电容静电能量

1、 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论2022-5-121授课计划授课计划重点内容回顾重点内容回顾及疑难解答及疑难解答教教学学内内容容主主要要知知识识点点 重点重点难点难点 思考题思考题与作业与作业 备注备注 场图、实验演示、习题。场图、实验演示、习题。 1-8 电容与部分电容 电容的定义、计算电容的定义、计算 1-9 静电能量与力 电场能量的计算式及其相互差异电场能量的计算式及其相互差异 力的计算力的计算虚位移法。虚位移法。 总结 能量的计算；能量的计算； 虚位移的选择；广义力与广义坐标。虚位移的选择；广义力与广

2、义坐标。 1-9-2(1),(2)， 1-9-4 预习预习chap.2 镜像电荷的数量、大小的确定（镜像电荷的数量、大小的确定（唯一性定理唯一性定理+叠加定理）叠加定理）； 适用范围（适用范围（有效区有效区）。）。测验测验：点电荷与介质平面、与接地导体球的镜像、电轴法公式。点电荷与介质平面、与接地导体球的镜像、电轴法公式。 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论2022-5-122总结1. 电容的计算电容的计算UQC 2. 静电能量的计算静电能量的计算VedVW21(1-101)SedSW21(1-102)nkkke

3、qW121(1-103)(1-105)VedVEDW21点电荷系统的相互作用能点电荷系统的相互作用能V，S指场源所在区域（有限）指场源所在区域（有限）V指整个场域（无限大）指整个场域（无限大） 3.电场力的计算电场力的计算常数kqegWF常数kgWFe虚位移法虚位移法 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论2022-5-123回顾1. 点点(线线)电荷与导体平面电荷与导体平面2. 点点(线线)电荷与平面介质电荷与平面介质 qqqqq2121-q0q0q0=3. 点电荷与导体球点电荷与导体球4. 圆柱导体之间圆柱导体之

4、间(电轴法电轴法)dRbqdRq2Rqdob-qxybbhaa222hbaq12q1122=+唯一性定理唯一性定理叠加定理叠加定理注意有效区！注意有效区！ 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论2022-5-124静电场计算小结静电场计算小结 静电场分析计算的类型：静电场分析计算的类型： 第一类第一类： 给定空间的电荷分布，求电位和电场的分布。给定空间的电荷分布，求电位和电场的分布。 对于对于这这一类问题的求解，可以应用静电场中的积一类问题的求解，可以应用静电场中的积分方程，即分方程，即VVdRRrrE30) (41

5、)(VRVd041 对于某些对称场的问题，可直接应用高斯定理中对于某些对称场的问题，可直接应用高斯定理中求解。求解。 qSdDS 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论2022-5-125静电场分析计算的类型静电场分析计算的类型 第二类：第二类： 给定空间某一区域内的电荷分布，同时给定该区给定空间某一区域内的电荷分布，同时给定该区域边界上的电位或电场，即边界条件，在这种条件下域边界上的电位或电场，即边界条件，在这种条件下求解区域内的电位和电场分布。这类问题也称为边值求解区域内的电位和电场分布。这类问题也称为边值问题。

6、问题。 对于这类边值问题的求解，一是直接求解微分方对于这类边值问题的求解，一是直接求解微分方程，其中解析计算方法主要有直接积分法程，其中解析计算方法主要有直接积分法( (一维问题一维问题) )和分离变量法和分离变量法( (二维和三维问题二维和三维问题) )，数值计算法有差分，数值计算法有差分法、有限元法、模拟电荷法和矩量法等。二是间接计法、有限元法、模拟电荷法和矩量法等。二是间接计算法，如镜像法，电轴法。算法，如镜像法，电轴法。 1. 镜像法，电轴法镜像法，电轴法2. 高斯定理高斯定理3. 静电场积分方程静电场积分方程4. 求解微分方程求解微分方程先判断题目类型，再决定解题方法。先判断题目类型

7、，再决定解题方法。 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论2022-5-1261-8 电容电容 静电场参数计算静电场参数计算之一之一1.电容的定义电容的定义2.电容的计算电容的计算假设假设QE高斯定高斯定理理,UEUQC 假设假设U2 =0E,DQqpl dEUQC 关键是场的计算关键是场的计算 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论2022-5-127电容计算举例 例1 平行板电容器由两块面积为S，相隔距离为d的平行导体板组成，极板间填充

8、介电常数为r0的电介质，求电容量。电 容 器 截 面 图 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论2022-5-12821)(CzCz其解为Uddzz)(,0)0(, 0边界条件zdUz )(解：忽略电场的边缘效应，拉普拉斯方程简化为：解：忽略电场的边缘效应，拉普拉斯方程简化为：极板间的电场强度为极板间的电场强度为电通密度为电通密度为dUeDzdUeEzdUDdUSSQdSUQC电容为电容为电 容 器 截 面 图022dzd 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电

9、磁场导论工程电磁场导论2022-5-129例2 半径分别为a和b的同轴线，外加电压U，如图所示，圆柱面电极间在图示角部分充满介电常数为 的介质，其余部分为空气，求介质与空气中的电场和单位长度上的电容量。 解：两个区域的电位解：两个区域的电位方程均方程均为：为：BAln21ab012由边界条件0)()(,)()(,2121bbbUaaa0ln)(ln)(BbAbUBaAabbaUBbaUAlnln,lnbabUlnln21eabUEEln21012 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论2022-5-1210abUln

10、)2(0111DDn 内导体表面单位长度上的电荷量aaq21)2(aDaDrr21)2(单位长度的电容为单位长度的电容为abUqCln)2(0222DDnab012eabUEDln0101eabUEDln22abUabUlnln20例2, 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论2022-5-1211多导体系统的部分电容（p47） NNNNNNNNNNqqqqqqqqq22112222121212121111多导体系统NNNNNNNNNNqqq22112222121212121111iNiiiiijijCC21和引入符

11、号)()()0()()()(1121121101121121112111NNNNNCCCq 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论2022-5-1212)0()()()()0()()()()0(0221122220122121121121101NNNNNNnNNNNCCCqCCCqCCCq同理有0022112220202121211121210101NNNNNNnNNNNUCUCUCqUCUCUCqUCUCUCq202021212121210101UCUCqUCUCq所以所以2020210101 UCqUCq，静电屏

12、蔽在静电屏蔽在工程上有广泛应用工程上有广泛应用。 静电屏蔽 三导体系统的方程为：三导体系统的方程为： 4. 4. 静电屏蔽静电屏蔽当当 时，时，01q01212UC02112CC;010U 说明说明 1 1 号与号与 2 2 号导体之号导体之间无静电联系，实现了静电屏蔽。间无静电联系，实现了静电屏蔽。下 页上 页 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论2022-5-1214 电场的最基本特征是对静止的电荷有作用力，即对任一种电电场的最基本特征是对静止的电荷有作用力，即对任一种电荷分布总存在着与之相关联的力系统，因此也

13、就有与之相关联的荷分布总存在着与之相关联的力系统，因此也就有与之相关联的能量储存在系统中，在静态条件下带电体系的能量完全以势能形能量储存在系统中，在静态条件下带电体系的能量完全以势能形式存在着，称为静电能。式存在着，称为静电能。1-9 静电能量与力 静电场参数计算之二电场能量的来源电场能量的来源?由建立电荷系统的过程中外界的能源提供。如电源、外力由建立电荷系统的过程中外界的能源提供。如电源、外力1. 点电荷系统的电场能量表达式 以三个点电荷系统为例。设介质为线性、均匀，原来空间以三个点电荷系统为例。设介质为线性、均匀，原来空间既无电场也无电荷。既无电场也无电荷。123q3q1q2 河北工业大学

14、河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论2022-5-1215Step1: 把点电荷把点电荷q1从无穷远处移到位置从无穷远处移到位置1，没受到任何阻力（无电，没受到任何阻力（无电场），不做功场），不做功。123q1q22122qW 12124Rqq将上述过程调换顺序，有将上述过程调换顺序，有02W01W12214Rqq1211qW 2Wkikikiqq212121qq 把点电荷把点电荷q2从无穷远处移到位置从无穷远处移到位置2，受到，受到q1产生的电场对它产生的电场对它的阻力，做功的阻力，做功 ，建立电场能量，建立电场能量W2 。

15、Step2:q1q3q2 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论2022-5-1216Step3: q3)(32313333qqW3223311344RqqRqq3232313144RqqRqq)3232131Wqq总能量总能量323313212321qqqWWWW232131121qqq232131121323313212212121212121qqqqqq)(21)(21)(21323132321213121qqq332211212121qqq 对于对于n个点电荷的系统个点电荷的系统nkkkeqW121nkjjk

16、jnkkq, 1121nkjjkjjnkkRqq, 11421123q1q2 把点电荷把点电荷q3从无穷远处移到位置从无穷远处移到位置3， 受到受到q1 、q2产生的电场产生的电场对它的阻力做功，建立电场能量对它的阻力做功，建立电场能量W3 。q3点电荷系统的相互作用能点电荷系统的相互作用能 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论2022-5-12172.分布电荷系统的静电能量 对于某体积单元对于某体积单元dV，其电位为，其电位为 ，送入微分电荷，送入微分电荷(d )dV，能量增量为能量增量为( )(d )dV。dV

17、dWVe 设系统完全建立时，最终的电荷分布为设系统完全建立时，最终的电荷分布为,电位函数为电位函数为。如果。如果在充电过程中使各点的电荷密度按其最终值的同一比例因子在充电过程中使各点的电荷密度按其最终值的同一比例因子增加增加,则各点的电位也按同一因子增加。则各点的电位也按同一因子增加。整个空间增加的能量为整个空间增加的能量为 整个充电过程中增加的能量就是系统增加的总能量，为整个充电过程中增加的能量就是系统增加的总能量，为VVedVdVdW2110VedVW21(1-101) 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论20

18、22-5-1218 若是带电导体系统，每个导体的电位为常数若是带电导体系统，每个导体的电位为常数 若电荷分布在表面上，其面密度为若电荷分布在表面上，其面密度为，则，则SedSW21iiSiieqdSWi2121(1-102)nkkkeqW121(1-103) 对于点电荷系统对于点电荷系统nkkkeqW121nkjjkjnkkq, 1121nkjjkjjnkkRqq, 11421 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论2022-5-1219可推导出静电能量的另一表示式可推导出静电能量的另一表示式SSdDVdVDD21静

19、电能量的分布静电能量的分布VedVW21由由E DdVDWVe21DDD)(P334VSdVDESdD2121SdAdVASV高斯散度定理高斯散度定理231RR01RR对于场源在有限范围内分布的情况，取无限大空间作为积分区域，则对于场源在有限范围内分布的情况，取无限大空间作为积分区域，则(1-105)VedVEDW21EDwe21静电能量体静电能量体 密度密度221Ewe对于线性各向同性介质对于线性各向同性介质VedVEW221 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论2022-5-1220静电能量的计算小结静电能量的

20、计算小结VedVW21(1-101)SedSW21(1-102)nkkkeqW121(1-103)(1-105)VedVEDW21点电荷系统的相互作用能（点电荷系统的相互作用能（例例1-23）V，S指场源所在区域（有限）指场源所在区域（有限）V指整个场域（无限大）指整个场域（无限大） 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论2022-5-1221例1 部分填充介质的同轴线，求介质与空气中单位长度内的电场能量，已知部分填充介质的同轴线，求介质与空气中单位长度内的电场能量，已知同轴线内导体电位同轴线内导体电位1=U0 ，外

21、导体电位为零，外导体电位为零。ab012解法一：由前面例由前面例2可知，内导体单位长度上的电荷量为可知，内导体单位长度上的电荷量为0,221121212121UqqqqWiie2ln00abUq，2002021ln2ln21UCababUWe单位长度内的电场能量单位长度内的电场能量单位长度上的电容单位长度上的电容abUqCln)2(0 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论2022-5-1222解法二：解法二：由例由例2可知，空气和介质中的电场强度相等可知，空气和介质中的电场强度相等 空气和介质中的能量密度空气和介质

22、中的能量密度abUEwe22200201ln2121对场空间体积分对场空间体积分,得单位长度的电场能量为得单位长度的电场能量为 022020212121babaeeddEddEWWW2002021)2(ln121UCabUabUEwe222022ln2121abUWCeln)2(2020eabUrEln)(0 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论2022-5-12233. 静电力静电力虚位移法虚位移法EqF点电荷的电场力点电荷的电场力虚位移法的理论依据是能量守恒虚位移法的理论依据是能量守恒 对某多导体系统，假设系统

23、内某一导体因受静电力对某多导体系统，假设系统内某一导体因受静电力F的作用引的作用引起某种位移起某种位移dg，则静电力所作的功为，则静电力所作的功为Fdg。 该位移使得该导体与其他该位移使得该导体与其他所有所有导体之间的相对位置发生改变，导体之间的相对位置发生改变，导体的电位亦发生变化，则系统的静电能量随之变化为导体的电位亦发生变化，则系统的静电能量随之变化为dWe。按照能量守恒的原理，这两项能量的改变应由电源提供按照能量守恒的原理，这两项能量的改变应由电源提供dW。dW= dWe + Fdg 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论

24、工程电磁场导论2022-5-12241) 常电荷系统常电荷系统电场能量的增量为电场能量的增量为 假定导体系统内各导体与外加电源不相连，此时各导体的电假定导体系统内各导体与外加电源不相连，此时各导体的电荷保持为常数，此时外界电源不作功，荷保持为常数，此时外界电源不作功，dW=0。 故电场能量的增量全部用于静电力作功，这时静电力计算故电场能量的增量全部用于静电力作功，这时静电力计算为为kkeqdW21常数kqegWF 如某一导体发生位移，则必然引起所有导体上的电位的变化，如某一导体发生位移，则必然引起所有导体上的电位的变化，从而引起电场能量的改变。从而引起电场能量的改变。dW= dWe + Fdg

25、力的方向如何判断？力的方向如何判断？F0，力的方向沿位移增加的方向力的方向沿位移增加的方向F0，力的方向沿位移减小的方向力的方向沿位移减小的方向 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论2022-5-1225例例2.孤立导体球孤立导体球常电荷常电荷 如一半径为如一半径为R的孤立导体球充电后与电源断开，这时带电量的孤立导体球充电后与电源断开，这时带电量q为常量，设无限远处电位为零。则总的静电能量为为常量，设无限远处电位为零。则总的静电能量为RqqWe0242121常数kqegWF常数kqeRW2028Rq2021Ewfe

26、220421RERRRqRERqR)(4)(4)(200ED21法拉第观点法拉第观点 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论2022-5-12262) 常电位系统常电位系统电场能量的增量为电场能量的增量为 假定导体系统内各导体保持与外加电源相连，此时各导体的假定导体系统内各导体保持与外加电源相连，此时各导体的电位保持为常数，如某一导体发生位移，则必然引起所有导体上电位保持为常数，如某一导体发生位移，则必然引起所有导体上的电荷量变化。故外界电源所作的功为的电荷量变化。故外界电源所作的功为 故电源提供的能量一半用于电场储

27、能，另一半用于静电力故电源提供的能量一半用于电场储能，另一半用于静电力作功，这时静电力计算为作功，这时静电力计算为kkqdWkkeqdW21常数kgWFe 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论2022-5-1227 假定半径为假定半径为R的孤立导体球的电位的孤立导体球的电位 =U=常数，总的静电能量为常数，总的静电能量为qUqWe2121静电力静电力URU04212021421URR202RU202U220421RE例例3.孤立导体球孤立导体球常电位常电位常数kUeRW常数kgWFe22202)4(ERRqURRR

28、qRERqR)(4)(4)(2002021Ewfe 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论2022-5-1228例4 平行板电容器宽为平行板电容器宽为w，长为，长为l，极间距离为，极间距离为d,其中宽度等于其中宽度等于x(xw)的部分区域充满了介电常数为的部分区域充满了介电常数为的介质，求电介质受到的的介质，求电介质受到的静电力。静电力。部 分 填 充 电 介 质 的 电 容 器 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论2022-5-1229

29、解:平行板电容器中的储能为平行板电容器中的储能为(忽略边缘效应忽略边缘效应) 假定电容器与电源相连，则假定电容器与电源相连，则U不变，设位移变化量为不变，设位移变化量为x, 静电力为静电力为xlddUldxwdUWe2202121lddUlddU2222021) 1(21ldE2021xWe常数kgWFe 位于电容器内的介质板侧面上单位面积上的力为位于电容器内的介质板侧面上单位面积上的力为ldFf PE212021E 0eewwpw部 分 填 充 电 介 质 的 电 容 器 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论20

30、22-5-1230例1-27 P59结论：结论： 1. 1. 力总是垂直于介质分界面；力总是垂直于介质分界面； 2. 2. 力的方向总是由介电常数大的一边指向介电常数小的一边。力的方向总是由介电常数大的一边指向介电常数小的一边。水滴水滴80r气泡气泡1r12r变压器油变压器油E气泡气泡1r水滴水滴80r 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论2022-5-1231预习内容及思考题预习内容及思考题第二章第一讲第二章第一讲教教学学内内容容主主要要知知识识点点及及预预习习思思考考题题 静电场分析总结静电场分析总结：主线是什

31、么？：主线是什么？ 方法是什么？方法是什么？第二章第二章 恒定电场恒定电场注意与静电场的对比注意与静电场的对比2-1 导电媒质中的电流导电媒质中的电流产生恒定电场的源产生恒定电场的源 1. 电流体密度、面密度、线密度、元电流的概念；电流体密度、面密度、线密度、元电流的概念； 2. 电流密度与电场强度的关系电流密度与电场强度的关系 2-2 电源电动势与局外场强电源电动势与局外场强一般了解一般了解2-3 恒定电场基本方程恒定电场基本方程. .分界面的衔接条件分界面的衔接条件 1. 积分方程；积分方程； 2. 微分方程；微分方程； 3. 位函数及其方程；位函数及其方程； 4. 衔接条件；衔接条件；

32、5. 导体的功率损耗。导体的功率损耗。 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论2022-5-1232静电场分析总结1-1 电场强度，电位1. 电荷与电荷分布电荷与电荷分布2. 电场强度、库仑定律电场强度、库仑定律 基本变量及其环量方程基本变量及其环量方程3. 电位函数电位函数 位函数位函数1-2 高斯定理1. 真空中的高斯定理真空中的高斯定理 基本变量及其通量方程基本变量及其通量方程2. 导体导体3. 电介质电介质4. 电位移矢量电位移矢量5. 介质中的高斯定理介质中的高斯定理1. 积分形式的基本方程积分形式的基本方

33、程 积分方程积分方程2. 微分形式的基本方程微分形式的基本方程 微分方程微分方程3. 两种介质分界面的衔接条件两种介质分界面的衔接条件 衔接条件衔接条件1-3 静电场基本方程与分界面上的衔接条件 方程方程基本变量基本变量场源场源亥亥姆姆霍霍兹兹定定理理 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论2022-5-12331-4 静电场边值问题静电场边值问题1. 静电场位函数方程静电场位函数方程2. 边值问题及其分类边值问题及其分类3. 边值问题的建立边值问题的建立4. 边值问题的分析方法概述边值问题的分析方法概述静电场分析总结边边值值问问题