第四章频率法

1、本章主要内容与重点本章主要内容与重点频率特性频率特性典型环节的频率特性典型环节的频率特性控制系统开环频率特性作图控制系统开环频率特性作图频率稳定性判据频率稳定性判据闭环频率特性闭环频率特性系统时域指标估算系统时域指标估算第四章第四章 线性系统线性系统频率分析法频率分析法本章主要内容本章主要内容本章介绍了控制系统频率本章介绍了控制系统频率分析法的相关概念和原理。分析法的相关概念和原理。包括频率特性的基本概念包括频率特性的基本概念和定义、开环频率特性的和定义、开环频率特性的极坐标图表示法、极坐标图表示法、波特波特图图表示法、控制系统稳定性表示法、控制系统稳定性的频率特性分析法及其应的频率特性分析法

2、及其应用、控制系统闭环频率特用、控制系统闭环频率特性、闭环频率特性与时域性、闭环频率特性与时域性能的关系等。性能的关系等。本章重点本章重点通过本章学习，应重点通过本章学习，应重点掌握频率特性的概念与掌握频率特性的概念与性质、典型环节及系统性质、典型环节及系统开环频率特性的极坐标开环频率特性的极坐标图和图和波特波特图的绘制和分图的绘制和分析方法、控制系统稳定析方法、控制系统稳定性的频域分析法、系统性的频域分析法、系统稳定裕度的概念和求法、稳定裕度的概念和求法、闭环频率特性的求法、闭环频率特性的求法、闭环系统性能指标的频闭环系统性能指标的频域分析法等。域分析法等。 频率分析法是应用频率特性研究线性

3、控频率分析法是应用频率特性研究线性控制系统的一种经典方法，它有以下特点：制系统的一种经典方法，它有以下特点： (1) 应用奈奎斯特稳定判据，可以根据系统应用奈奎斯特稳定判据，可以根据系统的开环频率特性研究闭环系统的稳定性，而不必的开环频率特性研究闭环系统的稳定性，而不必解出特征根。解出特征根。 (2) 对于二阶系统，频率特性与过渡过程性能对于二阶系统，频率特性与过渡过程性能指标之间有确定的对应关系，对于高阶系统，两指标之间有确定的对应关系，对于高阶系统，两者也存在近似关系；因为频率特性与系统的参数者也存在近似关系；因为频率特性与系统的参数和结构密切相关，故可以用研究频率特性的方法，和结构密切相

4、关，故可以用研究频率特性的方法，把系统参数和结构的变化与过渡过程性能指标联把系统参数和结构的变化与过渡过程性能指标联系起来。系起来。 (3) 频率特性有明确的物理意义，很多元部频率特性有明确的物理意义，很多元部件的这一特性都可以用实验方法确定。这对于难件的这一特性都可以用实验方法确定。这对于难以从分析其物理规律着手来列写微分方程的元部以从分析其物理规律着手来列写微分方程的元部件和系统，有很大的实际意义。件和系统，有很大的实际意义。 (4) 频率特性不仅适用于线性定常系统的分析频率特性不仅适用于线性定常系统的分析研究，还可以推广应用于某些非线性控制系统。研究，还可以推广应用于某些非线性控制系统。

5、 (5) 当系统在某些频率范围内存在严重的噪声当系统在某些频率范围内存在严重的噪声时，应用频率分析法可以设计出能满意地抑制这时，应用频率分析法可以设计出能满意地抑制这些噪声的系统。些噪声的系统。4-1 频率特性频率特性4-1-1 基本概念基本概念 由例由例2-1(P13)可知，该电路满可知，该电路满足的微分方程为足的微分方程为)()(d)(dtututtuTioo其中，其中，T=RC。对应的传递函数为。对应的传递函数为11)()(TssUsUio 引例引例4-1(P153) RC网络如图所示网络如图所示若网络的输入为单位正弦信号，即若网络的输入为单位正弦信号，即ttuisin)(则网络的输出为

6、则网络的输出为2211)(11)(sTssUTssUio经拉氏反变换，可得经拉氏反变换，可得)arctansin(111)(2222TtTeTTtuTto其中，第一项为输出信号的动态分量，第二项为稳其中，第一项为输出信号的动态分量，第二项为稳态分量。当时间态分量。当时间t时，第一项趋于零。于是时，第一项趋于零。于是)sin(11)arctansin(11)(lim2222tTTtTtuot 由上式可知，网络的稳态输出仍然是正由上式可知，网络的稳态输出仍然是正弦信号，其频率和输入信号的频率相同，幅弦信号，其频率和输入信号的频率相同，幅值是输入的值是输入的 倍，相位比输入滞后倍，相位比输入滞后ar

7、ctan T。显然，。显然， 和和-arctan T皆为皆为输入信号频率输入信号频率 的函数，前者称为的函数，前者称为RC网络的网络的幅频特性，后者称为幅频特性，后者称为RC网络的相频特性。网络的相频特性。下表列出了这两个特性的计算数据下表列出了这两个特性的计算数据221/1T221/1T 根据上表数据可以绘制出如图所示幅频和根据上表数据可以绘制出如图所示幅频和相频曲线。相频曲线。 由曲线可见，当输由曲线可见，当输入信号频率入信号频率 较低时，较低时，输出和输入的幅值几乎输出和输入的幅值几乎相等，相位滞后不大，相等，相位滞后不大，当当 增大，输出的幅值增大，输出的幅值减小，相位滞后增大，减小，

8、相位滞后增大，当当 时，输出幅值时，输出幅值为零，相位滞后为零，相位滞后90 。 以上结论和分析网络以上结论和分析网络中电容的阻抗随频率变中电容的阻抗随频率变化而得出的结论是一致化而得出的结论是一致的的(参见电路分析教程参见电路分析教程)。 网络稳态输出表达式中幅值和幅角在复平网络稳态输出表达式中幅值和幅角在复平面上构成一个完整的向量，有面上构成一个完整的向量，有TjeTjeTeTTjjTjj11111111)1/(1 /arctan2222 故函数故函数 完整地描述了网络在正弦输完整地描述了网络在正弦输入信号作用下，稳态输出时信号幅值和幅角随正入信号作用下，稳态输出时信号幅值和幅角随正弦输入

9、信号频率弦输入信号频率 变化的规律。变化的规律。 就称为就称为网络的频率特性。将频率特性和网络的传递函数网络的频率特性。将频率特性和网络的传递函数表达式可知，只要将传递函数中的表达式可知，只要将传递函数中的s以以j 置换，就置换，就得到频率特性，即得到频率特性，即)1/(1Tj)1/(1Tj 以上的分析结果和电路理论的正弦稳态以上的分析结果和电路理论的正弦稳态分析结果相同。事实上，用复数符号法写出分析结果相同。事实上，用复数符号法写出RC网络的稳态正弦输出为网络的稳态正弦输出为CjCjRUUio11 于是，其输出的稳态正弦信号与输入正弦信号于是，其输出的稳态正弦信号与输入正弦信号之比为之比为T

10、jRCjUUio1111jsTsTj1111上式写成幅值和幅角表达式为上式写成幅值和幅角表达式为 arctanT11Tj11Tj11Tj11UU22io则则RC网络的幅频特性为网络的幅频特性为2211)(TA相频特性为相频特性为arctan)(T 可以证明，从可以证明，从RC网络得到的这一重网络得到的这一重要结论，对于任何稳定的线性定常系统要结论，对于任何稳定的线性定常系统都是正确的。设系统的传递函数为都是正确的。设系统的传递函数为01110111)(asasasbsbsbsbsGnnnmmmm则则jssGjG)()(是自变量为频率是自变量为频率 的复变函数，因此将其称的复变函数，因此将其称为

11、系统的频率特性。为系统的频率特性。 由于由于G(j )的实部和虚部都是的实部和虚部都是 的函的函数，故可以表为数，故可以表为)()()(jQPjG其中，其中，P( )=ReG(j )-G(j )的实部；的实部； Q( )=ImG(j )-G(j )的虚部。的虚部。 P( )称为称为G(j )的实频特性；的实频特性；Q( )称为称为G(j )的虚频特性。的虚频特性。其中，其中，A( )=|G(j )|-G(j )的幅值的幅值(即幅频特性即幅频特性)； ( )=argG(j )-G(j)的幅角的幅角(即相频特性即相频特性) 。 另外，也可以用另外，也可以用G(j )的模的模(幅值幅值)和幅角来表示

12、为和幅角来表示为AjGjGjGarg 在上式中，幅值在上式中，幅值A( )是频率是频率 的函数，随的函数，随 的变化而变化，因此称为的变化而变化，因此称为G(j )的幅频特性；的幅频特性；幅角幅角 ( )也是频率也是频率 的函数，随的函数，随 的不同有不的不同有不同的相位，因此称为同的相位，因此称为G(j )的相频特性。这样，的相频特性。这样，以复变函数以复变函数G(j )表示的频率特性又常常以表示的频率特性又常常以A( )和和 ( )来表示。来表示。 当线性系统输入一个正弦信号当线性系统输入一个正弦信号sin t时，它时，它的稳态输出响应也是一个同频率的正弦信号，的稳态输出响应也是一个同频率

13、的正弦信号，如下图所示。如下图所示。 与引例与引例4-1类似，类似， A( )和和 ( )的物理意义在于：的物理意义在于：稳态输出的幅值是输入的稳态输出的幅值是输入的A( )倍，而与输入的相位倍，而与输入的相位差为差为 ( )，即此时系统的稳态输出为，即此时系统的稳态输出为)(sin()()(limtjGtct 需要指出的是，对于物理上可实现的系统，其需要指出的是，对于物理上可实现的系统，其传递函数的分母多项式阶次传递函数的分母多项式阶次n总是大于或等于分子总是大于或等于分子多项式的阶次多项式的阶次m，即，即n m。 因此，不可能出现当因此，不可能出现当 时系统输出的幅值也趋于无穷大的情况。时

14、系统输出的幅值也趋于无穷大的情况。 G(j )的幅频、相频特性和实频、虚频特性之的幅频、相频特性和实频、虚频特性之间具有下列关系：间具有下列关系：)(sin)()()(cos)()(AQAP)()(arctan)()()()(22PQQPA4-1-2 频率特性的定义频率特性的定义 从直观上看，可以把频率特性定义为从直观上看，可以把频率特性定义为系统的稳态正弦输出信号的复数符号与输系统的稳态正弦输出信号的复数符号与输入正弦信号的复数符号之比，即入正弦信号的复数符号之比，即RCjG)( 但是，为了研究频率特性更为广泛的内但是，为了研究频率特性更为广泛的内容，必须从信号与系统的关系出发，研究其容，必

15、须从信号与系统的关系出发，研究其更为深刻的实质含义。因此，可以用时间信更为深刻的实质含义。因此，可以用时间信号在变换域中的表示来确定频率特性定义。号在变换域中的表示来确定频率特性定义。 根据高等数学教程的有关内容，任根据高等数学教程的有关内容，任何一个时间函数何一个时间函数f(t)，只要其满足狄里赫，只要其满足狄里赫莱条件，即莱条件，即dttf)(则其付氏变换为则其付氏变换为dtetfjFtj)()(存在。对应的付氏反变换为存在。对应的付氏反变换为dtejFtftj)(21)( 由于积分运算是无穷小求和运算，因此由于积分运算是无穷小求和运算，因此付氏变换的物理意义在于：时域信号付氏变换的物理意

16、义在于：时域信号f(t)可以可以分解为频谱分量无穷多，分量幅值无穷小的分解为频谱分量无穷多，分量幅值无穷小的频谱分量的线性组合。频谱分量的线性组合。 将付氏变换和拉氏变换将付氏变换和拉氏变换(参见参见P21(2-41)式式)对比可知，如果对比可知，如果t0时，时，f(t)=0, 用用j 代替代替s，则，则拉氏变换就转变成付氏变换。因此，付氏变换拉氏变换就转变成付氏变换。因此，付氏变换是拉氏变换的一种特殊情况。是拉氏变换的一种特殊情况。 然而，付氏变换的要求却比拉氏变换的然而，付氏变换的要求却比拉氏变换的要求严格多。例如，阶跃函数的付氏变换就要求严格多。例如，阶跃函数的付氏变换就不存在。不存在。

17、 现在来定义线性定常系统的频率特性。现在来定义线性定常系统的频率特性。 已知线性定常系统的传递函数已知线性定常系统的传递函数G(s)，输入，输入信号信号r(t)，其付氏变换存在为，其付氏变换存在为R(j )系统的输出系统的输出信号为信号为c(t)，其付氏变换为，其付氏变换为C(j )。 由于只考虑输入信号频谱的稳态正弦响应，由于只考虑输入信号频谱的稳态正弦响应，令令s=j ，则系统的传递函数，则系统的传递函数G(s)成为成为G(j )。 定义线性定常系统的频率特性为输出信号定义线性定常系统的频率特性为输出信号的付氏变换的付氏变换C(j )与输入信号的付氏变换与输入信号的付氏变换R(j )之比，

18、即之比，即)()()(jRjCjG 将线性定常系统的频率特性表达式与传递函数将线性定常系统的频率特性表达式与传递函数表达式对比可知，二者之间存在以下紧密关系表达式对比可知，二者之间存在以下紧密关系jssGjG)()( 由此可以得出以由此可以得出以下重要结论：频率特下重要结论：频率特性和传递函数以及微性和传递函数以及微分方程一样，也表征分方程一样，也表征了系统的运动规律，了系统的运动规律，这就是频率分析法能这就是频率分析法能够从频率特性出发研够从频率特性出发研究系统的理论根据。究系统的理论根据。上述三种系统描述法上述三种系统描述法的关系可用右图说明。的关系可用右图说明。4-1-3 频率特性的数学

19、表示及作图频率特性的数学表示及作图 1、极坐标图、极坐标图 通常也称为幅相图、奈奎斯特通常也称为幅相图、奈奎斯特(Nyquist)图。图。 根据根据G(j )的定义，用实频特性和虚频特性表示有的定义，用实频特性和虚频特性表示有)()()(Im)(Re)(jQPjGjGjG也可用矢量式的幅值与相位表示，有也可用矢量式的幅值与相位表示，有)()()(arg)()(AjGjGjG 当频率当频率 从从 变到变到+时，时， G(j )在由实轴与虚在由实轴与虚轴构成的复平面上越过的轨迹就称为轴构成的复平面上越过的轨迹就称为G(j )的极坐的极坐标图，如图所示。标图，如图所示。 由于实频特性由于实频特性P(

20、 )是是频率频率 的偶函数，即的偶函数，即 P( )=P() 虚频特性虚频特性Q( )是频是频率率 的奇函数，即的奇函数，即 Q( )= Q() 因此，当频率因此，当频率 从从 0 及从及从0+时，时， G(j )正负频率的曲线是关于实轴对称的。通常只画出正负频率的曲线是关于实轴对称的。通常只画出正频率曲线即可。如上页图中的实线所示。正频率曲线即可。如上页图中的实线所示。 同理，幅频特性同理，幅频特性A( )是是 的偶函数，而相的偶函数，而相频特性频特性 ( )则是则是 的奇函数。的奇函数。 G(j )的极坐标图绘制时需要取的极坐标图绘制时需要取 的增量逐的增量逐点作出，因此不便于手工作图。一

21、般情况下，点作出，因此不便于手工作图。一般情况下，根据作图原理，可以粗略地绘制出极坐标图的根据作图原理，可以粗略地绘制出极坐标图的草图。草图。 G(j )的极坐标图通常用于频域稳定性分析中。的极坐标图通常用于频域稳定性分析中。 2、对数坐标图、对数坐标图 通常也称为波德通常也称为波德(Bode)图、对数频率特性图。图、对数频率特性图。它具有方便实用的特点，因而被广泛地应用于控它具有方便实用的特点，因而被广泛地应用于控制系统的分析和设计中。制系统的分析和设计中。 波德图是根据频率特性的矢量表达式波德图是根据频率特性的矢量表达式)()()(arg)()(AjGjGjG绘制的。它用两幅图分别表示绘制

22、的。它用两幅图分别表示G(j )的幅值和的幅值和相位的变化规律。相位的变化规律。 通常，通常， A( )与与 ( )的作图不方便，因此分的作图不方便，因此分别将它们变换如下。别将它们变换如下。 对数幅频特性对数幅频特性L( ) 将幅频特性的函数坐标轴将幅频特性的函数坐标轴A( )轴与自变量坐轴与自变量坐标轴标轴 轴分别取对数作为新的坐标轴，如图所示。轴分别取对数作为新的坐标轴，如图所示。图中的纵坐标为图中的纵坐标为)(lg)(AL刻度单位为刻度单位为Bell(贝尔贝尔)，如图所示纵坐标，如图所示纵坐标右边的读数是贝尔等分刻度。右边的读数是贝尔等分刻度。 由于贝尔的单位值较大，通常令由于贝尔的单

23、位值较大，通常令1贝尔贝尔=20分分贝尔贝尔(decBell,缩写成缩写成dB，简称分贝，简称分贝)，则上式成为，则上式成为)(lg20)(AL这时，如图所示纵坐标左边的读数是这时，如图所示纵坐标左边的读数是20dB等分刻度。等分刻度。(dB) 图中的横坐标经对数变换后成为图中的横坐标经对数变换后成为lg ，为等，为等分刻度。如图横坐标上边所示是以分刻度。如图横坐标上边所示是以lg 作等分标作等分标度的。为了使用方便，如图横坐标下边所示，度的。为了使用方便，如图横坐标下边所示，在标度时仍然标以原来的频率值在标度时仍然标以原来的频率值 。因此，刻。因此，刻度值就成为每十倍频等分的了，这样十倍频刻

24、度值就成为每十倍频等分的了，这样十倍频刻度之内为对数值刻度。度之内为对数值刻度。 经过对数变换之后的幅频特性经过对数变换之后的幅频特性L( )称为称为对数幅频特性。对数幅频特性。 如果把图上如果把图上P1定为定为 =1，则，则 =10对应的对应的P2与与P1的距离为一个单位长度，与的距离为一个单位长度，与 =100对应的对应的P3与与P2的的距离也是一个单位长度距离也是一个单位长度故故 每变化十倍每变化十倍(称为一个称为一个十倍频程十倍频程)，横坐标的间隔距离为一个单位长度。，横坐标的间隔距离为一个单位长度。 可见，横坐标对可见，横坐标对 而言是不均匀的，但而言是不均匀的，但对对lg 来讲却是

25、均匀的。每个十倍频程中，来讲却是均匀的。每个十倍频程中， 与与lg 的对应关系如表所示。的对应关系如表所示。由表可知，频率每变化一倍由表可知，频率每变化一倍(称为一个倍频程称为一个倍频程)，间，间隔距离为隔距离为0.301单位长度。一个十倍频程的距离为单位长度。一个十倍频程的距离为3.32个倍频程的的距离。个倍频程的的距离。 对数相频特性对数相频特性 ( ) 原相频特性原相频特性 ( )纵坐标不作任何变换，以纵坐标不作任何变换，以角度等分值来标度。角度等分值来标度。 为了与对数幅频特性为了与对数幅频特性L( )的横坐标相一的横坐标相一致，将横坐标作对数变换为致，将横坐标作对数变换为lg ，其刻

26、度说明，其刻度说明同前。经过这样处理后的相频特性同前。经过这样处理后的相频特性 ( )称为对称为对数相频特性，如图所示。数相频特性，如图所示。 对数幅频特性对数幅频特性L( )和对数相频特性和对数相频特性 ( )两条曲线统称为对数频率特性两条曲线统称为对数频率特性(即波德图即波德图)。 引例引例4-1的对数频率特性如图所示。的对数频率特性如图所示。 对数频率特性的优点对数频率特性的优点 (1) 可以双重展宽频带可以双重展宽频带 由于横坐标由于横坐标 轴作了对数变换，一方面，将轴作了对数变换，一方面，将高频分段各十倍频程拉近，展宽了可视频带宽度。高频分段各十倍频程拉近，展宽了可视频带宽度。另一方

27、面，又将低频分段的各十倍频程分得很细，另一方面，又将低频分段的各十倍频程分得很细，展宽了表示频带宽度，便于细致观察幅值、幅角展宽了表示频带宽度，便于细致观察幅值、幅角随频率变化的程度。随频率变化的程度。 (2) 可以采用简便方法可以采用简便方法(即渐近线即渐近线)绘制近似绘制近似的对数幅频曲线。的对数幅频曲线。 引例引例4-1的的L( )曲线是由两条渐近线构成，曲线是由两条渐近线构成，仅在两条渐近线的交点处产生较小误差。仅在两条渐近线的交点处产生较小误差。 (3) 可以将幅值乘除化为加减，便于叠加作图可以将幅值乘除化为加减，便于叠加作图 控制系统的频率特性一般为因控制系统的频率特性一般为因子相

28、乘，如子相乘，如)21)(1 (1)(jjjG其对数幅频特性为其对数幅频特性为211lg2011lg20)(lg20)(jjjGL其对数相频特性为其对数相频特性为)21()1()(jj由于由于L( )和和 ( )分别均为各因子特性的叠加，因分别均为各因子特性的叠加，因而作图方便。而作图方便。4-2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性4-2-1 比例环节比例环节 频率特性为频率特性为 KjG)( 极坐标图极坐标图 幅频特性为幅频特性为KA)(相频特性为相频特性为 0)( 极坐标图如图所示。极坐标图如图所示。 波德图波德图 在波德图在波德图上的两条曲线上的两条曲线分别为水平线，分别为水平线，如图

29、所示。如图所示。)dB(lg20)(lg20)(KAL 对数幅频特性为对数幅频特性为 0)( 对数相频特性为对数相频特性为4-2-2 积分环节 频率特性为频率特性为jsjGjs11)( 极坐标图极坐标图 当当从从0+，其幅角恒为，其幅角恒为 90 ，幅值的大小，幅值的大小与与 成反比。因此，曲线在负虚轴上，如图所示。成反比。因此，曲线在负虚轴上，如图所示。11)(jA 幅频特性为幅频特性为901)(j 相频特性为相频特性为 波德图波德图从而对数幅频特性曲从而对数幅频特性曲线为每十倍频程衰减线为每十倍频程衰减20dB的一条斜线。的一条斜线。 积分环节的对数积分环节的对数频率特性如图所示。频率特性

30、如图所示。lg201lg20)(L对数幅频特性为对数幅频特性为901)(j 对数相频特性为对数相频特性为4-2-3 微分环节微分环节 频率特性为频率特性为jsjGjs)( 极坐标图极坐标图 当当从从0+，其幅角，其幅角恒为恒为+90 ，幅值的大小与幅值的大小与成成正比。因此，曲线在正虚轴正比。因此，曲线在正虚轴上，与积分环节的极坐标图上，与积分环节的极坐标图对称，如图所示。对称，如图所示。 jA)( 幅频特性为幅频特性为90)(j 相频特性为相频特性为从而对数幅频特性曲从而对数幅频特性曲线为每十倍频程增加线为每十倍频程增加20dB的一条斜线。的一条斜线。 波德图波德图 微分环节的对数微分环节的

31、对数频率特性如图所示。频率特性如图所示。 lg20)(L 对数幅频特性为对数幅频特性为90)(j 对数相频特性为对数相频特性为4-2-4 惯性环节惯性环节 频率特性为频率特性为TjTsjGjs1111)( 极坐标图极坐标图TTTTjTjGarctan11111)(2222220)(lim, 1)(lim0AA90)(lim,0)(lim0 惯性环节的极坐标图如惯性环节的极坐标图如图所示。可见，惯性环节的图所示。可见，惯性环节的极坐标图为下半圆。极坐标图为下半圆。2211)(TA 幅频特性为幅频特性为Tarctan)( 相频特性为相频特性为 波德图波德图 对数幅频特性下页如图所示。如果徒手对数幅

32、频特性下页如图所示。如果徒手近似作图，可以采用渐近线。由于近似作图，可以采用渐近线。由于)dB(01lg20)(lim0L所以，当所以，当 趋于零时，是一条水平渐近线。由于趋于零时，是一条水平渐近线。由于TTLlg201lg20)(lim所以，当所以，当 趋于无穷时，是一条每十倍频程衰趋于无穷时，是一条每十倍频程衰减减20dB的斜渐近线的斜渐近线(即斜率为即斜率为-20dB/dec)。2211lg20)(TL 对数幅频特性为对数幅频特性为 两条渐近线的交点处的频率称两条渐近线的交点处的频率称为转折频率，其坐标为为转折频率，其坐标为T1 对数相频特性为对数相频特性为Tarctan)(它有三个特征

33、角如下：它有三个特征角如下： (1) 0时，时， ( )0 (2) =1/T时，时， ( ) 45 (3) 时，时， ( ) 90 由于对于所有的频率由于对于所有的频率 有有0)(dd故相频特性故相频特性 ( )是单调减是单调减的，而且以转的，而且以转折频率为中心，折频率为中心，两边的角度是两边的角度是反对称的。对反对称的。对数相频特性曲数相频特性曲线如图所示。线如图所示。 从从L( )的曲线上可以看出，用渐近的曲线上可以看出，用渐近线作图是存在近似误差的，最大误差发线作图是存在近似误差的，最大误差发生在转折频率处。将生在转折频率处。将 =1/T代入代入L( )的的表达式，可表达式，可 算出最

34、大误差为算出最大误差为)dB(01. 321lg2011lg20)(/ 122 TTL 因为最大误差两端的误差是对称的，故因为最大误差两端的误差是对称的，故可以作出误差修正曲线如图所示，来修正渐可以作出误差修正曲线如图所示，来修正渐近线作图的误差。近线作图的误差。 从图中可以看出，在转折频率处，最大从图中可以看出，在转折频率处，最大误差为误差为 3.01dB，两端十倍频程处的误差降到，两端十倍频程处的误差降到 0.04dB。所以，两端十倍频程之外的误差可。所以，两端十倍频程之外的误差可以忽略不计。以忽略不计。4-2-5 一阶微分环节一阶微分环节 频率特性为频率特性为TjsTjGjs11)( 极

35、坐标图极坐标图 当当 由由0+时，实部始终为单位时，实部始终为单位1，而虚，而虚部则随着部则随着 线性增长。其极坐标图如图所示。线性增长。其极坐标图如图所示。221)(TA 幅频特性为幅频特性为Tarctan)(相频特性为相频特性为 从上面的表达式可以看出，由于一阶微分从上面的表达式可以看出，由于一阶微分环节与一阶惯性环节的对数频率特性是上下对环节与一阶惯性环节的对数频率特性是上下对称的，可以利用一阶惯性环节的波德图作上下称的，可以利用一阶惯性环节的波德图作上下翻转画出，其对数频率特性曲线如下页图所示。翻转画出，其对数频率特性曲线如下页图所示。 波特图波特图Tarctan)(对数相频特性为对数

36、相频特性为221lg20)(TL对数幅频特性为对数幅频特性为4-2-6 二阶振荡环节二阶振荡环节 二阶振荡环节的传递函数为二阶振荡环节的传递函数为2222)(nnnsssG令令T=1/ n为二阶系统的时间常数，代入为二阶系统的时间常数，代入上式有上式有1211211)(22122TssTsssGnTnn于是，二阶振荡环节的频率特性为于是，二阶振荡环节的频率特性为22222222222222222212arctan)2()1 (1)2()1 (2)2()1 (112)(1)(TTTTTTTjTTTTjjTjG 极坐标图极坐标图其极坐标图如图所示。其极坐标图如图所示。 从图中可以看出，当从图中可以

37、看出，当 =0+时时0)0(,1)0(A 当当 =1/T时时90)1(,21)1(TTA2222)2()1 (1)(TTA 幅频特性为幅频特性为2212arctan)(TT相频特性为相频特性为频率特性与负实轴相交。并且频率特性与负实轴相交。并且 值越小，虚轴值越小，虚轴上的交点离原点越远。上的交点离原点越远。 当当 +时时180)(, 0)(A所以，曲线的模以幅角所以，曲线的模以幅角 1800趋于零。趋于零。 另外，从图上还可以看出，当系统阻尼比另外，从图上还可以看出，当系统阻尼比 较小时，幅频特性较小时，幅频特性(即曲线的模即曲线的模)超出了单位圆，超出了单位圆，有极大值有极大值(称之为谐振

38、峰值称之为谐振峰值Mr)，对应的频率，对应的频率 r称为谐振频率称为谐振频率(或者峰值频率或者峰值频率)。 在产生谐振峰值处，必有在产生谐振峰值处，必有0)(ddrA从而可以解出谐振频率为从而可以解出谐振频率为2211Tr显然显然, r与与 值有关。当值有关。当 时，时， r =0；当；当 时，时， r为虚数为虚数,说明幅频特性不存在谐振峰值；当说明幅频特性不存在谐振峰值；当 时，将其代入幅频表达式，求得谐振峰值为时，将其代入幅频表达式，求得谐振峰值为2/ 12/ 12/102121)(rrAM 波德图波德图根据上式可以作出两条渐近线。根据上式可以作出两条渐近线。 当当 0时，有时，有)dB(

39、01lg20)(lim0L这是一条水平渐近线这是一条水平渐近线(斜率为斜率为0dB/dec)；当；当 时，有时，有TTTTLlg401lg20)2()1 (1lg20lim)(lim2222222222)2()1 (1lg20)(TTL 对数幅频特性为对数幅频特性为 显然，上式为两个积分环节的叠加。所以，显然，上式为两个积分环节的叠加。所以，第二条渐近线是一条斜率为第二条渐近线是一条斜率为 40dB/dec的斜线。的斜线。两条渐近线的折线近似下页如图虚线所示。两条渐近线的折线近似下页如图虚线所示。 在图上作出两条渐近线，得到它在图上作出两条渐近线，得到它们的交点坐标为们的交点坐标为T1 由于阻

40、尼比由于阻尼比 取值不同时，对数幅频取值不同时，对数幅频特性特性L( )有无谐振峰值有无谐振峰值( )，临界谐振峰值临界谐振峰值( =0.707)和有谐振峰值和有谐振峰值( 0.707、 =0.707和和 1 ；当；当 K=1系统是临界稳定。系统是临界稳定。s0s02、开环系统（传递函数）临界稳、开环系统（传递函数）临界稳定时，奈氏围线的修改定时，奈氏围线的修改开环传递函数开环传递函数G(s)H(s)在虚轴上有在虚轴上有极点（开环极点），则就是辅助函极点（开环极点），则就是辅助函数数 F(s)=1+G(s)H(s) 的奇点，而奈的奇点，而奈氏围线不允许通过奇点，为此需对氏围线不允许通过奇点，为

41、此需对奈氏围线进行修改，如图所示。奈氏围线进行修改，如图所示。例例 已知系统开环传递函数已知系统开环传递函数)1 ()1 () 1()(,) 1()(2222TKjTKTjTjKjGTssKsG修改后奈氏围线的映射修改后奈氏围线的映射有一个开环极点有一个开环极点 s=0，作无穷小半径的围线。，作无穷小半径的围线。 在围线在围线 上上 00jjoojes90900,jjjjeseKeKeTeKsGj0000limlim) 1(lim)(limS 在无穷小半圆上逆时针转过半在无穷小半圆上逆时针转过半圈，映射到圈，映射到G(s）平面上则为一）平面上则为一条顺时针绕行半圈的圆弧曲线，条顺时针绕行半圈的

42、圆弧曲线，半径为无穷大半径为无穷大)90()90(,ooK0s0 00 0对于对于 型系统，在型系统，在G(s)平平面上，半径为无穷大，顺面上，半径为无穷大，顺时针方向绕行时针方向绕行 个半圈个半圈的圆弧曲线。的圆弧曲线。oojes90900,jjjjeseKeKeTeKsGj0000limlim) 1(lim)(lim)90()90(,ooK3、判断稳定性的实用方法、判断稳定性的实用方法绘制绘制 的奈氏曲线，按奈氏曲线包围临界点圈的奈氏曲线，按奈氏曲线包围临界点圈数数 N和开环传递函数在右半和开环传递函数在右半 s 平面的极点数平面的极点数 P，确定闭环，确定闭环特征方程正实部根的个数。特征

43、方程正实部根的个数。 0NPZ2若若 Z=0 ，则系统闭环稳定，否则闭环不稳定。，则系统闭环稳定，否则闭环不稳定。对于对于 型系统的奈氏曲线：型系统的奈氏曲线：00补画一条半径为无穷大，逆时针方向绕行补画一条半径为无穷大，逆时针方向绕行 的的圆弧，这样可得完整的圆弧，这样可得完整的 部分奈氏曲线。部分奈氏曲线。o90 0例例 设单位反馈系统，其开环传递函数设单位反馈系统，其开环传递函数) 1()(2TssKsG试用奈氏判据判断系统稳定性。试用奈氏判据判断系统稳定性。解：开环幅相大致曲线如图所示解：开环幅相大致曲线如图所示曲线顺时针包围（曲线顺时针包围（-1，j0）点一圈，）点一圈，N= -1

44、。P=0，Z= P-2N =2 。闭环系统不稳定。闭环系统不稳定。 001用在用在 区间，奈氏曲线的正、负穿越区间，奈氏曲线的正、负穿越的次数来确定的次数来确定 N )1,(1)( )( )( NNN1)(21)(4-4-3 频域稳定性分析频域稳定性分析 1、最小相位系统、最小相位系统 最小相位系统的开环零、极点全部在左最小相位系统的开环零、极点全部在左半半s平面上，因而满足奈氏判据的平面上，因而满足奈氏判据的p=0的情况，的情况，闭环系统稳定的充要条件为闭环系统稳定的充要条件为0)(0:jGo即开环频率特性的极坐标轨线即开环频率特性的极坐标轨线Go(j )不包围不包围G(j )平面的平面的(

45、-1, j0)点。点。 例例4-7(P181) 系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为) 1)(1)(1()(321sTsTsTKsGo讨论开环增益讨论开环增益K的大小对系统稳定性的影响。的大小对系统稳定性的影响。 解：这是一个三阶系统，没有开环零点，且开解：这是一个三阶系统，没有开环零点，且开环极点全部位于左半环极点全部位于左半s平面，因此是最小相位系统。平面，因此是最小相位系统。 作极坐标草图，先计算极限值：作极坐标草图，先计算极限值： =0时，有时，有0)0()0(KA 时，有时，有270)(0)(A且且 增加时有增加时有)()(A依此作极坐标草图如图所示。依此作极坐标草图如图所示。

46、判别判别 当当K小小时，极坐标轨线围绕时，极坐标轨线围绕 （-1, j0)点的角度增量为点的角度增量为0)(0:jGo不包围不包围(-1, j0)点，所以系统是稳定的。点，所以系统是稳定的。 当当K大大时，围绕时，围绕(-1, j0)点的角度增量为点的角度增量为02)(0:jGo由于围绕由于围绕(-1, j0)点转了点转了-1圈，不等于零，所圈，不等于零，所以系统不稳定。以系统不稳定。 2、原点处有开环极点的情况、原点处有开环极点的情况 当原点处存在开环极点时，其表达式为当原点处存在开环极点时，其表达式为)()(sGsKsGnoo由于开环极点因子由于开环极点因子G(s)=1/s既不在左半既不在

47、左半s平面上，平面上，也不在右半也不在右半s平面上，当平面上，当 由由0 变到变到时，原点处时，原点处开环极点的幅角增量值是不定的，因而不能应用开环极点的幅角增量值是不定的，因而不能应用幅角增量公式来计算。幅角增量公式来计算。 对于这种情况，可以认为原点处的开环极点对于这种情况，可以认为原点处的开环极点属于左半属于左半s平面。在数学作如下处理：在平面。在数学作如下处理：在s平面的平面的s=0的邻域作一半径为无穷小的半圆绕过原点，的邻域作一半径为无穷小的半圆绕过原点，如下页图所示。如下页图所示。 这样，当这样，当 由由0增加到增加到0+时，原点处就已经获时，原点处就已经获得了得了+ /2的增量。

48、相应地，作为复变函数的增量。相应地，作为复变函数G(s)=1/s，由复变函数的保角定理可得，在由复变函数的保角定理可得，在G(j )平面上的无平面上的无穷大半圆处也就获得穷大半圆处也就获得- /2的幅角增量。因此，可以的幅角增量。因此，可以在在G(j )平面上的无穷大半圆处作增补线，如上页平面上的无穷大半圆处作增补线，如上页图所示。得到相应的增补角为图所示。得到相应的增补角为- /2。 如果原点处的开环极点有如果原点处的开环极点有 个，则在个，则在G(j )平平面上的无穷大半圆处作所增补线就满足的增补角为面上的无穷大半圆处作所增补线就满足的增补角为 .(- /2)。 这样，当系统在原点处有开环

49、极点时，计这样，当系统在原点处有开环极点时，计算幅角增量需要计入相应的增补角，以保证计算幅角增量需要计入相应的增补角，以保证计算的正确性。算的正确性。 例例4-8 (P182) 已知系统的开环传递已知系统的开环传递函数为函数为)1)(1()(32sTsTsKsGo试用奈氏判据判别系统的稳定性。试用奈氏判据判别系统的稳定性。 解：解：(1)作极坐标图作极坐标图 =0时，有时，有90)0()0(A可以确定系统极坐标图的可以确定系统极坐标图的起点为起点为0-j 时，有时，有270)(0)(A可以确定系统极坐标图的终可以确定系统极坐标图的终点为点为0+j0,即原点即原点且且 增加时有增加时有)()(A

50、依此作极坐标草图如图所示。依此作极坐标草图如图所示。 （2）稳定性判别）稳定性判别 系统为最小相位系统，所以稳定条件为系统为最小相位系统，所以稳定条件为0)(0:jGo由于原点处有一个开环极点，由于原点处有一个开环极点， =1，作，作增补角增补角如上页图所示。如上页图所示。 当当K小小时，极坐标轨线围绕时，极坐标轨线围绕(-1，j0)点的角点的角度增量为度增量为022)(0:jGo(增补角增补角)（原角度）（原角度）不包围不包围(-1, j0)点，所以系统是稳定的。点，所以系统是稳定的。 当当K大大时，围绕时，围绕(-1, j0)点的角度增量为点的角度增量为02223)(0 :jGo(增补角增

51、补角)（原角度）（原角度）由于围饶由于围饶(-1, j0)点转了点转了 1圈，不等于零，所圈，不等于零，所以系统不稳定。以系统不稳定。 3、 非最小相位系统非最小相位系统pjGo)(0 : 对于非最小相位系统，首先要判别对于非最小相位系统，首先要判别的是在右半的是在右半s平面上有没有开环极点。平面上有没有开环极点。如果有，则闭环系统稳定的条件为如果有，则闭环系统稳定的条件为 如果非最小相位系统是由右半如果非最小相位系统是由右半s平面的开平面的开环零点确定，则闭环系统稳定的条件为环零点确定，则闭环系统稳定的条件为0)(0 :jGo 例例4-9 (P183) 已知系统的开环传递已知系统的开环传递函

52、数为函数为)1()15 .0()(sssKsGo试用奈氏判据判别系统的稳定性。试用奈氏判据判别系统的稳定性。 解：该系统在右半解：该系统在右半s平面有一个开环极点，平面有一个开环极点，p=1，系统稳定的条件为，系统稳定的条件为10 :)(popjG另外，原点处有一个开环极点，另外，原点处有一个开环极点， =1，需要作增，需要作增补线，使得增补角为补线，使得增补角为- /2。因此，按照下面步骤。因此，按照下面步骤作极坐标图：作极坐标图： =0时，有时，有270)0()0(A 时，有时，有90)(0)(A 幅值幅值A( )单调减，幅角单调减，幅角 ( )单调增，并且在单调增，并且在 = x时，时，

53、轨线穿过负实轴。按照上述轨线穿过负实轴。按照上述曲线变化趋势作极坐标图如曲线变化趋势作极坐标图如图所示。图所示。 由于由于 =1，作增补线如图。，作增补线如图。因为因为p=1，满足稳定条件，所以系统是稳定的。，满足稳定条件，所以系统是稳定的。因为因为p=1，不满足稳定判据的条件，所以系统是，不满足稳定判据的条件，所以系统是不稳定的。不稳定的。 当当K小小时，极坐标轨线围绕时，极坐标轨线围绕(-1，j0)点点的角度增量为的角度增量为22)(0 :jGo (增补角增补角) （原角度）（原角度） 当当K大大时，极坐标轨线围绕时，极坐标轨线围绕(-1，j0)点的角度增量为点的角度增量为pjGo223)

54、(0 : (增补角增补角)（原角度）（原角度）4-4-4 波德图上的稳定性判据波德图上的稳定性判据 1、极坐标图与波德图的对应、极坐标图与波德图的对应 奈氏判据除了可以表示在极坐标图上，还可奈氏判据除了可以表示在极坐标图上，还可以表示在波德图上。对于工程中最经常出现的最以表示在波德图上。对于工程中最经常出现的最小相位系统，采用波德图表示，不仅应用起来更小相位系统，采用波德图表示，不仅应用起来更为方便和直观，而且还能得到有关系统校正设计为方便和直观，而且还能得到有关系统校正设计方面的信息。方面的信息。 引例引例4-10(P184) 前述例题前述例题4-7，其开环传，其开环传递函数为递函数为 )

55、1)(1)(1()(321sTsTsTKsGo开环增益开环增益K的大小对系统稳定性的影响如下页图的大小对系统稳定性的影响如下页图所示。所示。 从图中可以看出，当从图中可以看出，当K小小时，奈氏轨线时，奈氏轨线(即极坐即极坐标轨线标轨线)不包围不包围(-1，j0)点，闭环系统是稳定的；当点，闭环系统是稳定的；当K临临时，奈氏轨线穿过时，奈氏轨线穿过(-1，j0)点，闭环系统是临界点，闭环系统是临界稳定的；当稳定的；当K大时，奈氏轨线包围大时，奈氏轨线包围(-1，j0)点，闭点，闭环系统不稳定。环系统不稳定。 从图中还可以看出，当轨线穿过单位圆时从图中还可以看出，当轨线穿过单位圆时(即当模为即当模

56、为1时时)，有：，有：稳定系统，相角大于稳定系统，相角大于- ；临界稳定系统，相角等于临界稳定系统，相角等于- ；不稳定系统，相角小于不稳定系统，相角小于- 。 这样就得到了这样就得到了在波德图上的在波德图上的奈氏判据奈氏判据。 当对数幅频特性穿过当对数幅频特性穿过0dB线时，相角大于线时，相角大于- ，即，即180)(dB0)(L时时则闭环系统是稳定的。则闭环系统是稳定的。 或者当对数相频特性为或者当对数相频特性为- 时，对数幅频特性时，对数幅频特性小于小于0dB，即，即dB0)(180)(L时时则闭环系统是稳定的。则闭环系统是稳定的。 上述波德图上的奈氏判据，只适用于最小相上述波德图上的奈

57、氏判据，只适用于最小相位系统，对于非最小相位系统，虽然也可以推导位系统，对于非最小相位系统，虽然也可以推导出在波德图上的等价判据，但由于有多种情况存出在波德图上的等价判据，但由于有多种情况存在，没有多少应用价值。在，没有多少应用价值。 利用波德图，不仅可以确定系统的利用波德图，不仅可以确定系统的 绝对稳定绝对稳定性，还可以确定系统的相对稳定性，即：性，还可以确定系统的相对稳定性，即： 如果是稳定系统，那么相位角还差多少度，如果是稳定系统，那么相位角还差多少度，或增益再增大多少倍，系统就不稳定了。或增益再增大多少倍，系统就不稳定了。 如果系统不稳定，那么相位角还需要改善多如果系统不稳定，那么相位

58、角还需要改善多少度或者增益值需要减小到多大，不稳定系统就少度或者增益值需要减小到多大，不稳定系统就成为稳定系统了。成为稳定系统了。 对数频率稳定判据对数频率稳定判据对数频率稳定判据的依据是和奈氏稳定判据的依据是一对数频率稳定判据的依据是和奈氏稳定判据的依据是一样的，关键是在对数频率特性图（对数幅频图和对数相样的，关键是在对数频率特性图（对数幅频图和对数相频图）上如何确定频图）上如何确定 N 。考察以下开环幅相曲线与考察以下开环幅相曲线与Bode图的对应情况：图的对应情况：)(1)()(L)(180)( )( 011NNN当开环传递函数包括积分环节时，在对数相频特性上要补画当开环传递函数包括积分

59、环节时，在对数相频特性上要补画 这一段频率变化范围的相角变化曲线。这一段频率变化范围的相角变化曲线。 00ojHjG90)0()0(例如例如)1()()(2TssKsHsGT/ 10180 00系统闭环不稳定。系统闭环不稳定。 22,1NPZNN 001对数频率稳定判据对数频率稳定判据：已知开环系统在右半已知开环系统在右半s平面的极点数平面的极点数P，开环对数幅频特性为正，开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内，对数相频曲线对值的所有频率范围内，对数相频曲线对-180o线的正、负穿越之线的正、负穿越之差差 ，然后，然后 确定确定NNNNPZ2条件稳定系统条件稳定系统考察图示系统的奈氏曲线考察图

60、示系统的奈氏曲线 P=0（1）开环增益）开环增益K增加到足够大，增加到足够大，)(1)(121NNN22NPZ系统闭环不稳定。系统闭环不稳定。（2）开环增益足够小，）开环增益足够小，11NNN22NPZ系统闭环不稳定。系统闭环不稳定。 2、稳定裕度、稳定裕度 基于波德图上的奈氏判据，可以在波德图上基于波德图上的奈氏判据，可以在波德图上定义两个开环频域的性能指标，称为开环系统的定义两个开环频域的性能指标，称为开环系统的稳定裕度，其中的一个为幅值裕度稳定裕度，其中的一个为幅值裕度Lg，另一个为，另一个为相位裕度相位裕度 c, 它们的几何表示如图所示。它们的几何表示如图所示。 幅值裕度幅值裕度Lg