第四章控制系统根轨迹绘制

1、5/10/20221第四节 控制系统根轨迹分析5/10/20222 前面学习了根轨迹的基本概念和绘制基本准则（性质），这里将手工绘制控制系统根轨迹的步骤罗列如下： 标注开环极点“ ”和零点 “ ”； 画出n-m条渐进线。其与实轴的交点和倾角分别为：.3, 2, 1, 0,) 12(;kmnkmnzpij 确定实轴上的根迹区间； 计算极点处的出射角和零点处入射角：）（）（矢量幅角从各个零点到该极点的矢量幅角从其他极点到该极点的出射角) 12( k）（）（矢量幅角从其他零点到该零点的矢量幅角从各个极点到该零点的入射角) 12( k5/10/20223 计算根轨迹和虚轴的交点； 计算会合点和分离点：

2、0求解(s)N(s)D-(s)D(s)由N注意： 后两步可能不存在； 在判断大致形状时，需知道根轨迹的支数、连续性和对称性。5/10/20224闭环零、极点的分布与系统的阶跃响应的关系u要求系统稳定，则系统的全部闭环极点均应为于S平面左半部；u要求系统快速性好，则闭环极点均应远离虚轴，以便阶跃响应中的每个分量都衰减的快；u由二阶系统的分析可知，共轭复数极点位于 45线上时，其对应的阻尼比 为最佳阻尼比，这是系统的平稳性与快速性都比较理想。超过45线，则阻尼比减小，振荡加剧；u离虚轴最近的闭环极点对系统动态过程的性能影响最大，起着决定性的主导作用，故称它为主导极点。通常，若主导极点离虚轴的距离比

3、其他极点离虚轴距离的五分之一还小，而且附近又没有闭环零点存在，则其他极点便可忽略；707. 02245cos5/10/20225u闭环零点的存在，可以削弱或抵消其附近的闭环极点的作用。当某零点Zi与其极点Sj靠得很近时，它们便称为偶极子。它们靠得越近，则Zi对Sj得抵消作用就越强。这时由Sj所对应得暂态分量很小，可以忽略； 单位反馈系统的开环零点和闭环零点是相同的，在设计时可以有意识的在系统中加入适当的零点，以抵消对动态过程影响较大的不利极点，使系统的动态性能获得改善。v以上结论为我们利用根轨迹分析或设计系统提供了主要的依据。5/10/20226利用主导极点估算系统的性能指标 由于主导极点在动

4、态过程中起主要作用，因此，由于主导极点在动态过程中起主要作用，因此，计算性能指标时，在一定的条件下，就可以只考虑主计算性能指标时，在一定的条件下，就可以只考虑主导极点所对应的暂态分量，忽略其余的暂态分量。将导极点所对应的暂态分量，忽略其余的暂态分量。将高阶系统近似看作一阶或二阶系统，直接应用第三章高阶系统近似看作一阶或二阶系统，直接应用第三章中计算性能指标的公式和曲线。中计算性能指标的公式和曲线。5/10/20227例：已知某系统开环传递函数为例：已知某系统开环传递函数为其中其中H(s)=1,试用根轨迹分析系统的稳定性，并计算试用根轨迹分析系统的稳定性，并计算K0.525时的暂态性能指标。时的

5、暂态性能指标。解：解：作出根轨迹图：作出根轨迹图：) 15 . 0)(1()()(sssKsHsG)2)(1() 15 . 0)(1()()(sssksssKsHsG5/10/202285/10/20229根轨迹与虚轴的交点为根轨迹与虚轴的交点为 ，对应的，对应的kc6。 当当K=3时，系统处于临界稳定状态（等幅振荡）；时，系统处于临界稳定状态（等幅振荡）； 当当K3时，有两条根轨迹进入时，有两条根轨迹进入S右半平面，系统不稳定；右半平面，系统不稳定； 当当K3时，三个闭环极点全在时，三个闭环极点全在S平面左半部，系统稳定。平面左半部，系统稳定。 K0.525，即，即k1.05时，闭环的三个极

6、点为：时，闭环的三个极点为： S10.33j0.58 S20.33j0.58 S32.34 由于由于S3距虚轴的距离大于距虚轴的距离大于S1和和 S2实部离虚轴距离的七倍，所实部离虚轴距离的七倍，所以可以忽略以可以忽略S3的影响，将此三阶系统近似为二阶系统。的影响，将此三阶系统近似为二阶系统。 S1和和 S2称为主导极点。称为主导极点。22, 1js1 . 733. 034. 2)Re()Re(23ss5/10/202210)(12667. 05 . 044%3 .16667. 0)58. 0()33. 0(5 . 060cos225 . 015 . 0122steensn调整时间：超调量：用

7、下的性能指标为：系统在单位阶跃信号作02. 0取5/10/202211 分析v当0K0.192（根轨迹的分离点对应的K值）时，闭环极点均为负实数，系统阶跃响应为非周期过程，且由于最靠近虚轴的实数闭环极点离开虚轴向左移动，所以系统的调整时间ts逐渐减小。v当0.192K 3时，闭环极点有一对实部为负的共轭复数。阶跃响应为衰减振荡过程。由于根轨迹移向虚轴，响应衰减渐慢。vK3时，闭环极点有一对在虚轴上，阶跃响应为等幅振荡过程。vK3时，两条根轨迹进入S平面右半部分，系统不稳定，阶跃响应为发散振荡。5/10/202212通过改造根轨迹改善系统的品质 系统根轨迹的形状、位置决定于系统的开环传递函数的系

8、统根轨迹的形状、位置决定于系统的开环传递函数的零、极点。因此，可通过增加开环的零、极点来改造根轨迹，零、极点。因此，可通过增加开环的零、极点来改造根轨迹，从而改善系统的品质。从而改善系统的品质。5/10/202213例：已知某系统开环传递函数为例：已知某系统开环传递函数为 若给此系统增设一个开环极点（若给此系统增设一个开环极点（p=-2），或增设一），或增设一个开环零点（个开环零点（z=-2）。试分别讨论对系统根轨迹和）。试分别讨论对系统根轨迹和系统动态性能的影响。系统动态性能的影响。解：附加极点后：解：附加极点后： 附加零点后：附加零点后：依据根轨迹的绘制规则，绘出根轨迹依据根轨迹的绘制规则

9、，绘出根轨迹 )2)(1()()(sssksHsG) 1()2()()(sssksHsG) 1()()(ssksHsG5/10/202214 j 0 j 0 j 0 原系统的根轨迹 附加极点后的根轨迹 附加零点后的根轨迹原系统的分离点： s=-0.5附加极点后的分离点： s=-0.422附加零点后的分离点： s1=-0.586， s2=-3.414附加极点使根轨迹的分离点和根都向附加极点使根轨迹的分离点和根都向右移右移，附加零点使分离，附加零点使分离点和根轨迹向点和根轨迹向左移左移。 5/10/202215 分析v原二阶系统，K从零变到无穷大时，系统总是稳定的；v附加一个开环极点后，K大到一定

10、程度时，有两条根轨迹进入S平面右半部，系统变为不稳定系统。同样的K值情况下，对应的阻尼比 值更小，也就是说系统的超调量变大，调整时间变长，振荡也更加剧。 结论结论：附加开环极点对系统动态性能不利；v附加一个开环零点后，K从零变化到无穷大时，所有的闭环极点都在S左半平面，系统总是稳定的。而且随着K的增大，闭环极点由两个负实数变为共轭复数，再变为两个负实数，相对稳定性比原系统更好。在相同K值的情况下，对应的阻尼比 值更大，系统的超调量变小，调整时间变短。 结论结论：附加开环零点对系统动态性能有利。5/10/202216总结:v开环零点对根轨迹的影响1、改变了根轨迹在实轴上的分布；2、改变了渐近线的

11、条数、倾角和分离点；3、若增加的开环零点和某个极点重合或距离很 近，构成开环偶极子，则两者相互抵消，因此，可加入一个零点来抵消有损于系统性能的极点；4、根轨迹曲线将向左移，有利于改善系统的动态性能。5/10/202217v开环极点对根轨迹的影响1、改变了根轨迹在实轴上的分布；2、改变了根轨迹的分支数；3、改变了渐近线的条数、倾角和分离点； 4、根轨迹曲线将向右移，不利于改善系统的动态性能。5/10/202218开环不稳定系统和条件稳定系统 系统开环传递函数的极点有一个或一个以上在S右半平面，系统开环是不稳定的。此类系统闭环后是否稳定，这要看闭环特征根的分布情况，根轨迹法可以解决这一问题。5/1

12、0/202219例：已知某系统开环传递函数为例：已知某系统开环传递函数为绘制系统的根轨迹，并讨论系统的稳定性。绘制系统的根轨迹，并讨论系统的稳定性。解：解： 开环有四个极点：开环有四个极点： P2位于位于S平面右半部，所以属于平面右半部，所以属于开环不稳定系统。开环不稳定系统。 按照绘制根轨迹图的一般规则，绘制出该系统的根轨迹：按照绘制根轨迹图的一般规则，绘制出该系统的根轨迹：)164)(1() 1()()(2sssssksHsG322104321j,p,pp,5/10/202220从根轨迹图可知：从根轨迹图可知：起始于开环极点起始于开环极点P1（0）、）、P2（1）的两条根轨迹分支）的两条根

13、轨迹分支的大部分轨迹位于的大部分轨迹位于S平面的右平面的右半部，只有当半部，只有当23.3k35.7时，时，其根轨迹才在左其根轨迹才在左S平面内。因平面内。因此该系统稳定工作的条件是此该系统稳定工作的条件是23.3k35.7，而当，而当k35.7时，系统都是不稳定的。时，系统都是不稳定的。具有这种性质的系统称为具有这种性质的系统称为条件条件稳定系统稳定系统。5/10/202221参数根轨迹 定义：前面所讲到的绘制根轨迹一般以开环增益K作为参变量。其实，绘制根轨迹时，可变参数可以是控制系统开环传递函数的任意参数（如某一待定系数或校正元件的时间常数等）。为了与以开环增益K作为可变参数的根轨迹相区别

14、，我们称非开环增益系数为可变参数绘制的根轨迹为参数根轨迹。5/10/202222 绘制参数根轨迹的规则与绘制一般根轨迹的规则完全相同。只是在绘制参数根轨迹之前，需将控制系统的特征方程进行等效变换，写成符合于以非开环增义系数的待定参数k为可变参数时的标准形式，即： 0)()(1)()(sHsGsMksN)(),(必须满足方程：是可变参数，而且它们的多项式；都是复变量其中kssNsM1)()(sNsMk5/10/202223参数根轨迹和一般根轨迹一样，只能确定控制系统闭环极点的分布。例：已知某系统开环传递函数为已知某系统开环传递函数为) 1)(1()()(TsssksHsG迹。为可变参数的参数根轨试绘制以待定参数（时间常数）为待定。已确定，