几何中的最值问题专题复习教学设计

1、几何中最值问题专题复习教学设计江苏省沐阳如东实验学校王春梅（特级教师，符永平课型团队核心成员）教材分析：几何中的最值问题变幻无穷，教学中如何引导学生在复杂条件变化中发现解决问题的路 径，核心问题是训练学生在题目中寻找不变的已知元素，从这些已知的不变元素，运用“两点间线段最短”、“垂线段最短”、“点的运动轨迹” “二次函数最值”等知识源，实现问题的 转化与解决.教学目标：知识溯源，从知识转化角度，借助中考真题的讲解，引导学生掌握处理最值问题的基本 知识源（见教学设计中的标题），明确解决最值问题的思考方向。重点知识与命题特点最值连续多年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点，求相关线段、线段之和差、

2、面积等最大与最小值.此类问题涉及的知识要点有以下方面：两点间线段最短；垂线段最短； 三角形的三边关系； 定圆中的所有弦中，直径最长；圆外一点与圆的最近点、最远点. 借助转化为代数思想：一次函数反比例函数增减性、二次函数的最值问题.命题特点侧重于在动态环境下对多个知识点的综合考查.核心思想方法由于这类问题目标不明确，具有很强的探索性，解题时需要运用动态思维、数形结合、 模型思想、特殊与一般相结合、转化思想和化归思想、分类讨论思想、函数和方程思想、从 变化中寻找不变性的数学思想方法、逻辑推理与合情猜想相结合等思想方法.解这类试题关 键是要结合题意，借助相关的概念、图形的性质，将最值问题化归与转化为

3、相应的数学模型 进行分析与突破。教学过程一、问题导入我们所学的知识体系中，有哪些与最大值或最小值有关联的知识？两点间线段最短；垂线段最短；三角形的三边关系； 定圆中的所有弦中，直径最长； 圆外一点与圆的最近点、最远点.借助转化为代数思想：一次函数反比例函数增减性、二 次函数的最值问题.师：我们把这些知识点称为求几何中最值的知识源 .二、真题讲解真题示例11. （2016福建龙岩）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1 , AF=2 ,若P为对角线BD上 一动点，则EP+FP的最小值为（）旦/人A. 1 B. 2 C.3D. 4【题型特征】利用轴对称求最短路线问题I C【示范解读】此类利用

4、轴对称求最短路线问题一般都以轴对称图形为题设背景，如圆、正方形、菱形、等腰梯形、平面直角坐标系等.首先根据题意画出草图，利用轴对称性找出对应线段之 间的相等关系，从而把所求线段进行转化，画出取最小值时特殊位置，两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的是“小河”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1） .三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题关键是指出两条对称轴”反射镜面”（如图2）,结合其他相关知识加以解决.第2页共5页草地真题示例2 （2016四川内江）如图1所示，已知点C（1, 0）,直线y= x + 7与两坐标轴分 别交于A, B两点，D, E分别是AB, OA上

5、的动点，则 CDE周长的最小值是 .【解题策略】（图2）1 .画图建模，画出取最小值时动点的位置，建立相关模型；2 .学会转化，利用轴对称把线段之和转化在同一条直线上.真题（组）示例3例 3 如图，在 4ABC 中，AB=3, AC=4,BC=5,P 为边 BC 上 于F,则EF的最小值为.【题型特征】利用垂线段最短求线段最小值问题 真题（组）示例4动点，PEAB 于 E, PFXAC1. （2012宁波）如图 2, ZXABC 中,BAC 60 , ABC 45 , AB= 26，D 是线段BC上的一个动点，以AD为直径画。O分别交AB 的最小值为AC于ED（图2）F,连接EF,则线段EF长

6、度（图3）【示范解读】OO的大小随着AD的变化而变化，在此变化过程中，圆周角/ BAC的度数始终保 持不变，而线段EF即为。O中60圆周角所对的弦，弦EF的大小随。O直径变化的变化而变 化，当圆O的直径最小时，60度圆心角所对的弦长最短，即转化为求 AD的最小值，由垂线段 最短得出当ADLBC时,AD最短.【解题策略】1 .观察发现，分析总结运动变化过程中的不变元素及内在联系，2 .画图转化，根据内在联系转化相关线段，应用 垂线段最短”求出相关线段的最小值.真题（组）示例5（2013%迁）在平面直角坐标系xOy中，已知点A （0, 1） , B （1, 2）,点P在x轴上运 动，当点P到A、B

7、两点距离之差的绝对值最大时，点 P的坐标是.r (1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;y= - -x2-44x+3;xOy 中，点 A、B、(2)在平面直角坐标系 xOy中是否存在一点P, 在，请求出点P的坐标；.若不存在，请说明理由；使得以以点 A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存 (5, 3)(3)若点M为该抛物线上一动点，在( 接写出|PM -AM|的最大值.【示范解读】利用待定系数法确定出直线2)的条件下，请求出当|PM -AM|的最大值时点 M的坐标，并直PA解析式，当点 M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM-AM|VPA,当点M与点P、A在同一直线上时

8、，|PM-AM|=PA,当点M与点P、A在同一直线上时，|PM-AM|的值最大，即点 M为直线PA与抛物线的交点，联立直线AP与抛物线解析式，求出当|PM-AM|的最大值时M坐标，确定出|PM - AM|的最大值即可.【题型特征】三角形的三边关系-线段之差最大问题【解题策略】结合已知定长线段，利用三角形的三边关系，找出最大值时的特殊位置，线段 之差最大问题.真题(组)示例7(2016泸州)如图，在平面直角坐标系中，已知点 A (1, 0), 在以D (4, 4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足/B (1 -a, 0) , C (1+a, 0) (a0),点 PBPC=90 ,则a的最大值

9、是 .真题(组)示例832. (2015研川乐山)如图3,已知直线y= 4 x-3与x3 O轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C(0, 1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连结 PA、PB.则4PAB面积的最大值是()(2016四川眉山)26.已知如图，在平面直角坐标系OA=1 , OB=3, OC=4,【知识源】圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆的近交点距离最短、远交点距离最 长.【解题策略】1 .描述点的运动轨迹，找出特殊位置，化动为静；2 .综合题中已有条件，分析其中不变元素，恰当转化 .真题（组）示例91. （2016江苏常州）如图6,在平面直角坐标系xOy中，一次函数y二x与二次

10、函数y=x2+bx 的图象相交于0、A两点，点A （3, 3）,点M为抛物线的顶点.（1）求二次函数的表达式；（图6）（2）长度为26的线段PQ在线段0A （不包括端点）上滑动，分别过点 P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1,求四边形PQQ1P1面积的最大值;【题型特征】利用二次函数的性质求最值问题【解题策略】此类问题中，无法通过轴对称或画草图得出何时所求线段或面积的最值，可以通过设相应点 的坐标，运用函数思想，建立函数模型，最终通过二次函数的最值原理求出相应的最值.1 .树立坐标意识，通过坐标表示相关线段长度；2 .运用函数思想，构建函数模型，通过二次函数的性质理求出相应的最值.三、专题

11、总结几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1.特殊位置与极端位置法；2.几何定理（公理）法；3.数形结合法等.复习时既要注重对基本知识源的理 解与建构，更要注重对相关知识源的综合与整合。在解决本类题型时我们要学会动中觅静， 即要分析总结图形中动点在运动过程中不变元素，探寻那些隐含的、在运动变化中的不变量 或不变关系.通过不变关系建立相关模型实现最值的转化。四、命题预测1 .综合性逐渐增强，如多个知识源、知识点的相互整合渗透；2 .注重对基本技能和基本思维方法的考查，注重了初、高中知识的衔

12、接;3 .最值问题逆”呈现，如在最值条件下求其他相关问题.五、巩固演练动点, 则BM+MN的最小值为（）图22.如图2-1,已知点P是抛物线y1.如图1 ,在矩形ABCD中，AB=10 , BC=5 .若点M、N分别是线段ACAB上的两个1x2上的一个点，点D、E的坐标分别为（0, 1）、（1, 2）,连 4结PD、 PE,求PD+PE的最小值.3 .在坐标系中，点A的坐标为(3, 0),点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点, 且AC=2 .设tan/ BOC=m ,则m而最小值是.4 .如图，。的半径为1, A, P, B, C是。上的四个点./APC=/CPB=60 .判断 ABC的形状： ;(2)试探究线段PA, PB, PC之间的数量关系，(3)当点P位于的什么位置时，四边形 APBC并证明你的结论；的面积最大？求出最大面积第4题图第4题备用图5 .如图6,在4ACE中，CA=CE, / CAE=30 ,。经过点C,且圆的直径AB在线段AE上. (1)试说明CE是。的切线；(2)若 ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示。O的直径AB ；(3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接 OD,当CD+OD的最小