线性代数3-3,4-1

1、向量的表示方法：行向量与列向量；向量的表示方法：行向量与列向量；向量空间、子空间：向量空间、子空间：加法加法及及数乘数乘运算运算封闭封闭； 维向量的概念：维向量的概念：n 4. 线性组合线性组合与与线性表示线性表示的概念；的概念；5. 线性相关线性相关与与线性无关线性无关的概念；的概念； ,na aa 12第三章重点回顾第三章重点回顾1 , 5,1.mmmmmmncccccc 121212212设设有有个个 维维向向量量对对于于任任给给的的实实数数由由向向量量线线性性运运算算构构成成的的式式子子称称为为向向量量组组的的一一定定个个。义义线线性性组组合合 , ,mmmmmn 1211221212

2、对对于于 维维向向量量若若存存在在实实数数使使得得则则称称向向量量 能能由由向向量量组组或或向向量量 是是向向量量组组的的一一个个线线性性组组合合。线线性性表表示示 1 nn个个维维向向量量组组成成的的向向量量组组线线性性无无关关的的充充要要条条件件是是它它们们所所构构成成的的方方阵阵行行列列推推论论式式不不等等于于零零。 ,3 ,nmmnmn 12当当时时个个 维维向向量量构构成成的的向向量量组组一一推推论论定定线线性性相相关关。 |nnAxA 002个个元元齐齐次次线线性性方方程程组组有有非非零零解解的的充充要要条条件件是是它它们们的的系系数数方方阵阵行行列列式式推推论论。2 :,().

3、2.6 ( )rrnAArnrA 1维维行行向向量量组组线线性性相相关关的的充充要要条条件件是是矩矩阵阵 的的秩秩定定理理22.6() :,(). rnArnAArr 1维维行行向向量量组组线线性性无无关关的的充充要要条条件件是是矩矩阵阵 的的秩秩定定理理线性相关性的若干结论与定理线性相关性的若干结论与定理121122, 0mmmc ccccc 找找为为零零的的数数使使不不全全.11221200mmmcccccc 先先设设成成立立只只有有当当，再再推推证证1.1.定义法定义法721(2)P如如P P：例例；94:794:7(1),12m 要要证证线线性性相相关关(2),12m 要要证证线线性性

4、无无关关72-1(1)3P6如如P P：例例，例例 ； 94:94:线性相关与线性无关的判定方法：线性相关与线性无关的判定方法：2.如如果果向向量量组组中中只只含含两两个个向向量量3. 含含有有零零向向量量的的向向量量组组必必线线性性相相关关。1. 如如果果向向量量组组中中只只包包含含一一个个向向量量(1)(2) 若若该该向向量量为为零零向向量量，则则线线性性相相关关；若若该该向向量量为为非非零零向向量量，则则线线性性无无关关。(1)(2) 若若两两向向量量的的分分量量对对应应成成比比例例，则则线线性性相相关关；若若两两向向量量的的分分量量对对应应不不成成比比例例，则则线线性性无无关关。2.2

5、.运用结论运用结论4. 向向量量个个数数大大于于维维数数的的向向量量组组必必线线性性相相关关。2( ) (),. 11mr Am 若若，则则线线性性无无关关2:,()112mmAmmmnnnA 对对于于向向量量的的向向量量组组，矩矩阵阵列列行行构构造造维维个个2(2) (),. 1mr Am 若若，则则线线性性相相关关Am的的秩秩向向量量个个数数比比较较矩矩阵阵与与的的大大小小：重要！相关性的矩阵判别法相关性的矩阵判别法-矩阵求秩法矩阵求秩法A241101201113101作业解答.P94:10(3)解：rr 2123rr 23rr 258 r A 1233,.因因，故故线线性性无无关关rr2

6、1 120110811205110 1201108112003310A 211423101110011作业解答.P94:10(3)另解：rr 312rr 324rr 322 r A 1233,.因因，故故线线性性无无关关rr31rr 34 101021011011011rr 345rr 33rr2 101011003000002 101011003000000rr 3523，满满足足个个向向量量中中能能选选出出，如如果果在在设设有有向向量量组组rrAA , 21定义定义2.32.3线线性性无无关关；）向向量量组组（rA ,:1 210关关，个个向向量量的的话话）都都线线性性相相中中有有个个向向

7、量量（如如果果中中任任意意）向向量量组组（112 rArA .r最最大大无无关关组组所所含含向向量量个个数数 称称为为向向量量组组的的秩秩; 0）（简简称称的的一一个个向向量量组组是是那那末末称称向向量量组组AA最大线性无关向量组最大线性无关向量组最大最大无关组无关组0.只只含含零零向向量量的的向向量量组组没没有有最最大大无无关关组组，规规定定它它的的秩秩为为!无无关关性性!最最大大性性三、向量组的最大无关组与秩三、向量组的最大无关组与秩行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵特点：特点：（1）可划出一条阶梯线，线的下方全为零；）可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）每个台阶）每个台阶 只有一行，只有一行，

8、台阶数台阶数即是非零即是非零行的行数行的行数; (3) 阶梯线的竖线后面的第一个元素为阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零非零元元，即即非零行非零行的的第一个非零元第一个非零元矩矩阵阵：必必须须为为行行阶阶行行最最简简形形梯梯形形矩矩阵阵1 .特特征征：非非零零行行的的第第一一个个非非零零元元为为 ，且且这这些些非非零零元元所所在在的的列列的的其其他他元元素素都都为为零零 11222201121302421123A 解解 1 2 3 4 5 221rr 421rr 1122202532022420132123rr 42rr112220132100880007703478rr 21rr 10101

9、013210011000000 2,318rr 31rr 313rr 10011010110011000000 ( )r A 3知知，,.123 故故为为一一个个最最大大无无关关组组41235123,0 作业解答.P94:21(3)321rr 342rr ;,)1(21线线性性无无关关r .,2)(21线性表示线性表示中任一向量都可由中任一向量都可由rV 那末，向量组那末，向量组 就称为向量的一个就称为向量的一个r, 21V基基， 称为向量空间称为向量空间 的的维数维数，并称并称 为为 维向量维向量空间空间VrVr定义定义3.13.1设设 是向量空间，如果是向量空间，如果 个向量个向量 ，且满

10、足，且满足r,21 VVr ,.dim表表示示向向量量空空间间的的维维数数用用(V) 12 1 00 0,10 0 01 dim()nnnnnRRn 维维单单位位向向量量组组， ， ， ，是是 维维向向量量空空间间的的一一个个基基标标准准。显显基基，叫叫做做然然。 R,xVrrr 12211 （1）只含有零向量的向量空间称为）只含有零向量的向量空间称为0维向量维向量空间，因此它没有基空间，因此它没有基说明说明 （3）若向量组）若向量组 是向量空间是向量空间 的一的一个基，则个基，则 可表示为可表示为r, 21VV （2）若把向量空间）若把向量空间 看作向量组，那末看作向量组，那末 的基的基就是

11、向量组的最大无关组就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的的维数就是向量组的秩秩.VVVdim( )( )Vr V 即即 12121122121212 ,. ,rrrrrrrVVxxxxxxxxxxxx 设设是是向向量量空空间间 的的一一个个基基，则则对对任任意意的的，存存在在唯唯一一一一组组有有序序数数使使称称这这组组有有序序数数定定义义坐坐标标为为向向量量 在在基基下下的的记记做做能能不不同同。量量在在不不同同基基下下的的坐坐标标可可个个基基。同同一一个个向向一一个个向向量量空空间间可可能能有有多多 用用前前一一组组基基唯唯一一地地表表示示两两组组基基，则则后后一一组组基基可可的的维维

12、向向量量空空间间是是与与设设 , 2121nnnRneee P88:例1说明说明.,VRV 则则若若;,VVV 则则若若一、一、n维向量空间维向量空间定义定义1 1设设 为为 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合 非空，非空，且集合且集合 对于对于加法加法及及数乘数乘两种运算两种运算封闭封闭，那么就称，那么就称集合集合 为为向量空间向量空间 加法及数乘两种运算合称为加法及数乘两种运算合称为线性运算线性运算nVVVV 集合集合 对于加法及数乘两种运算封闭指对于加法及数乘两种运算封闭指V 判别下列集合是否为判别下列集合是否为 的子空间的子空间:R3 ( )P94:3(1) , ,|WzzR

13、 110 1 ( ), ,| ,Vxa a ba bR 2解解(1) , ,.zW 120 2 2则则.W1不不是是子子空空间间 , ,zW 10 1因因为为若若解解.是向量空间V的任意两个元素因为对于 V ,a a ba a b111222V ,aa aa bbV121212有有 ,.aabV111 ( ), ,| ,Vxa a ba bR 21 , 5,1.mmmmmmncccccc 121212212设设有有个个 维维向向量量对对于于任任给给的的实实数数由由向向量量线线性性运运算算构构成成的的式式子子称称为为向向量量组组的的一一定定个个。义义线线性性组组合合 , ,mmmmmn 1211

14、221212对对于于 维维向向量量若若存存在在实实数数使使得得则则称称向向量量 能能由由向向量量组组或或向向量量 是是向向量量组组的的一一个个线线性性组组合合。线线性性表表示示课堂练习课堂练习()()()123432 ( , , , )11 1 1 0 ( , , ,),22 1 01 (, )3111 0 设设其中其中,求求解解 由由 整理得整理得 ()12314323 ( , , , )( , , ,)(, ) 14 1 1 1 03 2 1 012111 03(, ) 432 1()()()123432 0 ,: 22112121 mmmmccccccA 使使全全为为零零的的数数如如果果

15、存存在在不不给给定定向向量量组组注意注意.0 ,0, 1. 22112121成成立立才才有有时时则则只只有有当当线线性性无无关关若若 mmmmcccccc 定义定义2.12.1二、线性相关性二、线性相关性则称则称向量组向量组 是是线性相关线性相关的，否则称它的，否则称它线性无关线性无关当向量组线性无关时，也称该向量组为线性无关当向量组线性无关时，也称该向量组为线性无关（向量）组，简称（向量）组，简称无关组无关组A1231222331123 , 133设设向向量量组组线线性性无无关关，例例试试证证向向量量组组线线性性无无关关。 ,xxx123证证设设有有数数使使得得0332211 xxx即即 0

16、133322211 xxx 0332221131 xxxxxx线性无关，故有线性无关，故有因向量组因向量组321, 000322131xxxxxx由由于于系系数数行行列列式式 10111020011 线线性性无无关关。向向量量组组所所以以只只有有零零解解因因此此齐齐次次方方程程组组321321, 0* xxx121122, 0mmmc ccccc 找找为为零零的的数数使使不不全全.11221200mmmcccccc 先先设设成成立立只只有有当当，再再推推证证1.1.定义法定义法721(2)P如如P P：例例；94:794:7(1),12m 要要证证线线性性相相关关(2),12m 要要证证线线性

17、性无无关关72-1(1)3P6如如P P：例例，例例 ； 94:94:线性相关与线性无关的判定方法：线性相关与线性无关的判定方法：2.如如果果向向量量组组中中只只含含两两个个向向量量3. 含含有有零零向向量量的的向向量量组组必必线线性性相相关关。1. 如如果果向向量量组组中中只只包包含含一一个个向向量量(1)(2) 若若该该向向量量为为零零向向量量，则则线线性性相相关关；若若该该向向量量为为非非零零向向量量，则则线线性性无无关关。(1)(2) 若若两两向向量量的的分分量量对对应应成成比比例例，则则线线性性相相关关；若若两两向向量量的的分分量量对对应应不不成成比比例例，则则线线性性无无关关。2.

18、2.运用结论运用结论4. 向向量量个个数数大大于于维维数数的的向向量量组组必必线线性性相相关关。2( ) (),. 11mr Am 若若，则则线线性性无无关关2:,()112mmAmmmnnnA 对对于于向向量量的的向向量量组组，矩矩阵阵列列行行构构造造维维个个2(2) (),. 1mr Am 若若，则则线线性性相相关关Am的的秩秩向向量量个个数数比比较较矩矩阵阵与与的的大大小小：重要！相关性的矩阵判别法相关性的矩阵判别法-矩阵求秩法矩阵求秩法At 11112313P94:9(1)(2)9解：2rr 13rr 1t 1110120213rr 22t 111012005 tr A 123(1)5

19、23,.当当时时，故故线线性性相相关关 tr A 123(2)53,.当当时时，故故线线性性无无关关111012000，满满足足个个向向量量中中能能选选出出，如如果果在在设设有有向向量量组组rrAA , 21定义定义2.32.3线线性性无无关关；）向向量量组组（rA ,:1 210关关，个个向向量量的的话话）都都线线性性相相中中有有个个向向量量（如如果果中中任任意意）向向量量组组（112 rArA .r最最大大无无关关组组所所含含向向量量个个数数 称称为为向向量量组组的的秩秩; 0）（简简称称的的一一个个向向量量组组是是那那末末称称向向量量组组AA最大线性无关向量组最大线性无关向量组最大最大无

20、关组无关组三、向量组的最大无关组与秩三、向量组的最大无关组与秩!无无关关性性!最最大大性性P94习题三习题三:3(2)(4)，5，6，9，10(2)(3)，21 172523011121406403121A 解解 练习练习：P95:21(2)1 2 3 4 5 231rr 321rr 1725202171470044003121247rr 42rr17252031210044000000( )r A 3知知，练习练习：P95:21(2)1 2 3 4 5 247rr 42rr17252031210044000000314r 132rr 1703203011001100000023rr 3173

21、rr 313r211003311010330011000000 ( )r A 3知知，,.123 故故为为一一个个最最大大无无关关组组4123512321,3311033 1、费用分摊问题：设一个公司有、费用分摊问题：设一个公司有3个个生产部门、生产部门、4个管理部门。公司规定，个管理部门。公司规定，每个管理部门的费用由生产部门及其每个管理部门的费用由生产部门及其它管理部门分摊，它管理部门分摊，问题求解：，问题求解：每个管理部门的费用？各生产部门分每个管理部门的费用？各生产部门分摊的费用？摊的费用？实际案例：实际案例：M1M2M3M4P1P2P3自身费用M100.02 0.10 0.10 0.

22、24 0.26 0.2820 000M20.10 00.20 0.10 0.20 0.20 0.2018 000M300000.30 0.30 0.4080 000M40.10 0.10 0.10 00.20 0.20 0.3010 000部部门门管理部门管理部门承担承担比例比例最后一列表示最后一列表示4个管理部门个管理部门M1、M2、M3、M4的自身费用（如人员工资、办公费用的自身费用（如人员工资、办公费用等）。问题求解：每个管理部门的总费用等）。问题求解：每个管理部门的总费用（自身费用加上承担其他管理部门费用的（自身费用加上承担其他管理部门费用的份额）？各生产部门所承担的管理费用？份额）？

23、各生产部门所承担的管理费用？解：设管理部门M1、M2、M3、M4发生的总费用分别为x1,x2,x3,x4,各由两部分组成：自身费用加上承担其他管理部门费用的份额。于是，由上表可知：x1200000.1x20.1x4 x2180000.02x1 0.1x4 x3800000.1x1 0.2x2 0.1x4 x4100000.1x10.1x2求解得到： x123423.43， x219901.72 x387755.93， x414332.52从而可得出各生产部门需承担的管理费用为： P1部门：0.2423423 0.2 19901.72 0.3 87755.93 0.2 14332.52 3879

24、5（元） P2部门：0.2623423 0.2 19901.72 0.3 87755.93 0.2 14332.52 39264（元） P3部门：0.2823423 0.2 19901.72 0.4 87755.93 0.3 14332.52 49941（元）2、联合收入问题：设三家公司相互、联合收入问题：设三家公司相互有一定的股份关系。已知各自的营业有一定的股份关系。已知各自的营业净收入净收入，问题求解：各公司的联，问题求解：各公司的联合收入每家公司的净收入加上在合收入每家公司的净收入加上在其他公司的股份按比例提成的收入？其他公司的股份按比例提成的收入？各公司的实际收入？各公司的实际收入？实

25、际案例：实际案例：3、交通流量问题：已知某地区的公、交通流量问题：已知某地区的公路交通网络图单行道、车流量等路交通网络图单行道、车流量等情况，情况，问题求解：网络交通流，问题求解：网络交通流量的解决方案？量的解决方案？实际案例：实际案例：ABDEC交通网络图:道路都是单行道，且道上不能停车，通行方向用箭头标明，标示的数字为高峰期每小时进出网络的车辆数。进入网络的车共有800辆等于离开网络的车辆总数；另外，进入每个交叉点的车辆数等于离开该交叉点车辆数，这两个交通流量平衡的条件都等到满足。x1300200100300200300200 x4x3x2x6x5煤煤电电工作日工作日每吨利润每吨利润产品产

26、品A9437产品产品B551012条件条件360200300线性规划：线性规划：0,3001032005436059.127max2121212121xxxxxxxxtsxxfBXA,bxaxaxa,bxaxaxa,bxaxaxamnmnmmnnnn 可可写写为为矩矩阵阵方方程程22112222212111212111线性方程组一般形式：线性方程组一般形式：1、如何判定方程组是否有解？、如何判定方程组是否有解？2、有解时，解是否唯一？、有解时，解是否唯一？3、解不唯一时，应如何表示解、解不唯一时，应如何表示解 解的结构？解的结构？线性方程组解的问题：线性方程组解的问题： 数学王子数学王子-高斯

27、高斯(Gauss,Carl Friedrich)是德国数学家、天文学家和是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。享盛名。 高斯高斯1777年年4月月30日生于不伦瑞克的一个工匠日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，家庭，1855年年2月月23日卒于格丁根。幼时家境日卒于格丁根。幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。受教育。17951798年在格丁根大学学习年在格丁根大学学习1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数年转入黑尔姆

28、施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。 高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。究中也偏重于用数学方法进行研究。)1 .

29、 1( .,22112222212111212111 bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn的解法。的解法。的的矩矩阵阵形形式式为为)1 . 1(，bAx 其中其中 , ,2121212222111211 nmmnmmnnxxxxbbbbaaaaaaaaaA.分分别别叫叫做做，系系数数矩矩阵阵常常数数列列未未知知数数， ,21222221111211 mmnmmnnbaaabaaabaaabAA(1.1)叫叫做做方方程程组组的的增增广广矩矩阵阵。常常用用高高斯斯消消元元法法求求解解。这这种种一一般般的的方方程程组组，通通 1 解解线线例例性性方方程程组组。)1( , 9

30、7963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422 解解)(1B)1()(2B2 132 , 97963, 232, 22, 424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422 132 33 14 , 3433, 6355, 0222, 424324324324321xxxxxxxxxxxxx1342)(3B)(4B , 3, 62, 0, 42444324321xxxxxxxxx13425 221 33 422 , 00, 3, 0, 4244324321xxxxxxxx134232 443用用“回代回

31、代”的方法求出解：的方法求出解：于是解得于是解得 33443231xxxxx.3为任意取值为任意取值其中其中x方程组的解可记作方程组的解可记作或令或令,3cx ,3344321 cccxxxxx.为任意常数为任意常数其中其中c 30340111cx即即(2)1上述解方程组的方法称为高斯消元法上述解方程组的方法称为高斯消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换下三种变换（1）交换方程次序；）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍ij（与相互替换）（与相互

32、替换）（以替换）（以替换）ik ij（以替换）（以替换）ik i3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换变换是同解变换ji)(A若若),(B)(B则则);(Ajik )(A若若),(Bji)(A若若),(Bik )(B则则);(Aik )(B则则).(Ak ji因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算系数和常数进行运算，未知量并未参与运算若记若记 97963422644121121112)(bAB则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方方程组（程组（1）的增广矩阵）的）的增广矩阵）的初等行变换初等行变换