数学相关线性代数三章x3-2

1、3.2 基、维数及坐标基、维数及坐标已知已知：在中，线性无关的向量组最多由：在中，线性无关的向量组最多由 个向量组成，而任意个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的个向量都是线性相关的Rnn1 n问题问题：在向量空间：在向量空间 中，最多能有多少线性中，最多能有多少线性无关的向量？无关的向量？V一一. 基、维数及坐标基、维数及坐标1212(1) ,;(1) ,;m m 线性无关线性无关 定义定义3.2.13.2.1 在向量空间在向量空间 V中，如果存在中，如果存在 m个个元素元素满足：满足：1 12 2, , , ,m m 1212,m mV V 则称为向量空间的一个则称为向量空间的一个121

2、2(2) ,(2) , , , m mV V 中任一元素 总可由线中任一元素 总可由线性表示性表示基，基，称称 m 为为V的的维数维数，记为记为维（维（V) )或或 dim( (V) )。1212,mmmmmmVVVV 若为的一个基 则可表示为若为的一个基 则可表示为112212112212,mmmmmmmmVxxxxxxRVxxxxxxR 例例3.2.13.2.1 设设F 是数域，在向量空间是数域，在向量空间 中中考虑考虑 n 元基本向量组元基本向量组nF1212(1,0,. . . ,0),(0,1,0,. . . ,0),(0,0,. . . ,1)(1,0,. . . ,0),(0,1

3、,0,. . . ,0),(0,0,. . . ,1)n n1212n nn nF F， ， ，构成的一个基，称为， ， ，构成的一个基，称为自然基自然基，.nFn的的维维数数为为由由定定义义可可知知，因为对任意因为对任意 ，均有，均有 nnFaaa ),(21 nnaaa 22110 AX 例例3.2.23.2.2 设设 ，秩秩 ，则则N(A)是是 的子空间。任取齐次线性方程组的子空间。任取齐次线性方程组 的一个基础解系的一个基础解系 ，容易看出容易看出它们就是它们就是 N(A) 的一个基，因此维的一个基，因此维（N(A)）= =n-r。nmFA )1()(nrrA nFrnXXX ,.,2

4、1 mnmnT TAFAFNARAnNARAn设，则设，则维维维维定理定理3.2.1 例例3.2.33.2.3 （1 1）向量组向量组 的极大的极大无关组都是生成子空间无关组都是生成子空间 的基；的基；m ,.,21),.,(21mL （2 2）秩秩（ ）= =维维 . .),.,(21mL m ,.,21 定理定理3.2.2 设设 V 是是 m 维向量空间，则维向量空间，则 V 中中任意任意 m 个线性无关的向量都可构成个线性无关的向量都可构成 V 的基的基。 例例3.2.43.2.4 求齐次线性方程组求齐次线性方程组 076530553202303454321543215432154321

5、xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx的解空间的一个基和维数。的解空间的一个基和维数。 解 因为解空间的基就是基础解系，所以只需求出该方程组的一个基础解系即是基。基础解系的个数既是解空间的维数。第二章第二章 第三节第三节 例例2 2 解线性方程组解线性方程组 076530230553203454321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解 76513123115531234111A对系数矩阵施对系数矩阵施行初等行变换行初等行变换10212102120113101131000000000000000000002,5,3,2,5,3,r Annrr Annr即

6、方程组有无穷多解，即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量其基础解系中有三个线性无关的解向量.1 13 34 45 52 23 34 45 52 22 23 3x xx xx xx xx xx xx xx x 代代入入1 11 11 14 43 30 01 11 13 31 10 02 22 26 62 20 02 22 26 62 2 543xxx令令0 01 ,1 ,0 0 1 10 ,0 ,0 0 0 00 .0 .1 1 所以原方程组的一个基础解系为所以原方程组的一个基础解系为1 12 21 11 1, ,0 00 0X X故原方程组的通解为故原方程组的通解为11223

7、3112233. .xk Xk Xk Xxk Xk Xk X.k,k,k为任意常数为任意常数其中其中3211 12 22 2, ,1 1x xx x依次得依次得2 2. .1 1 1 1, ,3 32 21 13 30 0, ,1 10 0X X3 32 21 10 0. .0 01 1X X因此，其解空间因此，其解空间 的一个基为的一个基为 ，且其，且其维数是维数是3。 )(AN321,XXX 例例3.2.53.2.5 设设V是是m维向量空间，维向量空间，W是是V的的k维子空间维子空间 ，证明：，证明：W的任一个基均可的任一个基均可扩充为扩充为V的基。的基。)1(mk 例例3.2.6 已知已

8、知 中的三个向量中的三个向量求求 的一个基及维数，并将这个基的一个基及维数，并将这个基扩充为扩充为 的一的一 个基。个基。 4 4R R1 12 23 3( (1 1, ,2 2, ,0 0, ,1 1) ), ,( ( 1 1, ,1 1, ,1 1, ,1 1) ), ,( (4 4, ,1 14 4, ,2 2, ,8 8) )a aa aa a=-=1 12 23 3( (, , ,) )L L a aa aa a4 4R R21232123 114114114114114114211403601221140360120120120000120120001180240001180240

9、00(,)(,)L L 1 1由由可知,是的基可知,是的基解解且维数是2。且维数是2。5 54 4124512450 0 1 0 0 0 0 10 0 1 0 0 0 0 1R R4 4令令（ ， ， ， ） ，（ ， ， ， ）（ ， ， ， ） ，（ ， ， ， ）则，是的基。则，是的基。1 12 21 12 2 , , , , , , , , , ,m mm mm mm mV VV Vx xx xx x 设设是是向向量量空空间间的的一一个个基基 对对于于任任一一元元素素总总有有一一组组有有序序数数使使定义定义3.2.2,2211nnxxx 121212121 12 21212,( ,).

10、( ,).m mm mm mm mxxxxxxx xx xxxxxxxx x 有序数组 称为元素 在有序数组 称为元素 在这个基下的坐标, 并记作这个基下的坐标, 并记作 或或 向量空间向量空间 的任一元素在不同的的任一元素在不同的基下所对的坐标一般不同，一个元素在基下所对的坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的一个基下对应的坐标是唯一的V注意注意 在在 中取中取 (1) 证明：证明： 是是 的基；的基； (2) 求求 关于关于 的坐标。的坐标。 3 3R R1231231,1,11,1,01,0,01,1,11,1,01,0,0aaaaaa=（），（），（）1 12 23 3,

11、, ,a aa aa a3 3R R( (1 1, ,2 2, ,3 3) )a a=1 12 23 3, , ,a aa aa a例例 3 .2.7解解 (1) 只须证只须证 线性无关；线性无关；1 12 23 3, , ,a aa aa a()1 1123212323 3x xx xx xaaaaaaaa骣=桫1 12 23 3, , , ,a aa aa aa a 1 11 12 22 23 33 3x xx xx xa aa aa aa a=+(2) 设设 把把 均表示为列向量，则有均表示为列向量，则有1 12 23 31 11 11 11 11 11 10 02 21 10 00 0

12、3 3x xx xx x 骣骣骣鼢珑鼢珑鼢珑鼢珑=鼢珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑鼢桫珑桫桫1 11 12 23 3111131111311021110211003110031x xx xx x -骣骣骣骣鼢珑鼢珑鼢珑鼢 珑=-鼢 珑鼢 珑鼢珑鼢鼢 珑-鼢桫珑桫桫桫故故 关于基关于基 的坐标为的坐标为 a a1 12 23 3, , ,a aa aa a( (3 3, , 1 1, , 1 1) )-1 12 21 12 2 , , , , ,3 3. ., , , ,2 2. . 3 3m mm mm mV V 定定义义设设及及是是线线性性空空间间的的两两个个基基 且且有有1111212111112121

13、212122222121222211221122, ,mmmmmmmmmmmm mmmmmm mmpppppppppppppppppp称此公式为称此公式为基变换公式基变换公式1111212111112121212122222121222211221122mmmmmmmmmmmm mmmmmm mmpppppppppppppppppp由于由于12121212,mmmmP P (3.2.4)(3.2.4) 矩阵矩阵 称为由基称为由基 到基到基 的的过渡矩阵过渡矩阵12, ,m 12, ,m P注：注： （1 1）过渡矩阵是唯一确定的；）过渡矩阵是唯一确定的； （2 2）过渡矩阵是可逆的；）过渡矩阵

14、是可逆的； 12121212121212121212,mmmmmmmmm mQ QP PQ PQ PQPI 121212121 112121212(3) ,(3) , , ,m mmmmmm mA AA A 若是基到基若是基到基的过渡矩阵 则是到的过渡矩阵 则是到的过渡矩阵；的过渡矩阵； (4) (4) 基变换公式基变换公式(3.2.4)(3.2.4)可按普通矩阵可按普通矩阵的乘法进行运算。的乘法进行运算。若两个基满足关系式若两个基满足关系式1 12 21 12 2, , , , , , ,m mm mP P 二、坐标变换公式二、坐标变换公式12122 212121 11212 , , , ,

15、 , , , ,()()( , , , )( , , , )T Tm mT Tm mmmmmm mV Vxxxxxxy yyy yy 设中的元素在基设中的元素在基下的坐标为下的坐标为在基下的坐标在基下的坐标.2.3.2.3为为定理3定理3则有坐标变换公式则有坐标变换公式11112222, ,mmmmxyxyxyxyP Pxyxy111122221 1. .mmmmyxyxyxyxP Pyxyx或或 1 12 21212,m mm mx xx xx x 1 12 21212,m mm my yy yy y 11112222121212121 12 21212,mmmmmmmmm mm mxyxy

16、xyxyxyxyy yy yP Py y3 31231233 3123123123123123123 011011 1 ,0 ,1 1 ,0 ,1110110,(2, 1,3),.(2, 1,3),.T TF FF F 已知的一个基已知的一个基(1)(1)求的自然基 ，到的过渡矩阵求的自然基 ，到的过渡矩阵(2)(2)求向量关于基的坐标求向量关于基的坐标例3.2.8例3.2.8123123123123123123123123 (1) , , (1) , ,011011 , , , 101 , , , 101110110 将用表示得将用表示得解解011011 101 , 101 ,110110所

17、以过渡矩阵为所以过渡矩阵为1231231231231231231 11 12 23 3,),), ,21,3), ,21,3)2020 13 133131 yyyyyyy yyAyAy y(2)(2)设 关于的坐标为(，因为设 关于的坐标为(，因为关于的坐标为( ,，则关于的坐标为( ,，则结论：结论：自然基自然基1212, , ,n n 到任意一组基到任意一组基 1212,n n的过渡矩阵为的过渡矩阵为1212 , ,n n12312312312312312123122 23 33 31313 1001001 ,1 ,0 ; 1 ,1 ,0 ; 1111111011010 ,00 ,03.

18、23. 2,2 .,2 .1101101,1, (2) (3,2,1), (2) (3,2,1),9 9. . .T TR R 例例求求（ ）从到（ ）从到已知两个基已知两个基的过渡矩阵；的过渡矩阵；关于的坐标关于的坐标 1231231231231231231231231231231231231 1 , , , , , , , , , , , ,100101101100101101110002101110002101111111 110112110112A AA AA A -1-1设过渡矩阵为设过渡矩阵为把与都视为矩阵把与都视为矩阵解 (1) 解 (1) 法一法一，则则1 12 23 31 1

19、2 23 31 12 23 31 12 23 31 12 23 31 12 23 31 12 23 31 11 12 23 31 12 23 3 , , , , , , , , , , , , , , , , ,1 10 00 01 10 01 11 11 10 00 00 02 21 11 11 11 11 10 0 , , , , , , , , , , , , , ,P PQ QP PQ QQ QP P 考考虑虑自自然然基基易易得得 ，其其中中, , , 则则 法法 二二 1 11 12 23 31 12 23 31 11 12 23 31 12 23 3 , , , , , , 1 1 0 0 0 01 10 01 1 , , , 1 1 1 1 0