2017中考复习-特殊四边形综合题

1、2.已知在矩形ABCD中，/ ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E,点P是线段DE上一定点 (其中 EP< PD)(1)如图1,若点F在CD边上(不与D重合)，将/ DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G.求证：PG=PF探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论.(2)拓展：如图2,若点F在CD的延长线上(不与D重合)，过点P作PG，PF,交射线DA于点G,你认为(1)中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由.特殊四边形综合题1 .如图，BD是

2、正方形ABCD的对角线，BC=2边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ,连接PA QD,并过点Q作QO, BD,垂足为O,连接OA、OP.(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形 APQD是什么四边形?(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明;(3)在平移变换过程中，设y=&opb, BP=x(0<x<2),求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值.3.已知正方形ABCD的边长为4, 一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BG DC的延长线交于点E、F,连接EF.设CE=a CF也.(1)如图1,当/EAF

3、被对角线AC平分时，求a、b的值；(2)当4AE支直角三角形时，求a、b的值；(3)如图3,探索/ EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由.4.如图，正方形ABCD的对角线相交于点。，点M, N分别是边BC, CD上的动点(不与点B, C, D重合)，AM, AN分别交BD于点E, F,且/ MAN始终保持45不变.(1)求证：理=AJfl 2(2)求证：AF± FM;(3)请探索：在/ MAN的旋转过程中，当/ BAM等于多少度时，/ FMN=/ BAM?写出你的 探索结论，并加以证明.5 .如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且/ BFC=90

4、. (1)当E为BC中点时，求证： BC/DEC(2)当BE=2ECW,求里的值;BC(3)设CE=1, BE=n,作点C关于DE的对称点C',连结FC； AF,若点C到AF的距离是生叵,5求n的化6 .如图1,在菱形ABCD中,AB=6/5, tan/ABC=2点E从点D出发，以每秒1个单位长度 的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t (秒)，将线段CE绕点C顺时针旋转一 个角a ( a 3 BCD),得到对应线段CF.(1)求证：BE=DF(2)当t=秒时，DF的长度有最小值，最小值等于 ;(3)如图2,连接BD EF、BD交EG EF于点P、Q,当t为何值时， EPQ是

5、直角三角形？(4)如图3,将线段CD绕点C顺时针旋转一个角a ( a ) BCD,得到对应线段CG在点E 的运动过程中，当它的对应点 F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于 时间t的函数表达式.7 .已知四边形ABCD是菱形，AB=4, ZABC=60, / EAF的两边分别与射线 CB, DC相交于点E, F,且 / EAF=60°.(1)如图1,当点E是线段CB的中点时，直接写出线段 AE, EF, AF之间的数量关系；(2)如图2,当点E是线段CB上任意一点时(点 E不与B、C重合),求证：BE=CF(3)如图3,当点E在线段CB的延长线上，且/ EAB=15

6、时，求点F到BC的距离.8 .如图，AD为等腰直角 ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上, 连接BG, AE.(1)求证：BG=AE(2)将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，(如图所示)求证：BG± GE;设DG与AB交于点M,若AG: AE=3: 4,求生的值.图 图9 .如图，在 ABC中，/BAC=90, AB=AC点E在AC上(且不与点 A, C重合)，在4ABC 的外部作 CED使/ CED=90, DE=CE连接AD,分别以AB, AD为邻边作平行四边形 ABFD 连接AF.(1)请直接写出线段AF, AE的数量关系（2）将4CED绕点

7、C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图，连接AE,请判断线段AF, AE的数量关系，并证明你的结论；（3）在图的基础上，将 CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生 变化？若不变，结合图写出证明过程；若变化，请说明理由.10 .如图（1）矩形 ABCD中，AB=2, BC=5, BP=1, / MPN=90将/ MPN 绕点 P从 PB处开始 按顺时针方向旋转，PM交AB （或AD）于点E, PN交边AD （或CD）于点F,当PN旋转至 PC处时，/ MPN的旋转随即停止（1）特殊情形：如图（2）,发现当PM过点A时，PN也恰好过点D,此时， ABP s PCD （填：”或

8、纥”（2）类比探究：如图（3）在旋转过程中，骂的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不 PF是，请说明理由；（3）拓展延伸：设AE=t, EPF面积为S,试确定S关于t的函数关系式；当S=4.2时，求所 对应的t的值.却图211 .已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点 P不与点A、C重 合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F,点。为AC的中点.（1）当点P与点。重合时如图1,易证OE=OF（不需证明）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当/ OFE=30时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图 2、图3的猜

9、想，并选择一种情况给予证明.12 .如图，在正方形 ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE, DE.(1)如图1,求证： BC草ADCE(2)如图2,延长BE交直线CD于点F, G在直线AB上，且FG=FB求证：DEX FG;已知正方形ABCD的边长为2,若点E在对角线AC上移动，当 BFG为等边三角形时，求 线段DE的长(直接写出结果，不必写出解答过程).13 .如图1,在正方形ABCD内作/ EAF=45, AE交BC于点E, AF交CD于点F,连接EF,过 点A作AHLEF,垂足为H.(1)如图2,将4ADF绕点A顺时针旋转90°得至MABG求证：AG®AAF

10、E若BE=Z DF=3求AH的长.(2)如图3,连接BD交AE于点M,交AF于点N.请探究并猜想：线段 BM, MN , ND之间有什么数量关系？并说明理由.14 .如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG/ CD交AF于 点G,连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG GF、AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG=6, EG=2后求BE的长.15 .如图1, 4ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90, AB=AC四边形ADEF是正方形，点B、 C分另I在边AD、AF上，止匕时BD=CF BD± CF成立.(1)当 ABC绕

11、点A逆时针旋转9 (0 < 9<90 )时，如图2, BD=CF®立吗？若成立，请 证明，若不成立，请说明理由；(2)当 ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3,延长BD交CF于点H.求证：BD± CF;当AB=2, AD=3万时，求线段DH的长.图I图2悭I16 .如图1,在矩形ABCD中，BC>AB, /BAD的平分线AF与BD BC分别交于点E、F,点 。是BD的中点，直线 OK AF,交AD于点K,交BC于点G.(1)求证：4 口0eABOGJ;AB+AK=BG(2)若 KD=KG BC=4-匹求KD的长度；如图2,点P是线段KD上的动点

12、(不与点 D、K重合)，PM/DG交KG于点M, PN/ KG 交DG于点N,设PD=mi,当S"mn=时，求m的值.S217 .已知正方形ABCD P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF使点F在线段CB 的延长线上，连接EA、EC(1)如图1,若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC(2)若点P在线段AB上.如图2,连接AC,当P为AB的中点时，判断 ACE的形状，并说明理由；如图3,设AB=a BP” 当EP平分/AEC时，求a： b及/AEC的度数.18 .在四边形ABCD中，对角线AG BD相交于点O,设锐角/AOB=c,将 DOC按逆时针方 向旋转得到 D O

13、C(0°旋转角 90°)连接AC、BD, AC与BD相交于点M .(1)当四边形ABCD为矩形时，如图1.求证：AOCBOD.(2)当四边形ABCD为平行四边形时，设 AC=kBD如图2.猜想此时 AOC与BOD有何关系，证明你的猜想；探究AC与BD的数量关系以及/ AMB与a的大小关系，并给予证明.19 .已知菱形 ABCD的边长为1, /ADC=60,等边 AEF两边分别交DC、CB于点E、F.(1)特殊发现：如图1,若点E、F分别是边DG CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、 BD的交点O即为等边 AEF的外心；(2)若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等

14、边 AEF的外心为P.猜想验证：如 图2,猜想4AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；拓展运用：如图 3,当E、F分 别是边DC CB的中点时，过点P任作一直线，分别交DA边于点M, BC边于点G, DC边的 延长线于点N,请你直接写出 工福的值.DM DN20 .在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点E在直线CD上(与点C, D不重合)，连接AE, 平移AADE,使点D移动到点C,得到 BCF过点F作FG，BD于点G,连接AG, EG(1)问题猜想：如图1,若点E在线段CD上，试猜想AG与EG的数量关系是,位 置关系是;(2)类比探究：如图2,若点E在线段CD的延长线上，其余条件不变，

15、小明猜想(1)中的 结论仍然成立，请你给出证明；(3)解决问题：若点E在线段DC的延长线上，且/ AGF=120,正方形ABCD的边长为2, 请在备用图中画出图形，并直接写出 DE的长度.21 .如图，正方形ABCD边长为6,菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD DA 上，连接 CF(1)求证：/ HEA=Z CGF(2)当 AH=DG=对，求证：菱形EFGH；正方形；(3)设AH=x, DG=2r AFCG的面积为y,试求y的最大化22 .如图 1,四边形 ABCD中，AD/ BC, ABI BC,点 E在边 AB上，/ DEC=90,且 DE=EC(1)求证：

16、 AD® ABEC(2)若AD=a, AE=b, DE=c请用图1证明勾股定理：a2+b2=c2;(3)线段AB上另有一点F (不与点E重合)，且DF，CF (如图2),若AD=2, BC=4求EF 的长.23 .如图1,正方形ABCD中，AC是对角线，等腰 RtACMN中，/ CMN=90 , CM=MN,点M 在CD边上，连接AN,点E是AN的中点，连接BE.(1)若 CM=2, AB=6,求 AE 的值；(2)求证：2BE=A(+CN;(3)当等腰RtACMN的点M落在正方形ABCD的BC边上，如图2,连接AN,点E是AN的 中点，连接BE,延长NM交AC于点F,请探究线段BE

17、、AG CN的数量关系，并证明你的结 论.24 .正方形ABCD的边长为3,点E, F分别在射线DC, DA上运动，且DE=DF连接BF,作 EHUBF所在直线于点H,连接CH.（1）如图1,若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是 ;（2）如图2,当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证 明；若不成立，说明理由；（3）如图3,当点E, F分别在射线DC, DA上运动时，连接DH,过点D作直线DH的垂线， 交直线BF于点K,连接CK,请直接写出线段CK长的最大值.25 .问题：如图（1）,点E、F分别在正方形 ABCD的边BG CD上，/ EAF=45,试

18、判断BE、 EF、FD之间的数量关系.【发现证明】小聪把 ABE绕点A逆时针旋转90 SAADG5,从而发现EF=B+FD,请你利用 图（1）证明上述结论.【类比引中】如图（2）,四边形ABCD中，/ BAA90°, AB=AD, /B+/D=180,点E、F分 另I在边BG CD上，贝U当/ EAF与/BAD满足 关系时，仍有 EF=B+FD.【探究应用】如图（3）,在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD已知AB=AD=80 米，/B=60°, /ADC=120, /BAD=150,道路 BG CD上分别有景点 E、F,且 AELAD, DF=40(百-1)米

19、，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路 EF的长(结果取整数，参考数据：口=1.41,-=1.73)26 .如图1,正方形 OABC与正方形 ODEFM置在直线l上，连结AD、CF,此时AD=CF AD ，CF成立.(1)正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2,试判断AD与CF还相等吗？若成 立，请证明；若不成立，请说明理由.(2)正方形ODEF绕。点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3,求证：ADXCF.(3)在(2)小题的条件下，AD与OC的交点为G,当AO=3 0口应时，求线段CG的长.27 .如图，在正方形 ABCD与等腰直角三角形 BEF中，/ BEF=90

20、76;, BE=EF连接PF,点P是 FD的中点，连接PE PC.(1)如图1,当点E在CB边上时，求证：PE=CE;2(2)如图2,当点E在CB的延长线上时，线段PG CE有怎样的数量关系，写出你的猜想， 并给与证明.28 .已知：11 / 12 / 13 / 14,平行线11与12、12与13、13与14之间的距离分别为 di、d2、d3,且dl=d3=1 , d2=2.我们把四个顶点分别在11、12、13、14这四条平行线上的四边形称为 格线四边形”.(1)如图1,正方形ABCD为格线四边形”，则正方形ABCD的边长为.(2)矩形ABCD为 格线四边形”，其长：宽=2: 1,求矩形ABC

21、D的宽.(3)如图1, EG过正方形ABCD的顶点D且垂直11于点E,分别交12, 14于点F, G.将/AEG 绕点A顺时针旋转30°得到/ AE' D(如图2),点D'在直线b上，以AD'为边在E'左侧作菱形 AB' C',改B', C分别在直线12, 14上，求菱形AB' Cll例长.29 .正方形ABCD力长为4cm,点E, M分别是线段AC, CD上的动点，连接DE并延长，交 正方形ABCD的边于点F,过点M作MNLDF于H,交AD于N.(1)如图1,若点M与点C重合，求证：DF=MN;(2)如图2,若点M从点

22、C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发, 以&cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t (t>0);当点F是边AB的中点时，求t的值；连结FM, FN,当t为何值时 MNF是等腰三角形(直接写出t值).30 .已知，正方形ABCD中，/MAN=45, / MAN绕点A顺时针旋转，它的两边长分别交 CB DC (或它们的延长线)于点 M、N, AH±MN于点H.(1)如图，当/MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：; (2)如图，当/ MAN绕点A旋转到BMWDN时，(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立

23、请写出理由，如果成立请证明；(3)如图，已知/ MAN=45 , AH，MN于点H,且MH=2,ADADA.月MCBCM /N图图。图NH=3,求AH的长.特殊四边形综合题答案1 .如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得 到的线段记为PQ,连接PA QD,并过点Q作QO, BD,垂足为O,连接OA、OP.(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形 APQD是什么四边形?(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；(3)在平移变换过程中，设y=&opb, BP=x(0<x<2),求y与x之间的函数关系式，并求出

24、y的最大值.解：(1)四边形APQD为平行四边形；(2) OA=OP OA±OP,理由如下：二.四边形ABCD正方形， .AB=BC=PQ /ABO=/ OBQ=45, OQ± BD,.PQO=45, ./ABO=/ OBQ=Z PQO=45, . OB=OQ在AAOB和AORQ中，rAB=PQZAB0=ZPQ0bo=qo. .AO®"OQ (SAS , .OA=OP, /AOB=/ POQ ./AOP=/ BOQ=90,.-.OA± OP;(3)如图，过O作OE，BC于E.如图1,当P点在B点右侧时，图1则 BQ=x+2, OE=y=-yXp

25、-?x,即 y=i- (x+1) 2-,又< 0<x<2, 当x=2时,y有最大值为2;如图2,当P点在B点左侧时，(x1) 4又< 0<x<2, 二当x=1时，y有最大值为十；综上所述，当x=2时，y有最大值为2;2.已知在矩形ABCD中，/ ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E,点P是线段DE 上一定点 （其中 EP< PD）（1）如图1,若点F在CD边上（不与D重合），将/ DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两 边PD、PF分别交射线DA于点H、G.求证：PG=PF探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论.（

26、2）拓展：如图2,若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG，PF,交射线DA 于点G,你认为（1）中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若 不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由.图1图2【分析】（1）若证PG=PF可证HPX ADPF3,已知/ DPH=/ HPG由旋转可知/ GPFWHPD=90及DE平分/ ADC得4HPD为等腰直角三角形，即/ DHP=/ PDF=45、PD=PH即可得 证；由 HPD为等腰直角三角形，AHPGzDPF知 HD=/2DP, HG=DF 根据 DG+DF=DGGH=DH 即可得；（2）过点P作PH±P

27、D交射线DA于点H,先证 HPD为等腰直角三角形可得 PH=PDHD=历DP, 再证HP* zDPF 可得 HG=DF 根据 DH=DG- HG=DG- DF 可得 DG- DFV2DP.解：（1）. /GPF玄HPD=90, /ADC=90, /GPH与 FPD,DE平分/ ADC, /PDF之 ADP=45, .HPD为等腰直角三角形， ./DHP=/ PDF=45,在AHPG和4DPF中，'/PHG 心 PDF."PH=PD,Ngph: Nfpd .HPXADPF (ASA, .PG=PF结论：DG+DF= ：DP,由知， HPD为等腰直角三角形， HP*ADPF .H

28、D=二DP, HG=DF .HD=HGDG=DF+DG,DG+DF= DP;(2)不成立，数量关系式应为：DG- DFV2DP, 如图，过点P作PH±PD交射线DA于点H,v PF± PG, /GPF玄 HPD=90, /GPH之 FPD,.DE平分/ADC,且在矩形 ABCD中，/ ADC=90, . / HDP=/ EDC=45,得到 HPD为等腰直角三角形, . / DHP=/EDC=45,且 PH=PD HD= ：DP,丁 / GHP之 FDP=180 -45 =135°,在AHPG和4DPF中，'/GP 济/FPDZGHP=ZFDP,PH=PD

29、.HPX DPF, .HG=DF.DH=DG- HG=DG- DF,.DG- DF=二DP.3.已知正方形ABCD的边长为4, 一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与 边BG DC的延长线交于点E、F,连接EF.设CE=a CF=b.(1)如图1,当/EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；(2)当4AE支直角三角形时，求a、b的值；(3)如图3,探索/ EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由.【分析】(1)当/ EAF被对角线AC平分时，易证 ACHAACE因此CF=CE即a=b.(2)分两种情况进行计算，先用勾股定理得出C户=8( C&4)，

30、再用相似三角形得出4CF=CE(CE+4)，两式联立解方程组即可；(3)先判断出/ AFD=/ CEF再判断出AF=EF从而彳ADF4FCE即可.解：(1)二.四边形ABCD是正方形，丁. / BCF=/ DCE=90.AC是正方形ABCD的对角线， /ACB之 ACD=4 5,ZACF=/ ACE /EAF被对角线AC平分，丁. / CAF=/ CAE在AACF和AACE中， rZACF=ZACEAC 二 &C,ZCAF=ZCAE .ACF AACE .CE=CE. CE=a CF=b,a=b,. AC陷 AACEEZAEF=Z AFE,ZEAF=45,ZAEF=Z AFE=67.5

31、°,. CE=CF / ECF=90, /AEC4 AFC=22.5,vZ CAF之 CAE=22.5,丁 / CAE玄 CEA.CE=AC=4 ：.：,即：a=b=4 ：.：；(2)当AEF是直角三角形时，当/AFE=90时，.AFD+/CFE=90, ./CE!+/CFE=90, ./AFD=/CEF /AFE=90, /EAF=45,丁. / AEF=45=/ EAF .AF=EFC ZADK=ZFCE在AADF和AFCE中 ZAFD=ZCEF 研二EF .ADF AFCEFC=AD=4 CE=DF=C+FC=&.a=8, b=4当/ AEF=90时，同的方法得，CF=

32、4 CE=8. .a=4, b=8.(3) ab=32,理由：如图，. AB/ CD丁. / BAG=Z AFCZBAC=45, ./BAG+/ CAF=45,ZAFOZCAF=45,Z AFOZAEC=180- (/CFE+/CEF Z EAF=180- 90 -45 =45°, ./CAF=Z AEC,.ZACF=Z ACE=135, .ACM AECA EC -AC ECX CF=AC=2AB2=32 .ab=32.4. (2016?淄博)如图，正方形 ABCD的对角线相交于点O,点M, N分别是边BC, CD上的 动点(不与点B, C, D重合),AM, AN分别交BD于点E

33、, F,且/ MAN始终保持45°不变. (1)求证：1=勺；O 2(2)求证：AF± FM;(3)请探索：在/ MAN的旋转过程中，当/ BAM等于多少度时，/ FMN=/ BAM?写出你的 探索结论，并加以证明.AD【分析】(1)先证明A、B、M、F四点共圆，根据圆内接四边形对角互补即可证明/ AFM=90, 根据等腰直角三角形性质即可解决问题.(2)由(1)的结论即可证明.(3)由：A、B、M、F 四点共圆，推出/ BAM=/ EFM,因为/ BAM=/ FMN,所以/ EFM=/FMN,推出MN/BD,得到空孚，推出BM=DN,再证明AABM4ADN即可解决问题.

34、CB CD(1)证明：二.四边形ABCD是正方形，丁. / ABD=/ CBD=45, / ABC=90, vZ MAN=45 ,丁. / MAF=/ MBE,A、B、M、F四点共圆， ./ABM+/AFM=180 , ./AFM=90 ,丁. / FAM=/ FMA=45 ,.AM= . ：?AF,AF=V2 .All 2(2)由(1)可知/ AFM=90 , .-.AF± FM.(3)结论：/ BAM=22.5时，/ FMN=/ BAM理由：: A、B、M、F四点共圆, 丁. / BAM=/ EFM,./BAM=/FMN, ./EFM=/ FMN,.MN / BD,工一CB CD

35、v CB=DC .CM=CN, .MB=DN,在AABM和AADN中,AB'DZABI=ZM)N=OS ,BH=DN.ABMAADN,丁. / BAM=/ DAN,vZ MAN=45 ,丁. / BAM+Z DAN=45 ,丁. / BAM=22.5 .5. (2016?丽水)如图，矩形 ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且/ BFC=90.(1)当E为BC中点时，求证： BC/ADECC(2)当BE=2ECM,求里的值；BC(3)设CE=1, BE=n,作点C关于DE的对称点C',连结FC； AF,若点C到AF的距离是色叵,5求n的化DE=EF由等腰三角形的性质【

36、分析】(1)由矩形和直角三角形斜边上的中线性质得出 得出/ FEC= FCE证出CF=CE由ASA证明 BC售 DEC即可；(2)设CE=eiJ BE=2a BC=3a证明ABCS DEC得出对应边成比例史匹，得出ED2=6a2,EC E D由勾股定理得出DC= na,即可得出结果；(3)过C作C' 1LAF于点H,连接CC交EF于M ,由直角三角形斜边上的中线性质得出/ FEC=/FCE证出/ADF=/ BCF由SAS证明人口国 BCF得出/ AFD=/ BFC=90,证出四边形C' MFH矩形，得出FM=C H=-,设EM=x,则FC=FE=+由勾股定理得出方程，解方程求出

37、EMO； FC=FE=H/叵；由(2)得：口上，把CE=1 BE=n代入计算即可10105EC KD得出n的值.(1)证明；二.在矩形 ABCD中，/ DCE=90, F是斜边DE的中点,.CF=-DE=EF /FEC力 FCE./BFC=90, E 为 BC中点, .EF=EC CF=CENbfcNdce在 BCF和 DEC中，CF=CElZfcb=Zdec. .BC售ADEC(ASA)；(2)解：设 CE=a 由 BE=2CE 得：BE=2a BC=3q.CF是RtA DCE边上的中线, . CF-DE,2vZ FEC之 FCE / BFC力 DCE=90, .BC% ADECCF=BC

38、-EC EDED解得：ED？=6c2 由勾股定理得：DC屣EC临2 a2 反ACD=V5a V5EC 3a 3(3)解：过C作C HAF于点H,连接CC交EF于M,如图所示:B EC.CF是RtA DC1边上的中线，.FC=FE=FD /FEC力 FCE二.四边形ABCD矩形， .AD/BC, AD=BC ./ADF=/ CEF ./ADF=/ BCFFAD=BC在AADF和 ABCF中，ZADF=ZBCF ,ldf=cf .ADFABCF (SAS , ./AFD=/ BFC=90,. CH± AF, C' LEF, / HFE=Z C' HF=C' MF=

39、90一四边形C MFH1矩形,.FM=C H=二5设 EM=x, WJ FC=FE=+红 J5在 RtA EMC和 RtA FMC中，由勾股定理得：CB- EM2=CF2 - FM2,.-12-x2= (x+邛L) 2 -(臂)2,解得：x=位,或x=_叵(舍去)，102 .EM=jZHL, FC=FE=L+2v，10 ;10105由得：里之，EC ED把CE=1, BE=n代入上式计算得：CF=2n+2 ,2V22_V10-=H，2106解得：n=4.6.如图1,在菱形ABCD中,AB=6抵 tan/ABC=2点E从点D出发，以每秒1个单位长度 的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为

40、t (秒)，将线段CE绕点C顺时针旋转一 个角a ( a 3 BCD),得到对应线段CF.(1)求证：BE=DF(2)当t= 至+6 秒时,DF的长度有最小值，最小值等于 12 ;(3)如图2,连接BD EF、BD交EG EF于点P、Q,当t为何值时， EPQ是直角三角形？ (4)如图3,将线段CD绕点C顺时针旋转一个角a ( a ) BCD,得到对应线段CG在点E的运动过程中，当它的对应点 F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于 时间t的函数表达式.【分析】(1)由/ECFW BCD 得 /DCF4 BCE 结合 DC=BC CE=CFffi DCH zBCE 即可得；(2

41、)当点E运动至点E'时，由DF=BEa止匕时DF最小，求得BE'、AE'即可得答案；(3)/ EQP=90时，由/ ECFW BCD. BC=DC EC=F(W/ BCP玄 EQP=90,根据 AB=CD=65 , tan / ABC=tanZ ADC=2即可求得 DE;/EPQ=90时，由菱形ABCD的对角线AC±BD知EC与AC重合，可得DE=6;(4)连接GF分别角直线 AD、BC于点M、N,过点F作FHI± AD于点H,证 DC/AGCF 可得/ 3=/4=/1=/ 2,即GF/ CD,从而知四边形 CDMN是平行四边形，由平行四边形得MN=

42、CD=6/5;再由 / CGN4 DCN=Z CNG 知 CN=CG=CD谒，根据 tan/ABC=tanZ CGN=2可 得 GM=M+12,由 GF=DE=&m FM=t-6/5- 12, 利用 tan/FMH=tan/ABC=2即可得 FH.解：(1) /ECF=BCD,即 / BCE/DCE= DCF+/DCE /DCF4 BCE二.四边形ABCD菱形， .DC=BC在 DCF和 BCE中， FCF=CEZDCF=ZBCE, mcB .DC售 ABCE (SAS, .DF=BE(2)如图1,E' 4 E j 口当点E运动至点EM, DF=BE,此时DF最小，在 RtAB

43、E中，AB=67j1, tan/ABC=tanZ BAE = 2 .设 AE 千则 BE' =2x .AB= ! x=6 3,则 AE =6 .DE =65+6, DF=BE =12故答案为：6V5+6, 12;(3) vCE=CF ./CEQ< 90°,当/ EQP=90时,如图2,ZECF=/ BCD BC=DC EC=FC /CBD之 CEF/BPC玄 EPQ /BCP玄 EQP=90,. AB=CD=6/5, tan/ABC=ta也ADC=Z . DE=6,t=6 秒；当/EPQ=90时,如图2,A(E) p三B C f邸.菱形ABCD的对角线AC±

44、BD,EC与AC重合，.DE=6/5,；t=6 3秒;如图3,连接GF分别角直线AD、BC于点M、N,过点F作FFI±AD于点H, 由(1)知/ 1=/ 2,又. / 1 + /DCE力 2+/GCF /DCE玄 GCF在ADCE和AGCF中，FBC=FCZDCE=ZGCF,.DC 二 GC. .DC/GCF(SAS ,；/3=/4,: / 1 = /3, / 1 = /2, / 2=/4, .GF/ CD,又AH/ BN, 四边形CDMN是平行四边形，.MN=CD=6/5,. /BCD之 DCGZCGN=Z DCN=Z CNG .CN=CG=CD=6k,. tan/ABC=taM

45、CGN=2 .GN=12, .GM=6 "+12,. GF=DE=t.FM=t-6V5 - 12,vtanZFMH=tanZ ABC=Z .FH (t - 6欢-12),即 y=？2p_t 12一三台.7.已知四边形ABCD是菱形，AB=4, ZABC=60, / EAF的两边分别与射线 CB, DC相交于点 E, F,且 / EAF=60°.(1)如图1,当点E是线段CB的中点时，直接写出线段 AE, EF, AF之间的数量关系；(2)如图2,当点E是线段CB上任意一点时(点 E不与B、C重合)，求证：BE=CF(3)如图3,当点E在线段CB的延长线上，且/ EAB=15

46、时，求点F到BC的距离.【分析】(1)结论AE=EF=AF只要证明AE=AFW可证明 AEF是等边三角形.(2)欲证明BE=CF只要证明 BA/ACAFIPW.(3)过点A作AG,BC于点G,过点F作FH± EC于点H,根据FH=CF?cos30,因为CF=BE 只要求出BE即可解决问题.(1)解：结论 AE=EF=AF理由：如图1中，连接AC,.四边形 ABCD®菱形，Z B=60°,.AB=BC=CD=AP Z B=Z D=60 , .ABC, ADC是等边三角形， Z BAC玄 DAC=60.BE=EQZBAE CAE=30, AE± BC, ,.

47、ZEAF=60,Z CAW DAF=30 , a AFX CD, ：AE二AF(菱形的高相等), .AEF是等边三角形， .AE=EF=AF(2)证明：如图2中，. /BAU EAF=60, Z BAE玄 CAE在ABAE和ACAF中, ；ZBAE=ZCAF< BA=AC,:Nb = Nacf.BAACAF, .BE=CF(3)解：过点A作AGLBC于点G,过点F作FHLEC于点H,ZEAB=15, /ABC=60, ./AEB=45,在 RTAAGB 中，vZ ABC=60AB=4, .BG=2, AG=2在 RTAAEG中，vZ AEG=Z EAG=45, .AG=GE=2：;, .

48、EB=EG BG=2 :;-2, .AE® AFC, .AE=AF EB=CF=25 - 2,在 RTCHF中，./ HCF=180/ BCD=60, CF=2/3-2, . FH=CF?sin60 <2-2) ?亨=3-行.二点F到BC的距离为3-V3.8 .如图，AD为等腰直角 ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上, 连接BG, AE.(1)求证：BG=AE(2)将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，(如图所示)求证：BG± GE;设DG与AB交于点M,若AG: AE=3: 4,求雪的值.圜圄【分析】(1)如图，根据等腰直角三角形

49、的性质得 AD=BD,再根据正方形的性质得/ GDE=90,DG=DE则可根据“SASU惭BDXAADEE,于是得到BG=AE(2)如图，先判断 DEG为等腰直角三角形得到/ 1 = 7 2=45°,再由 BDX4ADE得到 / 3=/2=45°,则可得/ BGE=90,所以 BG±GE;设AG=3x,则AE=4k即GE=7x,利用等腰直角三角形的性质得 DG1geM!x,由(1) 22的结论得BG=AE=4x则根据勾股定理得AB=5x,接着由 ABD为等腰直角三角形得到/ 4=45°,BD0ABq返X,然后证明 DBMs/ DGB,则利用相似比可计算出

50、DM3五2X,所以2214GM=1型葭，于是可计算出 她的值.7ND(1)证明：如图，(7FB D C E圄©,AD为等腰直角 ABC的高, .AD=BD, 四边形DEF©正方形， ./GDE=90, DG=DE在abdg和aade中rBD=ADZBDG=ZADE,I.DG=EE .BD8 AADE,bg=ae(2)证明：如图，国四边形def以正方形， .DEG为等腰直角三角形，./ 1 = /2=45°,由(1)得bd*aade /3=/2=45°,. / 1+/ 3=45 +45 =90°,即 / BGE=90,.-.BG± GE

51、;解：设 AG=3x,贝U AE=4x 即 GE=7x. DG雪 GeJx, 22. BD8AADE, . BG=AE=4x在 RtA BGA中，AB . BG2-AG2(4x)2 (3x)2 5x ,: ABD为等腰直角三角形， /4=45°, BD=AB=-x, 22；/3=/4,而/ BDM=/GDB,.DBMADGB, .BD: DG=DM: BD,即 0过x: 7：/lx=DM: -/lx,解得 DM=5 x,22214GM=DG- DM=1 x x=1 x, Z 14712V2gm =EZ/gFID工M 25 'f篁9.如图，在 ABC中，/BAC=90, AB=

52、AC点E在AC上(且不与点 A, C重合)，在4ABC 的外部作 CED使/ CED=90, DE=CE连接AD,分别以AB, AD为邻边作平行四边形 ABFD 连接AF.(1)请直接写出线段AF, AE的数量关系 AF吧AE ;(2)将4CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图，连接AE,请判断线段AF, AE的数量关系，并证明你的结论；(3)在图的基础上，将 CED绕点C继续逆时针旋转，请判断(2)问中的结论是否发生 变化？若不变，结合图写出证明过程；若变化，请说明理由."图因【分析】(1)如图中，结论：AFV2AE,只要证明 AEF是等腰直角三角形即可.(2)如图中，

53、结论：AF丑历AE,连接EF, DF交BC于K,先证明 EK降ZXEDA再证明 AEF是等腰直角三角形即可.(3)如图中，结论不变，AFV2AE,连接EF,延长FD交AC于K,先证明 EDFAECA 再证明 AEF是等腰直角三角形即可.理由：二.四边形ABFD是平行四边形,AF=/2AE. .AB=DE. AB=AG .AC二DE.DE二EG .AE呻. /DEC 玄 AEF=90,.AEF是等腰直角三角形, ,afVsae.故答案为AFi&E.(2)如图中，结论：AFV2AE. 理由：连接EF, DF交BC于K. 四边形ABFD是平行四边形， .AB/ DF, /DKE之 ABC=4

54、5, EKF=180-/ DKE=135, EK=ED vZ ADE=180 / EDC=180- 45 =135°, /EKF4ADE,/DKC玄 C, .DK=DC df=ab=ac . KF=AD在AEKF和 EDA中，fEK=ED ZEKF=ZADE, KF= AD .EKH AEDA .EF=EA / KEFW AED, ./FEA=Z BED=90, .AEF是等腰直角三角形， .AF= : AE.(3)如图中，结论不变，AF啦AE.理由：连接EF,延长FD交AC于K. / EDF=180 - / KDC- / EDC=135- / KDC ZACE= (90-ZKDQ +/DCE=13 5- /KDC /EDF之 ACEv DF=AB AB=AC . DF=AC在4EDF和4ECA中，DECZEDF=ZACE,Ide=ce. .ED陷 zECA .EF=EA / FED玄 AEC丁. / FEA=Z DEC=90,.AEF是等腰直角三角形， .AF= AE.10.如图（1）矩形 ABCD中，AB=2, BC=5, BP=1, /