高中数学典型例题解析立体几何

1、高中数学典型例题分析6.1两条直线之间的位置关系、知识导学1. 平面的基本性质公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推论1:经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面2. 空间两条直线的位置关系，包括：相交、平行、异面3. 公理4:平行于同一条直线的两条直线平行定理4:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并

2、且方向相同，那么这两个角相等推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等4. 异面直线.异面直线所成的角；两条异面直线互相垂直的概念；异面直线的公垂线及距离5. 反证法会用反证法证明一些简单的问题二、疑难知识导析1 .异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点强调任何一个平面2 异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角（或直角）一般通过平移后转化到三角形中求角，注意角的范围3异面直线的公垂线要求和两条异面直线垂直并且相交，4.异面直线的距离是指夹在两异面直线之间公垂线段的长度求两条异面直线的距离关键是找到它们

3、的公垂线.5异面直线的证明一般用反证法、异面直线的判定方法：如图，如果A.b,a-二A,则a与b异面三、经典例题导讲例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,0是底面ABCD勺中心，MN分别是棱DD|、D1C1的中点，则直线0M（）.A.是AC和MN的公垂线B.垂直于AC但不垂直于MN.C.垂直于MN但不垂直于AC.D.与ACMN都不垂直错解B错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影正解：A.例2如图，已知在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点，G,H分别是BC,CD上的点，且GC二DC=2,求证：直线EG,FH,AC相交于一点错解：证明：；E、F分别是AB,AD的中点，

4、.EF/BD,EF=2BD，又GC=DC=2GH/BD,GH=3BD,四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,DC=2,F分别是AD.AC与FH交于一点.直线EG,FH,AC相交于一点正解：证明：E、F分别是AB,AD的中点,EF/BD,EF=2BD,又GtGH/BD,GH=3BD,-四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,EG二平面ABC,FH平面ACD,.面ABC且面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,.TAC直线EG,FH,AC相交于一点T.例3判断：若a,b是两条异面直线，P为空间任意一点，则过P点有且仅有一个平面与a,b都平行.错解：认为正确.错因：空间想像

5、力不够.忽略P在其中一条线上，或a与P确定平面恰好与b平行，此时就不能过P作平面与a平行.正解：假命题.例4如图，在四边形ABCD中，已知AB/CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面a相交于点E,G,H,F.求证：E,F,G,H四点必定共线（在同一条直线上）.分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线.证明/AB/CD,AB,CD确定一个平面3-又TABAerE,ABU3，几E匸a,E匸3,即E为平面a与3的一个公共点.同理可证F,G,H均为平面a与3的公共点.两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，E,F,GH四点必定共线.证明若干点共线时，先证

6、明这些点都是某两平面的公共点,点评：在立体几何的问题中，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论.例5如图，已知平面a,B,且aA3=l设梯形ABCD中,AD/BC且A匪a,CD3,求证：AB,CDl共点（相交于一点）.分析：AB,CD是梯形ABCD的两条腰，必定相交于一点M只要证明M在|上,而I是两个平面a,3的交线，因此，只要证明Ma,且M3即可.证明：/梯形ABCD中,AD/BCABCD是梯形ABCD的两条腰.AB,CD必定相交于一点，设ABACD=M.又TABa,CD3,Ma，且M3.-MaA3.又TaA3=1,M1,即AB,CDI共点.点评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的.

7、例6已知：a,b,c,d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a,b,c,d共面.分析：弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义：四条直线不共点，包括有三条直线共点的情况；两两相交是指任何两条直线都相交.在此基础上，根据平面的性质，确定一个平面，再证明所有的直线都在这个平面内.证明1o若当四条直线中有三条相交于一点,不妨设a,b,c相交于一点A直线d和A确定一个平面a.又设直线d与a,b,c分别相交于E,F,G则A,E,F,Ga.TA,Ea,A,Ea,-aa.同理可证ba,CJa.a,b,c,d在同一平面a内.2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图.T这四条直线两两相交，则设相交直线a,b确定一个

8、平面a.设直线c与a,b分别交于点H,K,则H,Ka.又TH,Kc,-ca.同理可证da.a,b,c,d四条直线在同一平面a内.点评：证明若干条线（或若干个点）共面的一般步骤是：首先由题给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证明其余的线（或点）均在这个平面内.本题最容易忽视三线共点”这一种情况.因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义.例7在立方体ABCD-AiBQD中,(1) 找出平面AC的斜线BD在平面AC内的射影;(2) 直线BD和直线AC的位置关系如何？(3) 直线BD和直线AC所成的角是多少度？解：连结BD,交AC于点0DD_平面AC,.BD就是斜线BD1在平面AC上

9、的射影C1(2)BDi和AC是异面直线.过0作BDi的平行线交DDi于点M,连结MA、MC,则/MOA或其补角即为异面直线AC和BDi所成的角不难得到MA=MC,而0为AC的中点，因此M0丄AC,即/MOA=90异面直线BDi与AC所成的角为90例8已知：在直角三角形ABC中，.A为直角，PAL平面ABCBDLPC垂足为D,求证：ADLPC证明：TPA丄平面ABUPALBA又BALACBAL平面PACAD是BD在平面PAC内的射影又BDLPCADLPC(三垂线定理的逆定理)FBC1.如图,P是厶ABC所在平面外一点，连结PAPBPC后,BCCA的六条棱所在的直线中，异面直线的对数为()A.2对

10、B.32. 两个正方形所成角的大小为3. 在棱长为a所成的角是对C.4对D.6对ABCDABEF所在的平面互相垂直，则异面直线AC和BG在包括的正方体ABCD-A1B1C1D中，体对角线DB与面对角线，它们的距离是.:$2i44.长方体ABCD-AiBiGDi中,BC=牙，CD=，DD-5,则AiC和BiDi所成角的大小为5.关于直角AOB在定平面a内的射影有如下判断：可能是0可能是锐角；可能是直角；可能是钝角；可能是其中正确判断的序号是.(注：把你认为正确的序号都填上)i806.在空间四边形ABCDhAB1CDAHL平面BCD求证：BHLCD7.如图正四面体中，DE是棱PC上不重合的两点；F

11、、H分别是棱PAPB上的点，且与P点不重合.的角;的角四、典型习题导练求证：EF和DH是异面直线.6.2直线与平面之间的位置关系一、知识导学1. 掌握空间直线与平面的三种位置关系（直线在平面内、相交、平行）2. 直线和平面所成的角，当直线与平面平行或在平面内时所成的角是0当直线与平面垂直时所成的角是90，当直线与平面斜交时所成的角是直线与它在平面内的射影所成的锐角3. 掌握直线与平面平行判定定理（如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和平面平行）和性质定理（如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行）4. 直线与平面垂直的定义是：如果

12、一条直线和一个平面内所有直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直；掌握直线与平面垂直的判定定理（如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面）和性质定理（如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行）.5. 直线与平面的距离（一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离）6. 三垂线定理（在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直）、逆定理（在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直）7. 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线

13、段中：射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短.二、疑难知识导析1. 斜线与平面所成的角关键在于找射影，斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角.2. 在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行判定定理和性质定理的反复运用.3. 在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直判定定理和性质定理的反复运用，同时还要注意三垂线定理及其逆定理的运用.要注意线面垂直的判定定理中的“两条相交直线”，如果用“无数”或“两条”都是错误的.4. 直线与平面的距离一般是利用直线上某一点到平面的距离

14、.“如果在平面的同一侧有两点到平面的距离（大于0）相等，则经过这两点的直线与这个平面平行.”要注意“同一侧”、“距离相等”.三、经典例题导讲例1已知平面/平面一：，直线I平面，点P直线l,平面、间的距离为8,则在1内到点P的距离为10,且到I的距离为9的点的轨迹是（）A.一个圆B.四个点C.两条直线D.两个点错解：A.错因：学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系掌握不牢正解：B.例2a和b为异面直线，则过A有且只有一个BC.可能不存在Da与b垂直的平面（）.一个面或无数个可能有无数个错解：A.错因：过a与b垂直的平面条件不清正解：C.例3由平面：外一点P引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为A

15、,B,C,0为ABC的外心，求证：0P_.错解：因为0为ABC的外心，所以0A=0B=0C又因为PA=PB=PCP0公用，所以P0AP0BP0C都全等，所以/P0A=/P0B=/P0C=二，所以OP_-2错因：上述解法中.P0A=.P0B=.P0C=RT，是对的，但它们为什么是直角呢？这里缺少必要的证明正解：取BC的中点D,连PD0DAI:PB=PC,0B=0C,BC_PD,BC_0D,.BC_面P0D,BC_P0,同理AB_P0,P0_：.例4如图，在正三棱柱ABC-ABQ中，AB=3,AA=4,M为AA的中点,血9，设这条最短路线与CC的交点为N,P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CG

16、到M点的最短路线长为求：（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；（2）PC和NC的长；（3）平面NMF和平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）错因：（1）不知道利用侧面BCCBi展开图求解，不会找.29的线段在哪里;（2）不会找二面角的平面角正解：（1）正三棱柱ABC-ABC的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形，其对角线长为ALH&42二、97（2）如图，将侧面BC旋转120，使其与侧面AC在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP，贝UMP就是由点P沿棱柱侧面经过CG到点M的最短路线.设pc=X，则pc=X,在RtMAR中，（3+x）222=29,x=2AiCl竺J1C2

17、NC=4MARA55连接PR（如图），则PR就是平面NMP与平面ABC的交线，作NH丄PR于H,又CC丄平面ABC连结CH由三垂线定理的逆定理得，CH_PPi.NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角1在RtPHC中，；.PCHPCR=60CH=1NC4在Rt.NCH中，tan.NHC=CH5例5P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：PC/平面BDQ.分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了.证明：如图所示，连结AC，交BD于点O，四边形ABCD是平行四边形.AO=CO，连结OQ，贝UOQ在平面BDQ内，且OQ是

18、APC的中位线，PC/OQ./PC在平面BDQ夕卜，PC/平面BDQ.点评：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行例6在正方体AiBCDABCD中,E、F分别是棱ABBC的中点，O是底面ABCD勺中点.求证：EF垂直平面BBO.证明：如图，连接AGBD贝UO为AC和BD的交点./E、F分别是ABBC的中点， EFABC的中位线，EF/AC./BiB丄平面ABCD,AC平面ABCD AC丄BB,由正方形ABCD知：AC丄BO,又BO与BB是平面BBO上的两条相交直线,31AC丄平面BBO（线面垂直判定定理）/AC/EF,EF丄平面BBO.例7如图，在正方体A

19、BCD-ABiCD中，E是BB的中点，O是底面正方形ABCD的中心,求证：OE_平面ACD.分析：本题考查的是线面垂直的判定方法根据线面垂直的判定方法，要证明OE_平面ACD，只要在平面ACD内找两条相交直线与OE垂直.证明：连结BD、AD、BD，在BBD中,/E,O分别是BB和DB的中点，EO/BiD./BA丄面AADiD,DA为DB在面AADD内的射影.又AD_AD,-AD丄DB同理可证BiD_DiC.又ADOCDi=Di,ADQiCU面ACD,BD_平面ACD./BD/OE,OE_平面ACD.点评:要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法.在证明线线垂直时既要注

20、意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用.例8.如图，正方体ABCD-ABCQ中，点N在BD上,点M在BC上,且CM=DN求证:MN/平面AABiB.证明：证法一.如图，作ME/BC,交BB于E,作NF/AD,交AB于F,连EF贝UEF=平面AABB.MEBCBiM=B；C,NF_BNADBD1MEBNBCBDNFAD,ME=NF又ME/BC/AD/NF,.MEFt为平行四边形,二MN/EF.MN/平面AABB.证法二.如图,连接并延长CN交BA延长线于点P,连BiP,贝UBPU平面AABiB.DNCN.NDCsNBP,丽NP-又CM=DN,

21、BBD;Mi=DN_CNNP-NBMN/BiP.BPU平面AABiB,”MIN/平面AABiB.Cl证法三.如图，作MP/BB,交BC于点P,连NP.MP/BB,牆BD=BC,DN=CM,BjM=BNAl.CM_DNCP_DNMB?_NB,PB_丽.ElD：ClNP/CD/AB.面MNP/面AABiB.MN/平面AABB.四、典型习题导练且b/平面i.设a,b是空间两条垂直的直线，“a与相交”这三种情况中，能够出现的情况有（:-.则在“a/平面”、“a:-”).A.0个B.iC.2个D.3个2.一个面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形仅有一条对角线与这个截面平行，那么此四个交点围

22、成的四边形是（)A.梯形B.任意四边形C.平行四边形D.菱形3若一直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段的位置关系是（）.A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面G、H，若两条对角线BD、4. 空间四边形的边AB、BC、CD、DA的中点分别是E、FAC的长分别为2和4，则EG+HF2的值().A.5B.10C.20D.40AC_BD时，四边形5. 点P、Q、R、S分别是空间四边形ABCD四边的中点，则：当PQRS是形；当AC=BD时，四边形PQRS是形.6. 已知两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，M、N分别在它们的对角线AC,BF上，且CM=BN,

23、求证：MIN/平面BCE.7. 如图，已知平行六面体ABCD-ABCD的底面ABCD是菱形,且CQBn/GCDBCD=60.证明CC丄BD;CD(2)当CC的值为多少时，能使AC_平面GBC?请给出证明.6.3平面与平面之间的位置关系一、基础知识导学1空间两个平面的位置关系（有交点的是相交；没交点的是平行）2理解并掌握空间两个平面平行的定义；掌握空间两个平面平行判定定理（如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行）和性质定理（如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行）3理解并掌握空间两个平面垂直的定义（一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角

24、，就说这两个平面垂直）；判定定理（如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直）和性质定理（如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面）.4.二面角的有关概念（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角）与运算；:面角的平面角（以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角），二面角的平面角的常见作法（定义法、三垂线定理及逆定理法、垂面法等）.二、疑难知识导析1两个平面的位置关系关系的判定关键看有没有公共点2面面平行也是推导线面平行的重要手段；还要注意平行与垂直的相互联系，如：如果两个平面都垂

25、直于同一条直线，则这两个平面平行；如果两条直线都垂直于一个平面，则这两条直线平行等.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行的判定定理和性质定理的反复运用.3. 对于命题“三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线互相平行或者相交于同一点.要会证明.4. 在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的判定定理和性质定理的反复运用.5.注意二面角的范围是0,二，找二面角的平面角时要注意与棱的垂直直线，这往往是二面角的平面角的关键所在.求二面角的大小还有公式COST=善，用的时候要进行交代.在面角棱没有给出的情况下求二面角大小方法一：补充棱；方法二：利用“如果ac0=1,且a丄？，B丄？，则丨

26、丄/”；方法三：公式COS日=善等，求二面角中解三角形时注意垂直（直角）、数据在不同的面上转换三、经典例题导讲例1一直线与直二面角的两个面所成的角分别为a,B,则a+B满足（）A.a+390D.a+390错解:A.错因：忽视直线与二面角棱垂直的情况.正解：B.例2.如图，ABC是简易遮阳棚，A,B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角应为（）.A.90B.60C.50D.45错解：A.正解：C例3已知正三棱柱ABC-ABC底面边长是10,高是12,过底面一边AB,作与底面ABC成600DEH0FGM0GB.面角D-A

27、CB为直二面角,错解：50、3.用面积射影公式求解：s底-冷3100-25.,3,S截-COS60-503.错因：没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形正解：48.3.角的截面面积是例4点0是边长为4的正方形ABCD的中心，点E,F分别是AD,BC的中点.沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角D-ACB.(1)求EOF的大小；(2)求二面角E-OF-A的大小.错解：不能认识折叠后变量与不变量.不会找二面角的平面角.正解：(1)如图，过点E作EGLAC垂足为G,过点F作FH丄AC,垂足为H,则EG=FH=&,GH二22.EF2二GH2EG2FH2-2EGFHcos90C=（2、2）2（2）2

28、（、2）2-0=12.又在EOF中，OE=OF=2,cosEOFOE2OF2-EF2_2222-（2；3）22OEOF一222EOF=120.(2)过点G作GM垂直于FO的延长线于点M连EM二面角D-ACB为直二面角，平面DACL平面BAQ交线为AC,又tEGLAC,/EG丄平面BAC/GMLOF,由三垂线定理，得EMLOF.EMG就是二面角E-OF-A的平面角.在RtEGMKEGM=90,EG八、2,GMrOE=1,2tanEMG=EGGM=：;2EMG=arctan2.所以，二面角E-OF-A的大小为arctanj2例5如图，平面a/平面3平面Y,且B在a、Y之间，若a和3的距离是5,3和

29、丫的距离是3,直线I和a、3、Y分别交于A、B、C,AC=12，贝HAB=,BC=.解：作I丄a,a/3/Y,二I与3、丫也垂直，iI与a、3、丫分别交于Ai、Bi、Ci.因此，A1B1是a与3平面间的距离，B1C1是3与丫平面间的距离，A1C1是a与丫之间的距离.A1B1=5,B1C1=3,A1C1=8,又知AC=12AB_ABi5X12_15ACAiG，AB=8_2AB_AB,BCB1C1BC=153159答：AB=,BC=2例6如图，线段PQ分别交两个平行平面a、3于A、B两点，线段PD分别交a、3于C、D两点，线段QF分别交a、3于F、E两点，若PA=9,AB=12,BQ=12,ACF

30、的面积为72,求厶BDE的面积.解：平面QAFAa=AF，平面QAFA3=BE又Ta/3,.AF/BE同理可证：AC/BD./FAC与/EBD相等成互补1由FA/BE,得：BE:AF=QB:QA=12:24=1:2,.BE=-AF由BD/AC，得：AC:BD=PA:PB=9:21=3：7,BD=AC又acf的面积为72，即2AFAC-sinFAC=72S.dbe=?BEBDsinEBD=21AF3ACsinFAC,?AFACsinFAC=软72=84,答：BDE的面积为84平方单位例7如图，B为二ACD所在平面外一点，M、N、G分别为厶ABC、丄ABD、二BCD的重心.(1)求证：平面MNG/

31、平面ACD（2）求S.IMNG:S.ADC解：(1)连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、HG分别为ABC、ABD、BCD的重心,BM贝V有：IMpBNNFBGGH=2连结PF、FH、PH有MN/PF又PF二平面ACDMN/平面ACD同理：MG/平面ACD,MGAMN=MF、c平面MNG/平面ACD.MG_(2)由(1)可知：phBGBHMG=IPH，又PH=*ADMG=占AD,同理：ng=3AC,MNCD,MNGACD，其相似比为1：3SMNG:S.ADC=1：9例8如图，平面EFGH分别平行于CDABE、F、GH分别在BDBGACAD上，且CD=a,AB=b,CDLAB.(

32、1)求证：EFGH是矩形求当点E在什么位置时，EFGH勺面积最大(1)证明：TCD/面EFGH而面EFGA面BCD=EF.CD/EF同理HG/CD.EF/HG同理HE/GF；.四边形EFGH为平行四边形由CD/EF,HE/AB/HEF为CD和AB所成的角或其补角，又CDLAB.HE!EF.四边形EFGH为矩形解：由可知在BCD中EF/CD其中DE=mEB=n.EFBEn,EFaCDDBmn由HE/AB住二氏HE二旦bABDBmn又四边形EFGH为矩形S矩形efghFHE-EF=,nmn,b-a=2abmn(mn)/m+n2.mn,(m+n)4mnw丄，当且仅当m=n时取等号，即E为BD的中点时

33、，(mn)4S矩形EFG=mn2(mn)ab-abACBD分别是在这个AB=4cm,AC=6cmBD1矩形EFGH的面积最大为一ab.4点评：求最值时经常转化为函数求最值、不等式求最值、导数求最值、线性规划求最值等四、典型习题导练1. 山坡面a与水平面成30的角，坡面上有一条公路AB与坡角线BC成45的角，沿公路向上去1公里时，路基升高米.2. 过正方形ABCD的顶点A作线段PAL平面ABCD且PA=AB则平面ABP与平面CDP所成二面角(小于或等于90)的度数是.3. 在60二面角的棱上，有两个点AB,二面角的两个面内垂直于AB的线段已知：=8cm,求CD长.4. 如图，过S引三条长度相等但

34、不共面的线段SASBSC且/ASB2ASC=60，/BSC=90.求证：平面ABCL平面BSC.5. 已知：如图，SU平面ABCAB1BCDE垂直平分SC,且分别交ACSC于D、E,又SA=ABSB=BC求二面角E-BD-C的度数.6.4空间角和距离一、知识导学1. 掌握两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角，掌握上述三类空间角的作法及运算.2掌握给出公垂线的两条异面直线的距离、点到直线（或平面）的距离、直线与平面的距离及两平行平面间距离的求法.二、疑难知识导析1.求空间角的大小时，一般将其转化为平面上的角来求，具体地将其转化为某三角形的一个内角.2求二面角大小时，关键是找二面角的平

35、面角，可充分利用定义法或垂面法等3.空间距离的计算一般将其转化为两点间的距离.求点到平面距离时，可先找出点在平面内的射影（可用两个平面垂直的性质），也可用等体积转换法求之.另外要注意垂直的作用.球心到截面圆心的距离由勾股定理得d二R2-r24球面上两点间的距离是指经过这两点的球的大圆的劣弧的长，关键在于画出经过两点的大圆以及小圆5要注意距离和角在空间求值中的相互作用，以及在求面积和体积中的作用三、经典例题导讲例1平面外有两点A,B，它们与平面:的距离分别为a,b，线段AB上有一点P,且AP:PB=m:n,则点P到平面ot的距离为错解：nambmn错因：只考虑AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面

36、两测的情况.正解：nambmb-na,或|.mnmn例2与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有个.错解：4个.错因：只分1个点与3个点在平面两侧.没有考虑2个点与2个点在平面两侧正解：7个.例3一个盛满水的三棱锥形容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞DE、F,且知SDDA=SEEB=CFFS=2:1,若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（）2329错解：A、B、193023B.C.D.273127C.由过D或E作面ABC的平行面，所截体计算而得.正解：D.当平面EFD处于水平位置时，容器盛水最多VF丄DEVC_SABSSDEh1=3：SSABh23:1SDSEsinDSEg31.SA

37、SBsinASBh23SDSEhi1TfSASBh22 1_三3 3-27423最多可盛原来水得1-二二仝2727例4斜三棱柱ABC-A1BC的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b,一条侧棱AA与底面相邻两边ABAC都成45角，求这个三棱柱的侧面积错解：一是不给出任何证明，直接计算得结果；二是作直截面的方法不当，即“过BC作平面与AA垂直于M”三是由条件“/AAB=/AAC-/AA在底面ABC上的射影是/BAC的平分线”不给出论证正解：过点B作BM丄AA1于M，连结CM，在ABM和厶ACM中，tAB=AC,ZMAB=/MAC=45,MA为公共边，ABMAACM，/AMC=ZAMB=90,.A

38、A1丄面BHC,即J2历L平面BMC为直截面，又BM=CM=ABsin45=a,.BMC周长为2xa+a=(1+.2)a，且棱22长为b,S侧=(1+2)ab例5已知CA丄平面a，垂足为A；AB-a，BD丄AB，且BD与a成30角；AC=BD=bAB=a.求C,D两点间的距离.解：本题应分两种情况讨论：(1)如下左图.C,D在a同侧：过D作DF丄a，垂足为F连BF,则，DBF二30，根据三垂线定理BD丄AB得BF丄AB.在RtABF中,AF=.AB2BF2二a3b2bbb过D作DE丄AC于E,贝UDE=AFAE=DF=2.所以EC=AC-AE=b-=故CD才EC2DEiEC2AF2=；(；)2

39、a2；b2=.a2b2如上右图.c,d在a两侧时：同法可求得cda23b2点评：本题是通过把已知量与未知量归结到一个直角三角形中，应用勾股定理来求解例6(06年湖北卷)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A-|BiCiDi中，p是侧棱CC1上的一点，CP二m.(1)试确定m，使得直线AP与平面BDD.B,所成角的正切值为3.2；(2)在线段AiCi上是否存在一个定点Q，使得对任意的m,DiQ在平面APDi上的射影垂直于AP.解：解法(1)连AC,设AC与BD相交于点O,AP与平面BDDiBi相交于点,，连结0G,因为PC/平面BDD1B1，平面BDD1B1门平面APC=0G,1 m故OG/PC,

40、所以，0G=丄PC=2 2又A0丄BD,AO丄BB1,所以A0丄平面BDD1B1,故/AG0是AP与平面BDD1B1所成的角.42.在RtAA0G中，tanNAG0=空=丄=，即m=-G0m32所以，当m=-时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为3.2.3(2)可以推测，点Q应当是AC的中点01，因为D1O1丄A1C1,且D1O1丄A1A，所以D1O1丄平面ACCA1,又APU平面ACCA1,故D1O1丄AP并证明你的结论.那么根据三垂线定理知，DiOi在平面APDi的射影与AP垂直。解法二：（i）建立如图所示的空间直角坐标系，则m），0（0,i，0），D（0,0，0），Bi（i，i

41、，i），Di（0，0，A(i,0,i)0),B(1,1,0),P(0,1,B=(又由ACBD=0,ACBE=0知,面BBiDiD的一个法向量。yxAP与平面BBiDiD所成的角为则sin二ACAPAC22。依题意有血（2+m22,2m2解得。故当时，直线33AP与平面BBiDiD所成的角的正切值为（2）若在AiCi上存在这样的点Q,设此点的横坐标为x，贝UQ（x，ix,i）,DQ=（X,i-X,0）。依题意，对任意的m要使DiQ在平面APDi上的射影垂直于AP,1等价于DiQ丄APUAPDiQ=0=-x(i-x)=0ux.即Q为AiCi的中点时,2满足题设要求。例7在梯形ABCD中,/ADC=

42、90,AB/DCAB=i,DC=2,AD=2,P为平面ABCD外一点，PAD是正三角形，且PA丄AB求：（i）平面PBC和平面PAD所成二面角的大小;（2）D点到平面PBC的距离.解：（i）设ADABC=E可知PE是平面PBC和平面PAD的交线，依题设条件得PA=AD=AE则/EPD=90,PD丄PE又PA丄ABDALAB故AB丄平面PAD/DC/ABDC丄平面PAD由PELPC得PELPD/DPC是平面PBC与平面PAD所成二面角的平面角.PD=、.2,DC=2217点评:本题若注意到H是厶ABC的外心，可通过解厶ABC和AHO得OH或利用体积法.tanDPC二=2，/DPC=arctan2

43、.PD(2)由于PEPD,PEPC,故PE丄平面PDC因此平面PDC丄平面PBC作DHLPCH是垂足，贝UDH是D到平面PBC的距离.在RtPDC中,PD2,DC=2PC=.、6,DH二PDDC=空PC323平面PBC与平面PAD成二面角的大小为arctan.2，D到平面PBC的距离为3例8半径为1的球面上有A、B、C三点，A与B和A与C的球面距离都是2，B与C的球面距离是3，求过AB、C三点的截面到球心0距离.分析：转化为以球心0为顶点，ABC为底面的三棱锥问题解决.由题设知厶OBC是边长为1的正三角形，AOBDAOC是腰长为1的全等的等腰三角形.取BC中点D,连AD0D易得BCL面AOD进

44、而得面AODL面ABQ过0作OH!AD于H,则OHL面ABCOH的长即为所求，在RtADB中,AD=#,故在Rt：AOD,OH=A(AOD二四、典型习题导练3的距离分别为PC=2cm1.在平面角为600的二面角:内有一点P,P到a、PD=3cm贝yP到棱I的距离为.2. 异面直线a,b所成的角为60,过空间一定点P,作直线I,使I与a,b所成的角均为60,这样的直线I有条3在棱长为1的正方体ABCD-ABQD中，E,F分别是AB和AD的中点，A/a则点Ai到平面EFBD的距离为4. 二面角:-l1内一点P,分别作两个面的垂线PAPB,A、B为垂足.已知PA=3,PB=2,/APB=60求：I的

45、大小及P到I的距离.5. ABCD是边长为4的正方形，CGL面ABCDCG=2.E、F分别是ADAB的中点.求点B到面EFG的距离.6. 如图：二面角a-I-B为锐角，P为二面角内一点，P到a的距离为2.2，到面3的距离为4,到棱|的距离为4._2，求二面角a-I-3的大小.7. 如图，已知三棱柱ABC-ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱AA与ABAC均成45角，且AE丄BB于E,AF丄CC于F.（1）求点A到平面BBCC的距离；当AA多长时，点A到平面ABC与平面BBCC的距离相等.6.5空间几何体及投影一、知识导学1. 了解投影（投影线通过物体，向选定的面透射，并在该面上得到图形的方法

46、）、中心投影（投射线交于一点的投影称为中心投影）、平行投影（投影线互相平行的投影称为平行投影）、斜投影（平行投影投射方向不是正对着投影面的投影）、正投影（平行投影投射方向正对着投影面的投影）的概念.2. 了解三视图的有关概念（视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形.光线自物体的前面向后面投射所得的投影称之为主视图或正视图，自上而下的称为俯视图，自左向右的称为左视图，用这三种视图刻画空间物体的结构，称之为三视图）；了解三视图画法规则，能作出物体的三视图3. 注意投影和射影的关系，以及在解题中的作用二、疑难知识导析1三视图间基本投影关系的三条规律：主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，俯视图与左视图宽相等.概括为“长对正，高平齐，宽相等”；看不见的画虚线2.主视图的上、下、左、右对应物体的上、下、左、右；俯视图的上、下、左、右对应物体的后、前、左、右；左视图的上、下、左、右对应物体的上、下、后、前三、经典例题导讲例1如图，该物体的俯视图是（）.龟口出H田ABCD错解：B.错因：投影方向不对.正解：C.例2如图所示的正方体中，E、F分别是AA,DQ的中点，G是正方形BDBD的中心，则空间四边形AGEF在该正方体面上的投影不可能是（）AB错解：C.正解：D例3水平放置的ABC有一边在水平线上，它