资金的等值计算

1、第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算l第一节 利息公式l一、利息的种类l1，利息：占用资金一定时间后必须支付的补偿额或报酬，是资金时间价值的具体体现l2，利率：表示单位资金在单位时间内的利息l3，计算方式：单利和复利第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算l4，等效值的概念：两个不等额的资金在不同的时间点上，其价值是相等的，这两个资金就互为等效值。引入等效值的概念就是为了对经济活动过程中发生在不同时间点的资金能进行比较。l现值P、终值F、折算利率（贴现率）i、等额年金A、计息周期数n第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算l二、基于复利计息的等效值计算公式l1，一次支付系列的现值系数

2、和终值系数l一次支付系列的现金流量图如下：12nn10P（现值）F（将来值）i第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算l一次支付系列的终值公式：l其中：（F/P，i, n）=(1+i)n称为一次支付系列称为一次支付系列的终值系数。的终值系数。l一次支付系列的现值公式：), ,/()1 (niPFPiPFn),/()1 (niFPFiFPn第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算l其中：（P/F，i, n）=(1+i)-n称为一次支付系列称为一次支付系列的现值系数。的现值系数。l计算时，一次支付系列的终值系数和现值系数计算时，一次支付系列的终值系数和现值系数可以通过查复利系数表得到（见附录）

3、可以通过查复利系数表得到（见附录）l例例1：现投资：现投资10万元，年利率为万元，年利率为10%，问，问10年年末可收回本利和为多少？末可收回本利和为多少？l解：解：10年末的本利和即为终值年末的本利和即为终值F：lF=P（F/P，i，n)=10（F/P，10%，10）l =102.5937=25.937(万元万元)第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算l例2:如果银行年利率为10%,若要在5年后从银行取出10万元,问现在至少需要存入银行多少?l解:求现在要存入多少就是求与5年后10万元等值的现值P:lP=10(P/F,i,n)=10(P/F,10%,5)l =100.6209=6.209

4、(万元)第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算l2，等额支付系列的现值系数和资金恢复系数l等额支付系列的现金流量图：12nn10A A A A（等额年值）12nn10P（现值）等额年值与现值之间的等效换算现金流量图ii第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算l上图中，设左图的A，i,n为已知，求等效的P值：lP=P1+P2+P3+。+Pnl =A(1+i)-1+A(1+i)-2+A(1+i)-3+A(1+i)-nl =A(1+i)-1+(1+i)-2+(1+i)-3+(1+i)-n=A(1+i)n - 1i(1+i)n第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算l其中： l称为等额支付系列

5、的现值系数l常用（P/A，i，n）表示，则：lP=A（P/A，i，n），该系数也可以通过查复利系数表求得。l若已知右图中的P，求左图中与之等效的A，则可由现值的计算公式变形得到：(1+i)n - 1i(1+i)n第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算l即：l式中： l称为等额支付系列的资金恢复系数，也称为资金回收系数l用（A/P，i，n)表示，则：lA=P (A/P，i，n)=P i(1+i)n (1+i)n-1A i(1+i)n (1+i)n-1第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算l例：已知银行利率为10%，为了从第5年开始直到第10年，每年都能从银行取出10000，问现在至少应存

6、入银行多少钱？l解：这个问题的现金流量图如下：12345678910010000i=10%P=?注意等额支付现值计算公式中现值注意等额支付现值计算公式中现值与等额支付系列的资金发生的时间与等额支付系列的资金发生的时间点间的关系点间的关系P=？第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算l例：现存入银行10万元，到第四年取出5万元，从第8年开始到第12年每年等额支取并正好将钱取完，年利率为10%，问等额支取额是多少？l解：此问题的现金流量图如下：A=？123456789100i=10%P=10万元5万元1112P=？第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算l3，等额支付系列的终值系数和储存基金系

7、数l即：l及：l也可以表示为：A=F（A/F，i，n）及l F=A （F/A，i，n）11niiFAiiAFn11第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算l式中：l称为等额支付系列的储存基金系数，也称积累基金系数或偿债基金系数l而：l称为等额支付系列的终值系数。l注意：A是从第一年年末直到第n年年末每年都等额发生的，F是发生在n年年末的。11nii（A/F，i，n）=iin11（F/A，i，n）=第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算l例：从现在开始。连续5年，每年内均存入银行一笔等额的钱，为了能在第十年年末的时候取出10万元，年利率为6%，问每年存入的等额的钱是多少？l解：画出这个问题

8、的现金流量图如下：123456789100i=6%F=10万元A=？F=？第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算lF=10（P/F，6%，5）l而A=F（A/F，6%，5）l =10（P/F，6%，5）（A/F，6%，5）l =100.74730.1774l =1.3257(万元)l例:从现在开始,连续5年,每年内均存入银行1万元,第七年取出了2万元,年利率为10%,问到第10年末还能一次性取出多少?第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算l解:画出该问题的现金流量图如下:lF=F(F/P,10%,5)-20000(F/P,10%,3)l =A(F/A,10%,5)(F/P,10%,5)

9、-20000(F/P,10%,3)l =100006.10511.6105-200001.3310l =71702(元)123456789100i=10%F=?A=1000020000F=?第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算l4,均匀梯度系列的现值系数和年费用系数l均匀梯度系列的现金流量如下图所示:G为相邻计算周期末的现金收入或支出的等差变化值12345n0A1A1+GA1+2GA1+3GA1+4GA1+(n-1)G第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算l上述现金流量图可分解成下面两个现金流量的和:12345n0A1n123450G2G3G4G(n-1)G+第二章第二章 资金的等值

10、计算资金的等值计算l其中第一部分为等额支付系列,其现值为:lP1=A1(P/A,i, n)l而其中第二部分的现值计算如下:lP2=G(1+i)-2+ 2G(1+i)-3+(n-1) G(1+i)-nl =G(1+i)-2+ 2(1+i)-3+(n-1) (1+i)-n)l而l(1+i)P2=G(1+i)-1+ 2(1+i)-2+(n-1) (1+i)-(n-1)l两式相减得:第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算liP=G (1+i)-1+ (1+i)-2+ (1+i)-(n-1)-(n-1)(1+i)-n)l经整理后得到:l式中:l称为均匀梯度系列的现值系数,用(P/G,i,n)表示。注

11、意用这个系数求出来的是第二部分的现值，总现值还要加上第一部分的，即：P2=(1+i)n - 1i(1+i)nGi(-n(1+i)n)(1+i)n - 1i(1+i)n1i(-n(1+i)n)第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算lP=P1+P2=A1（P/A，i,n）+G（P/G，i,n）l而要把均匀梯度系列换算成等效的等额支付系列，则：lA=A1+P2（A/P，i,n）l =A1+G（P/G，i,n)(A/P,i,n)l =A1+G(A/G,i,n)l系数(A/G,i,n)称为均匀梯度系列的年费用系数l同样,对于均匀梯度系列求终值时,有:第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算lF=F

12、1+F2l而F1=A1(F/A,i,n)l F2=P2(F/P,i,n)l =G(P/G,i,n)(F/P,i,n)l =G(F/G,i,n)l(F/G,i,n)称均匀梯度系列的终值系数.l重点：一定要注意各个相关量的时间点之间的位置关系。第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算l各个复利系数之间存在的关系：l(F/P,i,n)=1/ (P/F,i,n);l(A/P,i,n)=1/ (P/A,i,n);l(A/F,i,n)=1/ (F/A,i,n);l(F/A,i,n)= (P/A,i,n) (F/P,i,n);l(F/P,i,n)= (A/P,i,n) (F/A,i,n);l(A/P,i,

13、n)= (A/F,i,n)+il(F/G,i,n)=(F/A,i,n)-n/i第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算l(P/G,i,n)=(P/A,i,n)-n (P/F,i,n)/il(A/G,i,n)=1-n (A/F,i,n)/il应用公式应注意的事项应用公式应注意的事项:l1,本期末即是下期初本期末即是下期初;l2,P是在第一计息周期开始时发生的是在第一计息周期开始时发生的;l3,F是在第是在第n计息周期末发生的计息周期末发生的,也就是项目的也就是项目的终点时发生的终点时发生的;l4,A是连续发生在考察期内各期期末的是连续发生在考察期内各期期末的第二章第二章 资金的等值计算资金的等

14、值计算l5,当问题包括当问题包括P与与A时时,等额系列的第一个等额系列的第一个A与与P在时间上差一个计息周期在时间上差一个计息周期,即即P发生在期初发生在期初,第一第一个个A发生在期末发生在期末;l6,当问题包括当问题包括F与与A时时,F与系列的最后一个与系列的最后一个A同同时发生时发生;l7,当问题包括当问题包括P与与G时时,P发生在第一个发生在第一个G的前两的前两个计算周期个计算周期,第一个第一个A1发生在第一个发生在第一个G的前一期的前一期,而如果是而如果是F,则则F与最后一个与最后一个G同时发生同时发生.第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算l三、名义利率和有效利率（实际利率）l在

15、复利计算中,当表示利率的时间单位与计息周期采用的时间单位不一致时,就出现了所谓的名义利率、有效利率(实际利率)l如有这样的问题，利率为年利率12%，但计息方式为每月计息一次（复利计算），此时对应的计息周期内采用的利率，即月利率为12%/12=1%，若本金为P，则到年底时本利和则为F=P（1+1%）12第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算l则在一年里得到的利息I为：lI=F-P=P（1+1%）12-1l这里，年利率12%不是在计算中采用的真实利率，因此称为名义利率；1%为计息周期利率（这里是月利率），而（1+1%）12-1相当于本金在一年内的实际利息与本金的比值，称为年实际利率。l下面用通

16、用的方式表达：第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算l若名义利率为r，在表示r的时间单位内一共计息m次，则实际计息周期内的利率为r/m；而对应于r所表示的时间单位内的实际利率则为：i实实=(1+rm)m-1第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算l在进行分析计算时，对名义利率一般有两种处对名义利率一般有两种处理方法理方法：l1,将其换算为实际利率后，再进行计算,计息周期调整为与利率的时间单位相同；l2，换算为计息周期利率，直接按计息周期利率来计算。l前面介绍的都是间断计息，都有一定的计息周期，当计息周期无限小的时候，一年内的计息次数就会无限大，这时候就出现了所谓的“连续复利”第二章第二章

17、 资金的等值计算资金的等值计算l四、四、 连续利率连续利率l计息周期无限缩短（即计息次数m）时得实际利率：11111)1 (limlimrrrmrmmmmemri连第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算l五、几种特殊情况的复利计算l1，计息周期小于资金收付周期的等值计算，计息周期小于资金收付周期的等值计算l例：每半年存款1000元，年利率8%，每季计息一次，复利计息。问五年末存款金额为多少？l解法解法1：按收付周期实际利率计算l半年期实际利率i实半(18%4)214.04%lF1000(F/A，4.04%，25)100012.02912029元第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算l解

18、法解法2：按计息周期利率，且把每一次收付看作一次支付来计算lF1000(18%4)181000(18%4)16100012028.4元l解法解法3：按计息周期利率，且把每一次收付变为等值的计息周期末的等额年金来计算lA1000（AF，2，2）495元lF495（FA，2，20）12028.5元第二章第二章 资金的等值计算资金的等值计算l2，计息周期大于资金收付周期的等值计算，计息周期大于资金收付周期的等值计算l当计息周期大于收付周期时，一般将发生的计当计息周期大于收付周期时，一般将发生的计息期内的支出计入期初息期内的支出计入期初,而将收益计入期末而将收益计入期末l下面的例子是从银行的角度而绘制的一个财务下面的例子是从银行的角度而绘制的一个财务活动的过程活动的过程.如果是每季度计息一次如果是每季度计息一次,并假设年并假设年利率为利率为8%,求这个现金流量过程在年底时的等求这个现金流量过程