第一型线积分和面积分2

1、2014年5月9日南京航空航天大学 理学院 数学系1第一型线积分和面积分第一型线积分和面积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分南京航空航天大学 理学院 数学系21.1.定义定义d-各小块曲面直径的最大值各小块曲面直径的最大值 ( , , )f x y z其中叫其中叫被积函数被积函数，.S叫积分曲面叫积分曲面( , , ):( , , )dSx y zSmmx y xS 面面密密度度为为连连续续函函数数的的光光滑滑曲曲面面 质质量量为为第一型曲面积分的概念和基本性质第一型曲面积分的概念和基本性质由第由第1节节南京航空航天大学 理学院 数学系3且有界且有界, ,则第一

2、型曲面积分存在则第一型曲面积分存在.在分片光滑曲在分片光滑曲S 上连续上连续2. 积分的存在性积分的存在性. 3. 3. 第一型曲面积分的性质第一型曲面积分的性质()11( )SdSSS （ ）的的面面积积12122( , , )( , , )( , , )SSSSSf x y z dSf x y z dSf x y z dS （ ）当当S S第一型曲面积分与第一型曲面积分与对弧长对弧长的曲线积分性质类似的曲线积分性质类似.(3)(3) 对称性对称性( (类似于三重积分类似于三重积分) )( , , )f x y z定定理理 若若1 1南京航空航天大学 理学院 数学系4第一型曲面积分的计算第一

3、型曲面积分的计算计算法计算法:-转化为二重积分转化为二重积分:( ,),( , , )(),xySzz x ySxoyDf x y zC S 设设光光滑滑曲曲面面在在面面上上的的投投影影区区域域为为22d1d dxySzzx y面积元素22( , , )( , , ( , ) 1d dxyxySDf x y z dSf x y z x yzzx y 由由曲曲面面积积分分的的定定义义南京航空航天大学 理学院 数学系522 , ( , ), 1d d ;xzxzDf x y x z zyyx z( , , )Sf x y z dS .1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy ( , , )

4、Sf x y z dS ( , )( , )yzSxx y zy zD 若若曲曲面面：:( , )( , )zxSyy x zx zD若曲面若曲面类似地类似地, ,南京航空航天大学 理学院 数学系6若曲面方程为若曲面方程为( , )( , ) ( , )( , )xx u vSyy u vu vDzz u v ：2dSEGF dudv2( , , ) ( , ), ( , ), ( , )d dSDf x y z dSf x u vy u vz u vEGFu v 由由曲曲面面积积分分的的定定义义222222uuuuvuvuvvvvExyzFx xy yz zGxyz 其中：其中：南京航空航天

5、大学 理学院 数学系7例例1 1解解投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxDxydxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 南京航空航天大学 理学院 数学系8()Sxyz dS 故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2.2125 25xyDdxdy投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxDxy92222(),:1SxydSSzxyz 计计算算其其中中及及所所围围区区域域的的整整个个边边界界曲曲面面。2222(,):1xySzxyx yDxy 锥锥：SSSSS 平平平平锥锥锥锥21200(21)(21)2dd 2222()(21)()xySDxy

6、dSxydxdy 2222,zxzyxyxyxy:1Sz 平平例例2 2解解221()()2zzxy22( , ):1xyx yDxy南京航空航天大学 理学院 数学系10例例 3 3 计计算算dSxyz |, 其其中中 为为抛抛物物面面 22yxz （10 z）. 解解依对称性知：依对称性知：被被积积函函数数| xyz关关于于xoz、yoz 坐标面对称坐标面对称轴对称，轴对称，关于关于抛物面抛物面zyxz22 有有 14成立成立，(1 为为第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)xyz南京航空航天大学 理学院 数学系11dxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 原式原式dSxyz

7、|14dxyz SdxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 其其中中1| ),(22 yxyxDxy, 0, 0 yx南京航空航天大学 理学院 数学系1212222004cossin14dd 2152002sin214dd duuu2514141 .42015125 cossinxy利用极坐标132222zxyzR 设设球球心心在在原原点点，转转动动轴轴为为 轴轴S S：,R求求半半径径为为面面密密度度为为的的球球面面S S对对某某直直径径的的转转动动惯惯量量。222222,zxzyxyRxyRxy例例4 4解解22222()()1zzRxyRxy22()1zSIxydS 222

8、2221:SzRxyD xyR1222()SxydS 南京航空航天大学 理学院 数学系14222222()DRxydRxy32332222200022222003342422()23282233RRRRRRdddRRRRRRRRRR22()1zSIxydS 1222()SxydS 15例例5. 计算计算2222:.SxyzR解解: 取球面坐标系取球面坐标系, I0d(cos)2cosRRR 20sindcosRR 20d :sin cos ,sin sin ,cos ,SxRyRzRd(),SSIRz 2dsin d dSR 2lnRRR 南京航空航天大学 理学院 数学系16222222,0.

9、SdSSzzHxyRxyz 是界于及间的圆柱面是界于及间的圆柱面例6例6解法一解法一122212dSIxyz 22yRx 由由22222d1d d1()0d dyzySxxy zy zRy 22d dRy zRy222212d dyzDRIy zRzRy 2222012ddHRRRzyRzRy.arctan2RH xyzo南京航空航天大学 理学院 数学系17解法二解法二cossinxRyRzz令2221DIEGF d dzRz22(sin )( cos )sin0cos00 11ERRFRRG 221DRd dzRz22200HRddzRz.arctan2RH 222222vvvvuvuvuu

10、uuzyxGzzyyxxFzyxE记记xyzo南京航空航天大学 理学院 数学系18小结小结第一型曲面积分的解法是将其化为投影域上的第一型曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算二重积分计算.1、 第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的概念;（按照曲面的不同情况分为三种）（按照曲面的不同情况分为三种）( , , )Sf x y z dS iiiniiSf ),(lim10 2、曲面由直角坐标方程表示、曲面由直角坐标方程表示19;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(则则.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),(. 3zyxx ：

11、若曲面若曲面则则),(:. 2zxyy 若曲面若曲面203、若曲面方程为、若曲面方程为( , )( , ) ( , )( , )xx u vSyy u vu vDzz u v ：2dd dSEGFu v2( , , ) ( , ), ( , ), ( , )SDf x y z dSf x u vy u vz u vEGF dudv 22222222uuuuuvuvuvuvvvvuExyzrFx xy yz zrrGxyzr 其中：其中：南京航空航天大学 理学院 数学系21EXEX被被积积函函数数 ),(zyxf222zyx ,解解关关于于坐坐标标面面、原原点点均均对对称称 , 积分曲面积分曲面

12、 也具有对称性也具有对称性 , 故原积分故原积分 18, (其其中中1 表表示示第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)南京航空航天大学 理学院 数学系221 ：azyx , 即即yxaz 22d1d dxySzzx ydxdy3 dSzyx)(222 1)(8222dSzyx2228() 3d dxyDxyaxyx y.324a 南京航空航天大学 理学院 数学系23思考题思考题 在对面积的曲面积分化为二重积分在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中的公式中, 有因子有因子 , 试说明试说明这个因子的几何意义这个因子的几何意义.221yxzz 南京航空航天大学 理学院 数学系24思考题解答思考题解答是

13、曲面元的面积是曲面元的面积,dS2211),cos(yxzzzn 221yxzz 故故 是曲面法线与是曲面法线与 轴夹角的余弦轴夹角的余弦的倒数的倒数.z南京航空航天大学 理学院 数学系25一、一、 填空题填空题: :1 1、 已知曲面已知曲面 的面的面a积为积为, , 则则 ds10_；2 2、 dszyxf),(= = yzDzyzyxf),),(_dydz；3 3、 设设 为球面为球面2222azyx 在在xoy平面的上方部平面的上方部分分, ,则则 dszyx)(222_；4 4、 zds3_, ,其中其中 为抛物面为抛物面)(222yxz 在在xoy面上方的部分；面上方的部分；5 5

14、、 dsyx)(22_, ,其中其中 为锥面为锥面22yxz 及平面及平面1 z所围成的区域的整个边界曲面所围成的区域的整个边界曲面. .练练 习习 题题南京航空航天大学 理学院 数学系26二、计算下列对面积的曲面积分二、计算下列对面积的曲面积分: :1 1、 dszxxxy)22(2, ,其中其中 为平面为平面 622 zyx在第一卦限中的部分；在第一卦限中的部分；2 2、 dszxyzxy)(, ,其中其中 为锥面为锥面22yxz 被被 柱面柱面axyx222 所截得的有限部分所截得的有限部分 . .三、求抛物面壳三、求抛物面壳)10)(2122 zyxz的质量的质量, ,此壳此壳的面密度的大小为的