固体物理习题3-4解答

1、第三章、晶体的结合和弹性第三章、晶体的结合和弹性 原子如何相互作用结合成固体原子如何相互作用结合成固体 5种结合类型种结合类型 根据结合力性质，晶体可以分为根据结合力性质，晶体可以分为5种类型种类型 离子晶体：离子键离子晶体：离子键 原子晶体：共价键原子晶体：共价键 金属晶体：金属键金属晶体：金属键 分子晶体：范德瓦耳斯结合分子晶体：范德瓦耳斯结合 氢键晶体：氢键氢键晶体：氢键概念概念1 1内聚能内聚能以自由原子的能量为参考点，原子组成晶体后系统能量的降低称以自由原子的能量为参考点，原子组成晶体后系统能量的降低称为内聚能，也就是把一个晶体拆散成它的组成单元时，外界需提为内聚能，也就是把一个晶体

2、拆散成它的组成单元时，外界需提供的能量。供的能量。它表示晶体结合的强弱，组成晶体时放出的能量多，拆散时供给它表示晶体结合的强弱，组成晶体时放出的能量多，拆散时供给的能量也多，内聚能就大。的能量也多，内聚能就大。概念概念2 2平衡距离平衡距离( )mnabu rrr吸引：异性电荷库仑力吸引：异性电荷库仑力排斥：同性电荷库仑力、泡利原理引起排斥：同性电荷库仑力、泡利原理引起 内内聚聚能能 )1(, 00minnmraruruambnrrrrurfmmno产生吸引和排斥的物理原因和晶体具体的产生吸引和排斥的物理原因和晶体具体的结合方式有关结合方式有关概念概念3 3体积弹性模量体积弹性模量 弹性模量弹

3、性模量Bm， 表明在温度不变时，随压力的变化体积表明在温度不变时，随压力的变化体积的变化的变化 dU=TdS pdV， 不考虑热效应不考虑热效应TmVPVB)(22222() ,mmUBVVUrBVUNu VNvrV 概念概念4 4电负性电负性 原子对价电子吸引能力原子对价电子吸引能力 电离能电离能Wi： 亲和能亲和能Wa： 同一周期从左至右，电负性值递增；同一周期从左至右，电负性值递增； 同族元素从上到下，元素电负性值递减同族元素从上到下，元素电负性值递减)(3 . 61aiWW 只有有电负性相差较大的元素之间才能形成离子键。只有有电负性相差较大的元素之间才能形成离子键。概念概念5 5 Le

4、nnardLennardJonesJones势势126( )4u rrr LennardJones势势r = 时，时，u( ) = 0，这时吸引能与排斥能相等；，这时吸引能与排斥能相等； 的物理意义是两分子间的结合能的物理意义是两分子间的结合能范德瓦尔斯力结合范德瓦尔斯力结合概念概念5 5共价键共价键 两个原子各贡献一个电子成为共用的电子对两个原子各贡献一个电子成为共用的电子对 方向性、饱和性方向性、饱和性 极性和非极性极性和非极性 键和键和键键 轨道杂化：轨道杂化：在同一个原子中能量相近的不同类在同一个原子中能量相近的不同类型的几个原子轨道在成键时可以相互叠加而组型的几个原子轨道在成键时可以

5、相互叠加而组成同等数量的能量完全相同的杂化原子轨道成同等数量的能量完全相同的杂化原子轨道概念概念6-6-氢键氢键氢键表示为氢键表示为 XH Y氢同时和两个电负性很大而原子半径较小的原子相结合氢同时和两个电负性很大而原子半径较小的原子相结合饱和性饱和性结合能：结合能： 10 kcal/mol离子晶体 离子键离子键 结合能结合能 150 kcal/mol，经典模型计算经典模型计算 马德隆常数马德隆常数 导电性差、熔点高、硬度高、膨胀系数小导电性差、熔点高、硬度高、膨胀系数小 无方向性和饱和性无方向性和饱和性 高配位数高配位数 正负离子半径比决定结构正负离子半径比决定结构 CsCl、NaCl、ZnS

6、分子晶体 分子之间的结合力：范德瓦耳斯力分子之间的结合力：范德瓦耳斯力 弥散力弥散力 取向力取向力 感应力感应力 结合弱，结合弱， 1 kcal/mol，熔点低，经典计算熔点低，经典计算 电子云分布球对称，密堆，面心立方电子云分布球对称，密堆，面心立方126( )4u rrr 共价晶体 共价键的饱和性确定配位数共价键的饱和性确定配位数 方向性确定结构方向性确定结构 C、Si、Ge：金刚石结构：金刚石结构 AN B8-N型化合物晶体，型化合物晶体， 共价键数目共价键数目 配位数配位数 GaAs：闪锌矿结构，配位数：闪锌矿结构，配位数4 两个原子把所有价电子共用，两个原子都形成两个原子把所有价电子

7、共用，两个原子都形成8电电子稳定结构子稳定结构 结合能结合能 150 kcal/mol 熔点高、硬度高、熔点高、硬度高、导电性差导电性差 量子力学方法计算量子力学方法计算金属晶体金属晶体 电子的共有化：自由电子气电子的共有化：自由电子气 导电、导热、金属光泽导电、导热、金属光泽 电子云与原子实之间的吸引力没有方向性，对结构没有限制，排电子云与原子实之间的吸引力没有方向性，对结构没有限制，排列紧密列紧密 面心立方（面心立方（Cu 、Ag 、Al )、六角密排、六角密排(Be 、 Mg、Zn )，少量体心，少量体心立方立方(Li、Mo、W) 结合能：结合能： 50 kcal/mol，量子力学计算量

8、子力学计算氢键晶体氢键晶体氢键表示为氢键表示为 XH Y氢同时和两个电负性很大而原子半径较小的原子相结合氢同时和两个电负性很大而原子半径较小的原子相结合饱和性饱和性结合能：结合能： 10 kcal/mol典型晶体：典型晶体：H2O、HF、KH2PO4（KDP）等）等第三章 习题1、一维等间距排列的离子晶体的马德隆常数2ln22ln24131211 2ln1432)1ln(4131211 20, 0,)1(43200 xxxxxxaaRRajjjj取取左边左边右边右边为原点为原点以某一原子点以某一原子点2、NaCl的每对离子内聚能 NaCl晶格常数2r0,每个晶胞有4对NaCl8 . 71025

9、. 1)11(4,36)1(282. 01082. 241002. 645.58)2(16. 2170024002802330 nJnrMeNUrMenBnmcmrrcm 3、LiF100223423000 020.2014(1)11012.8 10,(1)3646.02 106.32,.,7.23 10/cmmrnmUnMeMeBJrNrnnBNm 4、37. 1131/,2),(23 rrarrraCsCl结构，r-/r+1.37NaCl结构，r-/r+ r0时时, 吸引力起主导作用吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离当相邻原子间的距离 r0时时, 吸引力起主导作用吸引力起主导作用; 当

10、相邻原子间的距离当相邻原子间的距离r r0时时, 排排斥力起主导作用斥力起主导作用. 当固体受挤压时当固体受挤压时, r r0, 原子间的吸引力抗击着这一形变原子间的吸引力抗击着这一形变. 固体呈现宏观弹性的微观本质是固体呈现宏观弹性的微观本质是原子间存在着相互作用原子间存在着相互作用力力, 这种这种作用力既包含着吸引力作用力既包含着吸引力, 又包含着排斥力又包含着排斥力. 第四章第四章 晶格振动晶格振动 在平衡位置附近的振动在平衡位置附近的振动 简谐近似简谐近似 振动模式是独立的、分立的振动模式是独立的、分立的 振动模式可以用简谐振子来描述，谐振子的能量量子称为声子（正则变振动模式可以用简谐

11、振子来描述，谐振子的能量量子称为声子（正则变换）换） 晶格振动具有波的性质格波晶格振动具有波的性质格波一维单原子链一维单原子链 原子之间的互作用势原子之间的互作用势运动方程运动方程 近似：近似： 只考虑势能的二阶近似（简谐力）只考虑势能的二阶近似（简谐力） 只考虑近邻相互作用只考虑近邻相互作用 ：恢复力常数：恢复力常数22()ad Udr 12sin2aqm )(tnaqinAe 简谐近似下，格波是简谐平面波简谐近似下，格波是简谐平面波 晶格中原子间的振动存在固定的位相关系，即在晶格中原子间的振动存在固定的位相关系，即在晶体中存在着角频率为晶体中存在着角频率为 的平面波的平面波格波格波 波长波

12、长 BornKarman边界条件边界条件 长波极限长波极限q 2 qaa 简约区简约区hNaq 2h =整数整数ll 一个波长内包含许多原子，晶格看作是连续介质一个波长内包含许多原子，晶格看作是连续介质12sin2aqm )(tnaqinAe 一维双原子链的振动一维双原子链的振动 声频支和光频支声频支和光频支 光频支：光频支：光波的电场可以激发的晶格振动光波的电场可以激发的晶格振动 原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反，原原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反，原胞中的两种原子基本上作相对振动，而原胞的质胞中的两种原子基本上作相对振动，而原胞的质心基本保持不动心基本保持不动 声频支：声频支：

13、 原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞基原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原子基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原子基本上无相对振动本上无相对振动aaaq 2aM 2am 0q 00 1102Mm 轻原子不动轻原子不动重原子不动重原子不动122aqqMm 简振坐标 不是描述某个原子运动的坐标，而是反不是描述某个原子运动的坐标，而是反映晶体中所有原子整体运动的坐标映晶体中所有原子整体运动的坐标晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为一种晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为一种振动模式振动模式jjj12En 能量本征值：能量本征值

14、：j0,1,2,n l 声子是晶格振动的能量量子声子是晶格振动的能量量子 j或格波的能量量子或格波的能量量子11)( KTqeqn 声子具有能量声子具有能量 ，也具有准动量，也具有准动量 ，一种准粒子，一种准粒子声子是波色子声子是波色子jq晶格振动的模式数j色散关系的个数，即格波的支数：由原胞内的原子个数决色散关系的个数，即格波的支数：由原胞内的原子个数决定和晶体的维度决定定和晶体的维度决定3n，其中，其中3支声频支，支声频支，3n3支光频支支光频支波矢波矢q的取值在的取值在1BZ中，数目由晶体中原胞的数目决定中，数目由晶体中原胞的数目决定N总的晶格振动的模式数总的晶格振动的模式数3nNnNi

15、iiqqnE31)(21)(晶格振动总的能量晶格振动总的能量晶格振动波矢的总数晶体的原胞数晶格振动波矢的总数晶体的原胞数晶格振动格波的总数晶体的自由度数晶格振动格波的总数晶体的自由度数 在在 空间中，波矢空间中，波矢 的分布密度：的分布密度： 3.8Vconstqqq格波频谱密度格波频谱密度g( g( ) ) qdq d 振动的频率分布函数振动的频率分布函数g( )振动模的态振动模的态密度函数密度函数 jj38qVdSg 黄昆方程 电磁波与长光学模的相互作用电磁波与长光学模的相互作用 离子相对位移离子相对位移W，宏观极化，宏观极化P、电场、电场E11121222Wb Wb EPb Wb E 离

16、子晶体中，长光学离子晶体中，长光学纵纵波使晶格出现宏观极化波使晶格出现宏观极化极化波极化波长光学长光学纵纵波声子极化声子波声子极化声子长光学横波具有长光学横波具有电磁性电磁性，长光学横波声子（长光学横波声子（TO)是是电磁声子电磁声子22( )(0)ToLo LST关系关系Lyddane-Sachs-Teller222222(0)( ), ( )( )LOLOTOTO 晶格比热 杜隆珀替定律杜隆珀替定律 由晶格振动的内能推导晶格比热由晶格振动的内能推导晶格比热 爱因斯坦近似：爱因斯坦近似：所有原子都以所有原子都以 0振动，爱因斯坦温度振动，爱因斯坦温度 德拜近似：低温下热只能激发长波声子，德拜

17、温度德拜近似：低温下热只能激发长波声子，德拜温度在一定温度下，晶格振动的总能量为：在一定温度下，晶格振动的总能量为：01( )2exp1BEEE Tk Tjjjjj物态方程lnlnddV Grneisen const.晶格状态方程：晶格状态方程：dUEpdVV 与晶格振动的非简谐性有关与晶格振动的非简谐性有关31统计物理，统计物理，F2=kBTlnZ配分函数配分函数 对所有晶格振动的能级相加对所有晶格振动的能级相加/iBEk TZe 热膨胀热膨胀VmCBV Grneisen定律定律热膨胀和非线性振动有关，体积膨胀和热振动成正比，热膨胀和非线性振动有关，体积膨胀和热振动成正比，和定容比热成正比和

18、定容比热成正比晶格热传导声子是晶格振动的能量量子，声子的定向运动即为热流声子是晶格振动的能量量子，声子的定向运动即为热流晶格热传导是晶格热传导是“声子声子”扩散运动的结果扩散运动的结果vckv31声子通过和晶体中其它声子发生碰撞，总使得温声子通过和晶体中其它声子发生碰撞，总使得温度较低的区域具有同样的度较低的区域具有同样的“声子声子”密度密度 温度较高的区域将有产生较多的振动模式和具有较温度较高的区域将有产生较多的振动模式和具有较大的振动幅度，即有较多的声子被激发，大的振动幅度，即有较多的声子被激发，“声子声子”密度密度高高晶体中声子数目是否守恒? i11)(/TkiBien频率为频率为的格波

19、的的格波的(平均平均) 声子数为声子数为即每一个格波的声子数都与温度有关即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此因此, 晶体中晶体中声子数目不守恒声子数目不守恒, 它是温度的变量它是温度的变量.按照德拜模型按照德拜模型, 晶体中的声子数目晶体中的声子数目N为为.d2311d )()(0322/0DBiDpcTkVeDnNgTkVNpDBc3322343高温时高温时, 晶体中的声子数晶体中的声子数目与温度成正比目与温度成正比. 低温时低温时, 晶体中的声子数目与晶体中的声子数目与T 3成正比成正比. 温度一定，一个光学波的声子数目多温度一定，一个光学波的声子数目多, , 还是声还是声学波的声子数

20、目多学波的声子数目多? ? 光学波的频率比声学波的频率高光学波的频率比声学波的频率高 11)(/TkiBien一定情况下一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目声学波的声子数目 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化? 长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化, 其其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负正负离子离子)产生了相对位移产生了相对位移. 长声学格波的特点是长声学格波的特点是, 原原胞内所有的原子没有相对位移胞内所有的原子没有相对位移. 因此因此, 长声学格长声学格

21、波不能导致离子晶体的宏观极化波不能导致离子晶体的宏观极化.金刚石中的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率是否相等? 对KCl晶体, 结论又是什么? 长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移, 离子的相对位离子的相对位移产生出宏观极化电场移产生出宏观极化电场, 电场的方向是阻滞离子的位移电场的方向是阻滞离子的位移, 使得有效使得有效恢复力系数变大恢复力系数变大, 对应的格波的频率变高对应的格波的频率变高. 长光学格横波不引起离长光学格横波不引起离子的位移子的位移, 不产生极化电场不产生极化电场, 格波的频率不变格波的频率不变. 金刚石不是离子晶金刚

22、石不是离子晶体体, 其长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率相等其长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率相等. 而而KCl晶体是离子晶体晶体是离子晶体, 它的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波它的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率不相等频率不相等, 长光学纵波频率大于同波矢的长光学格横波频率长光学纵波频率大于同波矢的长光学格横波频率. 简单晶格存在强烈的红外吸收吗？ 离子晶体能强烈吸收远红外光波离子晶体能强烈吸收远红外光波. 这种现象产生的根源是离子晶这种现象产生的根源是离子晶体中的长光学横波能与远红外电磁场发生强烈耦合体中的长光学横波能与远红外电磁场发生强烈耦合. 简单晶格中简单

23、晶格中不存在光学波不存在光学波, 所以简单晶格不会吸收远红外光波所以简单晶格不会吸收远红外光波. 格波的频率与格波的频率与 成正比成正比. 说明该光学横波对应的恢复力系说明该光学横波对应的恢复力系数数 , 时时, 恢复力消失恢复力消失, 发生了位移的离子再也回不到原来发生了位移的离子再也回不到原来的平衡位置的平衡位置, 而到达另一平衡位置而到达另一平衡位置, 即离子晶体结构发生了改变即离子晶体结构发生了改变(称为相变称为相变). 在这一新的结构中在这一新的结构中, 正负离子存在固定的位移偶极矩正负离子存在固定的位移偶极矩, 即产生了自发极化即产生了自发极化, 产生了一个稳定的极化电场产生了一个

24、稳定的极化电场 0T00如何理解铁电相变的软模理论 爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么是什么? ? 按照爱因斯坦温度的定义按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为爱因斯坦模型的格波的频率大约为1013Hz, 属于光学支频率属于光学支频率. 但光学格波在低温时对热容的贡献非常但光学格波在低温时对热容的贡献非常小小, 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波低温下对热容贡献大的主要是长声学格波. 也就是说爱因斯坦也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源偏差的根源. iiiin21iinin2/i11/TkiBienin在绝对零度时还有格波存在吗在绝对零度时还有格波存在吗? 若存在若存在, 格波间还有能量交换吗格波间还有能量交换吗?的格波的振动能为的格波的振动能为是由是由个声子携带的热振动能个声子携带的热振动能是零点振动能是零