SARS传播地数学模型39281

1、SARS专播的数学模型摘要通过对题目附件1的SARS真型进行分析和评价，加深了对SARS勺认识和了解。根据传染病的传播特点，建立了关于SARSW人率和疑似病人率两个常微分方程模型。以所给数据为基本依据，用Matlab软件进行数值计算，与图形模拟方法求得模型中的有关参数。当入1=1.5和入2=1时，理论图形与实际图形有良好的吻合，分别得到了SARS病人率和疑似病人率比较符合实际数据的变化图，能正确地预测它们的发展趋势。他们对于模型中的参数有非常强的灵感性，入1的值作微小的改变对于整个疫情的发展有很大的影响，所以政府采取对SARSgE情的有关措施是完全正确的。本文重点分析了关于SARSW人率的模型

2、一，根据求得的参数，利用相轨线理论对结果加以分析并对整个疫情作出预测，并推论出SAR朝人率关于t的表达式i(t),然后提出了对传染病的控制方案，同时列举了具体方法，并论证了方法的合理性和可行性，用其它地区的数据对模型进行检验，说明模型的参数有区域性。关键词：SARS微分方程曲线拟合数学模型相轨线、问题的提出SARS谷称非典型肺炎，是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。我国作为发展中大国深受其害：SARS勺爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响。在党和政府的统一领导下，全国人民与SARS1强抗争，取得了可喜的阶段性胜利，并从中得到了许多重要的经验和教训，认识到在没有找出真正病因和

3、有效治愈方法前，政府采取的强制性政策对抑制SARS自然发展最有效办法。而本题的目的就是要建立一个适当的模型对SARS专播规律进行定量地分析、研究，为预测和控制SARSK延提供可靠、足够的信息，无论对现在还是将来都有其重要的现实意义。二、模型的假设1 .地总人数N可视为常数，即流入人口等于流出人口。2 .据人口所处的健康状态，将人群分为：健康者，SARSW人，退出者(被治愈者、免疫者和死亡者)。3 .在政府的强制措施下，人口基本不流动，故无病源的流入和流出，避免了交叉感染，降低了感染基数。4 .隔离的人断绝了与外界的联系，不具有传染性。5 .SARSS复者二度感染的概率为006 .国家完善了监控

4、手段，加强了对SARSW毒监控的力度，故可假设所有感染SARS病毒的人群都进入了SARSW人类和疑似类。7 .由于对SARSW原体的研究不够深入，无有效药物可以使人体免疫，同时SARSW毒感染后，大量繁殖，破坏免疫系统，故不可免疫。三、模型的建立(一)参数的设定和符号说明s(t):t时刻健康者在总体人群中的比例i(t):t时刻SARM人在总体人群中的比例l(t):t时刻疑似病人在总体人群中的比例r(t):t时刻被治愈者、死亡者和免疫者在总体人群中的比例之和九：SARSW人日接触率。为每个病人每天有效接触(足以使健康者受感染变为病人)的平均人数。u:日治愈率。为每天被治愈的病人占病人总数的比例。

5、u:日转化率。为每天危险群体中的疑似病人被确诊为SARSt者的比例。n:日死亡率。为每天SAR3W人死亡的数量和当天病人总数量的比值。7、2：疑似感染率。为每天感染为疑似病人的比例。(二)模型建立模型一感染为SARSS者情况由假设，每个病人每天可使九is(t)个健康者变为病人，因为病人人数为Ni(t),所以每天共有AiNs(t)i(t)个健康者被感染，于是入iNsi就是病人数Ni的增加率，又因为每天被治愈率为N,死亡率为”所以每天有NNi个病人被治愈，有Ni个病人死亡。那么病人的感染为由于di.NNsi-NiNidts(t)i(t)r(t)=1(1)对于退出者dr，一，一巴=N(中为所有退出者

6、比例之和)(2)dt由假设可知：.,=故SARSt者率模型一的方程建立如下：diisii-ui-ii(0)-i0出dsi%.二一，一1slis(0)=s0l.dtr(0)=0(4)模型二疑似患者的变化情况与前面同样的分析，得到疑似患者率模型二:力1、=-2s21-1a*dtds2_.一二包1.dt(5)四、模型求解(一)参数的确定和分析:文案大全1 .巴明力的确定每天治愈的人数每天确诊的人数n=每天死亡的人数当天病人总数当天疑似病人总数当天病人总数用EXCEL电子表格处理题目附件2中所给数据得:=0.055076,a=0.038183,刈=0.002443。（处理数据见附件）2. %,九2的确

7、定确定九i很明显从我们建立的模型是无法得到s、i、i。、S0的解析解。为了解决这个问题我们用MATLA歆件中龙格一库塔方法求出他们的数值解。先通过实际统计数据算出每一天的s、i、i0、S0做出它们与时间的函数图象图1,然后我们再对九i取一组数，分别画出由通过模型解出的数值解随时间变化的图象图2,将这组图象与由实际数据所得图象相比较，调试。我们发现当九i电1.5时，理论图形与实际图形有最佳的吻合。图形如下：图1：根据实际数据拟合的图象（画图程序见附件）图2通过数值解作出的i关于时间t的变化（画图程序见附件）分析两个图形可知，它们的高峰期、缓解期和平稳期曲线相当符合，具有相同的发展趋势。但是在0,

8、10的SAR创期范围内，曲线变化不相同。这主要是因为在4月24日之前，没有相关数据的统计和报道，由于数据的不全，根据边界值画出来的曲线与通过数值解得到的it曲线相比较，不能准确反映SARS产生初期时的趋势，所以边界值应该去掉，而通过数值解模拟的曲线可以得到之前的发展趋势。并且通过对SARS!延期特点的分析，图2在符合所给数据反映的规律基础上，还能够模拟缺乏数据的SARS初始状态，所以曲线是合理的。(2)确定九2与确定时类似，先根据实际数据画出图形图3实际数据图形然后再对z2取一组数，分别画出通过模型解出的数值解随时间变化的图象，将这组图象与由实际数据所得图象相比较，调试。发现当Z2-1.0时，

9、理论图形与实际图形有最佳的吻合。图形如下：在0,10的初期范围内，曲线趋势不同，原因同前。整个曲线反映了疑似患者在SARS的过程中的变化规律。五、结果分析与检验（一）讨论i（t）s（t）的性质si平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域（s,i）wD为D=l（s,i）|s0,i_0,siM1）从模型（一）中消去dt,利用。的定义，可得di1?=-1，i|s3=i。（6）ds0.s由（6）式解得1s,、i=底+i0）s+*ln（一）（7）二So（二）对于合理确定的儿1=1.5,我们可以画出is图，图形如下：（画图程序见附件文案大全由于在这个SARS病毒发展过程中，仃=/是变化的，故可以画出。取不

10、同值时的图形，如下取1/仃=0.4192,0.2858、0.1858时的图形。分析（3）式和（7）式，可知：1 .不论初始条件so/。如何，病人终会消失，即SARSft终会被消灭，亦即日=0证明省略。从图形上看，相轨线终将与s轴相交(t充分大)。2 .设最终未被感染的健康者的比例是s丈,在(7)式中令i=0得到方程1s.s0+i0-ln=0(8)二Sos屋(8)在(0,1/仃)内的根，在图形上S史是相轨线与s轴在(0,1/仃)内交点的横坐标。对于确定下来的1/仃=0.0383,可以代入(8)式解出头03. SARS(病传染过程分析整个传染过程，随着政府和公众对SARS勺重视程度的变化，可知接触

11、数o=%/N随着治愈率N、死亡率”和接触率心的不断变化而变化。(1)在SARS发的初期，由于潜伏期的存在，社会对SARSW毒传播的速度和危害程度认识不够，所以政府和公众没有引起重视。治愈率N和死亡率”很小，而接触率儿1相对较大，所以1/仃很小。当曲1/仃，则i(t)开始增加，可认为是疾病蔓延阶段。(2)当s0=1/仃时，i(t)达到最大值1 -im=s0+i0-一(1+lns。)(9)a对于我们确定的=1.5,可以求出im=0.8368,可认为是疾病传染到达了高峰期。(3)当s01-（10）所以只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例r。满足（10）,就可以制止SARS勺蔓延。5.数值验证与估量

12、根据上面的分析，阻止SARS蔓延有两种手段，一是提高卫生水平和医疗水平，即降低日接触率，提高日治愈率N,二是群体免疫，即提高移出者比例的初值r。我们以最终未感染的健康者的比例s汜和病人比例达到最大值im,作为传染病蔓延程度的度量指标。给定不同的九，s。，i。，用（8）式计算为，用（9）式计算im九1/仃S0i。soOim1.00.30.30.980.020.03980.34490.60.30.50.980.020.19650.16350.50.51.00.980.020.81220.02000.40.51.250.980.020.91720.02001.00.30.30.700.020.084

13、00.16850.60.30.50.700.020.30560.05180.50.51.00.700.020.65280.02000.40.51.250.700.020.67550.0200从计算得到的s4口除可以看出：（1）对于一定的s。，降低九，提高N,使阈值1/。变大，会使Sc变大，im变小于是验证了群体免疫和预防中提出的提高卫生水平和医疗水平，可以使SARSR终的患者比例缩小，健康群体增加。（2）对于一定的九，提高r。，会使s汜变大，im变小。所以实行群体免疫，降低受感染的基数,可以有效地减缓SARSS延的速度。在（8）式中略去很小的i0,即有lns0-lns-cr=so-s二(11)

14、6.模型验证首先，由方程（1）和（3）可以得到s（t）=soe31.6000、29.3300、36.4000、33.1400、32.8500、26.8500、27.7900。由命令函数：Y=polyconf(p,t,2)和plot(t,y,t,Y)作出如下曲线图9再由2003年各月实际量推算出9月到12月的游客量分别为15.4127、20.1860、26.1721、33.3709。同样我们作出图10为便于直观分析我们将两组数据所作出的图形移到图11中:模型分析：从图中我们可以看到，1月份实际游客量与预测数据较吻合，因为SARS刚出现，没有引起人们重视；而以后各月差值先逐渐增大，到6月份后又开始

15、渐渐缩小，这是因为SARS8E情逐渐攀升到六月份达到高峰后渐渐的得到有效控制。人们在这段时期内的出行受到SARS勺影响，所以在2月到6月游客量不断的大量减少，但是随着SARSgE情得到控制，以及公共卫生系统的进一步完善，人们生活又渐渐的恢复到SARSB的一般规律，在图形中反映为6月中下旬，随着抗击SAR缴得初步成效，游客量开始逐步增加，旅游业也重新回升到常态。但是由于用以预测未知量的已知量较少，我们为了使得预测值真实可信，只考虑预测到11月份，这样做同时还因为时间越长要考虑的不定因素也就越多。从模型及模型分析说明我们所预测的数据是基本合理、符合实际的。九、参考文献1姜启源等，数学模型（第三版）

16、，北京；高等教育出版社，2003.82李海涛等，MATLAB6.1基础及应用技巧，北京；国防工业出版社，2002.33赵静等，数学建模与数学实验，北京；高等教育出版社，2002.94王沫然，MATLAB5.X与科学计算，北京；清华大学出版社，2000.55幺焕民等，数学建模，哈尔滨；哈尔滨工业大学出版社，2003.4短文SARSW数学模型2003年春天，SARSi一突发疫情袭击了世界上20多个国家和地区，给全球经济的发展以及人们的正常生活等带来了很大的影响，在经过与SARSL个回合的较量之后，我们终于赢了。当SARSE在慢慢淡出我们身边，我们的工作和生活渐渐回归正常时，那曾经经历的恐惧、困扰、

17、焦虑、无奈和痛苦，那曾深深击中过我们软肋，使我们的弱点暴露无遗的SARS将会成为烙在我们心灵上一块永远抹不去的印。不过，令人欣慰的是我们并没有被击倒，尤其是我们的白衣天使们，他们在与SARS勺较量中，充分展现了职业道德和人性的光辉，书写出了最壮丽的人生篇章。现在这个时刻，我们有必要梳理和总结过去的日子，将我们对SARS对病毒、对疾病、对危机的认识、责任以及处理方法推向前进。因为我们将不得不面对将有可能和SARS共存相当长时间的现实。在我们还不能完全认识它、战胜它并最终消灭它时，我们必须时刻警觉，将SARS寸我们的侵害降低到最小。使得若当它卷土重来时，我们能够聚集起更强大的力量，快速而从容地与它

18、过招。我们都知道SARS勺传播，在没能找到真正的药物治疗方法前，只能依靠政府采取强制性政策去预防、控制疫情。人类对传染病的研究长期以来还都只是通过不断的试验来获取数据，而且相关试验只能在动物身上做，而不可能在活人体上做类似试验，另外有关传染病的数据也只能从爆发后的相关报道与文字材料中获得，不但不能快速得到信息，连其数据的全面性都很难达到。因而，在对传染病流行的控制研究问题上，迫切需要有一种行文案大全之有效、简便易行的办法来代替它。而数学模型恰恰是通过采用数学基础工具以及计算机模拟等手段从非医学中的病理分析研究角度去进行科学描述，所以我们可以根据以前总结的一些经验和统计的实际数据，从数学角度建立

19、SARS专染病模型，通过科学、合理的分析和推论，提供足够的可靠数据、信息给政府用以制定相关政策。这是一项艰巨的任务，不但需要我们的努力，也更需政府和媒体的大力支持。附件已确诊病例W现有疑似病例死亡累计治愈出院累计当天退出数当天病人数当天病例退出率治愈率3394021833174310.0394430.076566482610254365200.0115380.0826925886662846166190.0258480.0743136937823555136840.0190060.0804097748633964127740.0155040.082687877954427398730.0103

20、090.0836298810934876109900.0101010.076768111412555678310650.0028170.0732391199127559781212100.0099170.0644631347135866831612910.0123930.0642911440140875901713880.0122480.06484115531415821001814540.012380.06877616361468911091115410.0071380.0707331741149396115715920.0043970.07223618031537100118616790.

21、0035740.07028189715101031211717360.0097930.0697196015231071341018080.0055310.074115204915141101411318850.0068970.074801213614861121521819130.0094090.07945621771425114168919450.0046270.086375222713971161751519740.0075990.088652226514111201863119980.0155160.093093230413781292084120100.0203980.10348323

22、4713381342441319920.0065260.1224923701308139252619970.0030050.126189238813171402571720080.0084660.127988240512651412733820060.0189430.136092242012501453072719820.0136230.154894243412501473322019580.0102150.169561243712491503495019450.0257070.179434244412251543955418950.0284960.2084432444122115644783

23、18530.0447920.24123245612051585285617790.0314780.296796246511791605828817480.0503430.332952249011341636674116690.0245660.399641249911051677044416330.0269440.431108250410691687478515970.0532250.467752251210051728284115140.0270810.54689625149411758666314760.0426830.58672125178031769287914160.0557910.6

24、55367252076017710068513380.0635280.7518682521747181108797512530.7781320.86751825217391902053672780.2410077.38489225217341902120352110.16587710.0473925217241912154171760.09659112.2386425217181912171181590.11320813.6540925217161912189421410.29787215.524822521713191223126990.26262622.535352521550191225

25、720730.27397330.9178125214511912277-116354-21.53742.16667252235118111243312170.0271160.92358325227118111573211840.0270270.9771962522418111897411520.0642361.0321182522318112635810780.0538031.171614252266818113218410200.0823531.295098252225718314031419360.1506411.498932252215518415431107950.1383651.94

26、0881252231841653966850.1401462.4131392522518617471985890.3361632.966044252241871944523910.1329924.971867252231891994213390.0619475.882006252231892015-575319-1.802516.3166142523218314463788940.4228191.61745252321861821565160.1085273.52907252321871876-0.289883.118497求病人变化(数值解)functiony=ill(t,x)w=1.5;z=0.0575;y=w.*x(1).*x(2)-z.*x(1),-w.*x(1).*x(2);ts=0:0.01:70;x0=402/13000000,1-402/13000000;t,x=ode45(ill,ts,x0);t,x;plot(t,x(:,1),grid,pause(按实际数据模拟)t=1:64;z=Columns1through141431061058110311112685148931138310562Columns15through289463898741503839432318171514Columns29through423701292595823310Co