第4章+立体表面交线

1、立体表面的交线立体表面的交线 第四章第四章 立体表面的交线立体表面的交线4-1 4-1 截切体截切体1. 1. 平面体截切的例子平面体截切的例子单面截切单面截切单面截切单面截切多面截切多面截切名词名词: : 截切体截切体 基本体被平面截切后的形体基本体被平面截切后的形体 截平面截平面 用以截切基本体的平面用以截切基本体的平面 截交线截交线 截平面与基本体表面的交线截平面与基本体表面的交线一、平面体截切截交线截交线截断面截断面2. 2. 截交线的分析截交线的分析 截交线性质截交线性质: :1 1）为由直线组成的）为由直线组成的封闭封闭的平面多边形的平面多边形; ; 边数取决于截到的棱面数边数取决

2、于截到的棱面数( (指完全切掉的情况指完全切掉的情况) )2 2）是截平面与棱面的）是截平面与棱面的公有线公有线。3 3）其形状取决于基本体的形状与截平面的空间位置。）其形状取决于基本体的形状与截平面的空间位置。3. 3. 截交线的求法截交线的求法 求截交线的基本思想求截交线的基本思想 因为截交线是截平面与棱面的公有线，所以求交线转化为：因为截交线是截平面与棱面的公有线，所以求交线转化为： 求棱线与截平面的公有点。求棱线与截平面的公有点。 求平面截交线的步骤求平面截交线的步骤： (1) (1) 空间分析空间分析-分析截交线的形状分析截交线的形状。包括：。包括： (a) (a) 平面体的形状平面

3、体的形状 (b) (b) 截平面的位置截平面的位置 (2) (2)投影分析投影分析-分析截交线的投影特性，如积聚性分析截交线的投影特性，如积聚性, ,类似性等类似性等 (3) (3)作图作图-找找公有公有点；连点；连接接截交线截交线生成生成多边形；判断多边形；判断可见性可见性 空间分析空间分析： 截交线为四边形截交线为四边形 投影分析投影分析： V V面上面上截交线有积聚截交线有积聚性，性，H H、W W 面上面上截交线有类似性。截交线有类似性。 作图作图：先画出完整四棱锥：先画出完整四棱锥-找找公公有有点点-连截交线多边形连截交线多边形-判别判别交交线线的可见性的可见性 例例1 1 试求正四

4、棱锥被一正垂面截切后的三视图。试求正四棱锥被一正垂面截切后的三视图。1111 找出最低点找出最低点的主视图的主视图11和左视图和左视图11及俯视图及俯视图1 1 。1 111111 1 找出最高点找出最高点的三个视图。的三个视图。33333 311111 133333 3 找出棱线上的点找出棱线上的点、点、点的主视图和左视图。的主视图和左视图。2(4)44 2211111 133333 3 用分规量取用分规量取、的的y y坐标，求出坐标，求出、的水平投影的水平投影2(4)2(4)44 22y yy yy yy y 4 4 2 2 11111 133333 32(4)2(4)44 22 4 4

5、2 2 顺序连接截交线的左视图、俯视图。顺序连接截交线的左视图、俯视图。11111 133333 32(4)2(4)44 22 4 4 2 2 补画正四棱锥的轮廓线。补画正四棱锥的轮廓线。 擦去多余的图线（辅助线）擦去多余的图线（辅助线） 补画虚线。补画虚线。虚线勿丢虚线勿丢例例2 已知正垂面和三棱锥相交，求作截交线的投影，并画出三棱锥已知正垂面和三棱锥相交，求作截交线的投影，并画出三棱锥截切后的三面投影截切后的三面投影 。分析：分析：截交线为三角形，正面投影积聚在截交线为三角形，正面投影积聚在Pv上，水平投影和侧面投影类似形。上，水平投影和侧面投影类似形。作图：作图：1）在正面投影上依次标出

6、）在正面投影上依次标出1、2 、3 。2）根据线上取点的方法求得相应的）根据线上取点的方法求得相应的水平投影水平投影1、2、3、 和侧面投影和侧面投影 1 、2 、 3 。3）连线并判别可见性连线并判别可见性 。4） 整整理轮廓线。理轮廓线。动画演示动画演示作作 图图 步步 骤骤例例3 已知正三棱锥被一正垂面和一水平面截切，试完成其截切后已知正三棱锥被一正垂面和一水平面截切，试完成其截切后的水平投影和侧面投影。的水平投影和侧面投影。分析分析 ：正垂面和水平面截切产正垂面和水平面截切产生的截交线形状均为四边形。生的截交线形状均为四边形。正垂面水平投影和侧面投影为正垂面水平投影和侧面投影为类似形。

7、水平面的水平投影反类似形。水平面的水平投影反映实形，侧面投影积聚为线。映实形，侧面投影积聚为线。 动画演示动画演示作作 图图 步步 骤骤 例例4 已知四棱台被已知四棱台被两个侧平面和一个水平两个侧平面和一个水平面所截切，求截切后交线面所截切，求截切后交线的水平投影和侧面投影。的水平投影和侧面投影。分析分析 ：两个侧平面所截的截两个侧平面所截的截交线形状为等腰梯形，水平投交线形状为等腰梯形，水平投影积聚为线，侧面投影反映实影积聚为线，侧面投影反映实形。水平面所截的截交线形状形。水平面所截的截交线形状为距形。水平投影反映实形，为距形。水平投影反映实形，侧面投影积聚为线。侧面投影积聚为线。动画演示动

8、画演示例例5 已知四棱柱被五个面所截切，求截切后形体的俯视图。已知四棱柱被五个面所截切，求截切后形体的俯视图。动画演示动画演示1. 1. 圆柱体上的三种截交线圆柱体上的三种截交线截面为圆截面为圆截面为椭圆截面为椭圆截面为矩形截面为矩形二、回转截切体的投影例例6 6 已知主视图和左视图，求作俯视图。已知主视图和左视图，求作俯视图。空间与投影分析空间与投影分析 圆柱被水平面和侧平面截切，圆柱被水平面和侧平面截切，截交线的水平投影为矩形；截交线的水平投影为矩形；想象空间形状并补画为截切前的圆柱的俯视图。想象空间形状并补画为截切前的圆柱的俯视图。找出截交线特殊点投影找出截交线特殊点投影（22）1144

9、（22）（44）3333（11）y y y yy y y y2 24 41 13 3顺序连接特殊点顺序连接特殊点量取宽度量取宽度完成作图完成作图例例7 7 求圆柱被正垂面截切后的俯视图。求圆柱被正垂面截切后的俯视图。空间与投影分析空间与投影分析 截平面为正垂面，截平面为正垂面，截交线的侧面投影为圆截交线的侧面投影为圆，水平投影为椭圆；，水平投影为椭圆；想象空间形状。想象空间形状。找特殊点的投影。找特殊点的投影。22（11）4433223311442 23 31 14 422（11）4433223311442 23 31 14 4找一般位置点找一般位置点、的投影，也可以找到其它一般点的投影的投影

10、，也可以找到其它一般点的投影yyyy（55）6655665 56 622（11）4433223311442 23 31 14 4（55）6655665 56 6在俯视图上用曲线光滑连接各点，并整理图形轮廓。在俯视图上用曲线光滑连接各点，并整理图形轮廓。完成图形完成图形 例例8 已知圆柱的左端被水平面和正垂面截切，完成圆柱被切后的侧面投影和水平投已知圆柱的左端被水平面和正垂面截切，完成圆柱被切后的侧面投影和水平投影影 。动画演示动画演示例例9 已知圆柱的左端被四个面切口，完成圆柱被截切后的水平投影已知圆柱的左端被四个面切口，完成圆柱被截切后的水平投影 。 动画演示动画演示例例10 已知圆柱的左和

11、右端均被四个面切口，如下图所示，完成圆柱被已知圆柱的左和右端均被四个面切口，如下图所示，完成圆柱被截切后的水平投影截切后的水平投影 。动画演示动画演示思考：圆柱中间挖一个通孔，截交线的投影如何画。思考：圆柱中间挖一个通孔，截交线的投影如何画。例例11 已知圆筒的左端被四个面切口，完成圆筒被已知圆筒的左端被四个面切口，完成圆筒被 截切后的水平投影截切后的水平投影 。动画演示动画演示例例12 已知圆筒的左端被四个面切口，完成圆筒被截切后的水平投影已知圆筒的左端被四个面切口，完成圆筒被截切后的水平投影 。 动画演示动画演示例例13 已知圆柱被下面五个面所切，完成圆柱被截切后的水平投影已知圆柱被下面五

12、个面所切，完成圆柱被截切后的水平投影 。动画演示动画演示 2.2.圆锥上的五种截交线圆锥上的五种截交线过锥顶过锥顶等腰三角形等腰三角形与轴线垂直与轴线垂直圆圆与轴线倾斜与轴线倾斜椭圆椭圆与一条素线平与一条素线平行行抛物线抛物线与轴线平行与轴线平行双曲线双曲线 例例1414 圆锥体被一正垂面圆锥体被一正垂面P P 截切，已知主视图，求作俯视图截切，已知主视图，求作俯视图和左视图和左视图P空间分析：空间分析：截交线为椭圆，如下图所示。截交线为椭圆，如下图所示。投影分析：投影分析：主视有积聚性，俯视、左视为椭圆主视有积聚性，俯视、左视为椭圆 。作图：作图： 特殊点；特殊点； 用辅助平面法求中间点；用

13、辅助平面法求中间点； 用曲线光滑连接各点。用曲线光滑连接各点。 由最高点由最高点1 1 的主视图，作出点的主视图，作出点1 1 的左视图与俯视图。的左视图与俯视图。 由最低点由最低点5 5 的主视图，作出点的主视图，作出点5 5 的左视图与俯视图。的左视图与俯视图。115511（55）1 15 5115511（55）1 15 5 由由2 2 和点和点8 8 的主视图，作出点的主视图，作出点2 2 和点和点8 8 的左视图与俯视图的左视图与俯视图y yy y228822（88）2 2 8 8y yy y115511（55）1 15 5228822（88）2 2 8 8y yy y 用辅助平面法找

14、出点用辅助平面法找出点3 3 和点和点7 7 的俯视图与左视图。的俯视图与左视图。33（77）y yy y3 3 7 7(3)(3)(7)(7)光顺地连出截交线椭圆的俯视图与左视图，并判断可见性。光顺地连出截交线椭圆的俯视图与左视图，并判断可见性。分析分析：截交线是双曲线的一叶，其水平投影积聚在截平面的水平投影上，正截交线是双曲线的一叶，其水平投影积聚在截平面的水平投影上，正面投影反映实形，左右对称。面投影反映实形，左右对称。例例15 已知圆锥被正平面所截，求截交线的正面投影已知圆锥被正平面所截，求截交线的正面投影 。动画演示动画演示*例例16 已知圆锥被一个四棱柱所截，求截交线的水平投影和侧

15、面投影已知圆锥被一个四棱柱所截，求截交线的水平投影和侧面投影 动画演示动画演示*例例17 已知圆锥被四个面所截，求截交线的水平投影和侧面投影已知圆锥被四个面所截，求截交线的水平投影和侧面投影 。动画演示动画演示3.平面与圆球截切的截交线截面位置截面位置与与V面平行面平行与与H面平行面平行与与W面平行面平行与与V面垂直面垂直立立体体图图投投影影图图动画演示动画演示动画演示动画演示圆球截切模型圆球截切模型例例18 已知圆球被三个面所截，求截交线的水平投影和侧面投影已知圆球被三个面所截，求截交线的水平投影和侧面投影动画演示动画演示例例19 已知圆球被三个面所截，求截交线的水平投影和侧面投影已知圆球被

16、三个面所截，求截交线的水平投影和侧面投影 。动画演示动画演示例例20 已知圆球被两个面所截，求截交线的水平投影和侧面投影已知圆球被两个面所截，求截交线的水平投影和侧面投影动画演示动画演示4复合回转体截交线复合回转体截交线分解多体为基本体，分析各基本体截交线形状，画出交线的投影。分解多体为基本体，分析各基本体截交线形状，画出交线的投影。例例21 已知圆锥被两个平面已知圆锥被两个平面P、Q所截，求截交线的水平投影和侧面投影所截，求截交线的水平投影和侧面投影 。（一）分析一）分析：截交线空间形状：截交线空间形状：截锥为双曲线截锥为双曲线 ； 截圆柱为距形截圆柱为距形和不完整椭圆。和不完整椭圆。截交线

17、的投影：截交线的投影：正面投影积聚正面投影积聚在在PV和和QV上；上；侧面投影积聚侧面投影积聚在不完整圆上在不完整圆上,故只求水平投故只求水平投影。影。 动画演示动画演示4-2 4-2 相贯体的投影相贯体的投影相贯线概念动画相贯线概念动画动画演示动画演示动画演示动画演示动画演示动画演示二、平面立体与回转体相贯二、平面立体与回转体相贯求取方法及步骤：求取方法及步骤： 分析立体，求出多段截交线分析立体，求出多段截交线 判别可见性：两立体表面均可见，交线可见判别可见性：两立体表面均可见，交线可见 整理轮廓线。整理轮廓线。 例例21 求四棱柱与圆柱正交的相贯线的投影求四棱柱与圆柱正交的相贯线的投影 。

18、空间分析：空间分析：四棱锥前后两面截交线四棱锥前后两面截交线为为素线素线；左右两面截交；左右两面截交线为线为。相贯线为两段相贯线为两段素素线线和两段和两段圆弧圆弧组成的空组成的空间图形间图形投影分析：投影分析：左、俯视图有积聚性，左、俯视图有积聚性，投影已知，求正面投影投影已知，求正面投影即可。即可。动画演示动画演示思考一：思考一：挖四棱柱孔相贯线投影如何画；圆柱变圆筒相贯线投挖四棱柱孔相贯线投影如何画；圆柱变圆筒相贯线投影如何画。影如何画。相贯动画演示相贯动画演示思考二：思考二：如果变成空心圆柱和空心矩形呢？如果变成空心圆柱和空心矩形呢？思考三：思考三：挖三棱柱孔相贯线投影如何画。挖三棱柱孔

19、相贯线投影如何画。 1)利用利用“三等三等”关系，作素线的正面投影关系，作素线的正面投影23，不可见，画细虚，不可见，画细虚线。作圆弧的正面投影线。作圆弧的正面投影1（2）4，14可见画粗实线。可见画粗实线。三棱柱孔的三条棱线的正面投影均不可见，画细虚线，如图所示。三棱柱孔的三条棱线的正面投影均不可见，画细虚线，如图所示。 2) 作椭圆弧的投影，先作特殊点的正面投影作椭圆弧的投影，先作特殊点的正面投影1、3、5，再作一般点的正面投影再作一般点的正面投影6、7，椭圆弧正面投影，椭圆弧正面投影165可见，画粗实线。可见，画粗实线。573不可见，画细虚线，如图所示。不可见，画细虚线，如图所示。3)整

20、理轮廓线：正面投影转向轮廓线上点整理轮廓线：正面投影转向轮廓线上点、之间的轮廓之间的轮廓线被切，其投影应擦除，检查加深图形，如图所示。线被切，其投影应擦除，检查加深图形，如图所示。 平面体与回转体相贯平面体与回转体相贯回转体与回转体相贯回转体与回转体相贯三体相贯三体相贯1. 1. 定义：相交两立体表面的交线称为相贯线。定义：相交两立体表面的交线称为相贯线。2.2.相贯线的形状相贯线的形状 (1) (1) 取决于相贯表面的形状、大小和相对位置取决于相贯表面的形状、大小和相对位置 (2) (2) 其投影取决于相贯物体对投影面的相对位置其投影取决于相贯物体对投影面的相对位置 3.3.相贯线的主要性质

21、相贯线的主要性质: : 共有性共有性和和表面性表面性4.4.相贯线作图的实质相贯线作图的实质: : 找出相贯线上若干共有点的投影找出相贯线上若干共有点的投影4-2 4-2 相贯体的投影相贯体的投影求相贯线的一般步骤：求相贯线的一般步骤：1.1.空间分析空间分析，分析相贯两立体的形状与相对位置，分析它们相对于投影，分析相贯两立体的形状与相对位置，分析它们相对于投影面的位置。面的位置。2.2.投影分析投影分析，分析相贯线的积聚投影，并选择常用的作图方法（表面取，分析相贯线的积聚投影，并选择常用的作图方法（表面取 点法、辅助平面法）。点法、辅助平面法）。3.3.求作相贯线上的求作相贯线上的特殊点特殊

22、点。4.4.根据需要求出若干个根据需要求出若干个一般点一般点。5.5.光滑且顺次地连接各点，并判别光滑且顺次地连接各点，并判别可见性可见性。6.6.整理整理轮廓线轮廓线。2. 求取方法：求取方法： 利用积聚性表面取点法利用积聚性表面取点法 （适合柱、柱相贯）（适合柱、柱相贯） 辅助平面法辅助平面法3. 利用积聚性表面取点法求相贯线利用积聚性表面取点法求相贯线 （主要研究正交情况）（主要研究正交情况） 就是根据投影具有积聚性的特点，由两回转体表面上若就是根据投影具有积聚性的特点，由两回转体表面上若干共有点的已知投影求出其它未知投影，从而画出相贯线的干共有点的已知投影求出其它未知投影，从而画出相贯

23、线的投影。投影。作图方法：作图方法： 先找特殊点先找特殊点 再求中间点再求中间点 ( (用表面取点法用表面取点法) ) 连接各点并判可见性连接各点并判可见性一、表面取点法例例2222 求作两垂直相交的圆柱的相贯线。求作两垂直相交的圆柱的相贯线。找特殊点找特殊点( (最左点最左点2 2, , 最右点最右点1 1, ), )的三视图的三视图找特殊点找特殊点( (最低点最低点3 3 ) )的三视图的三视图找出中间点找出中间点4 4、点、点5 5的三视图的三视图用光滑曲线顺次连接各点用光滑曲线顺次连接各点整理图形整理图形两圆柱垂直相交在物体中相贯线的三种形式两圆柱垂直相交在物体中相贯线的三种形式轴线垂

24、直相交的两圆柱轴线垂直相交的两圆柱直径变化直径变化时，相贯线的变化趋势时，相贯线的变化趋势水平圆柱大水平圆柱大两圆柱直径相等两圆柱直径相等水平圆柱小水平圆柱小 动画演示动画演示 动画演示动画演示 动画演示动画演示轴线垂直相交的两圆柱轴线垂直相交的两圆柱位置变化位置变化时，相贯线的变化趋势时，相贯线的变化趋势两轴线垂直相交两轴线垂直相交两轴线垂直交叉两轴线垂直交叉两轴线平行两轴线平行例例23 已知物体的俯、左视图，求物体的主视图，如图所示。已知物体的俯、左视图，求物体的主视图，如图所示。1）先画外表面相贯线的投影，利用）先画外表面相贯线的投影，利用“三等三等”关系，找特殊点画出垂直相交两线关系，

25、找特殊点画出垂直相交两线段段2）画内表面相贯线的投影，先找特殊点，画相贯线弯向半圆柱孔的轴线，相）画内表面相贯线的投影，先找特殊点，画相贯线弯向半圆柱孔的轴线，相贯线不可见，画细虚线贯线不可见，画细虚线动画演示动画演示3）整理轮廓线，检查、加深线段，如图所示）整理轮廓线，检查、加深线段，如图所示 思考：该题垂直圆柱孔，改为四棱柱孔，三视图如何变化？思考：该题垂直圆柱孔，改为四棱柱孔，三视图如何变化？例例24 已知圆柱与已知圆柱与“U”形柱正交的俯、左视图，补画出主视图形柱正交的俯、左视图，补画出主视图先画半圆柱与水平圆柱相贯线的投影，再画四棱柱与水平先画半圆柱与水平圆柱相贯线的投影，再画四棱柱

26、与水平 圆柱相贯的相贯线的投影，相贯线可见，如图所示。圆柱相贯的相贯线的投影，相贯线可见，如图所示。思考：上题改为圆筒挖思考：上题改为圆筒挖“U”形孔，挖切后圆筒的三视图如何画？形孔，挖切后圆筒的三视图如何画？ A立体立体 交线（交线（L1) 一系列辅助面一系列辅助面 辅助平面辅助平面 P 公有点公有点 公有点集合公有点集合 B立体立体 交线（交线（L2) （相贯线）相贯线）特殊位置面包括：投影的平行面（正平面、水平面、侧平面）特殊位置面包括：投影的平行面（正平面、水平面、侧平面） 投影的垂直面（铅垂面、正垂面、侧垂面）投影的垂直面（铅垂面、正垂面、侧垂面）A立立体体B立立体体辅助平面辅助平面

27、P交线交线L1交线交线L2特殊位置面特殊位置面辅助平面辅助平面Q辅助平面选择原则：使得辅助平与两回转体表面截交线辅助平面选择原则：使得辅助平与两回转体表面截交线 投影为简单易画的图形投影为简单易画的图形直线或圆。直线或圆。二、 辅助平面法求相贯线三三面面共共点点辅助平面法示意图辅助平面法示意图 共有点即相共有点即相贯线上的点贯线上的点 例例25 求作圆柱与圆锥相贯线的投影求作圆柱与圆锥相贯线的投影分析：选择一个过轴线的正平面；一个过圆柱俯视转向轮分析：选择一个过轴线的正平面；一个过圆柱俯视转向轮廓线；一个过锥顶且与圆柱相切的侧锥面若干个水平面。廓线；一个过锥顶且与圆柱相切的侧锥面若干个水平面。

28、a) 选水平面 b) 选过锥顶的正平面 c) 过锥顶的辅助面与圆柱相切 选辅助平面选辅助平面 空间与投影分析空间与投影分析 圆柱与圆锥轴线垂圆柱与圆锥轴线垂直相交，相贯线为封闭直相交，相贯线为封闭的空间曲线，其的空间曲线，其侧面投侧面投影已知影已知，正面投影与水，正面投影与水平投影需要作图求出，平投影需要作图求出，可可利用辅助平面法求共利用辅助平面法求共有点有点，根据立体空间位，根据立体空间位置可知：置可知：取水平面为辅取水平面为辅助平面助平面，它与曲面体的，它与曲面体的交线为直线和圆。交线为直线和圆。yyPW1PV144yy44 PV2PW233PV3PW3551 1111122 222 2

29、4 45 533 3 355 解题步骤解题步骤1.1.利用已知相贯线利用已知相贯线的侧面投影，采用的侧面投影，采用辅助平面法；辅助平面法；2.2.求出相贯线上的求出相贯线上的特殊点特殊点 、 、；3. 3. 求出若干个一求出若干个一般点般点 、；4. 4. 光滑且顺次地光滑且顺次地连接各点，作出相连接各点，作出相贯线，并且判别可贯线，并且判别可见性；见性；5. 5. 整理轮廓线。整理轮廓线。相贯线的侧面相贯线的侧面投影为圆投影为圆完成图形完成图形例例26 求锥台和球相交的相贯线求锥台和球相交的相贯线 动画演示动画演示分析：分析：1、相贯线前后对称。、相贯线前后对称。 2、球和锥均没有积聚性，交

30、线三个面的投影均要求出。、球和锥均没有积聚性，交线三个面的投影均要求出。 3、辅助面选：一个正平面、一个侧平面和若干个水平面。、辅助面选：一个正平面、一个侧平面和若干个水平面。水平面 正平面最低点 最高点最前点一般点 选辅助平面选辅助平面1 1、求特殊点：求特殊点：转向轮廓线上点，如：最高（低）转向轮廓线上点，如：最高（低）点、最前（后）点、最点、最前（后）点、最 左（右）点左（右）点选正平面求出最高选正平面求出最高 ( (低低) )点点 、 。选侧平面求最前选侧平面求最前( (后后) )点、点、。2 2、求一般点：选水平面求出一般点求一般点：选水平面求出一般点、。 3、 连线判别可见性：连线

31、判别可见性：判别可见性的原则：参加相贯的两立判别可见性的原则：参加相贯的两立体的表面在该投影面上均可体的表面在该投影面上均可 见，则相见，则相贯线可见。反之，相贯线不可见。贯线可见。反之，相贯线不可见。 4、整理轮廓线。、整理轮廓线。作图作图动画演示动画演示1、回转体共轴相贯（圆球与圆柱、圆锥共轴相贯，相贯线为圆）、回转体共轴相贯（圆球与圆柱、圆锥共轴相贯，相贯线为圆） 相贯线的投影：在平行轴线的投影面上投影积聚为直线，在垂直轴线的投影相贯线的投影：在平行轴线的投影面上投影积聚为直线，在垂直轴线的投影面上投影为圆。面上投影为圆。 动画演示动画演示动画演示动画演示四、相贯线特殊情况四、相贯线特殊情况2两轴线平行的圆柱相交，相贯线是两条平行的线段，两轴线平行