最新弹性力学变分原理精品ppt课件说课讲解

1、弹性力学变分原理问题的引入问题的引入弹性力学问题的两种基本解法弹性力学问题的两种基本解法1、建立偏微分方程边界条件（直接法）、建立偏微分方程边界条件（直接法）2、建立变分方程（泛函的极值条件）、建立变分方程（泛函的极值条件）优点：优点：最终可以转化为求函数的极值问题，化最终可以转化为求函数的极值问题，化为代数方程，为近似解的寻求提供方便。也是为代数方程，为近似解的寻求提供方便。也是数值方法的理论基础。数值方法的理论基础。iijiju,两种方法具有等价性两种方法具有等价性, ,且力学问题中的泛函且力学问题中的泛函多为能量多为能量, ,是标量是标量, ,应用方便。应用方便。dxy1dxdxdy1L

2、ba2ba2 )()( 显然长度显然长度L依赖于曲线的形状，也就是依赖于曲线的形状，也就是依赖于函数依赖于函数y(x)的形式。因此，长度就是的形式。因此，长度就是函数函数y(x)的泛函。的泛函。 在一般的情况下，泛函具有如下的形式在一般的情况下，泛函具有如下的形式dxdxdyyxfxyIba),()(二、函数的微分二、函数的微分 与变分与变分1、自变量的微分、自变量的微分dx2、函数的微分、函数的微分3、函数的变分、函数的变分dxxydy)( ，成为新函数发生形式改变到记)()()()( xyxyxyxyyydydx)(xy)(xy条曲线越接近接近度阶数越高，则两称为一阶接近度；也很小，很小，

3、若称为零阶接近度；并不小，很小，但若 yy)y()x( y(*)yy)y()x( y)()()(xyxyy)()(yy 注意到：注意到：与与(*)式式比较，可见：比较，可见：即：即：）（）（ydxddxdy 结论：结论：导数的变分等于变分的导数，或变分导数的变分等于变分的导数，或变分 记号与求导记号可以互换。记号与求导记号可以互换。三、泛函的变分三、泛函的变分一般情况下，泛函可写为：一般情况下，泛函可写为：dxyyxfIba),(1、按照泰勒级数展开法则，被积函数、按照泰勒级数展开法则，被积函数 f 的增的增量可以写成量可以写成 .yyfyyf)y, y, x(f)yy, yy, x(ff上式

4、中上式中, ,右边的前两项是右边的前两项是 f 的增量的主部，的增量的主部，定义为定义为 f 的一阶变分，表示为的一阶变分，表示为yyfyyff2、再考察、再考察 babababadxyyfdxyyxfyyyyxfdxyyxfdxyxyyyxfI)(),(),(),()(,(的高阶项及 badxfI)(定义定义: 泛函泛函I 的变分的变分）（又dx)y, y, x(fIbababadxyyxfdxyyxf),( ),(）（结论：结论：变分运算和积分运算可以交换次序变分运算和积分运算可以交换次序与上式比较，可得：四、泛函的驻值与极值四、泛函的驻值与极值1、函数的驻值和极值、函数的驻值和极值如果函

5、数如果函数y(x)在在xx0的邻近任一点上的值都的邻近任一点上的值都不大于或都不小于不大于或都不小于y(x0)，即即 y(x)y(x0)或或 则称函数则称函数y(x)在在xx处达到极大值或极小处达到极大值或极小值。极值的值。极值的必要必要条件为条件为 0dxdy 为驻值时，称当)(0 xxxyy0dxdy0 极值必是驻值，但驻值不一定是极值。极值必是驻值，但驻值不一定是极值。0dxdy 取极值的必要条件为取极值的必要条件为 ，其充分条件，其充分条件由二阶导数来判定由二阶导数来判定不定为极小为极大 0)(y)( 0)(y)( 0)(y0)(y0)(y xxyxxyxxx2、泛函的驻值和极值、泛函

6、的驻值和极值0IxyyxyyxyIIoo 处必有则在处有极值在泛函)()()( 为驻值称当)(,)()(xyI0 xyIoxyyo 0)(IxyII取得极值的必要条件是泛函 不定极小极大充分条件 0I0I0I0I0I2222其中：其中：dxfyyyyIba)(22五、欧拉方程与自然边界条件五、欧拉方程与自然边界条件 的驻值问题讨论 babaybyyaydxyyxfI)()(),( 因为取驻值，所以因为取驻值，所以0I 0ydxyfdxdyfydxyfdxdyyfdxyyfdxyyfyyfIbababababa )()()()()(是任意的，则：y 0yfdxdyf)(为欧拉方程，可见上述泛函的

7、驻值问题等同于为欧拉方程，可见上述泛函的驻值问题等同于欧拉微分方程边值问题的解。欧拉微分方程边值问题的解。如果问题是：如果问题是： 边界条件任意badxyyxfI),()( 0 00)(0bxaxyfyfyfdxdyfI得到：则由）称为自然边界条件（ 自变函数事先满足的边界条件称为自变函数事先满足的边界条件称为本质边本质边界条件界条件。11 2 应变能与余应变能应变能与余应变能1.应变能应变能: 物体因变形储存的能量。物体因变形储存的能量。功和能的关系：功和能的关系：可逆过程可逆过程外力做功外力做功动能、应变能动能、应变能不可逆过程不可逆过程热能、声能热能、声能 在弹性力学中，仅研究在弹性力学

8、中，仅研究可逆过程可逆过程。对于。对于静静力学问题，认为外荷载对弹性体所做的功力学问题，认为外荷载对弹性体所做的功全部转化为弹性体的应变能，并贮存于弹全部转化为弹性体的应变能，并贮存于弹性体内。若卸去外荷载，弹性体将释放出性体内。若卸去外荷载，弹性体将释放出全部的应变能，并恢复其未受载时的初始全部的应变能，并恢复其未受载时的初始状态。状态。 分析：从分析：从A状态到状态到B状态状态外荷载做功的增量：外荷载做功的增量：弹性体弹性体 应应 变能增变能增 量量:WV对于弹性静力学问题，根据热力学第一定律：对于弹性静力学问题，根据热力学第一定律： VW 微元体在某一应变状态获得的应变能增量为微元体在某

9、一应变状态获得的应变能增量为VViiiidsutdvufV其中，其中， 为弹性体变形过程中的位移增量。为弹性体变形过程中的位移增量。 利用高斯公式得：利用高斯公式得：dvudvufdsundvufjViijViiVVijijii, )(iu考虑到应力张量的对称性，有考虑到应力张量的对称性，有dvVijVijdvudvufdvuudvufVjiijViijijVjiijijijVii,)()(定义：单位体积弹性体的应变能定义：单位体积弹性体的应变能(或称应变能或称应变能密度密度)为为 vijijvdvvVVdvvVVdvVijVij与前式有：得比较比较比较:ijijv此式称为格林此式称为格林(G

10、reen)公式，它适用于一般材公式，它适用于一般材料，不局限于线弹性材料。料，不局限于线弹性材料。由于弹性体的应变能由其变形状态唯一确定，由于弹性体的应变能由其变形状态唯一确定，它是状态函数，与变形过程无关，故有它是状态函数，与变形过程无关，故有ijijvvijijv的表达式？vijijijijo，：受载后：设初始状态1 0在状态在状态 的应变能密度为的应变能密度为11010*ij*ijvv*ij*ijijij 、 为为 0 、 的某个中间状态。的某个中间状态。 弹性体应变能是状态函数，故上式积分与弹性体应变能是状态函数，故上式积分与路径无关。路径无关。 对于对于线性线性问题，可假设在变形过程

11、中应力、问题，可假设在变形过程中应力、应变分量等比例增长。应变分量等比例增长。 ) 10(0:) 10(0:*ttttijijijijijijijij*ij*ijttv2110102. 余应变能、余应变能密度余应变能、余应变能密度对于单向拉伸问题对于单向拉伸问题应变能密度为应变能密度为 dv0)()(引入另一标量函数：引入另一标量函数：cdv0)()(即余应变能密度。即余应变能密度。 dvvVVcc余应变能余应变能一般地，应变能密度和余应变能密度满足关系一般地，应变能密度和余应变能密度满足关系 ijijcvv对于线弹性体对于线弹性体ijijcvv2111 3 广义虚功原理广义虚功原理1、真实位

12、移、真实应力和真实应变、真实位移、真实应力和真实应变uiiijjiijiSxuuVxuuu)(21,真实位移，满足：即几何连续条件即几何连续条件SxfnVxf:uijijij ,ijiji0满足对应的与即平衡条件即平衡条件真实应力对应的与真实应变真实应变对应的与真实位移ijijijiu它们构成弹性力学问题的解。它们构成弹性力学问题的解。2、容许位移、容许应变、容许位移、容许应变容许应变容许位移，满足： kijuikikijkjikijkiSxuuVxuu21u)(, 只对应于一个连续的位移场，但不一定只对应于一个连续的位移场，但不一定对应于一个平衡的应力状态，即与对应于一个平衡的应力状态，即与

13、 对应的对应的应力不一定满足平衡条件；而真实位移必对应力不一定满足平衡条件；而真实位移必对应一个平衡的应力状态。应一个平衡的应力状态。 容许位移和应变不一定是真实的位移和应容许位移和应变不一定是真实的位移和应变。但反之，真实的位移和应变必然是容许变。但反之，真实的位移和应变必然是容许的。的。 比较比较kiu的区别与ikiuukiu3、容许应力、容许应力SxfnVxf:ijsijisijsij0容许应力，满足比较比较的区别与ijsij与容许应力对应的应变与位移不一定满足协与容许应力对应的应变与位移不一定满足协调方程和位移边界条件，不保证物体内部存调方程和位移边界条件，不保证物体内部存在单值连续的

14、位移场，但真实应力对应于单在单值连续的位移场，但真实应力对应于单值连续的位移场。值连续的位移场。容许应力不一定是真实的应力。但反之，真容许应力不一定是真实的应力。但反之，真实的应力必然是容许的。实的应力必然是容许的。 4、虚位移、虚应变、虚位移、虚应变弹性体平衡位置附近，几何约束条件容许的弹性体平衡位置附近，几何约束条件容许的微小位移，记为微小位移，记为iuijijkijiikiuuu 有：满足：iu uiijjiijSx0uVxuu21)(,，称为虚应变对应的应变与ijiu5、虚应力、虚应力弹性体平衡位置附近，平衡条件所容许的微弹性体平衡位置附近，平衡条件所容许的微小应力状态小应力状态. i

15、jijsij有： Sx0nVx0jijjij,ijijtn但在位移边界上引起一个容许的面力但在位移边界上引起一个容许的面力6、广义虚功原理、广义虚功原理外力在容许位移上所做的功等于容许应力在外力在容许位移上所做的功等于容许应力在与该容许位移相应的容许应变上所做的功。与该容许位移相应的容许应变上所做的功。简述为，外力虚功等于内力虚功。简述为，外力虚功等于内力虚功。 VkijsijSkiiVkiidvdsutdvuf证明：证明：VkijsijSkiiVkj , isijSkijsijVkisj ,ijVkiisijdvdsutdvudsundvudvuf是静力容许的因为移项后 VkijsijSki

16、iVkiidvdsutdvuf说明：说明： 1、证明中，涉及到平衡、几何方程，并未涉及到物理方程。故在小变形及连续性条件下，适用于任何材料。 2、容许应力与容许位移、容许应变可以是同一弹性体中不同的受力状态和变形状态，彼此独立。 3、（a）平衡条件、（b）几何条件、（c）广义虚功方程三者间得关系由其中任两个条件可得第三个。由（b）、（c) (a) 表述为：若有一组内外力，对于任意容许位移和相应的容许应变，使广义虚功原理成立，则这组内外力是平衡的。证明：证明：因为广义虚功原理VkijijSkijijSkiiVkjiijSkiiVkijijSkiiVkiidvudsundsutdvudsutdvd

17、sutdvuf,0)()(,SkiijijVkiijijdsutndvuf表示内外力平衡0SxfnVxfijijij ,ij由（a）、（c) (b) 表述为：若有一组位移和应变，对于任意容许应力，使广义虚功原理成立，则这组位移和应变是可能的。关系：关系：平衡条件平衡条件几何条件几何条件平衡条件平衡条件几何条件几何条件广义虚功原理广义虚功原理7、虚位移原理、虚位移原理 iiuu设：真实位移虚位移，位移的变分,1() ( )20 ()kkiiiijijijiji jj iiuuuuuuVus则：且：由广义虚功原理： VkijsijSkiiVkiidvdsutdvufVijijijSiiiViiid

18、vdsuutdvuuf)()()(ijsij并取虚位移原理虚位移原理外力虚功外力虚功=内力虚功内力虚功VijijSiiViidvdsufdvuf即为：或称：虚位移原理虚位移原理 平衡方程应力边界条件平衡方程应力边界条件8、虚应力原理、虚应力原理由广义虚功原理： kisijijiju设：真实位移真实应力 虚应力 VkijsijSkiiVkiidvdsutdvuf,0( ) 0() ij jijjuijjiVnssnt则：另：在 上：由广义虚功原理：外余虚功外余虚功=内余虚功内余虚功VijSiidvdsutijuVijijijiSiiiSiViidvdsuttdsufdvufu)()(表表 明明在

19、已知位移的边界上，虚面力在真实位移在已知位移的边界上，虚面力在真实位移上作的功，等于整个弹性体的虚应力在真上作的功，等于整个弹性体的虚应力在真实应变上作的功。即虚应力原理。实应变上作的功。即虚应力原理。虚应力原理虚应力原理 几何方程位移边界条件几何方程位移边界条件9、功的互等定理功的互等定理 广义虚功方程应用于同一弹性体两种不同受力和变形状态下的解答。(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(1)(1)(2)(2)(2)( ) ( ) () () () (),; ,iiiiiuiuijijiijijifVfVtstsususuu第一种：第二种：对应的若取第一种应力，第二种位移和应变，则：若取

20、第二种应力，第一种位移和应变，则：VijijSiiViidvdsutdvuf)2()1()2()1()2()1(VijijSiiViidvdsutdvuf)1()2()1()2()1()2(SiiViiSiiViidsutdvufdsutdvuf)1()2()1()2()2()1()2()1()1()2()2()1(ijijijij由于故有：故有：注意：注意：(1) 功的互等定理仅适用于线弹性体功的互等定理仅适用于线弹性体(2) 可进一步得到位移互等、反力互等定理。可进一步得到位移互等、反力互等定理。114 最小势能原理、位移变分方程最小势能原理、位移变分方程虚位移原理虚位移原理VijijSi

21、iViidvdsufdvufijijv因为dsufdvufVdsufdvufvisiiviisiiviv称为位移变分方程，也称lagrange变分方程。表示：弹性体应变能的变分等于外力的虚功。表示：弹性体应变能的变分等于外力的虚功。另：外力大小和方向在 过程中不变。iu0)(pvsiiiipvsiiiiVVdsufdvufVdsufdvufV则：令：则：iu因为 微小0JVVJp 总势能定义： SiiViiVijijidsufdvufdvuJ21)(对于线弹性体： 由此可见，在满足几何条件的所有可能的位移中，实际存在的位移使总势能变分为零，即：使总势能取驻值。 进一步可以证明，对于稳定平衡状态

22、， ，这个驻值为极小值。又解具有唯一性，由此可以导出：02J最小势能原理：最小势能原理：在所有变形可能的位移中，实在所有变形可能的位移中，实际存在的位移使总势能取最小值。它等价于平际存在的位移使总势能取最小值。它等价于平衡方程和应力边界条件。证明如下：衡方程和应力边界条件。证明如下：SiijijViijiSiiSijijViijiSiiViiVjiijSiiViiVijijdsufndvufdsufdsundvufdsufdvufdvudvufdvufdvJ)()()(,充分性任意因为iu0J由SxfnVxfijijijij0,必要性也成立。所以变分问题所以变分问题 的欧拉方程为的欧拉方程为

23、，自然边界条件为应力边界，自然边界条件为应力边界条件。条件。0J0fijij ,证明是极小值证明是极小值 SiiViiVijidsutdvufdvvuJ)()(对于线弹性体，其总势能为SiiiViiiVijijiidsuutdvuufdvvuuJ)()()()(kijijijijkiiiiuuuu ;VSiiViiVVSiiViiVijijijiiidvvJdsutdvufdvvdvvdsutdvufdvvvuJuuJJ222121)()()()(JJJJ222121又：又：ijijijG2对于稳定平衡，应力存在变分对于稳定平衡，应力存在变分ijijijG2）（02222ijijijijijG

24、Gv）（）（ijijijklklijklijklijvv)(22由：由：而：而：得：得：所以所以02J115 最小余能原理、应力变分方程最小余能原理、应力变分方程1、在第二节已经证明了ijijv同样，可以证明ijijcvijijijcijvv )()(ijijijijijijcijijvv 0)()(ijijijijijijcvv任意ijijcijv2、由虚应力原理、由虚应力原理usdstudviiijvijusdstudvviiijvijcdstudvvisivcuusiidstuVc即应力变分方程即应力变分方程3、dstuVJisicuc由于 是边界u上给定的已知函数， iu所以右端项中变

25、分可以移到积分号前面，并记 0Jc 由此可见，在所有静力可能的应力中，实际存在的应力使弹性体的总余能取驻值，进一步可以证明，对于稳定平衡状态，这个驻值为极小值。又解具有唯一性，由此可以导出最小余能原理：在所有静力可能的应力最小余能原理：在所有静力可能的应力中，实际存在的应力使弹性体的总余能取最中，实际存在的应力使弹性体的总余能取最小值小值。 得到得到:弹性体总余能弹性体总余能证明：证明： 最小余能原理等价于几何方程和位移边界最小余能原理等价于几何方程和位移边界条件。条件。 0dsnuudvuu21dstudsnudvudstudvuudstudvuJuuuuSjijiiVijijjiijSii

26、SjijiVijjiijSiiVijjijijiijijSiiVjijiijijijc )()()()()()(,任意ij uiiijjiijSxuuVxuu21)(,反之，必要性也成立 变分问题变分问题 的欧拉方程为几何方程，的欧拉方程为几何方程，自然边界条件为位移边界条件自然边界条件为位移边界条件。0Jc 118 基于最小势能原理的近似计算基于最小势能原理的近似计算基于最小势能原理，如果能够列出所有变形基于最小势能原理，如果能够列出所有变形可能的位移，其中使总势能取最小值的那个可能的位移，其中使总势能取最小值的那个位移，就是真实的位移。位移，就是真实的位移。问题在于：问题在于：我们不可能我

27、们不可能列出所有变形可能的列出所有变形可能的位移，一般只能选其中的一组，故解具有近位移，一般只能选其中的一组，故解具有近似性。似性。但：但：如果事先给出的变形可能位移中含有真如果事先给出的变形可能位移中含有真解的形式，则一定可以求出真解。解的形式，则一定可以求出真解。mmmmmmmmmwCwwvBvvuAuu0001. Ritz 法法不失一般性不失一般性, ,设可能位移为设可能位移为上式所示的位移总能满足位移边界条件上式所示的位移总能满足位移边界条件 求位移的问题 求系数m,m,msiiividsufdvufVJ其中,含有应变能和位移的变分,如何实现?mmmmmmmmmCwwBvvAuummmmmmmCCVBBVAAVV)(mSmmzmmymmxmVmmzmmymmxmmmmmmmdsCwfBvfAufdvCwfBvfAufCCVBBVAAV0)()()(代入代入, ,有有: :siiividsufdvufVJSmzVmzmSmyVmymSmxVmxmdswfdxdydzwfCVdsvfdxdydzvfBVdsufdxdydzufAVm，关于m,m,m的3m个线性代数方程组 2.2.伽辽金法伽辽