弹性力学第1章绪论自编

1、1Chapter 1. Introduction弹性力学弹性力学 Elasticity教材教材: 徐芝伦徐芝伦, 弹性力学简明教程弹性力学简明教程(第第3版版), 高等教育出版社高等教育出版社, 2003.弹性力学弹性力学 第第1 1章章 绪论绪论弹性力学是弹性力学是研究弹性体在外力作用下变形规律的一门科学。研究弹性体在外力作用下变形规律的一门科学。一一. . 弹性力学弹性力学二二. . 弹性力学的任务弹性力学的任务弹性力学是弹性力学是固体力学的一个分支。固体力学的一个分支。在外部因素作用下，在外部因素作用下，分析分析各种结构物或构件在弹性阶段的应力和各种结构物或构件在弹性阶段的应力和位移，校

2、核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。的计算方法。1.1 弹性力学的研究内容弹性力学的研究内容研究内容研究内容基本假设基本假设课程比较课程比较发展简史发展简史基本概念基本概念研究内容研究内容弹性力学研究对象是板、壳、杆件和实体结构弹性力学研究对象是板、壳、杆件和实体结构。研究方法研究方法弹性力学弹性力学 第第1 1章章 绪论绪论结构力学：结构力学： 3、弹性力学、材料力学及结构力学的比较、弹性力学、材料力学及结构力学的比较材料力学材料力学:主要研究杆系结构的内力与位移（在材力基础上）主要研究杆系结构的内力与位移（在材

3、力基础上）。主要研究杆状构件。主要研究杆状构件。弹性力学弹性力学: 主要研究板壳与实体结构。对杆状构件作进一步主要研究板壳与实体结构。对杆状构件作进一步的精确分析。的精确分析。研究内容研究内容基本假设基本假设课程比较课程比较发展简史发展简史基本概念基本概念课程比较课程比较共同点：研究对象都是变形体。共同点：研究对象都是变形体。1.1 弹性力学的研究内容弹性力学的研究内容研究方法研究方法弹性力学弹性力学 第第1 1章章 绪论绪论弹性力学：研究对象不止研究杆，还研究板、壳及实体结构。就研究弹性力学：研究对象不止研究杆，还研究板、壳及实体结构。就研究杆而言，弹性力学没有采用平截面假设（研究方法不同）

4、，解决问题杆而言，弹性力学没有采用平截面假设（研究方法不同），解决问题的能力（精度）不同。的能力（精度）不同。材料力学：研究单根杆件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力材料力学：研究单根杆件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力与位移，分析过程中引用了平截面假定，因而大大简化了数学计算与位移，分析过程中引用了平截面假定，因而大大简化了数学计算，是一种近似理论，其精度可由弹性力学理论来评价。，是一种近似理论，其精度可由弹性力学理论来评价。4. 研究方法的比较研究方法的比较研究内容研究内容基本假设基本假设课程比较课程比较发展简史发展简史基本概念基本概念课程比较课程比较如：如：1) 杆件的弯曲问题杆件

5、的弯曲问题材料力学由于引用平截面假定，得出的结论是横截面上正应力是线性材料力学由于引用平截面假定，得出的结论是横截面上正应力是线性分布的，而弹力研究表明：当梁高分布的，而弹力研究表明：当梁高hL/4（四分之一梁长）时，材力（四分之一梁长）时，材力结果比较精确，当梁高结果比较精确，当梁高hL/4（四分之一梁长）时，正应力是按曲线（四分之一梁长）时，正应力是按曲线分布的，材力结果误差就大了。分布的，材力结果误差就大了。1.1 弹性力学的研究内容弹性力学的研究内容研究方法研究方法弹性力学弹性力学 第第1 1章章 绪论绪论研究内容研究内容基本假设基本假设课程比较课程比较发展简史发展简史基本概念基本概念

6、课程比较课程比较2）应力集中问题）应力集中问题应力集中问题在工程中是很重要的，计算具有小圆孔的受拉平应力集中问题在工程中是很重要的，计算具有小圆孔的受拉平板时，按材力的方法得出的应力在净截面上分布是均匀的，这板时，按材力的方法得出的应力在净截面上分布是均匀的，这与实际情况不符，实际情况在孔边有应力集中。采用弹性力学与实际情况不符，实际情况在孔边有应力集中。采用弹性力学求解可以得出这一结果。求解可以得出这一结果。1.1 弹性力学的研究内容弹性力学的研究内容研究方法研究方法弹性力学弹性力学 第第1 1章章 绪论绪论 发展初期：从发展初期：从Hooke 实验实验 (1660) 开始到开始到Navie

7、r 和和 Cauchy (1821)提提出弹性力学的基本方程为止。这段时期还没有一套成熟的理论；出弹性力学的基本方程为止。这段时期还没有一套成熟的理论； 5 发展简史发展简史研究内容研究内容基本假设基本假设课程比较课程比较发展简史发展简史基本概念基本概念发展简史发展简史 理论基础建立期，从理论基础建立期，从Navier和和Cauchy提出基本方程提出基本方程(1821)到到Green(1838) 和和Thomson (1855)确定弹性系数为确定弹性系数为21个止。个止。 这段时期理论基本成这段时期理论基本成熟，已经把物理问题或工程问题化成数学边值问题求解。熟，已经把物理问题或工程问题化成数学

8、边值问题求解。 鉴于弹性力学方程的复杂性，以后的发展多在方程的解法上。历史鉴于弹性力学方程的复杂性，以后的发展多在方程的解法上。历史上比较著名的有：上比较著名的有：Saint-Venant 提出了柱体扭转和弯曲问题的半逆解法提出了柱体扭转和弯曲问题的半逆解法(1855-1856)；Airy 用应力函数解决了平面应力问题用应力函数解决了平面应力问题(1862)；Hertz 解决了解决了两弹性体局部接触的问题两弹性体局部接触的问题(1882)；Kirsch解决了圆孔的应力集中解决了圆孔的应力集中(1898)；Kirchhoff 解决了平板的平衡和振动问题解决了平板的平衡和振动问题(1850及以后及

9、以后)；Aron 探讨了薄壳探讨了薄壳问题问题(1874)等。等。1.1 弹性力学的研究内容弹性力学的研究内容研究方法研究方法弹性力学弹性力学 第第1 1章章 绪论绪论研究内容研究内容基本假设基本假设课程比较课程比较发展简史发展简史基本概念基本概念发展简史发展简史 19世纪世纪50 年代至年代至20 世纪世纪50 年代，弹性力学理论和应用得到大的发年代，弹性力学理论和应用得到大的发展，如弹性力学虚功原理和最小势能原理的建立，展，如弹性力学虚功原理和最小势能原理的建立，Betti互等定理的证明互等定理的证明(1872 )和和Castigliano提出了应变能原理提出了应变能原理(1873) ，E

10、ngesser提出了应变余能提出了应变余能的概念的概念(1889 )以及以及Westergaard得出了最小余能原理得出了最小余能原理(1941)，后来，后来Reissner (1950)及胡海昌及胡海昌(1954) -Washizu (1956)系统发展了弹性力学的变分原理及系统发展了弹性力学的变分原理及方法，方法，Prandtl提出了扭转问题的薄膜比拟法提出了扭转问题的薄膜比拟法(1903) 。 20世纪世纪30年代，前苏联学者年代，前苏联学者Muskhelishivili还成功地发展了弹性力学还成功地发展了弹性力学复变函数解法。由于弹性力学基本方程的复杂性，要求解工程提出的各复变函数解法

11、。由于弹性力学基本方程的复杂性，要求解工程提出的各种问题的精确解十分困难，人们一直在寻求近似解，比较著名的有种问题的精确解十分困难，人们一直在寻求近似解，比较著名的有Ritz (1908) 法和法和Galerkin (1915)法，并经后人的发展成为近代近似计算的基础法，并经后人的发展成为近代近似计算的基础(有限元法有限元法)。 1.1 弹性力学的研究内容弹性力学的研究内容研究方法研究方法弹性力学弹性力学 第第1 1章章 绪论绪论 1.2 几个基本概念几个基本概念一、一、 外力：外力：1、体力、体力：连续分布在物体体积内的力。如重力、惯性力连续分布在物体体积内的力。如重力、惯性力外部因素对物体

12、作用所产生的力可以分为体力与面力外部因素对物体作用所产生的力可以分为体力与面力30lim(N/m )TxyzVFffffV rr研究内容研究内容基本假设基本假设发展简史发展简史基本概念基本概念基本概念基本概念课程比较课程比较研究方法研究方法体力的表示：体积内某一点体力的表示：体积内某一点P所受到的体力大小和方向可表示为：所受到的体力大小和方向可表示为：设含设含P点的体积（点的体积（ ）的体力为）的体力为 ，则，则 的平均体力为：的平均体力为： ，当，当 不断减少，最后趋于不断减少，最后趋于P点时，平均体力趋于一定点时，平均体力趋于一定的极限的极限 即：即： VFrVFVrVfr 沿坐标轴正向为

13、正，反之为负。沿坐标轴正向为正，反之为负。 即为物体在即为物体在P点所受的体力，其方向为点所受的体力，其方向为 的极限方向。的极限方向。在坐标轴上的投影为在坐标轴上的投影为 是物体在是物体在P点的体力分量。点的体力分量。 单位为单位为:N/m3frFrxyzfff弹性力学弹性力学 第第1 1章章 绪论绪论 1.2 几个基本概念几个基本概念 2、面力、面力：分布在物体表面上的外力。如：静水压力、大气压力：分布在物体表面上的外力。如：静水压力、大气压力 面力的表示：面力的表示：20lim(N/m )SFS f研究内容研究内容基本假设基本假设发展简史发展简史基本概念基本概念基本概念基本概念课程比较课

14、程比较研究方法研究方法面积内某一点面积内某一点P所受到的面力大小和方向可表示为：所受到的面力大小和方向可表示为：设含设含P点的面积（点的面积（ ）的面力为）的面力为 ，则，则 的平均面力为：的平均面力为： ，当，当 不断减少，最后趋于不断减少，最后趋于P点时，平均面力趋于一定点时，平均面力趋于一定的极限的极限 即：即： SFSFSSfTzyxfff),( 沿坐标轴正向为正，反之为负。沿坐标轴正向为正，反之为负。 即为物体在即为物体在P点所受的面力，其方向为点所受的面力，其方向为 的极限方向。的极限方向。在坐标轴上的投影为在坐标轴上的投影为 是物体在是物体在P点的面力分量。点的面力分量。 单位为

15、单位为:N/m2fQyfSxzoF弹性力学弹性力学 第第1 1章章 绪论绪论二、内力和应力二、内力和应力2 2、应力描述、应力描述1 1、内力：内力是指、内力：内力是指在外力作用下物体内在外力作用下物体内部不同部分之间的相互作用力。用应力来部不同部分之间的相互作用力。用应力来描述物体内一点描述物体内一点P P的内力。的内力。 1.2 几个基本概念几个基本概念研究内容研究内容基本假设基本假设课程比较课程比较发展简史发展简史基本概念基本概念基本概念基本概念研究方法研究方法设截面设截面mnmn经过经过P P点，将物体分为点，将物体分为A A、B B两部分两部分取取A A部分来研究，则部分来研究，则B

16、 B部分部分对对A A部分的作用力即为它们间的内力。部分的作用力即为它们间的内力。)N/m(lim20AFAP在在A A部分部分mnmn截面上取含截面上取含P P点的小块面积点的小块面积 ，设，设B B部分对部分对 的的内力为内力为 则则 上的平均内力为：上的平均内力为： , ,当当 趋于趋于P P点，平均内力趋于点，平均内力趋于一极限一极限P P，即：，即：AFAAFAA 称称P为物体在截面为物体在截面mn上的上的P点的应力。应力点的应力。应力P的方向为的方向为 的极限方向。单位为的极限方向。单位为:N/m2F3 3、应力的分量：、应力的分量： 一般将一般将截面截面mn上的应力上的应力P沿截

17、面沿截面mn的法线和切线方向分解。法的法线和切线方向分解。法线方向分量记为线方向分量记为 ，称为正应力，切线方向分量记为，称为正应力，切线方向分量记为 ，称为剪，称为剪应力。应力。xyzmnABP弹性力学弹性力学 第第1 1章章 绪论绪论4 4、一点的应力状态、一点的应力状态很显然，物体内同一点很显然，物体内同一点P，当采用经过，当采用经过P点的不同方向的点的不同方向的mn去截时，所得去截时，所得P 1 1）、应力符号：）、应力符号： 1.2 几个基本概念几个基本概念研究内容研究内容基本假设基本假设课程比较课程比较发展简史发展简史基本概念基本概念基本概念基本概念研究方法研究方法,zyx同时，在

18、垂直同时，在垂直x轴的截面上剪应力又可分解为轴的截面上剪应力又可分解为y向和向和z向，剪应力记为向，剪应力记为 和和 xyxz点的正应力和剪应力也会不同。为统一，一般对点的正应力和剪应力也会不同。为统一，一般对P点采用沿点采用沿x、y、z轴三轴三个垂直截面去截取，个垂直截面去截取， 从而得到三个正应力，表示为从而得到三个正应力，表示为同样，在垂直同样，在垂直y轴的截面上剪应力又可分解为轴的截面上剪应力又可分解为x向和向和z向，剪应力记为向，剪应力记为 和和 同样，在垂直同样，在垂直z轴的截面上剪应力又可分解为轴的截面上剪应力又可分解为x向和向和y向，剪应力记为向，剪应力记为 和和 zyzxyz

19、yx由此可见，要完整表示一点由此可见，要完整表示一点P的应力状态，要有三个正应力的应力状态，要有三个正应力,zyx同时，还需要六个剪应力同时，还需要六个剪应力 xy， yx， xz， zx， zy， yz 为简化，用为简化，用 表示作用在垂直于表示作用在垂直于 轴的面上的正应力，且沿轴的面上的正应力，且沿 轴方向轴方向的作用。的作用。iiii可以为可以为x、y、z用用 表示剪应力，下标表示剪应力，下标 表示作用面垂直于哪一个坐标轴，表示作用面垂直于哪一个坐标轴， 表示作表示作用方向沿哪个坐标轴。用方向沿哪个坐标轴。 、 ijijij可以为可以为x、y、zxyxzyxzxyzzyxyzxyz弹性

20、力学弹性力学 第第1 1章章 绪论绪论为表示物体内同一点为表示物体内同一点P的受力状态，还可以的受力状态，还可以2 2）、微元体描述）、微元体描述xyzxyxzyxzxyzzyxyzxyz 1.2 几个基本概念几个基本概念研究内容研究内容基本假设基本假设课程比较课程比较发展简史发展简史基本概念基本概念基本概念基本概念研究方法研究方法采用微小的正平行六面体来描述，从采用微小的正平行六面体来描述，从P点点取一各棱边平行于坐标轴的正平行六面取一各棱边平行于坐标轴的正平行六面体，如图，取体，如图，取PA= PB= PC= 。xyzPACB3 3）、应力正负号规定：）、应力正负号规定：若截面的外法线方向

21、与坐标轴的正若截面的外法线方向与坐标轴的正方向一致，则该截面为正面，反之为负面。方向一致，则该截面为正面，反之为负面。正面上应力方向与坐标轴正向相同为正正面上应力方向与坐标轴正向相同为正正面正向为正正面正向为正。负面上应力与坐标轴负向相同为正负面上应力与坐标轴负向相同为正负面负向为正负面负向为正。5 5、剪力互等定理、剪力互等定理以六面体前后两面中心的直线为矩轴，建立力矩平衡方程有：以六面体前后两面中心的直线为矩轴，建立力矩平衡方程有：02222yxzxzyyxxy于是：于是：yxxy同样可以得出其余两个相似的等式，即：同样可以得出其余两个相似的等式，即：zxxzzyyz以上三式即为剪力互等定

22、理。由此确定一点的应力可以上三式即为剪力互等定理。由此确定一点的应力可由六个应力分量完全表示。即由六个应力分量完全表示。即zxyzxyzyx,弹性力学弹性力学 第第1 1章章 绪论绪论 三、形变三、形变dxdxdydyydzdzz(1)、正应变分量、正应变分量x方向：方向：y方向：方向： z方向：方向：线应变符号规定：线应变符号规定：为负为负(与正应力的正负号规定相对应）。与正应力的正负号规定相对应）。 1.2 几个基本概念几个基本概念研究内容研究内容基本假设基本假设课程比较课程比较发展简史发展简史基本概念基本概念基本概念基本概念研究方法研究方法形状的改变，微元体边长和角度的改变。形状的改变，

23、微元体边长和角度的改变。各线段的每单位长度的伸缩，称为正应变，用各线段的每单位长度的伸缩，称为正应变，用 表示，无单位。表示，无单位。各线段之间的直角的改变，以弧度示之，称为切应变，用各线段之间的直角的改变，以弧度示之，称为切应变，用 表示，无单位。表示，无单位。伸长为正，缩短伸长为正，缩短弹性力学弹性力学 第第1 1章章 绪论绪论 沿两个坐标轴正向两线段之间的直角变小为正沿两个坐标轴正向两线段之间的直角变小为正, ,变大为负。变大为负。（与剪应力正负号规定相对应）（与剪应力正负号规定相对应）之间与之间与之间与dxdzdzdydydxzxyzxyzxyzxyx、( (2 2) )剪应变分量剪应

24、变分量(2)(2)剪应变符号规定剪应变符号规定所以应变分量共有六个所以应变分量共有六个: :xddy剪应变剪应变xy1.2 几个基本概念几个基本概念研究内容研究内容基本假设基本假设课程比较课程比较发展简史发展简史基本概念基本概念基本概念基本概念研究方法研究方法弹性力学弹性力学 第第1 1章章 绪论绪论四、位移四、位移(1) 、位移分量、位移分量:沿坐标轴正向为正，负向为负。沿坐标轴正向为正，负向为负。wzvyux:方向沿方向沿方向沿uvwxyz(2)、位移的符号规定：、位移的符号规定： 物体的形状、尺寸、体力、面力、约束情况、材料的物理常数。物体的形状、尺寸、体力、面力、约束情况、材料的物理常

25、数。应力、应变、位移共应力、应变、位移共15个未知个未知场函数场函数。五、已知量和待求量五、已知量和待求量(1)、已知量、已知量(2)、待求量、待求量1.2 几个基本概念几个基本概念研究内容研究内容基本假设基本假设课程比较课程比较发展简史发展简史基本概念基本概念基本概念基本概念研究方法研究方法弹性力学弹性力学 第第1 1章章 绪论绪论1.3 弹性力学的基本假设弹性力学的基本假设1、连续性假设：、连续性假设：2、均匀性假设、均匀性假设作用：作用： 各物理量连续变化各物理量连续变化连续函数连续函数 3、各向同性假设、各向同性假设可取任意单元体研究，其结果可以应用于可取任意单元体研究，其结果可以应用

26、于整个物体整个物体作用：均匀作用：均匀物体内任取两点它们的物质构成及物性都相同；物体内任取两点它们的物质构成及物性都相同；物体内任一点材料沿着各个方向的性质相同；物体内任一点材料沿着各个方向的性质相同；研究内容研究内容课程比较课程比较发展简史发展简史基本概念基本概念基本假设基本假设弹性力学跟其它科学一样，都是在假设的基础上建立起来的，伟弹性力学跟其它科学一样，都是在假设的基础上建立起来的，伟人恩格斯在人恩格斯在“自然辩证法自然辩证法”中写道：中写道：“只要自然科学在思维着，只要自然科学在思维着，它的发展形式就是假设它的发展形式就是假设”。弹性力学中通常采用。弹性力学中通常采用5个基本假设：个基

27、本假设：即认为物体被物体的介质充满，内部无空隙，表面无裂缝。即认为物体被物体的介质充满，内部无空隙，表面无裂缝。作用：作用：可保证整个物体只需两个材料常数来描述可保证整个物体只需两个材料常数来描述其弹性性质，即弹性模量与泊松比。其弹性性质，即弹性模量与泊松比。研究方法研究方法弹性力学弹性力学 第第1 1章章 绪论绪论 应变、位移是微小的应变、位移是微小的：物体内各点的位移远小于物体原来的：物体内各点的位移远小于物体原来的尺寸；转角、应变均远小于。因此，在建立平衡条件时，仍采尺寸；转角、应变均远小于。因此，在建立平衡条件时，仍采用变形前的形状与尺寸，忽略载荷位置的改变，在研究应变、位用变形前的形

28、状与尺寸，忽略载荷位置的改变，在研究应变、位移时，可忽略高阶微量。移时，可忽略高阶微量。5、小变形假设、小变形假设保证所研究的问题是保证所研究的问题是线性问题线性问题，可以应用叠加原理。，可以应用叠加原理。 物体的物体的变形是完全弹性的变形是完全弹性的，受力与变形之间的关系符合线性，受力与变形之间的关系符合线性 关系关系。引起变形的力消除，变形消失。引起变形的力消除，变形消失。4、完全弹性假设、完全弹性假设1.3 弹性力学的基本假设弹性力学的基本假设研究内容研究内容课程比较课程比较发展简史发展简史基本概念基本概念基本假设基本假设作用：应力应变完全符合虎克定律。作用：应力应变完全符合虎克定律。作

29、用：在建立物体受力后的平衡方程时，可以用变形前的尺寸来分析。作用：在建立物体受力后的平衡方程时，可以用变形前的尺寸来分析。研究方法研究方法弹性力学弹性力学 第第1 1章章 绪论绪论1.4 弹性力学的基本研究方法弹性力学的基本研究方法1、弹性力学求解问题的思路：、弹性力学求解问题的思路：研究内容研究内容课程比较课程比较发展简史发展简史基本概念基本概念基本假设基本假设弹性力学求解问题时，假想物体内部为许多个单元六面体弹性力学求解问题时，假想物体内部为许多个单元六面体和表面为许多个单元四面体所组成。考虑单元体平衡得一和表面为许多个单元四面体所组成。考虑单元体平衡得一组平衡微分方程；由于未知应力数总是多于平衡微分方程组平衡微分方程；由于未知应力数总是多于平衡微分方程数（即为超静定）必须（从应变连续性着手）考虑变形条数（即为超静定）必须（从应变连续性着手）考虑变形条件，得应力与位移关系的一组方程，还需考虑广义虎克定件，得应力与位移关系的一组方程，