211证明： | z + z |2 + | z - z |2 = 2(| z |2 + | z |2 ) ，并说明其几何意义。121212证明： | z + z |2 + | z - z=(z + z )(z + z ) + (z - z )(z - z )|21212121212122(z1 z1 + z2 z2 )2(| z |2 + | z |2 )12其几何意义平行四边形的对角线长度平方的和等于四个边的平方的和。12证明下列各题：P(z)1）任何有理分式函数 R(z) =可以化为 X + iY 的形式，其中 X 与Y 为具Q(z)有实系数的 x 与 y 的有理分

11、式函数；2） 如果 R(z) 为 1）中的有理分式函数，但具有实系数，那么 R(z ) = X - iY ；3） 如果复数a + ib 是实系数方程zn + a zn-1 + az + a = 0a n-1n01的根，那么 a - ib 也是它的根。P(z)P(z)Q(z)Re(P(z)Q(z)Im(P(z)Q(z)证1） R(z) = =+;Q(z)Q(z)Q(z)q(x, y)q(x, y)P(z) P(z) P(z )2） R(z ) = X + iY = X - iY ;Q(z )Q(z)Q(z)3）事实上P ( z ) = az n + a z n-1 + az + an-1n014

12、= a0 + a1z + a2 z 2 + an zn = P(z)13如果 z = eit ，试证明11（1） zn += 2 cos nt ；（2） zn -= 2 i sin ntznzn1解 （1） zn += eint + e-int = eint + eint = 2sin ntzn1（2） zn -= eint - e-int = eint - eint = 2 i sin ntzn14求下列各式的值1） ( 3 - i)5 ；1（4） (1 - i)3（2） (1 + i)6 ；（3） 6 - 1 ；（5解 （1） (3 - i)= = (2e-ip / 6 )5 = 32e-

13、i 5p / 6 3i52-2 25 5 = 32 cos - + isin - = -16 3 -16i666 1i = ()6（2） (1+ i)6= 2 +ip /4= 8e= -8i 。3p i/22e)22 16(= ei(2k+1)/6 ,k = 0,1,2,3,4, 5 。可知6 - 1 的 6 个值分别是3 +i+2kp（3） -1 = e6i , eip/2 = i ， eii5p/6 = -3 + ieip/6 =22223 - i3 - i 。ei7p/6 = -， ei 3/ 2 = -i ， ei11/ 4 =22221 = (2e) =i - +2k i 1 113

14、3（4） (1- i)3 =2-i / 464,k = 0,1,2 。32e 2 2可知(1- i)1/ 3 的 3 个值分别是6 2e-ip / 2 = 6p12p- i sin2cos,12 7p127p 6 2ei7p /12 = 62cos+ i sin,12 5p4+ i sin 5p 。6 2ei5p / 4 = 62cos415若(1+ i)n = (1- i)n ，试求 n 的值。52e-ip /4 )n , einp /4 = e-inp /4 ， sin n p = 0 ，2eip /4 )n= (解 由题意即(4故 n = 4k, k = 0, 1, 2,。16（1）求方

15、程 z3 + 8 = 0 的所有根（2）求微分方程 y+8 y = 0 的解。ip (1+2k )1（1） z = (-8)3= 2e 3，k=0,1,2。解即原方程有如下三个解：1 + i 3, -2, 1 - i 3 。（2）原方程的特征方程l3 + 8 = 0 有根l = 1 + 3 i ， l = -2 ， l = 1 - 3i ，故其123形式为y = C e+ e (C cos 3x + C sin 3x)-2 xx12317在平面上任意选一点 z ，然后在复平面上画出下列各点的位置：-z, z , -z , 1 , 1 , - 1 。z zzy1z-zzoxz-z- 11zz18

16、已知两点 z1 与 z2 （或已知三点 z1, z2 , z3 ）问下列各点位于何处？（1） z = 1 (z + z )122（2） z = lz1 + (1 - l )z2 （其中l 为实数）；（3） z = 1 (z + z + z ) 。1233解 令 zk = xk + iyk ,k = 1,2,3 ，则（1） z = x1 + x2+ i y1 + y2，知点 z 位于 z 与 z 连线的中点。12226|z - z1|（2）z = x - (x - x )+ iy - (y - y )，知点位于 z 与 z 连线上 =12221221|z - z |21处。（3） z = 1)+

17、 i (y + y + y ) ，由几何知识知点 z 位于Dz z z 的重心1 2 3312333处。19设 z1, z2 , z3 三点适合条件： z1 + z2 + z3 = 0 ,= 1 。证明z1，z2，z3是内接于= 1的一个正三角形的顶z1z2z3圆 z点。证 由于 z1因为= 1 ，知Dz1z2z3 的三个顶点均在z2z3圆上。2z3= z3 z31 = - (z1 + z2 )- (z1 + z2 ) = z1z1 + z2 z2 + z3 z2 + z1z2= 2 + z1z2 + z1z2所以， z1z2 + z1z2 = -1 ，又2 = (z - z )(z - z

18、) = z z + z z - (z z + z z )z - z1212121 1221 22 1= 2 - (z1z2 + z1z2 ) = 3故z1 - z2=3 ，同理 z1 - z3=z2 - z3=3 ，知Dz1z2z3 是内接于= 1圆 z的一个正三角形。20如果复数z1，z2，z3满足等式z2 - z1z1 - z3=z3 - z1z2 - z3证明 z2 - z1由等式得=z3 - z1=z2 - z3 ，并说明这些等式的几何意义。arg(z2 - z1 ) - arg(z3 - z1 ) = arg(z1 - z3 ) - arg(z2 - z3 )即z2 z1z3 = z

19、1z3 z2 。又因为z2 - z1 = (z2 - z1 ) + (z1 - z3 ) = z2 - z3z3 - z1(z3 - z1 ) + (z2 - z3 )z2 - z1又可得z2 z1z3 = z3 z2 z1 ，所以知Dz1z2 z3 是正三角形，从而z2 - z1=z3 - z1=z2 - z3 。721指出下列各题中点 z 的范围，并作图。（1） | z - 5 |= 6 ；（2） | z + 2i | 1 ；（3） Re(z + 2) = -1 ；（4） Re(iz ) = 3 ；（5） | z + i |=| z - i | ；（6） | z + 3 | + | z +

20、 1 |= 4（7） Im(z) 2 ；（8） 1 ；（9） 0 arg z 0 （见下图（j ）；8z - 3z - 2yyOxOi-2x5(a)(b)y3i-3Ox(c)(d)yy3iix-2zx(f)-iy(e)yy=x+1OixOx5/2(h)(i)(j)22描出下列不等式所确定的区域，并指是有界的还是单连的还是多连的。的，闭的还是开的，（1） Im z 0 ；（3） 0 Re z 4 ；（4） 2 3 ；z（6） -1 arg z -1+ p ；（5） z - 1 z + 3 ；92i(g)（8） | z - 2 | + | z + 2 | 6 ；（10） zz - (2 + i)z

21、 - (2 - i)z 4 。（7） z -1 1；（9）解 （1） Im z 0yxO不包含实轴的上半平面，是（2） z - 1 4的、开的单连通区域。y5O1x圆(z - 1)2 + y2 = 16 的外部（不（3） 0 Re z 1y圆周），是的、开的多连通区域。Ox由直线 x = 0 与 x = 1 所围成的带形区域，不两直线在内，是的、开的y单连通区域。（4） 2 3zO23x10以为中心，2 与 3 分别为内、外半径的圆环域，不圆周，是有界的、开的多连通区域。（5） z - 1 -1yD-1Ox直线 x = -1 右边的平面区域，不（6） -1 arg z （7）yD8/15-17

22、/15xO11中心在点 z = - 17 ，半径为的圆周的外部区域（不8圆周本身在内），是无15界的、开的多连通区域。（8） | z - 2 | + | z + 2 | 615y5o3xx2y2是椭圆+= 1及其围成的区域，是有界的、闭的单连通区域。954z - 2 - | z + 2 | 1 4x2 -y2 1, x 0（9）15yDx1/24是双曲线4x2 -y2 = 1的左边分支的内部区域，是的、开的单连通区域。15（10） zz - (2 + i)z - (2 - i)z 4y12o2x-1是圆(x - 2)2 +（y +1）2 = 9 及其内部区域，是有界的、闭的单连通区域。23证明

23、：z 平面上的直线方程可以写成az + az = C （a 是非零复，C 是实）设 直 角 坐 标 系 的 平 面 方 程 为 Ax + By = C证将x = Re z = 1 (z + z), y = Im z = 1 (z - z) 代入，得22i1 ( A - i B)z + 1 ( A - i B)z = C22令 a = 1 ( A + iB) ，则 a = 1 ( A - iB) ，上式即为 az + az = C 。2224证明复平面上的圆周方程可写成：zz + a z + a z + c = 0, (其中a为复，c为实) 。证 (z + a)(z + a) = R2 zz +

24、 az + az + aa - R2 = 0 ，其中c = aa - R2 为实。25求下列方程（t 是实参数）给出的曲线。（2） z = a cos t + ib sin t ；i（1） z = (1 + i)t ；（3） z = t + i ；（4） z = t 2 +，t 2（6） z = aeit + be-itt（5） z = acht + ibsht（7） z = eat , (a = a + bi为复数)解（1） z = x + iy = (1 + i)t x = t ,- t 。即直线 y = x 。 y = t（ 2 ） z = x + iy = a cos t + ib s

25、in t x = a cos t,0 t 2p ，即为椭圆 y = b sin tx2a2y2+= 1 ；b2 x = ti（3） z = x + iy = t + 1 ，即为双曲线 xy = 1 ；ty =t x = t 2i（4） z = x + iy = t 2 + 1 ，即为双曲线 xy = 1 中位于第一象限中的一 y =t 2t2支。13x = achtx2y2（5） z = acht + ibsht -= 1，双曲线b2y = bshta2x2y2（6）+(a + b)2(a - b)2= 1, 椭圆2a arctan y（7） x2 + y2 = e bx26 函数 w = 1

26、 将 z 平面上的下列曲线变成 w 平面上的什么曲线z(z = x + iy, w = u + iv) ？（1） x2 + y2 = 6 ；（3） x = 1 ；（2） y = x ；（4） (x -1)2 + y2 = 1- y解 w = 1 = 1 =x- iy， u =x, v =，可得zx + iyx2 + y 2x2 + y 2x2 + y2x2 + y2x2 + y2(x2 + y2 )11（1） u + v =，是 w 平面上一圆周；22222x + y4- (- y)（2） u =x=y= -v ，是 w 平面上一直线；x2 + y2x2 + y2x2 + y2- y11（3）

27、由 x = 1，知u =, v =，从而u + v1+ y21+ y222=1+ y2= u1 2 1 2此为 u -+ v2 = 是 w 平面上一圆周；2 2 x= 1 ，于是u = 1 ，是 w 平面上一（4） (x - 1)2 + y 2 = 1 x2 + y 2 = 2x 平行与 v 轴的直线。27已知w = z3 ，求x2 + y 222（1）点 z1 = i ， z2 = 1 + i ， z3 = 3 + i 在 w 平面上的像。p（2）区域0 arg z 在 w 平面上的像。3解 设 z = reiq ，则w = z3 = r 3ei3q 。于是ipip2e 4p4p （1） z1 = i = e 2 , z2 = 1 + i =+ i sin =2cos4 1 ipp6p 3z3 = 3 + i = 2+ i = 2cos+ i sin = 2e 62 26 14经后在 w 平面上的像分别是w = e