用一阶导数的单调性来判断曲线的凹凸性PPT学习教案_第1页
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1、会计学1用一阶导数的单调性来判断曲线的凹凸用一阶导数的单调性来判断曲线的凹凸性性凹弧的定义：1x2x122xx( )yf x2()f x1()f x12()2xxf12()()2f xf x第1页/共11页凸弧的定义：1x2x122xx( )yf x2()f x1()f x12()2xxf12()()2f xf x第2页/共11页如何判断曲线的凹凸？设曲线弧上凹单增( )fx( )0fxConcave upward下凸第3页/共11页设曲线弧上凸单减( )fx( )0fxConcave downward下凹第4页/共11页反之，能否由一阶导数的单调性或二阶导数的符号来判断曲线的凹凸？答案是肯定

2、的。 先证明一个引理。引理 （利用一阶导数的单调性判断凹凸性）设函数 f(x) 在 a, b 上连续，在 (a, b) 内可导，那么(1) 若在 (a, b) 内 f (x) 单调增加， 则曲线 y = f(x)在 a, b 上是凹的。(2) 若在 (a, b) 内 f (x) 单调减少， 则曲线 y = f(x)在 a, b 上是凸的。第5页/共11页( )fx单增1212()()()22xxf xf xf设1202xxx欲证：区间 (x1, x2) 的中点120()()()2f xf xf x或0122 ()()()f xf xf x或0120()()()()f xf xf xf x0 x

3、1x2x第6页/共11页( )fx单增1212()()()22xxf xf xf欲证：0120()()()()f xf xf xf x0 x1x2x由Lagrange中值定理0101()()( )()f xf xfxx10()xx2020()()( )()f xf xfxx02()xx( )( )ff0120 xxxx（1）不等式（1）成立。第7页/共11页( )fx单增1212()()()22xxf xf xf欲证：0120()()()()f xf xf xf x0 x1x2x0101()()( )()f xf xfxx10()xx2020()()( )()f xf xfxx02()xx( )( )ff0120 xxxx（1）不等式（1）成立。同理可证( )fx单减1212()()()22xxf xf xf第8页/共11页定理 2 (曲线凹凸性的判定定理）设函数 f(x) 在 a, b 上连续，在 (a, b) 内二阶可导，那么(1) 若在 (a, b) 内 f (x) 0， 则曲线 y = f(x)在 a, b 上是凹的。(2) 若在 (a, b) 内 f (x) 0， 则曲线 y = f(x)在 a, b 上是凸的。因为( )0(

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