现代控制理论习题

1、2 线性系统的运动分析 对系统进行分析的目的，是要揭示系统状态的运动规律和基本特性。通过定量分析，对系统的运动规律进行精确的研究，即定量的确定系统由外部激励作用所引起的响应。通过定性分析，则着重对系统行为和综合系统结构的关键性质：能控性、能观性、稳定性等进行研究。 2.1 基本概念一、基本概念1、运动分析的实质，从数学上看，运动分析的实质是：相对于给定的初始状态和外部输入作用，求解状态方程的解。2、解的存在唯一性定理：对于线性时变系统，“如果系统矩阵和的所有元在时间定义区间上均为的实值连续函数，而输入的元在时间定义区间上是连续实值函数，则状态方程的解存在且唯一”。定理：对于线性时变系统，状态方

2、程的解存在且唯一的条件是：1）的各元在上绝对可积：2）的的各元在上绝对可积：3）的各元在上绝对可积：说明：2）、3）可表示为：。即在上绝对可积。二、系统的响应线性定常系统的运动分析意 义条件作用系统响应零输入响应在外部输入为0的情况下，由初始状态引起的自由运动：零状态响应：在初始状态为0的情况下，由外部输入引起的强迫运动：全响应说明：1）对于非零初始时刻，则系统响应为： 三、矩阵指数函数1、性质：1）2）3）4）5）2、矩阵指数函数的计算：1）定义计算；2）对角计算：单根：已知 ， 重根：已知 ，3）多项计算：4）预解计算：四、状态转移矩阵系统的运动均可理解为一种状态的转移：利用这个概念容易建

3、立起运动规律的统一表达形式。、状态转移矩阵对于，称满足如下矩阵方程：的解阵为系统的状态转移矩阵。2、性质：1）不变性：2）传递性：3）可逆性：4）分解性：5）倍时性：6）微分性：、基本解阵定义：任意选取的个线性无关的解，并以它们为列构成的矩阵函数，则称为系统的基本解阵。2.2基本要求了解线性系统的自由运及状态转移矩阵。 掌握线性时不变状态转移矩阵的基本性质及常用计算方法。 2.3典型例题分析一、矩阵指数函数的计算【例题2.1.1】试用矩阵指数函数的级数展开法和拉氏变换法求下列矩阵的矩阵指数函数：1）， 2）解：1）级数展开法：拉氏变换法：2）级数展开法：拉氏变换法：【例题2.1.2】试用对角线

4、化或约当化法计算下列矩阵的矩阵指数函数：1）， 2） 解：1）矩阵A的特征方程为：解之得， 对于，得答案：，【例题2.1.3】试用凯莱定理计算下列矩阵的指数函数：1）， 2）答案：，【例题2.1.4】试用共轭模态形计算下列矩阵的指数函数：1）， 2）答案：【例题2.1.5】计算下列矩阵的指数函数。解：1）按定义进行计算：2）按预解矩阵进行计算：【例题2.1.6】已知：，使用约当标准形计算。解：1）矩阵A的特征方程为：解之得，2）对于，对于，对于，求解，二、系统状态转移矩阵计算三、系统的状态响应计算【例题】已知线性系统状态空间表达式为：，当系统的初始状态为：，求系统的状态响应和输出响应。解：系统

5、的状态响应：系统的输出响应：【例题】已知线性系统的齐次状态方程为：，现知对应于两个不同初态时的状态响应为： 1）当时，；2）当时，试求该系统的矩阵。解：由，得 所以 因此 【例题】已知线性系统的齐次状态方程为：，并知系统在某一时刻的状态为：，试求对应于该响应状态的初始状态。解：因为：，【例题】已知输入为r维时的n阶线性系统状态空间表达式为：，系统的初始状态为：，试求在下列输入函数作用下，系统的状态响应。1） 脉冲函数：；2） 阶跃函数：；3） 斜波函数：。解：1）脉冲函数：2）阶跃函数：3）斜波函数四、连续系统的离散系统化【例题4.1.1】已知连续系统的状态方程为：试求采用周期为T时的离散化方程。解：计算矩阵的指数函数周期为T时的离散化方程五、离散系统状态方程的