(第2节)多自由度系统的振动

1、多自由度线性振动特征值求解推导多自由度线性振动特征值求解推导 多自由度线性振动系统的微分方程的一般表达式多自由度线性振动系统的微分方程的一般表达式为为式中式中M、C和和K分别为分别为nn阶的质量、阻尼和刚度矩阵，阶的质量、阻尼和刚度矩阵，q， ， 和和Q分别为广义坐标、广义速度、广义加速度和分别为广义坐标、广义速度、广义加速度和广义力的广义力的n维向量。维向量。q q 对无阻尼的自由振动，方程对无阻尼的自由振动，方程(5.2-1)可以表示为可以表示为M qCqKqQ(t)(5.2-1)MqKq0(5.2-2)它表示一组它表示一组n个联立的齐次微分方程组个联立的齐次微分方程组), 2 , 1,(

2、011njiqkqmnjjijjnjij (5.2-3)多自由度线性振动特征值求解推导多自由度线性振动特征值求解推导 对于对于n个联立的齐次方程一定存在着个联立的齐次方程一定存在着同步运动同步运动的解，的解，即在运动过程中，即在运动过程中，所有坐标应具有对时间相同的依赖关所有坐标应具有对时间相同的依赖关系系。在数学上，这一类运动可以表示为在数学上，这一类运动可以表示为式中式中uj是一组常数，而是一组常数，而f(t)对于所有坐标对于所有坐标qj(t)是相同的。是相同的。(5.2-4), 2 , 1()()(njtfutqjj 将方程将方程(5.2-4)代入方程代入方程(5.2-3)，并注意到函数

3、，并注意到函数f(t)不不依赖于下标依赖于下标j，有，有(5.2-5), 2 , 1,(0)()(11njiuktfumtfnjjijjnjij 多自由度线性振动特征值求解推导多自由度线性振动特征值求解推导将其写成下面的形式将其写成下面的形式121( )( ,1,2, )( )nijjjnijjjk uf ti jnf tm u(5.2-6)在上式中分离开来了与时间有关的部分和位置有关的部在上式中分离开来了与时间有关的部分和位置有关的部分，可以看出，方程分，可以看出，方程(5.2-6)的左边不依赖于下标的左边不依赖于下标j，而右，而右边不依赖于时间边不依赖于时间t，因而两个比值必定等于常数，并

4、且，因而两个比值必定等于常数，并且可以证明，这个常数是一正实数，令常数可以证明，这个常数是一正实数，令常数=2，于是有，于是有(5.2-7)0)()(2tftf njjijijnjiumk12), 2 , 1,(0)(5.2-8)多自由度线性振动特征值求解推导多自由度线性振动特征值求解推导 如果同步运动是可能的，那么对时间的依赖关系是如果同步运动是可能的，那么对时间的依赖关系是简谐函数，因为简谐函数，因为f(t)是一实函数，所以方程是一实函数，所以方程(5.2-7)唯一可唯一可以接受的解是具有频率以接受的解是具有频率的简谐函数，即的简谐函数，即式中式中C为任意常数，为任意常数，为简谐运动的频率

5、，为简谐运动的频率，为相角。这为相角。这三个量对每一个坐标三个量对每一个坐标qj(t)(j=1,2,n)都是相同的。都是相同的。)sin()(tCtf(5.2-9)把方程把方程(5.2-8)写成矩阵形式写成矩阵形式2()KM u0(5.2-10a)或者写为或者写为(5.2-10b)2KuMu方程方程(5.2-10)是关于矩阵是关于矩阵M和和K的特征值问题。的特征值问题。多自由度线性振动特征值求解推导多自由度线性振动特征值求解推导 方程方程(5.2-10)存在非零解的条件是：当且仅当系数存在非零解的条件是：当且仅当系数行列式等于零，即行列式等于零，即式中式中(2)称为特征行列式，而方程称为特征行

6、列式，而方程(5.2-11)称为称为特征方特征方程或频率方程程或频率方程，将其展开后可得到，将其展开后可得到2的的n次代数方程式，次代数方程式，即即22()det()0KM(5.2-11)021)2(22)1(212nnnnnaaaa(5.2-12)这一这一n次代数方程有次代数方程有n个根个根 (r=1,2,n)，这些根称为特这些根称为特征值，它们的平方根征值，它们的平方根r (r=1,2,n)称为系统的称为系统的固有频率固有频率。将固有频率由小到大依次排列，有将固有频率由小到大依次排列，有2r12rn(5.2-13)称最低的固有频率称最低的固有频率1为基频。为基频。 关于多自由度系统特征值的

7、讨论关于多自由度系统特征值的讨论 在实际问题中，往往基频是所有频率中最重要的在实际问题中，往往基频是所有频率中最重要的一个。一个。 这这n个根个根 (r=1,2,n)可以是单根，也可以是重可以是单根，也可以是重根；可以是实数，也可以是复数。根；可以是实数，也可以是复数。2r 对于系统的质量矩阵为正定实对称矩阵，刚度矩对于系统的质量矩阵为正定实对称矩阵，刚度矩阵为正定或半正定的实对称矩阵时，所有的特征值都是阵为正定或半正定的实对称矩阵时，所有的特征值都是实数，并且是正数或零。实数，并且是正数或零。 只有当刚度矩阵为半正定时，系统才有零特征值。只有当刚度矩阵为半正定时，系统才有零特征值。 将求得的

8、固有频率将求得的固有频率r (r=1,2,n)分别代入方程分别代入方程(5.2-10)，得得2( )()(1,2, )rrrnKM u0(5.2-14)多自由度振动系统的特征向量多自由度振动系统的特征向量 解式解式(5.2-14)特征值问题，可求得非零解向特征值问题，可求得非零解向量，即量，即 ( )T12 (1,2, )rrrrnuuurnu 称向量称向量u(r)为对应特征值为对应特征值 的的特征向量特征向量，也称，也称为为振型向量或模态向量振型向量或模态向量，它表示了所谓的，它表示了所谓的固有振固有振型型。 2r 特征向量的各元素的值是不唯一确定的量，特征向量的各元素的值是不唯一确定的量，

9、但任意两个元素但任意两个元素 和和 的比值是一常数。的比值是一常数。)(riu)(rju 固有振型的形状是唯一的，而振幅不是唯固有振型的形状是唯一的，而振幅不是唯一的。一的。 u(r)为齐次方程组为齐次方程组(5.2-14)的解，那么的解，那么ru(r)也是一个解，也是一个解，r为任意常数。为任意常数。 正则振型正则振型 如果特征向量如果特征向量u(r)中的一个元素被指定为某一个中的一个元素被指定为某一个值，那么特征向量就是唯一确定的向量。因为其余的值，那么特征向量就是唯一确定的向量。因为其余的n-1个元素的值可以根据任意两个元素的比值是常数这一个元素的值可以根据任意两个元素的比值是常数这一点

10、自行调整。点自行调整。 调整固有振型的元素使其成为单值的过程称为正调整固有振型的元素使其成为单值的过程称为正则化，而所得到的向量称为则化，而所得到的向量称为正则振型正则振型。 一个很简便的正则化方法就是令一个很简便的正则化方法就是令( )T( )1(1,2, )rruurnM(5.2-15) 将方程将方程(5.2-14)两边前乘特征向量两边前乘特征向量u(r)转置转置u(r)T，有，有( )T( )2(1,2, )rrruurnK(5.2-16)例题：求解多自由度振动系统的固有频率及振型例题：求解多自由度振动系统的固有频率及振型（例（例5.2-1） 例例5.2-1 图图5.2-1表示一个三自由

11、度系统，求固有频表示一个三自由度系统，求固有频率和固有振型，并求正则振型。率和固有振型，并求正则振型。 解：解：系统的运动微分方程为系统的运动微分方程为 MxKx0其中质量矩阵和刚度矩阵为其中质量矩阵和刚度矩阵为002000 ,20002mkkmkkkmkk MK图 5.2-1例题：求解多自由度振动系统的固有频率及振型例题：求解多自由度振动系统的固有频率及振型（例（例5.2-1）其特征值问题为其特征值问题为2KuMu特征方程为特征方程为0)24)(2(20202)(224222222kmkmmkmkkkmkkkmk求得固有频率求得固有频率mkmkmk)22(,2,)22(321例题：求解多自由

12、度振动系统的固有频率及振型例题：求解多自由度振动系统的固有频率及振型（例（例5.2-1）计算对应三个固有频率的固有振型，将计算对应三个固有频率的固有振型，将1代入特征值问代入特征值问题方程，有题方程，有因为这是齐次方程组，如果振型向量的某一元素被给定，因为这是齐次方程组，如果振型向量的某一元素被给定，那么就可以唯一地求出其余两个元素。那么就可以唯一地求出其余两个元素。 (1)1(1)2(1)3210012100012uuu 至于给定哪一个元素是无关紧要至于给定哪一个元素是无关紧要的，因为无论给的，因为无论给定哪一个元素，都可以得到相同的结果。定哪一个元素，都可以得到相同的结果。习惯上，令习惯上

13、，令 ，可解得，可解得1)1(1u(1)2(1)221uu例题：求解多自由度振动系统的固有频率及振型例题：求解多自由度振动系统的固有频率及振型（例（例5.2-1）故求得对应固有频率故求得对应固有频率1的固有振型为的固有振型为(1)1(1)2(1)3121uuu例题：求解多自由度振动系统的固有频率及振型例题：求解多自由度振动系统的固有频率及振型（例（例5.2-1） 同理，将同理，将2代入特征值问题方程，并令代入特征值问题方程，并令 可解可解出对应固有频率出对应固有频率2的固有振型为的固有振型为1)2(1u(2)1(2)2(2)3101uuu例题：求解多自由度振动系统的固有频率及振型例题：求解多自

14、由度振动系统的固有频率及振型（例（例5.2-1）(3)1(3)2(3)3121uuu 同样，可得到对应于固有频率同样，可得到对应于固有频率3的固有振型为的固有振型为 例题：求解多自由度振动系统的固有频率及振型例题：求解多自由度振动系统的固有频率及振型（例（例5.2-1）代入代入u(1)TMu(1)=1中，有中，有211001210021001mmm为求正则振型，令为求正则振型，令(1)(2)(3)1231112 ,0,2111uuu令令11001210024001mMmmm例题：求解多自由度振动系统的固有频率及振型例题：求解多自由度振动系统的固有频率及振型（例（例5.2-1）则则mM21111(1)1 212 21 2mu求得第一阶正则振型向量为求得第一阶正则振型向量为同样代入同样代入u(2)TMu(2)=1中，有中，有20011010002001mMmmm 例题：求解多自由度