2015年考研数学二真题及答案

1、2015年考研数学二真题一、选择题：(18小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。)(1)下列反常积分中收敛的是(A)广/8空公(C)+8；dx(D)f+dx“xlnxex【答案】Do【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。+8=+8;2中全位=2例;8=+8；午dx=/2HoInxd(lnx)=1(Znz)22y公=厂83(段)=lnnx)|+=+oo；厂丫公=-广、dL=-xe-|r+(7-、dx2e-2-e-xi0=3e2因此(D)是收敛的。综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学一一元函数积分学一反常积分x2函数f

2、(x)=+丝士)丁在(-8,+8)内(A)连续(B)有可去间断点(0有跳跃间断点(D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是T”型极限，直接有f(x)=lini(1+年/=1皿-0?(1+*1)=eMm-0等=e(xw0),f(x)在x=。处无定义，且linixTOf(x)=limx_0ex=1,所以x=0是/*(x)的可去间断点,选B。综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学一函数、极限、连续一两个重要极限(3)设函数幻=1-*cos熊”0,(Q。,夕。)若/(外在=0,x1(C)a-p2(D)0a-p0,0,x0+J=lin】xTo+xa_1cos-=0,a1,不存在，aW1,万(0)=0

3、于是，尸(0)存在0。1,此时尸(0)=0.当al时，HrIxtocos=，xruXPi(，-P-10,hnixoBxa-P_1sin-z-=t十+x0H/1不存在，a-p-11。选A综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学一函数、极限、连续一函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数f(x)在(-8,+8)内连续，其/,(X)二阶导函数f”(x)的图形如右图所示，则曲线y=/()的拐点个数为A0BX(A)0(B)1(02(D)3【答案】C【解析】/(%)在(-8,+8)内连续，除点X=。外处处二阶可导。y=f(x)的可疑拐点是(%)=0的点及f”(x)不存在的点。(x)的零点有两个

4、，如上图所示，A点两侧尸(无)恒正，对应的点不是y=f(x)拐点，B点两侧(x)异号，对应的点就是y=/(%)的拐点。虽然f(0)不存在，但点x=0两侧f(x)异号，因而(0,f(0)是y=f(x)的拐点。综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学一函数、极限、连续一函数单调性，曲线的凹凸性和拐点设函数/(内v)满足f(x+y，9=则前呼与凯丑依次v=lV=1是(A)|,0(B)0,|(C)1o(D)O,-i【答案】D于是【解析】先求出K内v)一M_n2(i-v)_2/21、内v)一(77一口(T771)因此乱=i=2p岛-1)|(皿=0V=1乱=1V=1(l+v)2(1,1)综上所述，本题

5、正确答案是D。【考点】高等数学多元函数微分学多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线2xy=l,4xy=1与直线y=xty=V3x围成的平面区域，函数f(x,y)在D上连续，则儿f(x,y)dxdy=n1(A)jJd0/)28f(rcos0,rsin0)rdr42sin26428f(rcos0lrsin0)rdrn1(C) pd0Jtfali2ef(rcos0,rsin0)dr42sin26it1(D) J/d0f(rcos0,rsin0)dr【答案】B【解析】D是第一象限中由曲线2xy=l,4xy=1与直线y=x,y=V3x围成的平面区域，作极坐标变换，将为f(x,y)dxdy化

6、为累次积分。D的极坐标表示为因此nJJDf(x,y)dxdy=j/d026f(rcos0,rsin0)rdr4Vsin26综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学一多元函数积分学一二重积分在直珀坐标系和极坐标系下的计算。11(7)设矩阵2=12.141aa2.1do若集合C=1,2,则线性方程ld2JAx=b有无穷多解的充分必要条件为(A)a任Q(C)qEdcC【答案】D【解析】Ax=b有无穷多解ur(A|b)=r(A)2)/(。)=。因此/5)(O)=n(n-1)(m2)九一2(九=1,2,3,)解法2利用泰勒展开/(x)=x22x=x2exln2=%2Xn=o(Y/n2)nl_yool

7、n，2n+2ycoln,1-22Yn=。X乙E而万产由于泰勒展开系数的唯一性，得总=3(n-2)ln!可得/5)(0)=n(n-l)(Zn2)n-2(n=1,2,3,)综上所述，本题正确答案是71(711)(m2尸-2(n=123,)【考点】高等数学一一元函数微分学一高阶导数，泰勒展开公式(11)设函数f(x)连续，(P(X)=/；x/(t)dt.若(p(l)=l,(p(l)=5,则-1)=【答案】2丫2【解析】改写甲(x)=x/；/也，由变限积分求导法得(p(x)=f2/(t)dt+x/(x2)-2x=J；()d+2x2f(x2)由(p(l)口二/。也，叩(1)=r/()点+2/(1)=1+

8、2/(1)可得f(l)=2综上所述，本题正确答案是2【考点】高等数学一一元函数积分学一变限积分函数的性质及应用(12)设函数y=y(x)是微分方程y+y_2y=0的解,且在x=0处y(x)取得极值3,贝ijy(x)二【答案】e-2x-F2ex【解析】求y(x)归结为求解二阶常系数齐次线性方程的初值问题(y4-y*2y=0(y(0)=3，y，(0)=0由特征方程A2+入一2=0可得特征根入=_2,入2=1，于是得通解y=Ge-2x+Gex又已知C1+6*2=3-2cl+Q=0综上所述，本题正确答案是e-2x+2e”【考点】高等数学一常微分方程一二阶常系数齐次线性方程(13)若函数z=z(x,y)

9、由方程e，+2y+3z+XyZ=1确定，则叫(0,0)=【答案】-idx-|dy33,【解析】先求z(0,0),在原方程中令x=O,y=0得e3z=1nz(0,0)=0方程两边同时求全微分得ex+2y+3z(dx+2dy+3dz)4-xydz+yzdx+xzdy=0令x=0,y=0,z=0得dx+2dy+3dzi(oo)=0dz|(o,o)=dx-dy综上所述，本题正确答案是-Ldx-mdy33，【考点】高等数学-多元函数微分学-隐函数的偏导数和全微分(14)设3阶矩阵4的特征值为2,-2,1,8=424+e,其中为3阶单位矩阵，则行列式历|二【答案】21【解析】A的特征值为2,-2,1,则B

10、的特征值对应为3,7,1所以|8|二21【考点】线性代数一行列式一行列式计算线性代数一矩阵一矩阵的特征值三、解答题：1523小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(15)设函数=x4-aln(l+x)+bxsinxtg(x)=kx3,若f(x)与g(x)在x0时是等价无穷小，求的值。【解析】利用泰勒公式/(x)=x+aln(l+x)+bxsinx1o1o=X+QXXz+-Xs+0(x3)j+bxx+o(x3)(1+a)x+(b-+|x3+o(x3)当xt0时，f(x)g(x),则a=-l,b=-=k=-L23【考点】高等数学一函数、极限、连续一无穷小的比阶，泰勒公式(16)设

11、A0,D是由曲线段y=Asiwc(Ox0可得nV2=2n-Asinxdxn=-2nAJJxdcosx1n=2itA(xcosxcosxdx)-2nA又匕=%可得A=71【考点】高等数学一一元函数积分学一定积分的应用(17)已知函数f(x,y)满足一(%y)=2(y+l)e”，6(x,0)=(x4-l)ex,/(0,y)=y2+2y求f(x,y)的极值。由；(%y)=2。+l)e。得A(x,y)=(y+i)2e、+0(x)又已知(x,0)=(x+l)e*可得ex+(p(x)=(x+l)ex得3(x)=xex,从而(x，y)=(y+l)2x+xex对x积分得/(x,y)=(y+l)2ex+(x-l

12、)ex+W(y)又f(0，y)=y2+2y,所以W(y)=0所以f(x,y)=(y+l)2ex+(x-l)ex于是斤(x,y)=(2y+2)e”，fxX(x,y)=(x+y2+2y+2)ex,f(xfy)=2ex令K(x,y)=。，0,y)=o得驻点(o,t)，所以A=Ax(0,-1)=1B寸y(0,-1)=0C=fyy(0,-1)=2由于B2-AC0,所以极小值为f(0,-1)=-1【考点】高等数学一多元函数微分学一二元函数的无条件极值(18)计算二重积分为x(x+y)dxdy,其中D=(x,y)|x2+y2x2【解析】因为区域D关于y轴对称，所以为xydxdy=0原式叽x2dxdy=2J；

13、dx虐一x2dy=2x2(V2-x2x2)dx-2J：x2V2x2dx2J；x4dx令x=y2sint,贝ijx2yj2x2dx=4sin2tcos2tdt-J(lcos4t)dt=?又f：一双建所以二重积分WJ45【考点】高等数学一多元函数积分学一二重积分的计算1丫2(19)已知函数/(无)=广行。立+/：VTTtdt,求/(x)的零点个JL数【解析】f(x)=-V1+x2+2x71+无2,令f(X)=0,得驻点x=i当XV一时,/(x)0,/1)单调增加；2因为1)=0,所以/(X)在(：,+8)上存在唯一零点。又/G)0.解得T=Cekt+20将初始条件T(0)二120代入上式，解得01

14、00将1=30,7=30代入得k=答，所以In10xT=lOOe-+20令T=21,得t=60,因此要降至21摄氏度，还需60-30=30(min)【考点】高等数学一常微分方程一一阶常微分方程，微分方程应用(21)已知函数f(x)在区间Q,+8上具有2阶导数，f(a)=0,/(%)0/(%)0,设bq,曲线y=/(x)在点(比/(b)处的切线与。轴的交点是(%0,0),证明QxQ0,故/(X)单调增加。由匕Q可知/3)f(Q)=0.又尸(力)0,故舞,0,即有X。bJ(b)心-一阳-由拉格朗Fl中值定理得f(b)=f(b)-/(a)=f()(b-d)fas0,所以/(x)单调增加，从而/()/(b),故/(h)0,即x()a综上所述，ax02a-3=b,解得