备战2018年高考数学一轮复习热点难点专题53圆锥曲线中必考的双曲线问题

1、专题53圆锥曲线中必考的双曲线问题考纲要求：1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质渐近线）.2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用.基础知识回顾：、双曲线的标准方程和几何性质怕住方Iyfitex方江i二线宓心率实虚轴顶点坐标:顶点：小桁3八】北中八线段一:线段I6_叫作双曲线的实轴它的长I八】、叫作双曲线的虚轴,它的长；叫作双曲线的实半轴长.叫作双曲线的虚半轴长过焦点垂宜于实轴的弦叫通径其长为（范围、对称性、顶点、离心率、3.理解数形结合的思想.cc一(1,二).aba二、双曲线的定义：两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距集合P=M|MF|MF|=2a,|F

2、iF2|=2c,其中a、c为常数且a0,c0.（1）当ac时，P点不存在.应用举例：类型一、利用定义解决焦点三角形问题【例1】过双曲线x2y2=8的左焦点F FI I有一条弦PQ在左支上，若|PQ=7,F2是双曲线的右焦点，则4PEQ的周长是（）A.28B.14-8察C.14+82D,8/2解析：由双曲线定义知，|P同|PF|=4/，|QF|QF|=4/，.|PE|+|QE|（|PF|+|QF|）=8.2.又|PF|+|QF|=|PQ=7,.|PE|+|QF|=7+8m.PEQ的周长为14+82.22【例2】【2018届广西河池市高级中学高三上第三次月考】双曲线勺-L=1（abA0）的左、右焦

3、点分a2b别为F FI I,F2,F2,过F FI I作倾斜角为30的直线与y轴和双曲线右支分别交于A,B两点，若点A平分FB,则该双曲线的离心率是（丫w一2或丫之2?三坐标轴坐标轴原点原点（士a,0）（0,士a）2A1A22aB1B2平面内到两定点Fi,F2的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于IF1F2I)的点的轨迹叫做双曲线.这A.3B.2C.2D.3【答案】A【解析】因为AO分别是耳氏耳玛的中点，所以4。#%故4玛_L号玛，在犬必耳三声中，2耳招=30）设方用=/,则宙月=2，又dcr=2a*即工=3,由由支）。=工得工=瑾，所2【例3】【2018届重庆市巴蜀中学高三9月】已知双曲线

4、 0L0L 一二二 1 1 的左、右焦点分别为 f ff1169251L点 M MjN N 为异于 Fi?F?Fi?F?的两点，且 M,NM,N 的中点在双曲线 C C 的左支上，点 M M 关于 FiFi 和 F?F?的对称点分别为 4/4/B,B,则|NA|-|NB|NA|-|NB|的值为（）A.26B.一C.52D.一；.【答案】D【解析】设MN与双曲线的交点为点P,由几何关系结合三角形中位线可得：|N4|=2|PflL|NW=2|PF2L则:UMITNBI=2（|PFJ-啊瓦点P位于双曲线的左支，则:W4|-IfiFFl=2ap&I-P/D=2X（-2a）二一如二一4xI与二一

5、52.本题选择D选项.点评：在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程.同时要熟练掌握以下三方面内容：（1）已知双曲线方程，求它的渐近线；（2）求已知渐近线的双曲线的方程；（3）渐近线的为当,则G的渐近线方程为(小xy=0C.x2y=0D.2xy=0一一a-b一，a+b解析：由题息，知椭圆Ci 的离心率ei=,双曲线Q的离心率为e2=aaJ3Ja2-b2a2+b2#a2-b2a2+b23因为ei2、,所以a2茂即a=0整理可得a=2b.又双曲线G的渐近线方程为bx土ay=0,所以bx2by=0,即x42y=0.2、利用几何性质求渐近线方程p pa【例5】【2018届陕西省

6、榆林市第二中学高三上学期期中】已知双曲线二-K(tQb0)-K(tQb0)的两个焦展点分别为 Fi(-3,0),Fi(-3,0),点 p p 是双曲线上一点，且% %HPF*|HPF*|二Z,Z,则该双曲线的渐近线方程为()A.?一二，;B.?一二C.-1D.了.总”【答案】C【解析】由双曲线定义知IPFJ中产”=2=2%所以。=1.两个焦点分别为手式一3,尸式3,Q),所以。=3.所以有：勤2=/-7=9-1=&,所以占二2遮.双曲线的渐近线方程为7=土)=+2V2X.故选C.3、利用双曲线方程求渐近线方程类型二、求渐近线方程1、利用离心率求渐近线方程【例4】已知ab0,椭圆C的方程

7、为孑+=1，双曲线G的方程为孑一=1，Ci与G的离心率之积A.x士*y=0B.斜率与离心率的关系，如【例6】【2018届南宁市高三毕业班摸底联考】双曲线匚二的渐近线方程为（）2520A14c15Jc.24A.7二，卜.B.：*，卜刍c.7二，卜*D.二7-J一4F-B【答案】D【解析】由题意可得口=5,b=25所以渐近线方程为v二十*君选D D. .J-B2222点评：求曲线V=1（a0，b0）的渐近线的方法是令看=0，即得两渐近线方程a（=0.类型三、求离心率的值或范围.1、利用离心率定义求离心率22【例7】【2017课标3,理10已知椭圆C:与十%=1,（ab0）的左、右顶点分别为A,N,

8、且以ab线段AA为直径的圆与直线bxay+2ab=0相切，则C的离心率为（）B3B.【答案】A【解析】试题分析：以线段44为直径的圆的圆心为坐标原点（Q。），半径为尸=口，圆的方程为苒直线以-即+Z宓=。与圆相切，所以图心到直线的距离等于半径，即：d=-=整理可得M=3t即1=3房一112M=V,从而/=4=3椭图的离心率4=第=*,a3。3故选2、利用渐近线方程求离心率例8【2017届云南省红河州高三毕业生复习统一检测】已知A,B两点，若坐标原点O恰为AABF2的垂心(三角形三条高的交点)，则双曲线的离心率为(D.2x2ab2=1（a0,b0）的左、右焦点，过点F1且垂直于实轴的直线与双曲线

9、的两条渐近线分别相交于F1,F2分别是双曲线A3A.21B.2C.3D.33【答案】C【解析】F1(-c,0),F2(c,0),则双曲线的渐近线为y=bxa则当x=-c时，y=R，c=Bcaa、几八bc-bc设A-c,B-c,-a.a若坐标原点O恰为ABF2的垂心，OALBF2,即OABF2=0,、2即,c,bc|12弓的】=0,则2c2+些1=0,即b2=2a2,a.aab2=2a2=c2-a2.c2=3a2,则c=V3a则离心率e=c=Y3a=J3,故选：C C. .aa点评：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a,b,c的齐次关系式，

10、将b用a,e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解.类型四、求双曲线的方程1 .利用双曲线的定义求其方程【例9】已知定点A(0,7)、B(0,7)、Q12,2),以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程.解析：设F(x,y)为轨迹上的任意一点，:A、B两点在以CF为焦点的椭圆上，.|FA+|CA=2a,|FB+1CB=2a(其中a表示椭圆的长半轴长)，.|FA+1CA=|FB+|CB,.|FATFB=|CB-|CA=:122+92-122+2=2,.|FA-|FB=20,b0)的一条渐a2b2近线过点(2,J3),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4j7x的准线上，则双

11、曲线的方程为【解析】由题意，鸿,.J抛物线yM币y的准线方程为k-小，双曲线的一个焦点在抛物线y5=4币x的准线上,J.c=布,/.a3+ba=ca=7,双曲线的方程为22x-y=1432X故答案为：x2y=1点评：1.求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a,b,c的关系易错易混.2.双曲线的定义理解到位是解题的关键.应注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是双曲线的两支，还是双曲线的一支.若是一支，是哪一支，以确保解答的正确性.方法、规律归纳：1.求双曲线离心率的值(1)直接求出a,c,求解e：已知标准方程或a,c易求时，可利用离心率公式e=c求解;a(2)变用公式，整体求e：如利

12、用e=a2+b22a1+2，e=ac2-b2=2.双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系,二者之间可以互求.已知渐近线方程时,的值，于/c2a2+b2.1e=2=2=1+aaf,因此可求出离心率e的值；而已知离心率的值，也可求出渐近线的22则a的值为（【解析】因为1 1=扑=孝，所以1=5=2,1=5=2,解得“乎，故选上222.12017天津，理5】已知双曲线与%=1（a0,b0）的左焦点为F,离心率为 J2J2.若经过 F F 和abP（0,4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为22xy/-V=1(C)8822xy/-=1(D)48【解析】由题意得G G= =- -

13、1 1=匕=4,4,Q Q= =6 6= =2 2夜=1 1, ,选B.B.c88883.【2018届安徽省屯溪第一中学高三第二次月考】设点 P P 是双曲线二 1010 小00）上的一点，fl2产八/?分别是双曲线的左、右焦点，已知/改二 900900, ,且 F F；|=2|=2 俨 4|,4|,则双曲线的离心率为（）A.史B.$3C.;D.橐【答案】D1解析】在RTWP%啊中，设尸丘=町则由勾股定理得；47+M=4/，所以需二学，而由双曲线定义知，2a=2x-x=xia=-离心率6=：=意=钙，古嬷D,22一y7=1(a0,b0),若存在过右ab实战演练：1.12017届宁夏银川市第二中

14、学高三下学期模拟】22已知双曲线勺_L=1（a0）的离心率为J2,a1-aA.12B.C.D.(B)22人-L=1844.12018届黑龙江省海林市朝鲜中学高考综合卷一】已知双曲线22n.6.12017课标3,理5】已知双曲线C:3一一=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭ab222xy，、一焦点F的直线与双曲线交于A,B两点，且好=分，则双曲线离心率的最小值为(A.2B.、3C.2D.【解析】因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A、B两点，且町=3BF,故直线与双曲线相交只能交于左右两只，即A在左支，B在右支,设A(x,y1),B(x2,y2),右焦点F(c,0)，因为AF所以cx

15、1=3(cx2),3x2-Xi=2c,由于Xia,所以x1a,3x2之3a,故3x2x1之4a,即2c之4a,c之2,即e至2，选C.ax5.12017课标II,理9若双曲线C：-2ay2彳=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x2)+yb2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为(A.2【答案】A【解析】试题分析:由几何关系可得，双曲线三一4=1(口03的渐近线为：痴4=5ab图心(Z0)到渐近线距离为：d=二产=收,不妨考查点(20)到直线以+金=0的距离：d=丝伫?=竺=出G+5c即：农=)=3,整理可得：/=而上双曲线的离心率1二74=c故选儿圆一十匚=1有公共焦点，则C的方程为()123【

16、答案】B22卜【解析】双曲线C：与一4=1(a0,b0)的渐近线方程为y=-x,aba椭圆中：a2=12,b2=3,二c2=a2-b2=9,c=3,椭圆，即双曲线的焦点为(3,0),a2据此可得双曲线中的方程组：(c2=a2b2，解得：a2=4,b2=5,c=3I、2则双曲线C的方程为工匕=1.45故选B.227.12018届湖南省衡阳市第八中学高三上学期第三次月考】已知双曲线C1:二1(m0)与双m3m22xy曲线C2:=1有相同的渐近线，则两条双曲线的四个焦点为顶点构成的四边形面积为()416A.10B.20C.10.5D.40A.2y10二1B.2y5二1D.2y_3二1=b.设F2关于

17、渐近线的对称点为MF2M与渐近线交于A,|MF2|=2b,A为F2M的中点【解析】双曲线G二-=1（JMO）的渐近线为=土mm+3/y1双曲线G二三匕=1的渐近线为y=必，416二两个双曲线有相同的渐近线,毕=2,即皿=4,得出1,Vmm则双曲线垢匕一则对应的焦点坐标为E0,后），F8,-君）,双曲线口：W-g=l的焦点坐标为G（2出,0,H（-2右，0）,416则两个双曲线的四个焦点构成的四边形面积为S=2S3=2乂；乂事出乂出=2（h故选：B.F2关于【解析】由题意，Fi(-c,0),bF2（c,0）,一条渐近线万程为y=-x,则F2到渐近线的距离为abcb2c232C.2D.A.3B.,

18、则双曲线的离心率为（8.【2018届四川省成都市第七中学高三上学期半期】已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点，点又0是F1F2 的中点，ONF1MZF1MF为直角,.MFF2 为直角三角形，由勾股定理得4c2=c2+4b23c2=4(c2-a2),c2=4a2,c=2a,e=2.故选C.2J J9.【2018届陕西省榆林市第二中学高三上学期期中】已知双曲线一血)。心的左、右焦点分别为F FI I(-(-G GO),FO),FG GO),O),力是双曲线的左顶点，工,yjyj 在双曲线的一条渐近线上，M M 为线段 F1PF1P的中点，且 F1P14M,F1P14M,则该双曲线的渐近线为()A

19、.V=E 而；B.-C.D.-f,【答案】A【解析】取渐近线为尸上则当一手时，即点F F坐标为(一三一小，点时坐标为即(一誓出.AM=（一+皿一勺=一号（小+/-2过匕一疑）,尸1=（_：+匕_?=：（瓦_叽-FtPLAM,、1fc尸【AM-0,0,艮|1（也一口）（ L L“+c22 2acacabab）= =bQa24-c2ZurZur）+ +rr2 22?=0,2?=0,整理得c c= =2i,20,b0）的右顶点为A,以A为圆心，b为半径作22ab的离心率为J3,则实数m=圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于MN两点.若/MAN=60,则C的离心率为【解析】试题分如图所示，作因为圆为与双曲恚。的一条湖近线交于廿&N两点，则MV为双曲线的渐近线尸=2,上的点，且/(g。)，AM=AN=ba而找_LM,所以/产3=3(八点460)到直线7二的距离AP二.样在KrAP/N中，cosPAV=NA代人计算得/=3户，即口=/由，=口上+必得clb所以:二=窄二速一a32212.12017山东，理14】在平面直角坐标系xOy中，双曲线之一4=1(a0,b0)的右支与焦点为F的ab抛物线x2=2px(p0)交于A,B两点，若AF+BF=4OF,则该双曲线的渐近线方程为.22xOy中，若方程J=12mm4【答