第四章-基础知识Guass型求积公式及正交多项式

1、第第4 4章章 数值微积分数值微积分第第4章章 数值微积分数值微积分( ) , f xa b 对于函数在区间上的定积分( )( ) (4-1)baI ff x dx ( )( )f xF x若能求得的原函数( )( )F xf x,即则由Newton-Leibnitz公式( )( )( )( )baI fF xF bF a,( ),f x 但由于实际情况中的原函数很难求出因此,只能计算定积分的近似值.第第4章章 数值微积分数值微积分数值积分( ),( )f xI f 考虑用函数在一些点处的值的适当组合 作为定积分的近似0( )( )() (4-2)nkkkI fQ fA f x kx其中: 是

2、适当选取的点,称为节点kA 称为求积系数公式(4-2)称为求积公式 ,以上方法称为数积值值分分第第4章章 数值微积分数值微积分数值积分要考虑的问题(1) ; (2) ; ( )( )-( )kkxAE fI fQ f 如何通过 选择合适节点确定合适的求积系数使误差尽可能的小求积公式可以分成两大类-,Newton Cotes(1) 型公式 基于等距分布的节点,Gauss(2) 型公式 取相应的正交多项式的根作为节点第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式( )f x 对任意被积函数(0,1,2,., )ix in,

3、在给定的节点( )if x对应的函数值为( )( )npxf x,则可构造插值多项式来近似( )( )nf xpx( )R x( )R x其中:为插值多项式的余项对上式,两边同时积分,有( )( )( )bbbnaaaf x dxpx dxR x dx( )( )nf xpx由于,不考虑误差项,有( )( )baI ff x dx( )bnapx dx( )Q f第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式Lagrange 若取插值多项式为多项式,得到0( )( ) ()nbkkakQ flx f x dx( ),0

4、,1,2,.,bkkaAlx dx kn记0( )()nkkkQ fA f x,有误差( )( )( )E fI fQ f( )bnaR x dx(1)( )( )(1)!nbafx dxn0( )()nbkkaklx dx f x 第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式( )bkkkaAlx dxA由确定的( )f x与被积函数无关,(0,1,2,., )ix in若节点满足关系01naxxxb,( ),bkkaAlx dx求积系数由确定( )( )I fQ f则此种方法形成的计算的求积公式称为内插求积公式(

5、1)( ),( )0,( )0( )( )nf xnfxE fI fQ f 若被积函数是不超过 次的多项式 则则有即4.1定义( )mmpx如果对任一不超过 次的多项式( )Q f,内插求积公式()()mmI pQ p总有11( )mmpx,而对某一个次多项式11, ()()mmI pQ pm则称此求积公式的代数精度为m,或称此公式具有 次代数精度(0,1,., )ix in,仅与节点的选择有关,第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式kx在以上公式中,节点 按等距分布,-b ahn令,0,1,2,.,kxakh

6、 knNewtonCotes则称内插求积公式为公式1,2,4n 通常取等值(1)1n 01,xa xb则插值函数公式为1-( )( )( )-b xx ap xf af bb ab a012baAA可求得1( ) ( )( )2baQ fTf af b求积公式为 称为梯形求积公式第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式定理4.1( ) , fxa b设在上连续 ,则梯形求积公式的误差是31-( ),12b aEfab证明:11( )baER x dx , , ()()baf a b x xa xb dx( )fx

7、由于存在, , , xf a b x可知 关于 的二阶差商连续 , ,()()0,a bxa xb在上 有由积分中值定理,差商性质2,知( , ),a b存在使1 , , ()()baEf a b x xa xb dx , , ()() ( , )baf a bxa xb dxa b31( )() ( , )12fbaa b 第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式(2)2n 012,22baabhxa xxb则插值多项式为0212201010210120122021()()()()( )()()()()()()

8、()() +()()()xxxxxxxxpxf xf xxxxxxxxxxxxxf xxxxx0124,333hhhAAA可求得1( ) ( )4 ()( )62baabQ fSf aff b求积公式为 称为Simpson求积公式第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式定理4.2(4)( ) , fxa b设在上连续,则Simpson求积公式的误差是5(4)2-( ),2880b aEfab2( 4 )()()()()4 !2fabxxaxxb证 明 :取 R2(4)( )()()4!2bafabxaxxb dx

9、2则 E2(4)0( )()4!2xa thdxdtfbat ttba dt (4)55550( )32401644!53hftttt5(4)()( )2880baf 第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式(3)4n 01234,2 ,3 ,4bahxa xah xah xah xb则插值多项式为40011223344( )( ) ()( ) ()( ) ()( ) ()( ) ()pxlx f xl x f xlx f xlx f xlx f x00112233441464( ),( ),4545246414

10、( ),( ),( )454545bbaabbbaaahhAlx dxAl x dxhhhAlx dxAl x dxAlx dx可求得1( )7 ( )32 () 12 (2 )90 32 (3 )7 ( )baQ fCf af ahf ahf ahf b求积公式为 称为Cotes求积公式第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式定理4.3(6)( ) , fxa b设在上连续 ,则Cotes求积公式的误差是7(6)48-( ),9454b aEfab梯形公式的代数精度为1Simpon求积公式的代数精度为3Cote

11、s求积公式的代数精度为5代数精度第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式例例: :确定确定SimpsonSimpson求积公式的代数精度求积公式的代数精度解解:Simpson:Simpson求积公式为求积公式为( )( )4 ()( )62babaabf x dxf aff b( )1 114 16babaf xdxba令令221( ) 4262babaabf xxxdxbaab22233221( ) 4362babaabf xxx dxbaab33344331( ) 4462babaabf xxx dxbaab

12、第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式4445544( ) 1 4562baf xxbaabx dxbaab但是当时Simpson因此求积公式的代数精度m=3第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式3(1)1,-()(),()21 2nhbahhQffafbRff 梯 形 求 积 公 式 牛顿-柯特斯(Newton-cotes)求积公式5( 4 )(2)2,(-) / 2()4()( ) ()3290nhbahabhQffaffb

13、Rff Simpson求 积 公 式 5( 4 )(3)3,(-) / 333()3()3()() ()88 0nhbahhQffafahfbhfbRff 牛 顿 求 积 公 式 7( 6 )( 4 )4 ,(-) / 427()3 2()1 2(2)3 2()7()4 58 ()9 4 5nhbahQffafahfahfbhfbhRff C o t e s 求 积 公 式 第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式,利用定积分对区间的区间可加性 将求积公式分别应用于每一个小区间上(0,1,., ) , kxkna

14、 b设是区间上满足011nnaxxxxb1,n 的个点由于()( )baI ff x dx-1-1(47),(48),(49),( )kkkkxxxxf x dx可将应用于任何一个子区间上的积分n ,当 逐渐增大时,区间长度越来越小,则每个小区间上的求积公式误差很小,且总的积分的误差也将减小 此方法称为复化求积分法-11( )kknxxkf x dx第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式kx取节点 按等距分布,-b ahn令,0,1,2,.,kxakh kn11 ( )2()( )2nnkkhTf af xf

15、b复化梯形公式11111 ( )2()4()( )62nnkknkkkxxhSf af xff b复化Simpson公式1011013 7 ( )32()()9044 +12()14()7 ( )2nnkkknnkkkkhhhSf af xf xhf xf xf b复化Cotes公式第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式定理4.4(2)( ) , fxa b设在上连续,则复化梯形求积公式的误差是2-( ),12Tb aEh fab:证明-1,kkxx在每个子区间上,梯形求积公式的误差是31-(),1,2,.,1

16、2kkkkkhrfxx kn因此,复化梯形求积公式的误差为311-()12nnTkkkkhErf( ) , fxa b因在上连续,由连续函数的介值定理( , )a b,存在1()( )nkkff1使 n3( )12ThEnf 因此 2( ) 12bah fab 证毕第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式定理4.5(4)( ) , fxa b设在上连续,则复化Simpson求积公式的误差是4(4)-( ),2880Sb aEh fab定理4.6(6)( ) , fxa b设在上连续,则复化Cotes求积公式的误差

17、是6(6)-( ),1935360Cb aEh fab0,() 2,4,6,2,4,6khSimpsonCotesO hk 当时 梯形公式公式公式的余项分别以的速度趋向于零 因此 分别称其为 阶阶阶方法第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式10 xe dx例4.2 计算积分h梯形公式Simpson公式Cotes公式0.51.7539251.718850.251.72722191.71831881.74085480.1251.72051861.71828411.71828180.06251.71884111.71

18、828201.71828180.031251.71842161.71828181.7182818第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式410若( )01max( )2.71828.kKxMfxe ,则由于 由梯形公式的误差公式有2-( )12Tb aEh f2112kh M4102,2 100.02h因此0.0313h同理,对Simpson公式,可得, h对指定的误差界如何选取能够使复化积分公式达到计算精度?第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-

19、Cotes公式公式由于被积函数的导数的界很难估计 ,因此可在计算过程中自动选取步长,使之精度达到要求在复化梯形公式中,有2-( )-( ) , 12nb aI fTh fa bn将区间作 等分22-( )-( ) , 2122nb aI fTfa bnh区间加密后,有 将区间作等分( ) , fxa b假定在区间上变化不大( )( )ff,即21( )-( )-4nnI fTI fT 第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式221( )-3nnnI fTTT因此 221( )-3nnnI fTTT 22-,( )

20、nnnTTI fT即 当 有221,- ,nnnnnhb aTTTT (1)先取计算 (2)缩小步长一半,计算 (3)计算误差,如果满足要求- ,则停止, 否则计算步骤转(2)第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式2nnTT可以利用 计算-11211/2( )2()()( )22nnkknkkkxxhTf af xff b=-11( )2()( )4nkkhf af xf b=11()22nkkkxxhf111()222nkknkxxhTf=221( )-4 1nnnI fTTT 由及上式构成一个自动选步长的梯

21、形积分算法,0,1,2,., ,()/knkxTxakh kn hban设 为 的节点第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式类似于梯形公式,可以得到自动选步长的Simpson公式4(4)( )2880nbaISh f=-4(4)2( )2880 2nbahISf=-(4)2( ) , , nnfxa bISIS2假定在上变化不大时 可得4222141nnnISSS因此,(),自动选步长的Cotes公式,自动选步长的Simpson公式223141nnnICCC同理,()第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.

22、1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式011( )()()(), ()(),0,1,.,nkkkjjmmQ fA f xmI xQ xI xQ xjm 求积公式具有 次代数精度的充分必要条件是命题4.7证明充分性( )mmpx对任意不超过 次的多项式,总可以表示为20120( )mmjmmjjpxaa xa xa xa x ( )mI px因此0mbjjaja xdx0mbjjajax dx 0()mjjja I x0()mjjja Q x00mnjjkkjkaA x00nmjkjkkjAa x0()nkmkkA px( )mQ px第第4章章 数值微积

23、分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式( )Q fm 所以,求积公式有至少 次代数精度.11()()mmI xQ x又因为,m由代数精度的定义知,公式的代数精度为必要性(0,1,.,),jxjmm 由于均为不超过 次的多项式11()()mmI xQ x如果 则由充分性知1m,其代数精度至少应为次.,与定义矛盾.证毕第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式 (广义Pean定理4.8o定理)( )( )-( ) ( ) , ,( ), ( ) ( )E

24、fI fQ fE fa bQ fmE f xE R x 设由 定义的误差是区间上的连续函数 近似式具的 次代数精度 则 01201012( ),., ( ) ( )( -)( -)( -),., , 1mmmR xf x x xxxxxx xx xx xx x xxa bm其中 而是上的个任意点第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式11, , ( )( 1)(0)(1)(0)A B C Df x dxAfBfCfDf例4.1 求以下数值积分公式求积系数使公式具有尽可能高的代数精度 并求其误差-1,0,1x 解:

25、在点处构造差商表1( 1)0(0)0(0)1(1)ffff(0)( 1)(1)(0)0)fffff(0)(0)( 1)(1)(0)(0)ffffff1(1)2(0)( 1)2fff第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式32( )(-1)(0)-(-1) (1)(0)-(0)(-1) (1)1(1)-2(0)-(-1) (1)2p xfffxfffxxfffxx可得插值多项式 11( )( )I ff x dx( )Q f131( )p x dx1112321111431111(-1)(0)-(-1) ()(0)-(0)(-1) ()232111(1)-2(0)-(-1) ()243fxffxxfffxxfffxx 212 (-1)2(0)-(-1)(0)-(0)(-1)(1)-2(0)-(-1)33fffffffff141(-1)(0)(1)333fff第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 内插求积内插求积 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式141 ,0333ABCD因此,有111( ) ( 1)4 (0)(1)3f x dxfff11( )(