现代控制理论第四章

1、第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性 4.1 4.1 定常离散系统的能控性定常离散系统的能控性4.2 4.2 定常连续系统的能控性定常连续系统的能控性4.3 4.3 定常系统的能观性定常系统的能观性4.4 4.4 线性时变系统的能控性及能观性线性时变系统的能控性及能观性4.5 4.5 能控性及能观性的对偶关系能控性及能观性的对偶关系4.6 4.6 线性定常系统的结构分解线性定常系统的结构分解4.7 4.7 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系能控性、能观性与传递函数矩阵的关系4.8 4.8 能控标准形和能观标准形能控标准形和能观标准形4.9 4.9 系统的实现系统的实现

2、两个基础性概念：两个基础性概念：能控性与能观性能控性与能观性两个基本问题：两个基本问题： 在有限时间内，控制作用能否使系统从初始状态转在有限时间内，控制作用能否使系统从初始状态转移到要求的状态？移到要求的状态？指控制作用对状态变量的支配能力，指控制作用对状态变量的支配能力，称之为状态的称之为状态的能控性问题。能控性问题。 在有限时间内，能否通过对系统输出的测定来估计在有限时间内，能否通过对系统输出的测定来估计系统的初始状态？系统的初始状态？系统的输出量（或观测量）能否反映系统的输出量（或观测量）能否反映状态变量，称之为状态的状态变量，称之为状态的能观性问题。能观性问题。 桥形电路桥形电路(a)

3、(a)两个电容相等。选各自的电压为状两个电容相等。选各自的电压为状态变量，且设电容上的初始电压为零，根据电路理论态变量，且设电容上的初始电压为零，根据电路理论，则两个状态分量恒相等。相平面图，则两个状态分量恒相等。相平面图(b)(b)中相轨迹为中相轨迹为一条直线，因此系统状态只能在相平面的一条直线上一条直线，因此系统状态只能在相平面的一条直线上移动，不论电源电压如何变动，都不能使系统的状态移动，不论电源电压如何变动，都不能使系统的状态变量离开这条直线变量离开这条直线, ,显然，它是显然，它是不完全能控的不完全能控的。例例4.0.14.0.1 例例4.0.24.0.2 选择电感中的电流以及电容上

4、的电压作为选择电感中的电流以及电容上的电压作为状态变量。当电桥平衡时，电感中的电流作为状态变量。当电桥平衡时，电感中的电流作为电路的一个状态是不能由输出变量来确定的，电路的一个状态是不能由输出变量来确定的，所以该电路是所以该电路是不能观测的不能观测的。4.1 4.1 定常离散系统的能控性定常离散系统的能控性4.1.14.1.1 定常离散系统的能控性定义定常离散系统的能控性定义线性定常离散系统的状态方程线性定常离散系统的状态方程)()() 1(kBukAxkx(4.1.1)定义定义4.1.1 对于系统对于系统(4.1.1)，如果存在控制向量序列，如果存在控制向量序列u(k),u(k+1),u(N

5、-1)，使系统从第，使系统从第k步的状态向量开步的状态向量开始，在第始，在第N步到达零状态，其中步到达零状态，其中N是大于是大于k的有限数的有限数，那么就称此系统在第，那么就称此系统在第k步上是能控的。如果对每一步上是能控的。如果对每一个个k，系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态，系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的，简称能控。完全能控的，简称能控。4.1.2 4.1.2 单输入离散系统能控性的判定条件单输入离散系统能控性的判定条件单输入线性定常离散系统的状态方程单输入线性定常离散系统的状态方程(1)( )( )x kAx kbu k(4.1.2)定理定理4.1.1 单输入线

6、性定常离散系统完全能控的充单输入线性定常离散系统完全能控的充分必要条件是，矩阵分必要条件是，矩阵b, Ab, An-1b的秩为的秩为n。该矩阵称为系统的能控性矩阵，以该矩阵称为系统的能控性矩阵，以U Uc c表示，于是表示，于是此能控性判据可以写成此能控性判据可以写成rankUc=rank b , Ab,An-1b=n. (4.1.5)(101)(011220001) 1(kukxkx例例4.1.14.1.1 2111rankArank 0223113bAbb 满足能控性的充分必要条件，故该系统能控。满足能控性的充分必要条件，故该系统能控。4.1.3 4.1.3 多输入离散系统能控性的判定条件

7、多输入离散系统能控性的判定条件多输入线性定常离散系统的状态方程多输入线性定常离散系统的状态方程(1)( )( )x kAx kBu k(4.1.9)定理定理4.1.2 多输入线性定常离散系统完全能控的多输入线性定常离散系统完全能控的充分必要条件是，矩阵充分必要条件是，矩阵B,AB,An-1B的秩为的秩为n。该矩阵称为系统的能控性矩阵，以该矩阵称为系统的能控性矩阵，以Uc表示表示，于是，于是此能控性判据可以写成此能控性判据可以写成rankUc=rankB,AB,An-1B=n. (4.1.10), 多输入与单输入系统的能控性判据形式上完全相多输入与单输入系统的能控性判据形式上完全相同。同。但多输

8、入系统有以下特点：但多输入系统有以下特点：(1)多输入系统的能控性矩阵是一个多输入系统的能控性矩阵是一个nnp矩阵。根矩阵。根据判据，只要求它的秩等于据判据，只要求它的秩等于n，所以在计算时不一，所以在计算时不一定需要将能控性矩阵算完，算到哪一步发现充要定需要将能控性矩阵算完，算到哪一步发现充要条件已满足就可以停下来，不必再计算下去。条件已满足就可以停下来，不必再计算下去。(2)为了把系统的某一初始状态转移到零状态，存为了把系统的某一初始状态转移到零状态，存在着许许多多的方式，因此我们可以在其中选择在着许许多多的方式，因此我们可以在其中选择最优的控制方式。例如选择控制向量的范数最小。最优的控制

9、方式。例如选择控制向量的范数最小。)()(100001)()()(110201121) 1() 1() 1(21321321kukukxkxkxkxkxkx例例4.1.24.1.2 1011rankrank 011230000BAB只要计算出矩阵只要计算出矩阵 B B, ,ABAB 的秩，即可的秩，即可 4.2 4.2 定常连续系统的能控性定常连续系统的能控性4.2.1 4.2.1 线性定常连续系统的能控性定义线性定常线性定常连续系统的能控性定义线性定常连续系统的状态方程连续系统的状态方程x Ax Bu(4.2.1)定义定义4.2.1 4.2.1 对于系统对于系统(4.2.1)(4.2.1)，

10、若存在一分段连，若存在一分段连续控制向量续控制向量u u( (t t) )，能在有限时间区间，能在有限时间区间 t t0 0, ,t t1 1 内内将系统从初始状态将系统从初始状态x x( (t t0 0) )转移到任意终端状态转移到任意终端状态x x( (t t1 1) )，那么就称此状态是能控的。若系统任意，那么就称此状态是能控的。若系统任意t t0 0时刻的所有状态时刻的所有状态x x( (t t0 0) )都是能控的，就称此系都是能控的，就称此系统是状态完全能控的，简称能控。统是状态完全能控的，简称能控。定理定理4.2.1 4.2.1 系统系统(4.2.1)(4.2.1)状态完全能控的

11、充分必状态完全能控的充分必要条件是能控性矩阵要条件是能控性矩阵1CnUBABAB的秩为的秩为n n，即，即1ranknBABABn 4.2.2 4.2.2 线性定常连续系统的能控性判据线性定常连续系统的能控性判据 能控性判据的第一种形式能控性判据的第一种形式1CrankranknUbAbAbn此时，能控性矩阵为此时，能控性矩阵为nn维，即要求阵是非维，即要求阵是非奇异的。奇异的。注注 如果系统是单输入系统，即控制变量维数如果系统是单输入系统，即控制变量维数, ,则则 系统的状态完全能控性的判据为系统的状态完全能控性的判据为 11122233121100100110300 xxuxxuxx100

12、100B121101201001011030010AB易知易知例例4.2.1 4.2.1 考察如下系统的能控性考察如下系统的能控性2121122401001011031042A BC101224010101001042U其秩为其秩为3，该系统能控，该系统能控 从而从而11122233132210201101311xxuxxuxx2C213254112244112244UBABA B其秩为其秩为2 2，所以系统不能控，所以系统不能控 例例4.2.2 4.2.2 判断线性定常系统判断线性定常系统注注 对照一下定常连续系统与定常离散系统能控对照一下定常连续系统与定常离散系统能控性判别条件，发现两者是

13、一致的，这有其内在联性判别条件，发现两者是一致的，这有其内在联系。如果离散系统的系矩阵和控制矩阵与连续系系。如果离散系统的系矩阵和控制矩阵与连续系统的系统矩阵和控制矩阵相同，则它们的能控性统的系统矩阵和控制矩阵相同，则它们的能控性相同。相同。 对于一个线性系统来说，经过线性非奇异对于一个线性系统来说，经过线性非奇异状态变换后，其状态能控性不变。状态变换后，其状态能控性不变。 定理定理4.2.2 如果线性定常系统如果线性定常系统xAxBu 的系统矩阵的系统矩阵A具有互不相同的特征值，则系统具有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是，系统经线性非奇异变换后能控的充要条件是，系统经线性非奇异变换后

14、 A阵变换成对角标准形，它的状态方程阵变换成对角标准形，它的状态方程100nxxBu其中，其中， B不包含元素全为不包含元素全为0 0的行。的行。 能控性判据的第二种形式能控性判据的第二种形式112233300201010020 xxxxuxx 状态变量状态变量 x x3 3 不受控制不受控制 例例4.2.3 4.2.3 此系统是不能控的此系统是不能控的11122233700010504000175xxuxxuxx此方法的优点在于很容易判断出能控性，并且将不能此方法的优点在于很容易判断出能控性，并且将不能控的部分确定下来，但它的缺点是要进行等价变换。控的部分确定下来，但它的缺点是要进行等价变换

15、。 例例4.2.4 4.2.4 下列系统是能控的下列系统是能控的定理定理4.2.3 4.2.3 若线性定常系统若线性定常系统xAxBu的系统矩阵具有重特征值，且对应于每一个重特征值的系统矩阵具有重特征值，且对应于每一个重特征值只有一个约当块，则系统状态完全能控的充要条件是只有一个约当块，则系统状态完全能控的充要条件是，经线性非奇异变换后，系统化为约当标准形，经线性非奇异变换后，系统化为约当标准形12000000kJJxxBuJ其中，其中， B 矩阵中与每个约当块最后一行相对应矩阵中与每个约当块最后一行相对应的那些行，其各行的元素不全为零。的那些行，其各行的元素不全为零。4.2.3 4.2.3

16、线性定常连续系统的输出能控性线性定常连续系统的输出能控性设系统的状态空间表达式为设系统的状态空间表达式为CxyBuAxx定义定义4.2.2 如果在一个有限的区间如果在一个有限的区间 t t0 0, ,t t1 1 内，内，存在适当的控制向量存在适当的控制向量u u( (t t),),使系统能从任意的初使系统能从任意的初始输出始输出y y( (t t0 0) )转移到任意指定最终输出转移到任意指定最终输出y y( (t t1 1) )，则，则称系统是输出完全能控的。称系统是输出完全能控的。系统输出完全能控的充分必要条件是矩阵系统输出完全能控的充分必要条件是矩阵21nCBCABCA BCAb的秩为

17、的秩为q q例例4.2.9 4.2.9 判断系统判断系统是否具有状态能控性和输出能控性。是否具有状态能控性和输出能控性。 11221241123210 xxuxxxyx 秩为秩为1 1，等于输出变，等于输出变量的个数，因此系统量的个数，因此系统是输出能控的。是输出能控的。4221ABB 120CBCAB 秩为秩为1 1，所以系统，所以系统是状态不能控的是状态不能控的。 4.2.4 4.2.4 利用利用MatlabMatlab判定系统能控性判定系统能控性可以利用可以利用MatlabMatlab来进行系统能控性的判来进行系统能控性的判断。断。MatlabMatlab提供了各种矩阵运算和矩阵各种提供

18、了各种矩阵运算和矩阵各种指标（如矩阵的秩等）的求解，而能控性的指标（如矩阵的秩等）的求解，而能控性的判断实际上就是一些矩阵的运算。判断实际上就是一些矩阵的运算。MatlabMatlab中中的求矩阵的秩是通过一个函数得到的，这个的求矩阵的秩是通过一个函数得到的，这个函数是函数是rank(Mrank(M) )。 01000001010001000502xxu1000yx A=0,1,0,0; 0,0,-1,0; 0,0,0,1;0,0,5,0; B=0; 1; 0; -2; C=1,0,0,0; D=0; Uc=B, A*B, A2*B, A3*B; rank(Uc)ans = 401000300

19、210001002000 xxu 1000yx A=0,1,0,0; 3,0,0,2; 0,0,0,1;0,-2,0,0; B=0; 1; 0; 0; C=1,0,0,0; D=0; Uc=B, A*B, A2*B, A3*B; rank(Uc)ans = 34.3.1 4.3.1 定常离散系统的能观性定常离散系统的能观性)()()()() 1(kCxkykBukAxkx定义定义4.3.14.3.1 对于上述系统，在已知输入对于上述系统，在已知输入u u( (t t) )的的情况下，若能依据第情况下，若能依据第i i步及以后步及以后n n-1-1步的输出观步的输出观测值测值y y( (i i)

20、,),y y( (i i+1),+1), ,y y( (i i+ +n n-1)-1)，唯一地确定出，唯一地确定出第第i i步上的状态步上的状态x x( (i i) )，则称系统在第，则称系统在第i i步是能观步是能观测的。如果系统在任何测的。如果系统在任何i i步上都是能观测的，则步上都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测。称系统是状态完全能观测的，简称能观测。 考虑离散系统考虑离散系统 4.3 4.3 线性时变系统的能控性及能观性线性时变系统的能控性及能观性定理定理4.3.14.3.1 对于线性定常离散系统，状态完全对于线性定常离散系统，状态完全能观测的充分必要条件是矩阵能观

21、测的充分必要条件是矩阵 1nCACAC的秩为的秩为n n。矩阵称为能观测性矩阵，记为。矩阵称为能观测性矩阵，记为O O。O1rankranknCCAUnCA例例4.3.3 4.3.3 判断下列系统的能观测性判断下列系统的能观测性1012(1)021( )1( )3.021010( )x kx ku kyx k 010C 2021 , 340CACA于是系统的能观测性矩阵为于是系统的能观测性矩阵为O1010021340nCUCACA秩为秩为3 3，所以系统能观。，所以系统能观。 例例4.3.4 4.3.4 系统状态方程仍如上例，而观测方程为系统状态方程仍如上例，而观测方程为001( )( )10

22、0y kx kO2001100302101901203CUCACA秩小于秩小于3 3，所以系统不能观。，所以系统不能观。 4.3.2 4.3.2 定常连续系统的能观性定常连续系统的能观性xAxBuyCx定义定义4.3.2 对于线性定常系统，在任意给定的输入对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间在有限时间区间t0,t1内的测内的测量值，唯一地确定系统在量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态时刻的初始状态x(t0 )，就，就称系统在称系统在t0时刻是能观测的。时刻是能观测的。 若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状若在任意初始时刻

23、系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。态完全能观测的，简称能观测的。 定理定理4.3.2 4.3.2 线性定常连续系统状态完全能观线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件是能观性矩阵测的充分必要条件是能观性矩阵O1nCCAUCA的秩为的秩为n n。能观性判据的第一种形式能观性判据的第一种形式例例4.3.5 4.3.5 判断下列系统的能观性。判断下列系统的能观性。1122211131xxuxx11221010yxyx12120101CAC秩等于秩等于2 2，所以系统是能观测的。，所以系统是能观测的。 能观性判据的第二种形式能观性判据的第二种形式定理定理4.3.3 4.3.3

24、 若线性定常系统的状态矩阵有互不相同的若线性定常系统的状态矩阵有互不相同的特征值，则系统状态能观测的充要条件是经线性等价变特征值，则系统状态能观测的充要条件是经线性等价变换把矩阵化成对角标准形后，系统的状态空间表达式换把矩阵化成对角标准形后，系统的状态空间表达式 12000000nxxyCx其中，矩阵其中，矩阵C不包含元素全为零的列。不包含元素全为零的列。定理定理4.3.4 4.3.4 设线性定常系统的状态矩阵有不同的重设线性定常系统的状态矩阵有不同的重特征值，且对应于每一重特征值只有一个约当块。则特征值，且对应于每一重特征值只有一个约当块。则系统状态完全能观测的充要条件是，经线性等价变换系统

25、状态完全能观测的充要条件是，经线性等价变换将矩阵化成约当标准形后，系统的状态空间表达式将矩阵化成约当标准形后，系统的状态空间表达式 12000000kJJxxJyCx中，与每个约当块第一列相对应的中，与每个约当块第一列相对应的C 矩阵的所有矩阵的所有 各列，其元素不全为零。各列，其元素不全为零。 4.3.3 4.3.3 利用利用MatlabMatlab判定系统能观性判定系统能观性01000300210001002000 xxu 1000yx A=0,1,0,0; 3,0,0,2; 0,0,0,1;0,-2,0,0; B=0; 1; 0; 0; C=1,0,0,0; D=0; Uo=C, C*A

26、, C*A2, C*A3; rank(Uo)ans = 34.4 4.4 线性时变系统的能控性及能观性线性时变系统的能控性及能观性)()()()()(tutBtxtAtx10TTC0100( , )( , ) ( )( )( , )dttW t ttBBt4.4.1 4.4.1 线性时变系统的能控性判据线性时变系统的能控性判据 定理定理4.4.1 4.4.1 线性时变系统线性时变系统在定义时间区间在定义时间区间 t t0 0, ,t t1 1 内，状态完全能控的充内，状态完全能控的充要条件是要条件是GramGram矩阵矩阵非奇异非奇异。式中。式中 为时变系统状态转移矩阵。为时变系统状态转移矩阵

27、。 0( ,)t t推论：推论：假设矩阵假设矩阵A A和和B B是是n n-1-1次连续可微的，在次连续可微的，在时间区间时间区间 t t0 0, ,t t1 1 上，若有上，若有011rank( )( )( )nM tM tMtn则系统是状态完全能控的，其中分块矩阵则系统是状态完全能控的，其中分块矩阵0( )( )MtB t1d( )( )( )( )dkkkMtA t MtMtt , 1,2,1kn例例4.4.14.4.1 1122233100001001xtxxtxuxtx 00( )( )11MtB t 10021d( )( )( )( )dM tA t MtMtttt 2221144

28、202d( )( )( )( )11d22ttMtA t M tM tttttttt 012( )( )( )MtM tMt秩为秩为3，所以系统是完全能控，所以系统是完全能控4.4.2 4.4.2 线性时变系统能观性的判据线性时变系统能观性的判据定理定理4.4.2 4.4.2 线性时变系统线性时变系统( )( ) ( )x tA t x t( )( ) ( )y tC t x t定义在时间区间定义在时间区间t0,t1内，状态完全能观测的充内，状态完全能观测的充分必要条件是分必要条件是Gram矩阵矩阵10TTO0100( , )( , )( ) ( )( , )dttWt tt CCt为非奇异。

29、为非奇异。推论：如果矩阵推论：如果矩阵A和和C满足满足n-1次连续可微的条次连续可微的条件在时间区间件在时间区间t0,t1内，又有内，又有011( )( )rank( )nN tN tnNt则系统是状态完全能观测的。其中分块矩阵则系统是状态完全能观测的。其中分块矩阵)()(0tCtN1d( )( ) ( )( )dkkkNtNt A tNtt， 1, 2 , 1 , 0nk例例4.4.2 4.4.2 1122233100001001xtxxtxuxtx 123101xyxx101)(0tN2100d( )( ) ( )( )1dN tN t A tN tttt24211d( )( ) ( )(

30、 )1 22dN tN t A tN tttttt tttttttNtNtN2211101)()()(422210其秩等于其秩等于3，所以系统是状态完全能观的。，所以系统是状态完全能观的。4.5 4.5 能控性与能观性的对偶关系能控性与能观性的对偶关系4.5 4.5 能控性与能观性的对偶关系能控性与能观性的对偶关系对偶系统对偶系统 BuAxxCxy TTzA zC vTwB z12对偶系统结构图对偶系统结构图 系统系统 状态完全能控的充要条件和系统状态完全能控的充要条件和系统 状态完全能观的充要条件相同；状态完全能观的充要条件相同；121系统系统 状态完全能观的充要条件与系统状态完全能观的充要

31、条件与系统 完全能观的充要条件相同。完全能观的充要条件相同。 2（对偶原理）（对偶原理） 两个系统的传递函数矩阵的关系两个系统的传递函数矩阵的关系 BAsICsG11)()(TT1TT1 TT2( )()()G sBsIACBsIACT121( )()( )G sC sIABG s 把系统能控或能观测部分同不能控或不能把系统能控或能观测部分同不能控或不能观测的部分区分开来，将有利于更深入了解观测的部分区分开来，将有利于更深入了解系统的内部结构。系统的内部结构。标准分解标准分解 采用系统坐标变换的方法对状态空间进行采用系统坐标变换的方法对状态空间进行分解，将其划分成能控（能观）部分与不能控分解，

32、将其划分成能控（能观）部分与不能控（不能观）部分。（不能观）部分。4.6 4.6 线性定常系统的结构分解线性定常系统的结构分解4.6.1 4.6.1 系统能控性分解系统能控性分解设系统的状态空间表达式为设系统的状态空间表达式为xAxBuyCx假设系统的能控性矩阵的秩假设系统的能控性矩阵的秩n1n（n为状态向量为状态向量维数），即系统不完全能控。维数），即系统不完全能控。关于系统的能控性分解，有如下结论。关于系统的能控性分解，有如下结论。 定理定理4.6.1 存在非奇异矩阵存在非奇异矩阵Tc，对系统进行状态，对系统进行状态变换变换 ，可使系统的状态空间表达式变换，可使系统的状态空间表达式变换成成

33、cxT x xAxBuyCx 11112cc220AAA T ATA11c0BBT B12CCTCC其中其中在变换后的系统中，将前在变换后的系统中，将前n1维部分提出来，得到维部分提出来，得到下式下式11 11221xA xA xBu这部分构成这部分构成n1维能控子系统。维能控子系统。 而后而后n-n1维子系统维子系统2222xA x为不能控子系统为不能控子系统。关键关键 变换矩阵变换矩阵Tc的构造的构造求法如下：求法如下： 在能控性矩阵在能控性矩阵 中选择中选择n n1 1个线性无关的列向量；个线性无关的列向量； 将所得列向量作为矩阵将所得列向量作为矩阵T Tc c的前的前n n1 1个列，

34、其余列个列，其余列 可以在保证可以在保证T Tc c为非奇异矩阵的条件下任意选择为非奇异矩阵的条件下任意选择CU 1nBABAB例例4.6.14.6.1 对下列系统进行能控性分解。对下列系统进行能控性分解。 00110 10110130 xxu 012yx2101rankrank 11323012bAbA b 能控性矩阵的秩能控性矩阵的秩 可知系统不完全能控可知系统不完全能控 在能控性矩阵中任选两列线性无关的列向量。在能控性矩阵中任选两列线性无关的列向量。为计算简单，选取其中的第为计算简单，选取其中的第1列和第列和第2列。易知它们列。易知它们是线性无关的。是线性无关的。 再选任一列向量，与前两

35、个列向量线性无关。再选任一列向量，与前两个列向量线性无关。 c102110011T1c12211123111T变换矩阵变换矩阵 状态变换后的系统状态空间表达式状态变换后的系统状态空间表达式 011112200010 xxu 112yx二维能控子系统二维能控子系统 11011120 xxu 111yx系统能控性分解结构图系统能控性分解结构图 定理定理4.6.24.6.2 能控子系统的传递函数矩阵与原系能控子系统的传递函数矩阵与原系统的传递函数矩阵相同，即统的传递函数矩阵相同，即1( )( )G sG s.11( )()()G sC sIABC sIAB 111121122211111100( )

36、sIAABCCsIACsIABG s因为因为4.6.24.6.2 系统能观性分解系统能观性分解设系统的状态空间表达式为设系统的状态空间表达式为xAxBuyCx 假设系统的能观性矩阵的秩假设系统的能观性矩阵的秩n2n（n为状态为状态向量维数），即系统不完全能控。向量维数），即系统不完全能控。 关于系统的能观性分解，有如下结论。关于系统的能观性分解，有如下结论。 定理定理4.6.3 存在非奇异矩阵存在非奇异矩阵To，对系统进行状态，对系统进行状态变换变换 ，可使系统的状态空间表达式变，可使系统的状态空间表达式变换成换成oxT x xAxBuyCx 其中其中111oo21220AA T ATAA 1

37、1o2BBT BBo10CCTC在变换后的系统中，将前在变换后的系统中，将前n2维部分提出来，得到维部分提出来，得到下式下式这部分构成这部分构成n2维能观子系统。维能观子系统。 而后而后n-n2维子系统维子系统为不能观子系统。为不能观子系统。111 11xA xBu 11 1yC x221 12222xA xA xB u方法如下方法如下: : 从能观性矩阵中选择从能观性矩阵中选择n2个线性无关的行向量。个线性无关的行向量。 将所求行向量作为将所求行向量作为 的前的前n2个行，其余的行个行，其余的行 对于能观性分解，变换矩阵的求法有其特殊对于能观性分解，变换矩阵的求法有其特殊性。应由构造其逆做起

38、，即先求。性。应由构造其逆做起，即先求。1oT1oT1oT可以在保证可以在保证 为非奇异矩阵的条件下任意选择。为非奇异矩阵的条件下任意选择。例例4.6.24.6.2 系统同例系统同例4.6.1，进行能观性分解。进行能观性分解。计算能观性矩阵的秩计算能观性矩阵的秩 2012rankrank12323234CCACA任选其中两行线性无关的行向量，再选任一个与任选其中两行线性无关的行向量，再选任一个与之线性无关的行向量，得之线性无关的行向量，得 1o012123001To211102001T状态变换后的系统状态空间表达式状态变换后的系统状态空间表达式 二维能观子系统二维能观子系统 010112011

39、010 xxu 100yx 11011121xxu101yx系统能观性分解结构图系统能观性分解结构图 定理定理4.6.44.6.4 能观子系统与原系统的传递函数矩能观子系统与原系统的传递函数矩阵相同阵相同 1( )( )G sG s 11( )()()G sC sIABC sIAB111112212211111100( )BsIACBAsIACsIABGs4.6.3 4.6.3 系统按能控性与能观性进行标准分解系统按能控性与能观性进行标准分解定理定理4.6.5 4.6.5 设系统状态空间表达式为设系统状态空间表达式为xAxBuyCx经过线性状态变换经过线性状态变换, ,可以化为下列形式可以化为

40、下列形式1111131221222232423333444344000000000 xxAABxxAAAABuxxAxxAA12133400 xxyCCxx111 1133111 1xA xA xBuyC x221 1222233244220 xA xA xA xA xB uy3333333xA xyC x443344440 xA xA xy4.74.7 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系能控性、能观性与传递函数矩阵的关系单输入单输出系统的状态空间表达式单输入单输出系统的状态空间表达式 4.7.1 4.7.1 单输入单输出系统单输入单输出系统xAxbuycx系统的传递函数系统的传递函数 1ad

41、j()( )( )()( )( )sIAN sg sc sIAbcbsD s定理定理4.7.1 系统能控能观的充要条件是传递函数系统能控能观的充要条件是传递函数g(s)中没有零极点对消现象。中没有零极点对消现象。 一个系统的传递函数所表示的是该系统既能一个系统的传递函数所表示的是该系统既能控又能观的那一部分子系统。控又能观的那一部分子系统。 一个系统的传递函数若有零、极点对消现象一个系统的传递函数若有零、极点对消现象，则视状态变量的选择不同，系统或是不能控，则视状态变量的选择不同，系统或是不能控的或是不能观的。的或是不能观的。两个推论两个推论 一个系统的分解与所选择状态变量有关一个系统的分解与

42、所选择状态变量有关 举例举例 微分方程微分方程 2yyyuu传递函数传递函数 11121)(2sssssg选择不同的状态变量会有不同的结果！选择选择12, xy xyu系统的状态方程与输出方程系统的状态方程与输出方程 1122011121xxuxx1210 xyx能控性矩阵能控性矩阵 能观性矩阵能观性矩阵 1111bAb1001ccA可分解为能控能观和不能控能观两部分子系统可分解为能控能观和不能控能观两部分子系统 引入中间变量引入中间变量z，将传递函数写成，将传递函数写成 选择选择2( )( )1( )(1)( )( )21y sz sg ssz su sss22dd21ddzzzttddzy

43、zt则有则有121, xz xxz选择状态变量选择状态变量 系统的状态空间表达式系统的状态空间表达式 1122010121xxuxx 121 1xyx能控性矩阵能控性矩阵 能观测性矩阵能观测性矩阵 2110Abb1111CAC可分解为能控能观和能控不能观两部分子系统可分解为能控能观和能控不能观两部分子系统4.7.2 4.7.2 多输入多输出系统多输入多输出系统xAxBuyCx传递函数矩阵传递函数矩阵 adj()( )( )CsIA BG ss定理定理4.7.2 如果在传递矩阵如果在传递矩阵 G(s) 中，中， 与与Cadj(sI-A)B之间没有非常数公因，则该系统之间没有非常数公因，则该系统是

44、能控且能观测的。（仅为充分条件）是能控且能观测的。（仅为充分条件）( ) s例例 4.7.2 4.7.2 10100101xxu xy1001能控能观 100111001) 1(1)(2ssssssG存在公因式 能观标准形是指在一组基底下，将能观性矩阵中的能观标准形是指在一组基底下，将能观性矩阵中的A 和和 C 表现为能观的标准形式表现为能观的标准形式适当选择状态空间的基底，对系统进行状态线性变适当选择状态空间的基底，对系统进行状态线性变换，把状态空间表达式的一般形式化为标准形式换，把状态空间表达式的一般形式化为标准形式能控标准形是指在一组基底下，将能控性矩阵中的能控标准形是指在一组基底下，将

45、能控性矩阵中的A 和和 B 表现为能控的标准形式表现为能控的标准形式4.84.8 能控标准形和能观标准形能控标准形和能观标准形4.8.14.8.1 系统的能控标准形系统的能控标准形xAxbuyCx122101000001000000000001nnnAaaaaa00001b 定理定理4.8.1 4.8.1 如果系统如果系统 是能控的，那么是能控的，那么必存在一非奇异变换必存在一非奇异变换 使其变换成能控标准使其变换成能控标准形形 xAxbuxPxccxA xb u1111npp APp A121100001npbAbA bAb线性变换矩阵线性变换矩阵 例例4.8.14.8.1 线性定常系统线性

46、定常系统111101xxu C1011UbAb能控性矩阵能控性矩阵 逆矩阵逆矩阵 1C1011U1c1111010110011010APAPc11101011bPb 111p 01111AppP01101P4.8.2 4.8.2 系统的能观标准形系统的能观标准形xAxbuycu，122100001000010000000001nnnaaaAaa00001c 定理定理 4.8.2 如果系统是能观测的，那么必存在如果系统是能观测的，那么必存在一非奇异变换将系统变换为能观标准形一非奇异变换将系统变换为能观标准形xTx oooxA xb uyc x1111TAATTTn100111nCACACT例例4

47、.8.24.8.2 111, 1022xxyx O11210cUcA能观性矩阵能观性矩阵 1110011211210cTcA 423111ATTT1431113021210224132xTATxxx131101242ycTxxx 4.94.9 系统的实现系统的实现4.9.1 4.9.1 单输入单输出系统的实现问题单输入单输出系统的实现问题由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统的状态空间表达式的工作，称为实现问题。的状态空间表达式的工作，称为实现问题。换言之，若状态空间描述是传递函数矩阵的实换言之，若状态空间描述是传递函数矩阵的实现，则必有现，则必有在所

48、有可能的实现中，维数最小的实现称为最在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现。小实现。 )()(1sGDBAsIC单输入单输出系统系统传递函数的一般形式为单输入单输出系统系统传递函数的一般形式为 当其具有严格真分式有理函数时，其实现形式当其具有严格真分式有理函数时，其实现形式为为 nnnnnnnnasasasssssg11112211)( , ,)A B C )(sg 的能控标准形实现的能控标准形实现 122111010000001000000000, 0000101nnnnnAbaaaaac 11222211000010000100, 0000000100001 , nnnnnnaaa

49、Abaac)(sg 的能观标准形实现的能观标准形实现 pq 对于多输入多输出系统而言，讨论其实现对于多输入多输出系统而言，讨论其实现问题要满足如下条件：问题要满足如下条件：u输出向量为输出向量为 维维u传递函数矩阵为传递函数矩阵为 阵，它的每一个阵，它的每一个元素都是一个有理分式元素都是一个有理分式u严格真分式传递函数矩阵，即严格真分式传递函数矩阵，即u实现形式为实现形式为 q0)( GDCxYBuAxx4.9.2 4.9.2 多输入多输出系统的实现问题多输入多输出系统的实现问题当当 阵的阵的 时，可采用能控性实现。时，可采用能控性实现。)(sGpq 21110000 00pplplppppl plpl pllq plIABI