函数的基本性质

1、2021/6/1612021/6/162x- -2- -1012y = x241014描点描点.画图画图 y = x2画函数画函数 y = x2 图象图象.2021/6/163 函数函数 y = x2 图象图象. y = x2问题问题2:随着随着x值的变化值的变化,y的值怎么变的值怎么变?当当x0时时,y随着随着x的增大的增大而而_当当x0时时,y随着随着x的增大的增大而而_增大增大减小减小问题问题1：函数函数y=x2的图象的图象在在y轴右侧的部分是轴右侧的部分是在在y轴左侧的部分是轴左侧的部分是问题问题3 3：怎样用数学语言表示呢？怎样用数学语言表示呢？上升上升下降下降2021/6/164定

2、义：设函数定义：设函数 f (x) 的定义域为的定义域为 I : 如果对于定义域如果对于定义域 I 内某个区间内某个区间D上的任意两个自变上的任意两个自变量的值量的值 x1，x2 ， 当当 x1 x2 时，时， 都有都有 f (x1) f (x2) ，那么就说那么就说 f (x) 在这个区间在这个区间D上是增函数上是增函数（increasing function）。 如果对于定义域如果对于定义域 I 内某个区间内某个区间D上的任意两个自变量上的任意两个自变量的值的值 x1，x2 ， 当当 x1 f (x2)，那么就说那么就说 f (x) 在这个区间在这个区间D上是减函数上是减函数(decrea

3、sing function).y = f (x)f (x1)f (x2)x1x2y = f (x)x1x2f (x1)f (x2)2021/6/165定义定义：如果函数：如果函数 y = f (x) 在某个区间是增函数或减在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数函数，那么就说函数 y = f (x) 在这一区间具有（严在这一区间具有（严格的）格的）单调性单调性，这一区间，叫做，这一区间，叫做 y = f (x) 的的单调区单调区间间. 注意：注意： （1）函数是增函数，还是减函数，是对函数定）函数是增函数，还是减函数，是对函数定义域内的某个区间来说的义域内的某个区间来说的. 函数的增减性，是函

4、数函数的增减性，是函数的局部性质，不是整体性质的局部性质，不是整体性质. （2）在单调区间上的增函数的图象从左向右是）在单调区间上的增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象是下降的上升的，减函数的图象是下降的. （3）如果函数在某个区间上又有增，又有减，）如果函数在某个区间上又有增，又有减， 那么这个函数在这个区间上不具有单调性那么这个函数在这个区间上不具有单调性.单调性和单调区间单调性和单调区间2021/6/166 例例 1 下图是定义在闭区间下图是定义在闭区间 - -5 ，5 上的函数上的函数 y = f (x) 的图象，根据图象说出的图象，根据图象说出 y = f (x) 的单调区的单

5、调区间，以及在每一单调区间上，间，以及在每一单调区间上， y = f (x) 是增函数还是增函数还是减函数是减函数 .y = f (x) 注：要想知道函数在某一区间是否具有单调性，注：要想知道函数在某一区间是否具有单调性，常常用图象来观察，严格来说，最后应该用单调性常常用图象来观察，严格来说，最后应该用单调性的定义进行证明的定义进行证明.2021/6/167调性证明。将增大。试用函数的单压强减少时，气体，当体积告诉我们，对一定量的为正常数）物理学中的玻意耳定律例PVkVkP(22021/6/168证明你的结论上的单调性是怎样的它在定义域是什么这个函数的定义域的图象画出反比例函数?)2(?) 1

6、 (,1IIxy 回家作业回家作业: P36页第页第3、4题题2021/6/169分析：分析：函数的单调性是对某个区间而言的，对函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因此没有增减变化，所以不存在单调性常数，因此没有增减变化，所以不存在单调性问题；另一方面，中学阶段研究的是连续函数问题；另一方面，中学阶段研究的是连续函数或分段连续函数，对于闭区间的连续函数而言，或分段连续函数，对于闭区间的连续函数而言，只要在开区间单调，则它在闭区间也单调。因只要在开区间单调，则它在闭区间也单调。因此在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都此在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以（要注意端点是否在定义域范围内）。可以（要注意端点是否在定义域范围内）。说明：要了解函数在某一区间上是否具有单调说明：要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图上进行观察是一种常用而