第12讲 定积分

1、定积分的概念及几何意义1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴及x以及两直线bxax,所围成 , 求其面积 A .?A)(xfy ( )dbaf xx积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量称为积分区间,ba定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分变量用什么字母表示无关 , 即baxxfd)(battfd)(bauufd)(Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和A定理定理1.上连续在函数,)(baxf.,)(可积在

2、baxf定理定理2.,)(上有界在函数baxf且只有有限个间断点 (证明略).,)(可积在baxf(设所列定积分都存在)abbaxxfxxfd)(d)(. 10d)(aaxxfbaxd. 2xxfkxxfkbabad)(d)(. 3( k 为常数)bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 4abbccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(. 5则.0d)(xxfba,0)(xfxxfbad)(xxfbad)()(ba 推论推论1. 若在 a , b 上, )()(xgxf则xxfbad)(xxgbad)(推论推论3. 若在 a , b 上( ),mf xM则()( )(d

3、)bamabaf xxM b.2dsin120 xxx证证: 设)(xf,sinxx则在),0(2上 , 有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2即2, 1)(xf), 0(x2故xxxfxd1d)(d2220002即2dsin120 xxx, ,)(baCxf若则至少存在一点, ,ba使)(d)(abfxxfbaoxbay)(xfy .都成立或baba 可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解为baxf 积分中值定理对21:( )1,2( )f xf x dx 例在区间上的平均值是2,则积分上限的函数及其导数, ,)(baCxf则变上

4、限函数xattfxd)()(定理定理1. 若.,)(上的一个原函数在是baxf( )( ),xf x即( )0a且1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.2) 变限积分求导:bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxattfx)()(xxf同时为通过原函数计算定积分开辟了道路 .)()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx)sin(2cosxex0limxtextd1cos22x解解:原式0limx00 x2e21例例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解

5、:,0sin0 xxax时,0c. 0 b00原式 =)1ln(coslim20 xxaxcxxax20coslim c 0 , 故. 1a又由221cos1xx, 得.21c ttf txfxd)()(0,0)(,),0)(xfxf且内连续在设证明)(xFttf txd)(0ttfxd)(0在),0(内为单调递增函数 . 证证:)(xF20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxttfxfxd)()(0)(tx0.)0)(内为单调增函数，（在xF只要证0)( xF 20d)(ttfxxfx)()( )(xf)0(x上的一个原在是连续函数设,)()(baxfxF)()(d)(

6、aFbFxxfba( 牛顿 - 莱布尼兹公式) 定理定理2.函数 , 则 牛莱公式的意义：使定积分的运算转化为不定积分，只需求出原函数即可。 因此，求解不定积分的方法均可用来解决定积分.1d312 xx解解:xxxarctan1d31213) 1arctan(3arctan3127例例5. 计算正弦曲线轴所围成上与在xxy, 0sin的面积 . 解解:0dsinxxAxcos0112)4(yoxxysin二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 不定积分一、定积分的换元法一、定积分的换元法 换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和 分部积分法定理定理1. 设函数, ,)(baCxf单值函数)(tx满足:1), ,)(1Ct 2) 在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t则1) 当 1 时收敛 ; p