离散数学(左孝凌)课后习题解答(详细)

1、离散数学习题1. 以下句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。 中国有四大创造。 计算机有空吗? 不存在最大素数。 21+35。 老王是山东人或河北人。 2 与 3 都是偶数。 小李在宿舍里。 这朵玫瑰花多美丽呀! 请勿随地吐痰! 圆的面积等于半径的平方乘以。 只有 6 是偶数，3 才能是 2 的倍数。 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。如果天下大雨，他就乘班车上班。解：是命题，其中是真命题，是假命题，的真值目前无法确定；不是命题。2. 将以下复合命题分成假设干原子命题。 李辛与李末是兄弟。 因为天气冷，所以我穿了羽绒服。 天正在下雨或湿度很高。 刘英与李进上山。 王强与刘

2、威都学过法语。 如果你不看电影，那么我也不看电影。我既不看电视也不外出，我在睡觉。 除非天下大雨，否那么他不乘班车上班。解：本命题为原子命题；p：天气冷；q：我穿羽绒服；p：天在下雨；q：湿度很高；p：刘英上山；q：李进上山；p：王强学过法语；q：刘威学过法语；p：你看电影；q：我看电影；p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；p：天下大雨；q：他乘班车上班。3. 将以下命题符号化。 他一面吃饭，一面听音乐。 3 是素数或 2 是素数。 假设地球上没有树木，那么人类不能生存。 8 是偶数的充分必要条件是 8 能被 3整除。 停机的原因在于语法错误或程序错误。 四边形 ABCD 是平行四边形当且仅

3、当它的对边平行。 如果 a 和 b 是偶数，那么 a+b 是偶数。解：p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：pqp：3 是素数；q：2 是素数；原命题符号化为：pqp：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：pqp：8 是偶数；q：8 能被 3 整除；原命题符号化为：pqp：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：qrpp：四边形 ABCD 是平行四边形；q：四边形 ABCD 的对边平行；原命题符号化为：pq。p：a 是偶数；q：b 是偶数；r：a+b 是偶数；原命题符号化为：pqr4. 将以下命题符号化，并指出各复合命题的真值。如果 3+3=6，那么雪是白的。 如果 3+

4、36，那么雪是白的。 如果 3+3=6，那么雪不是白的。 如果 3+36，那么雪不是白的。是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。3 2+3=5 的充要条件是是无理数。(假定是 10 进制)3 假设两圆 O1，O2的面积相等，那么它们的半径相等，反之亦然。 当王小红心情愉快时，她就唱歌，反之，当她唱歌时，一定心情愉快。解：设 p：336。q：雪是白的。原命题符号化为：pq；该命题是真命题。原命题符号化为：pq；该命题是真命题。原命题符号化为：pq；该命题是假命题。原命题符号化为：pq；该命题是真命题。p：是无理数；q：加拿大位于亚洲；原命题符号化为：pq；该命题是假命3题。p：2+35；q：是无理数；

5、原命题符号化为：pq；该命题是真命题。3p：两圆 O1,O2的面积相等；q：两圆 O1,O2的半径相等；原命题符号化为：pq；该命题是真命题。p：王小红心情愉快；q：王小红唱歌；原命题符号化为：pq；该命题是真命题。习题1.判断以下公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。 (pqr) (p(qr) (pq)(rs) (pqrs) (p(qr)(qp)qr)。解：是合式公式；不是合式公式。2.设 p：天下雪。q：我将进城。r：我有时间。将以下命题符号化。 天没有下雪，我也没有进城。 如果我有时间，我将进城。 如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。解： pq rq prq p、q、r 所表示的命题

6、与上题相同，试把以下公式译成自然语言。 rq (rq) q (r p) (qr)(rq) 解： 我有时间并且我将进城。 我没有时间并且我也没有进城。 我进城，当且仅当我有时间并且天不下雪。 如果我有时间，那么我将进城，反之亦然。4. 试把原子命题表示为 p、q、r 等，将以下命题符号化。 或者你没有给我写信，或者它在途中丧失了。 如果张三和李四都不去，他就去。 我们不能既划船又跑步。 如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。解： p：你给我写信；q：信在途中丧失；原命题符号化为：(p q)(pq)。p：张三去；q：李四去；r：他去；原命题符号化为：pqr。p：我们划船；q：我们跑步；原命

7、题符号化为：pq 。p：你来了；q：他唱歌；r：你伴奏；原命题符号化为：pqr 。5. 用符号形式写出以下命题。假设上午不下雨，我去看电影，否那么就在家里读书或看报。我今天进城，除非下雨。仅当你走，我将留下。解：p：上午下雨；q：我去看电影；r：我在家读书；s：我在家看报；原命题符号化为：pqprs 。p：我今天进城；q：天下雨；原命题符号化为：qp。p：你走；q：我留下；原命题符号化为：qp。习题1.设 A、B、C 是任意命题公式，证明：AA假设 AB，那么 BA假设 AB，BC，那么 AC证明：由双条件的定义可知 AA 是一个永真式，由等价式的定义可知 AA 成立。因为 AB，由等价的定义

8、可知 AB 是一个永真式，再由双条件的定义可知BA 也是一个永真式，所以，BA 成立。对 A、B、C 的任一赋值，因为 AB，那么 AB 是永真式， 即 A 与 B 具有相同的真值，又因为 BC，那么 BC 是永真式， 即 B 与 C 也具有相同的真值，所以 A 与C 也具有相同的真值；即 AC 成立。2.设 A、B、C 是任意命题公式，假设 ACBC, AB 一定成立吗？假设 ACBC, AB 一定成立吗？假设AB，AB 一定成立吗？解：不一定有 AB。假设 A 为真，B 为假，C 为真，那么 ACBC 成立，但AB 不成立。不一定有 AB。假设 A 为真，B 为假，C 为假，那么 ACBC

9、 成立，但AB 不成立。一定有 AB。3.构造以下命题公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。 q(pq)p p(qr) (pq)(qp) (pq)(rq)r (p(pq)r)(qr)解：q(pq)p 的真值表如表所示。表pqpqq(pq)q(pq)p00101011101000111111使得公式 q(pq)p 成真的赋值是：00，10，11，使得公式 q(pq)p 成假的赋值是：01。p(qr) 的真值表如表所示。表pqrqrp(qr)0000100111010110111110000101111101111111 使得公式 p(qr)成真的赋值是：000，001，010，011，101，1

10、10，111，使得公式p(qr)成假的赋值是：100。(pq)(qp) 的真值表如表所示。表pqpqqp(pq)(qp)00001011111011111111所有的赋值均使得公式(pq)(qp)成真，即(pq)(qp)是一个永真式。(pq)(rq)r 的真值表如表所示。表pqrqpqrq(pq)(rq)(pq)(rq)r0001000100110001010000010110011110011010101110111100000111100111使得公式(pq)(rq)r 成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式(pq)(rq)r 成假的赋值是：100。

11、(p(pq)r)(qr) 的真值表如表所示。使得公式(p(pq)r)(qr)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式(p(pq)r)(qr)成假的赋值是：100。 证明以下等价式：(pq)pq证明：证明(pq)pq 的真值表如表所示。表pqpq(pq) qpq001010011000100111111000由上表可见：(pq)和 pq 的真值表完全相同，所以(pq)pq。pqqp 证明：证明 pqqp 的真值表如表所示。表 1.30表pqrpq p(pq)(p(pq)rqr(p(pq)r)(qr)000001010010010101000111011001

12、0110011000101111011100101111101101pqpqpqqp001111011101100010111001由上表可见：pq 和qp 的真值表完全相同，所以 pqqp。(pq)pq证明：证明(pq)和 pq 的真值表如表所示。表pqpq(pq) qpq001010010101100111111000由上表可见：(pq)和 pq 的真值表完全相同，所以(pq)pq。p(qr)(pq)r证明：证明 p(qr)和(pq)r 的真值表如表所示。表pqrqrp(qr)pq(pq)r00011010011101010010101111011001101101110111000101

13、111111由上表可见：p(qr)和(pq)r 的真值表完全相同，所以 p(qr)(pq)r。p(qp)p(pq)证明：证明 p(qp)和p(pq)的真值表如表所示。表pqqpp(qp)pq pq p(pq)00111111010110111011011111110001由上表可见：p(qp)和p(pq)的真值表完全相同，且都是永真式，所以p(qp)p(pq)。(pq)(pq)(pq)证明：证明(pq)和(pq)(pq)的真值表如表所示。表pqpq(pq)pqpq (pq) (pq)(pq)00100010010110111001101111101100由上表可见：(pq)和(pq)(pq)的

14、真值表完全相同，所以(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq) 证明：证明(pq)和(pq)(pq)的真值表如表所示。表pqpq(pq) pq pq(pq)(pq)0010000010101110011011110000由上表可见：(pq)和(pq)(pq)的真值表完全相同，所以(pq)(pq)(pq)。p(qr)(pq)r证明：证明 p(qr)和(pq)r 的真值表如表所示。表pqrqrp(qr)qpq (pq)r0000110100111101010110010111100110000110101111111101100111111001由上表可见：p(qr)和(pq)r 的真值表完

15、全相同，所以 p(qr)(pq)r。5. 用等价演算证明习题 4 中的等价式。(pq)(pq)(条件等价式)pq(德摩根律)qpqp(条件等价式)qp(双重否认律)pq(交换律) pq(条件等价式)(pq)(pq)(qp)(双条件等价式)(pq)(qp)(条件等价式)(pq)(qp)(德摩根律)(pq)q)(pq)p)(分配律)(pq)(qp)(分配律)(pq)(qp)(交换律)(pq)(qp)(条件等价式)pq(双条件等价式)p(qr)p(qr)(条件等价式)(pq)r(结合律)(pq)r(德摩根律)(pq)r(条件等价式)p(qp)p(qp)(条件等价式)Tp(pq)p(pq)(条件等价式

16、)T所以 p(qp)p(pq)(pq)(pq)(pq)(例 1.17)(pq)(pq)(德摩根律)(pq)(pq)(德摩根律)所以(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(qp)(双条件等价式)(pq)(qp)(条件等价式)(pq)(pq)(德摩根律)p(qr)p(qr)(条件等价式)(pq)r(结合律)(pq)r(德摩根律)(pq)r(条件等价式)6.试用真值表证明以下命题定律。结合律：(pq)rp(qr)，(pq)rp(qr)证明：证明结合律的真值表如表和表所示。表pqrpq(pq)rqrp(qr)0000000001011101011110111111100110110111111101

17、1111111111表pqrpq(pq)rqrp(qr)00000000010000010000001100101000000101000011010001111111由真值表可知结合律成立。分配律：p(qr)(pq)(pr)，p(qr)(pq)(pr)证明：证明合取对析取的分配律的真值表如表所示，析取对合取的的分配律的真值表如表所示。表pqrqrp(qr)pqpr(pq)(pr)0000000000110000010100000111000010000000101110111101110111111111表pqrqrp(qr)pqpr(pq)(pr)000000000010001001000

18、1000111111110001111101011111100111111111111由真值表可知分配律成立。假言易位式：pqqp证明：证明假言易位式的真值表如表所示。表pqpqqpqp001111011011100100111001由真值表可知假言易位律成立。双条件否认等价式：pqpq证明：证明双条件否认的真值表如表所示。表pqpqpqpq001111010100100010111001由真值表可知双条件否认等价式成立。习题 1.4 1.用真值表或等价演算判断以下命题公式的类型。(pq)q(pq)q条件等价式(pq)q德摩根律q 可满足式吸收律(pq)q(pq)q条件等价式(pq)q德摩根律

19、F永假式结合律、矛盾律(pq)pq(pq)pq条件等价式(pp)(qp)q分配律(qp)q同一律、矛盾律(qp)q条件等价式(qp)q德摩根律T(永真式)零律、排中律(pq)q(pq)q条件等价式q可满足式吸收律(pq)(qp)(pq)(pq)假言易位式T(永真式)(pq)(qr)(pr)(pq)(qr)(pr)条件等价式(pq)(qr)(pr)德摩根律(pq)(pqr)(prr)分配律(pq)(pqr)同一律、排中律、零律(pqrp)(pqrq)分配律T(永真式)p(pq) p(pq)条件等价式T(永真式)p(pqr)p(pqr)条件等价式T(永真式)2.用真值表证明以下命题公式是重言式。(

20、p(pq)q(p(pq)q 的真值表如表所示。由表可以看出(p(pq)q 是重言式。表pqpqp(pq) (p(pq)q00101011011000111111(q(pq)p(q(pq)p 的真值表如表所示。由表可以看出(q(pq)p 是重言式。表pqpqqq(pq) p (q(pq)p0011111011001110010011110001(p(pq)q(p(pq)q 的真值表如表所示。由表可以看出(p(pq)q 是重言式。表pqpq p p(pq)(p(pq)q000101011111101001111001(pq)(qr)(pr)(pq)(qr)(pr)的真值表如表所示。由表可以看出(p

21、q)(qr)(pr)是重言式。表pqrpqqr(pq)(qr)pr(pq)(qr)(pr)0001111100111111010100110111111110001001101010111101000111111111(pq)(pr)(qr)r(pq)(pr)(qr)r 的真值表如表所示。由表可以看出(pq)(pr)(qr)r 是重言式。表pqrpqprqr(pq)(pr)(qr) (pq)(pr)(qr)r0000110100101101010110010111111110010101101111111101000111111111(pq)(rs)(pr)(qs)(pq)(rs)(pr)(q

22、s)的真值表如表所示。由表可以看出(pq)(rs)(pr)(qs)是重言式。表pqrspqrs(pq)(rs)prqs(pr)(qs)原公式00001110011000111100110010100001100111110011010011100110101111011101101000011011111101111000010001110010100011101000010011011010100111001110011110111101111110100100111111111111(pq)(qr)(pr)(pq)(qr)(pr)的真值表如表所示。由表可以看出(pq)(qr)(pr)是重言

23、式。表pqrpqqr(pq)(qr)pr(pq)(qr)(pr)00011111001100010100001101101001100010011010001111010001111111113. 用等价演算证明题 2 中的命题公式是重言式。(p(pq)q(p(pq)q(p(pq)q(pp)(pq)q(pq)qT(q(pq)p(q(pq)p(q(pq)p(q(pq)p(pq)(pq)(pq)(pq)T(p(pq)q(pq)q(pq)qpqqT(pq)(qr)(pr)(pq)(qr)(pr)(pq)(qr)(pr)(pq)(pqr)(prr)(pq)(pqr)(pqrp)(pqrq)T(pq)(

24、pr)(qr)r(pq)(pr)(qr)r(pq)(pq)r)r(pq)r)r(pq)r)r(pq)rrT(pq)(rs)(pr)(qs)(pq)(rs)(pr)(qs)(pq)(rs)(pr)(qs)(pq)(rs)(prq)(prs)(pq)(rs)(prq)(pq)(rs)(prs)(rs)(prqp)(prqq)(rs)(prsp)(prsq)(rs)T)(rs)(pqrs)(rs)(pqrs)(pqrsr)(pqrss)T(pq)(qr)(pr)(pq)(qp)(qr)(rq)(pr)(pq)(qp)(qr)(rq)(pr)(pr)(pq)(pr)(rq)(qr)(qp)(pr)(p

25、(qr)(qr)(rq)(qp)(pr)(qr)(qr)(p(qr)(rq)(qp)(pr)(T(p(qr)(rq)(qp)(pr)p(qr)(rq)(qp)(pr)p(qr)(qp)(pr)(rq)p(qr)(p(qr)(qr)p(qr)p(qr)T4.证明以下等价式：(pr)(qr)(pr)(qr)(pq)r(pq)r(pq)r(pq)(pq)(pq)(pq)p(qq)pFpp(pq)p(pq)(pp)(pq)F(pq)pq习题 1.5 1.求以下命题公式的析取范式。(pq)r(pq)rpqr(pq)r(pq)r(pq)rpqrp(pq) p(pq)(pp)(pq) pq(pq)(qr)(

26、pq)(qr) q(pr)(pq)(rt)(pq)(rt)(pqr)(pqt)2. 求以下命题公式的合取范式。(pq)(pq)pqq(pqr)(qp)(qq)(qr)(qp)(qr)(pq)(pq)(pq)p)(pq)q)(pp)(qp)(pq)(qq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)r(pq)r(pq)rpqr3.求以下命题公式的主析取范式，并求命题公式的成真赋值。(pq)(pr)作(pq)(pr)的真值表，如表所示。表pqrpqpr(pq)(pr)000000001000010000011000100000101011110101111111由真值表可知，原

27、式(pqr)(pqr)(pqr)(主析取范式)5,6,7使得命题公式(pq)(pr)成真的赋值是：101，110，111。(pq)(pr)(pq)(pr)(pq)(pr)(pqp)(pqr)pqr(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(主析取范式)1,2,3,4,5,6,7使得命题公式(pq)(pr)成真的赋值是：001，010、011，100，101，110，111。(pq)(pq)作(pq)(pq)的真值表，如表所示。表pqp qpqpq(pq)(pq)0011100011011110011111100001由真值表可知:原式(pq)(pq)(pq) (主析

28、取范式)1,2,3使得命题公式(pq)(pq)成真的赋值是：01，10，11。(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pqp)(pqq)pq(pq)(pq)(pq)(主析取范式)0,2,3使得命题公式(pq)(pq)成真的赋值是：00,10,11。(p(qr)(p(qr)(p(qr)(p(qr)(pq)(pr)(pq)(pr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(主析取范式)使得命题公式(p(qr)(p(qr)成真的赋值是：000,111。4.

29、求以下命题公式的主合取范式，并求命题公式的成假赋值。(pq)r(pq)r(pqr)(pqr)(pr)(pr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)0,2,4,5,6使得命题公式(pq)r 成假的赋值是：000,010,100,101,110。(pq)(pq)作(pq)(pq)的真值表，如表所示。表pqpq(pq)qpq(pq)(pq)0010110011001010011111110001由真值表可知:原式(pq)(pq)0,1使得命题公式(pq)(pq)成假的赋值是：00,01。(pq)(pr)(pq)(pr)(pq)(

30、pr)(pqp)(pqr)pqr0使得命题公式(pq)(pr)成假的赋值是：000。(pq)p(pq)ppqpF0,1,2,3使得命题公式(pq)p 成假的赋值是：00,01,10,11。(p(qr)rpqrrpqr4使得命题公式(p(qr)r 成假的赋值是：100。5. 求以下命题公式的主析取范式，再用主析取范式求出主合取范式。(pq)(qr)(pq)(qr)(pq)q)(pq)r)(pq)(pr)(qr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(主析取范式)0,1,3,72,4,5,6(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(主合

31、取范式)(pq)r(pq)r(pqr)(pqr)(pr)(pr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(主析取范式)1,3,5,6,70,2,4(pqr)(pqr)(pqr)(主合取范式)6. 求以下命题公式的主合取范式，再用主合取范式求出主析取范式。(pq)r(pq)(qp)r(pq)(qp)r(pqr)(pqr)(qpr)(qpr)(pr)(pr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(主合取范式)0,2,3,4,5,

32、61,7(pqr)(pqr)(主析取范式)(pq)q(pq)qpqqT(无主合取范式)0,1,2,3(pq)(pq)(pq)(pq)7.用主析取范式判断以下命题公式是否等价。p(qr)和 q(pr)p(qr)p(qr)pqr(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(主析取范式)0,1,2,3,4,5,7q(pr)q(pr)pqr(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(主析取范式)0,1,2,3,4,5,7因为 p(qr)与 q(pr)的主析取范式相同，所以 p(qr)q(pr)。(pq)(pr)和 p(qp)(pq)(pr)(pq)

33、(pr)p(qr)(pq)(pq)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(主析取范式)0,1,2,3,7p(qp)p(qp)(pq)(pp)pq(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq) (主析取范式)0,1,3因为(pq)(pr)与 p(qp)的主析取范式不相同，所以(pq)(pr)与p(qp)不等价。8. 用主合取范式判断以下命题公式是否等价。(pq)r 和 p(qr)(pq)r(pq)r(pq)r(pr)(qr)(pqr)(pqr)(pqr)0,2,6p(qr)p(qr)pqr6因为

34、(pq)r 与 p(qr)的主合取范式不相同，所以(pq)r 与 p(qr)不等价。(pq)(pq)和(pq)(pq)(pq)(pq)1,20,3(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)0,3因为(pq)(pq)和(pq)(pq)的主合取范式相同，所以(pq)(pq) (pq)(pq)。习题，的等价式表示。(pq)r(pq)(qp)r(pq)(pq)r(p(q(qr)(p(qqr)(q(qr)p(qr)(q(qr)p(qr)qpqrp(pq)p(pq)(p(pq)(p(pq)(pq)ppq(pq)r(pq)(pq)r(pq)(pq)r)(pq)(pq)r)(pqr)(pqr)(pq)(

35、pq)r)(pqr)(pqr)(pq)(pq)r)(pq)(rt)(pq)(qp)(rt)(pq)(qp)(rt)(pq)(qp)(rt)(pq)(qp)(rt)(pq)(qp)(rt)2. 将以下命题公式用只含，的等价式表示。(pq)p(pq)p)pq(pq)(qp)(pq)(qp)(pq)r(pq)r(pq)r)pq(pq)(pq)(qp) (pq)(pq)(pq)r(pq)(qp)r(pq)(qp)r)3. 将以下命题公式用只含，的等价式表示。pq(rp)pq(rp)(pqrp)(pq)(pr)(pq)(pr)(pr)(pq)(pr)(pr)(pq)(pq)(pq)(pq)pq(pq)(

36、pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq) (p(qr)(pr)(pqr)(pr)T4.以下结论是否成立？假设成立，请证明。假设不成立，举反例说明。pqqp成立。pq(pq)(qp)qppqqp成立。pq(pq)(qp)qpp(qr)(pq)r不成立。p(qr)p(qr)(p(qr)p(qr)(pqr)(pqr)(pqr)4,5,6而(pq)r(pq)r(pq)r)(pq)r(pqr)(pqr)(pqr)1,3,5显然上式不成立p(qr)(pq)r不成立。p(qr)p(qr)(p(qr)p(qr)(pqr)(pqr)(pqr)1,2,3而(pq)r(pq)r

37、(pq)r)(pq)r(pqr)(pqr)(pqr)2,4,6显然上式不成立。5.证明以下等价式。(pq)pq证明：(pq)(pq)(pq)pqpq (pq) pq所以：(pq)pq(pq)pq证明：(pq)(pq)pqpq (pq)pq所以：(pq)pq6.将以下命题公式仅用“表示。ppppq(pq)(pq)(pq)pq(pq) pq (pp)(qq)7.将以下命题公式仅用“表示。p(pp)pppq(pq)pq(pp)(qq)pq(pq)(pq)(pq)(pq)习题 1. 写出以下命题公式的对偶式。(pq)r 的对偶式是：(pq)r(pq)(rp)对偶式是(pq)(rp) pq(pq)(pq

38、)(qp)(pq)(qp)(pq)(qp)所以 pq 的对偶式是(pq)(qp)而(pq)(qp)(pq)(qp)pqpq(pq)(pq)所以 pq 的对偶式是(pq)(pq)r(pq)rpqr所以(pq)r 的对偶式是pqr(pq)r 的对偶式是(pq)r(pq)r(pq)r所以(pq)r 的对偶式是(pq)rp(qr)(pq)p(qr)(pq)(pq)(pqr)所以 p(qr)(pq)的对偶式是(pq)(pqr)(pq)r(pq)r(pq)(qp)r(pq)(qp)r(pq)(pq)r所以(pq)r 的对偶式是(pq)(pq)r2. 设 pq 为公式，那么 qp 称为该公式的逆换式，pq

39、称为反换式，qp称为逆反式。证明：公式与它的逆反式等价，即 pqqp 证明：pqpq而qpqppq所以 pqqp公式的逆换式与公式的反换式等价，即 qppq证明：qpqp而pqpqpqqp所以 qppq3.用真值表或等价演算证明以下蕴含式。pqpq证明：(pq)(pq)(pq)(pq)pqpqT所以，pqpqpqp(pq)证明：作(pq)(p(pq)的真值表，如表所示。表pqpqpqp(pq)(pq)(p(pq)001011011011100001111111由以上真值表可知：(pq)(p(pq)是一个永真式，所以 pqp(pq)ppq证明：p(pq)ppqppqT所以，ppqp(qr)(pq

40、)(pr)证明：(p(qr)(pq)(pr)(pqr)(pq)(pr)(pqr)(pq)pr(pqr)r)(pq)p)(pr)(qr)(rr)(pp)(pq)(pr)(qr)pq(prp)(qrp)qqrpq1所以，p(qr)(pq)(pr)p(pq)q证明：作(p(pq)q 的真值表，如表所示。表pqpqp(pq)(p(pq)q00101011011000111111由以上真值表可知：(p(pq)q 是一个永真式，所以 p(pq)qq(pq)p证明：作(p(pq)q 的真值表，如表所示。表pqqpqq(pq) (q(pq)p001111010101101001110101由以上真值表可知：(

41、q(pq)p 是一个永真式，所以q(pq)p“假设前件为真，推证后件也为真或假设后件为假，推证前件也为假“的方法证明以下蕴含式。pqpq证明：假设前件 pq 为真，证明后件 pq 也为真。因为 pq 为真，所以 p 为真并且 q 也为真，根据条件的定义可知 pq 也为真。所以，pqpqpqp(pq)证明:假设后件 p(pq)为假,证明前件 pq 必为假；因为 p(pq)为假，那么 p 为真,q 为假；根据条件的定义可知 pq 也为假。即：pqp(pq)ppq证明:假设前件 p 为真,那么p 为假, 根据条件的定义可知pq 必为真。所以，原蕴含式成立。p(qr)(pq)(pr)证明:假设后件(p

42、q)(pr)为假, 证明前件 p(qr)必为假。因为(pq)(pr)为假，所以，pq 为真，pr 为假；因为 pr 为假，所以 p 为真，r 为假；所以，q 必为真；因为 q 为真，r 为假，所以 qr 必为假；因为 p 为真，所以，p(qr)必为假。所以，原蕴含式成立。p(pq)q证明：假设前件 p(pq)为真，证明后件 q 也为真。因为 p(pq)为真，所以 p 为真，pq 也为真，根据条件的定义 q 必为真。所以，原蕴含式成立。q(pq)p证明：假设前件q(pq)为真，证明后件p 也为真。因为q(pq)为真，所以，q 为真，q 为假，又因为 pq 为真，根据条件的定义p 为假，所以p 必

43、为真。所以，原蕴含式成立。5.设 A 是任意的命题公式，证明 AA证明：由条件的定义可知：AA 是一个永真式；根据蕴含式的定义可知 AA。习题习题证明以下各题的有效结论。(p(qr)，pqr(p(qr)(pq)r 的全真值表如表所示。表pqrqrp(qr)pq(p(qr)(pq)(p(qr)(pq)r0001100100111001010010010111100110011001101110011100010111111111由真值表可知，(p(qr)(pq)r 是永真式，所以(p(qr)，pqr。pq,(qr),rp(pq)(qr)r)p 的全真值表如表所示。表pqrpq r(qr)(pq)

44、(qr)r(pq)(qr)r)p0001111100110101010110010111010110001101101001011101100111110101由真值表可知：(pq)(qr)r)p 是永真式，所以pq，(qr)，rp。pq,rqpr(pq)(rq)(pr)的真值表如表所示。表pqrpqrq pr (pq)(rq) (pq)(rq)(pr)0001111100111111010111110111010110001101101010011101111111110001由真值表可知：(pq)(rq)(pr)是永真式，所以pq,rqpr。pq，qrpr(pq)(qr)(pr)的真值表如

45、表所示。表pqrpqqrpr(pq)(qr)(pq)(qr)(pr)0001111100111111010101010111111110001001101011011101000111111111由真值表可知：(pq)(qr)(pr)是永真式，所以 pq，qrpr。pp,pq,pqq(pp)(pq)(pq)q 的真值表如表所示。表pqrpp pq pq (pp)(pq)(pq) (pp)(pq)(pq)q0001100100111001010111110111111110010101101101011101111111111111由真值表可知：(pp)(pq)(pq)q 是永真式，所以pp,p

46、q,pqq。pq，qrpr(pq)(qr)(pr)的真值表如表所示。表pqrpqqrpr(pq)(qr)(pq)(qr)(pr)0001111100110001010001010110100110001001101001011101000111111111由真值表可知：(pq)(qr)(pr)是永真式，所以 pq，qrpr。2.用等价演算法，主析取范式法或蕴含演算法证明上题中的各有效结论。(p(qr),pqr(p(qr)(pq)r(p(qr)(pq)r(pqr)(pq)r(pqr)(pq)r(pqr)(pqr)1所以(p(qr),pqrpq,(qr),rp(pq)(qr)r)p(pq)(qr)

47、r)p(pq)(qr)r)p(pq)(qr)rp(pq)p)(qr)r)(pq)(qr)1所以pq,(qr),rppq,rqpr(pq)(rq)(pr)(pq)(rq)(pr)(pq)(rq)(pr)(pq)(rq)(pr)(pq)p)(rq)r)(pq)(qr)1所以pq,rqprpq，qrpr(pq)(qr)(pr)(pq)(qr)(pr)(pq)(qr)(pr)(pq)(rq)pr(pq)p)(rq)r)(pq)(qr)1所以 pq，qrprpp,pq,pqq(pp)(pq)(pq)q(1(pq)(pq)q(pq)(pq)q(pq)(pq)qqq1所以 pp,pq,pqqpq，qrpr(

48、pq)(qr)(pr)(pq)(qp)(qr)(rq)(pr)(pq)(qp)(qr)(rq)(pr)(pr)(pq)(pr)(rq)(qr)(qp)(pr)(p(qr)(qr)(rq)(qp)(pr)(qr)(qr)(p(qr)(rq)(qp)(pr)(T(p(qr)(rq)(qp)(pr)p(qr)(rq)(qp)(pr)p(qr)(qp)(pr)(rq)p(qr)(p(qr)(qr)p(qr)p(qr)T所以 pq，qrpr3.推理证明以下各题的有效结论。p(qr)，(ts)p，(ts)qr证明：tsP(ts)pPpT假言推理p(qr)PqrT假言推理pq，(pq)(ts)(ts)证明:

49、 pqPpT化简律qT化简律pqT例 1.30(2)qpT例 1.30(2) (pq)(qp)T合取引入pqT双条件等价式(pq)(ts)PtsT假言推理(pq)(rs)，(qp)r,rpq证明:rP(qp)rPqpT析取三段论rsT附加律(pq)(rs)PpqT拒取式(pq)(qp)T合取引入pqT双条件等价式pqr，rs，spq证明:sPrsPrT析取三段论pqrP(pq)T拒取式pqT德摩根律pp,pq,pqq证明:qP(附加前提)pqPpT拒取式pqPqT假言推理qq(矛盾)T合取引入ps，pq，rspr证明:(pr)P(附加前提)prT条件等价式pT化简律rT化简律rsPsT假言推理

50、psPpT析取三段论pp(矛盾)T合取引入4.用 CP 规那么推证以下各题的有效结论。pq,rqpr证明:pP(附加前提)pqPqT析取三段论rqPrT拒取式prCP 规那么pqrs，stupu证明:pP(附加前提)pqT附加律pqrsPrsT假言推理sT化简律stT附加律stuPuT假言推理puCP 规那么p(qr)，qs，(tu)s，q(pt)qt证明:qP(附加前提)qsPsT析取三段论(tu)sP(tu)T拒取式( tu)T条件等价式tuT德摩根律tT化简律qtCP 规那么pq，pr，qssr证明:因为 srsr，原题可改写为：pq，pr，qssr。sP(附加前提)qsPqT拒取式pq

51、PpT析取三段论prPrT假言推理srCP 规那么pqr，rs，pspq证明:pP(附加前提)psPsT假言推理rsPrT析取三段论pqrP(pq)T拒取式pqT德摩根律qT析取三段论pqCP 规那么prq，sp，rsq证明:sP(附加前提)spPpT析取三段论prqPrqT假言推理qT化简律sqCP 规那么5.用归谬法推证以下各题的有效结论。pq，(pq)(ts)ts证明:(ts)P(附加前提)(pq)(ts)P(pq)T拒取式(pq)(pq)T例(pq) (pq)T德摩根律(pq)T化简律pqP(pq)(pq)(矛盾)T合取引入rq，rs，sq，pqp证明:pP(附加前提)pT双重否认律p

52、qPqT假言推理rqPrT拒取式rsPsT析取三段论sqPqT假言推理qq矛盾T合取引入pq，(qr)r，(ps)s证明:sP(附加前提)sT双重否认律(ps)Pps T德摩根律pT析取三段论pqPqT假言推理(qr)rPqrT化简律rT化简律rT析取三段论rr(矛盾)T合取引入(pq)(rs)，(qt)(su)，(tu)，prp证明:pP(附加前提)pT双重否认律prPrT假言推理(pq)(rs)PpqT化简律rsT化简律qT假言推理sT假言推理(qt)(su)PqtT化简律suT化简律tT假言推理uT假言推理tuT合取引入(tu)P(tu)(tu)(矛盾)T合取引入p(qr)，(ts)p，

53、(ts)qr证明：(qr)P(附加前提)p(qr)PpT拒取式(ts)pP(ts)T拒取式(ts)P(ts)(ts)(矛盾)T合取引入pq，rq，rp证明：pP(附加前提)pT双重否认律pqPqT假言推理rqPrT拒取式rPrr矛盾T合取引入6. 证明下面各命题推得的结论是有效的：如果今天是星期三，那么我有一次离散数学或数字逻辑测验。如果离散数学课老师有事，那么没有离散数学测验。今天是星期三且离散数学老师有事。所以，我有一次数字逻辑测验。证明：设 p：今天是星期三。q：我有一次离散数学测验。r：我有一次数字逻辑测验。s：离散数学课老师有事。该推理就是要证明：p(qr)，sq，psrpsPpT化

54、简律sT化简律sqPqT假言推理p(qr)PqrT假言推理rT析取三段论1将以下命题符号化。(1) 4 不是奇数。解：设 A(x)：x 是奇数。a：4。“4 不是奇数。符号化为：A(a)(2) 2 是偶数且是质数。解：设 A(x)：x 是偶数。B(x)：x 是质数。a：2。“2 是偶数且是质数。符号化为：A(a)B(a)(3) 老王是山东人或河北人。解：设 A(x)：x 是山东人。B(x)：x 是河北人。a：老王。“老王是山东人或河北人。符号化为：A(a)B(a)(4) 2 与 3 都是偶数。解：设 A(x)：x 是偶数。a：2，b：3。“2 与 3 都是偶数。符号化为：A(a)A(b)(5)

55、 5 大于 3。解：设 G(x,y)：x 大于 y。a：5。b：3。“5 大于 3。符号化为：G(a,b)(6) 假设 m 是奇数，那么 2m 不是奇数。解：设 A(x)：x 是奇数。a：m。b：2m。“假设 m 是奇数，那么 2m 不是奇数。符号化为：A(a)A(b)(7) 直线 A 平行于直线 B 当且仅当直线 A 不相交于直线 B。解：设 C(x,y)：直线 x 平行于直线 y。设 D(x,y)：直线 x 相交于直线 y。a：直线A。b：直线 B。“直线 A 平行于直线 B 当且仅当直线 A 不相交于直线 B。符号化为：C(a,b)D(x,y) (8) 小王既聪明又用功，但身体不好。解：

56、设 A(x)：x 聪明。B(x)：x 用功。C(x)：x 身体好。a：小王。“小王既聪明又用功，但身体不好。符号化为：A(a)B(a)C(a)(9) 秦岭隔开了渭水和汉水。解：设 A(x,y,z)：x 隔开了 y 和 z。a：秦岭。b：渭水。c：汉水。“秦岭隔开了渭水和汉水。符号化为：A(a,b,c)(10) 除非小李是东北人，否那么她一定怕冷。解：设 A(x)：x 是东北人。B(x)：x 怕冷。a：小李。“除非小李是东北人，否那么她一定怕冷。符号化为：B(a)A(a)2将以下命题符号化。并讨论它们的真值。(1) 有些实数是有理数。解：设 R(x)：x 是实数。Q(x)：x 是有理数。“有些实

57、数是有理数。符号化为：(x)(R(x)Q(x)它的真值为：真。(2) 但凡人都要休息。解：设 R(x)：x 是人。S(x)：x 要休息。“但凡人都要休息。符号化为：(x)(R(x)S(x)它的真值为：真。(3) 每个自然数都有比它大的自然数。解：设 N(x)：x 是自然数。G(x,y)：x 比 y 大。“每个自然数都有比它大的自然数。符号化为：(x)(N(x)(y)(N(y)G(y,x)它的真值为：真。(4) 乌鸦都是黑的。解：设 A(x)：x 是乌鸦。B(x)：是黑的。“乌鸦都是黑的。符号化为：(x)(A(x)B(x)它的真值为：真。(5) 不存在比所有火车都快的汽车。解：设 A(x)：x

58、是汽车。B(x)：是火车。K(x,y)：x 比 y 快。“不存在比所有火车都快的汽车。符号化为：(x)(A(x)(y)(B(y)K(x,y)它的真值为：真。(6) 有些大学生不佩服运发动。解：设 S(x)：x 是大学生。L(x)：是运发动。B(x,y)：x 佩服 y。“有些大学生不佩服运发动。符号化为：(x)(S(x)L(y)B(x,y)它的真值为：真。(7) 有些女同志既是教练员又是运发动。解：设 W(x)：x 是女同志。J(x)：x 是教练员。L(x)：x 是运发动。“有些女同志既是教练员又是运发动。符号化为：(x)(W(x)J(x)L(x)它的真值为：真。(8) 除 2 以外的所有质数都

59、是奇数。解：设 A(x)：x 是质数。B(x)：x 是奇数。C(x,y)：x 不等于 y。“除 2 以外的所有质数都是奇数。符号化为：(x)(A(x)C(x,2)B(x)它的真值为：真。3指出一个个体域，使以下被量化谓词的真值为真，该个体域是整数集合的最大子集。在以下各题中，A(x)表示：x0，B(x)表示：x=5，C(x,y) 表示：xy=0(1) (x)A(x)解：正整数集合 Z+。(2) (x)A(x)解：整数集合 Z。(3) (x)B(x) 解：集合5 。(4) (x)B(x)解：整数集合 Z。(5) (x)(y)C(x,y)解：整数集合 Z。4分别在全总个体域和实数个体域中，将以下命

60、题符号化。(1) 对所有的实数 x，都存着实数 y，使得 xy=0解：设 R(x)：x 是实数。B(x,y)：xy=0。在实数个体域符号化为：(x)(y)B(x,y)在全总个体域符号化为：(x)(R(x)(y)(R(y)B(x,y)(2) 存在着实数 x，对所有的实数 y，都有 xy=0 解：设 R(x)：x 是实数。B(x,y)：xy=0。在实数个体域符号化为：(x)(y)B(x,y)在全总个体域符号化为：(x)(R(x)(y)(R(y)B(x,y)(3) 对所有的实数 x 和所有的实数 y，都有 xy=yx解：设 R(x)：x 是实数。B(x,y)：x=y。在实数个体域符号化为：(x)(y