第五章平面波函数ppt课件

1、第五章 平面波函数5.1平板介质波导 5.1.1标量波函数 标量波函数是矢量波函数的根底 ，矢量动摇方程的直 角分量满足标量动摇方程。 在引见平板介质波导之前，先简单引见标量波函数。 在直角坐标系中，动摇方程为： 5.1.1 用分别变量法解上述方程。令 代入式5.1.1得到： 5.1.2上式中的各项相互独立，分解为： 5.1.3其中 为分别常数，它们满足： 5.1.4 式5.1.3中的三个公式方式一样，称为调和方程式，它们的解称为调和函数，用 , , 表示，它们是线性的。 5.15上式为根本波函数。根本波函数加权求和或求积分后，仍是动摇方程的解。对于有界问题， 等取离散值，有 5.1.6对于有

2、界问题， 等取延续值，有 5.1.7()xh k x()yh k x()zh k x = (x) (x) (x)xyzh kh kh k =(,)h(x)h(x)h(x)xyxyxyzkkB k kkkk,xyk k,xyk k =f(,)h(x)h(x)h(x)ddxyxyxyzxykkkkkkkkk 我们详细地讨论一下平面波函数的动摇特性： 对于 ：当 为正实数时，代表沿x方向的无衰减行波；当 为实部大于零的复数时，代表沿x方向的衰减行波。对于 ：当 为正实数时，代表沿x方向的无衰减行波；当 为实部大于零的复数时，代表沿x方向的衰减行波。当 为纯虚数时，上述两波变为凋落场急速衰减。x-jk

3、xh(k ) = exjkxh(k ) = exkxkxkxkxk对于 ： 当 为实数时代表纯驻波；当 为复数时代表部分驻波。 分别称为沿x,y,z方向的波数,用一个矢量表示为 (5.1.8)于是根本波函数 5.1.9 xkxxxh(k ) = cosk x,sink xxk-y-x-z =yxzjkjkjkeeexk =exkyeykz+ezk,xyzkkk 可写成 5.1.10 电磁场矢量满足矢量动摇方程，其直角分量满足标量动摇方程，可以由矢量平面波对波数的迭加得到。这一思绪不仅适用于平面波函数，也适用于其它坐标系中的波函数；不仅适用于各向同性媒质，而且适用于各向异性媒质。5.1.2平板介

4、质波导对于各向同性介质的平板介质波导，如以下图所示： 图 5.1.1 平板介质波导 波导构造以z轴对称,其中 表示介质的厚度,.上半平面在x=/2处,下半平面在x = -/2处。 和 分别为自在空间及介质的介电常数和磁导率。a,dd00 ,假设把问题放在二维里思索，且设在y方向波函数无变化，即： 0。波沿z方向传播，用 表示波沿z方向的变化。对于TM波，我们取，得到场的分量表达式如下： 5.1011详细可参考横磁波与横电波的推导公式yz-jk ze其中： 。特别地， 0，我们有， 5.1.12 这里只给出TM模的求解过程，TE模的求解与之类似。另外由于平板介质波导关于x轴对称，那么得到的TM模

5、的解是关于x轴的奇函数或偶函数。令 代表x的奇函数， 代表x的偶函数，那么 ym22zmm-E =1E =(k -)jH = -zxzykxkxe在介质内的TM模的解方式为 5.1.13在空气中的TM模的解方式为 5.1.14这里A、B、u、v为常数，这时波在介质中是无衰减传播的。u和v不为实数时的情况将在第三节讲述。选择 和 ，使公式更简约些。从上面的公式可以得到分别参数方程为 -jzod= Asinux, 2zkaex-jz-z= B, 2= -B, -2zzkovxajkovxaae exae ex0kjvdku 5.1.15把上面的分别参数方程代入公式5.1.12就得到方程 2222d

6、dd2222000u += k= -v +k= zzkk2-zsin 2zvxkaeex-2 -z0-BE =v j2zjk zvxae ex-2z0BE =v -j2zjk zvxae ex根据 和 在 处需满足的条件，也就是电场和磁场在边境处延续，即在边境处电场和磁场分别相等。由此得到下面的方程：把上面的两个方程左右两边分别相除得到： 5.1.16 zEyH2xa 22-va/2d0Aua-Bu sin=v2e-va/2uaAu cos= -Bv2ed0uauavatan=222 这个公式和前面的色散关系式5.1.15是决议TM模的截止频率和 的特征方程。 同样对于x的偶函数的TM模，我们

7、选择 5.1.17 它的分量参数公式依然是公式5.1.15。而它的场量也由公式5.1.12给出。根据 和 在 处的延续性条件，我们得到： 5.1.18该公式就是决议偶TM模的截止频率和 的特征方程。zk-ed-v-ea= Acosux 2= B 2zzjk zxjk zaexaeexzEyHd0uauava-cot=2222xa zk平板介质波导的截止频率和截止波长与金属波导有一些不同，当频率高于截止频率时，介质波导传输波是无衰减的，这时 是实数。低于截止频率时，就产生衰减，这时 = 。波在传输时有衰减，就必需计算能量的减少。由于介质波导是无损耗传输波的，那么衰减就只能是波在传输过程中向周围辐

8、射引起的。也就是说介质波导可以用作天线要求传输波的频率低于截止频率。 无衰减模的 必需界于介质的相位常数 和空气的常数 之间，即： 00tt 但是，当 时，表示波在沿着x方向传播时，能量不是衰减，而是指数递增的；同理 ，当 时表示波在沿z方向传播时，能量是指数递增的。 这种波我们称之为“非正规模；而传输过程中能量衰减的波我们称之为“正规模。 “非正规模在通常情况下，是不存在的，但在特殊的区域是可以存在的。0t0v5.3.2 走漏模 v v 对于走漏模，又可以称为走漏波。它的参数: v ， ， ， 5.3.10v 根据前面的分析，我们知道走漏模是向x方向和z方向传播的。或者说它的传播方向可以分解

9、为x和z两个方向。v 由于 ，波在向z方向传播时是衰减的；v ，波在向x方向传播时，能量是以指数的v 方式递增的。v v 我们用以下图来表示走漏波的传输过程，它的能量就像从一个外表走漏出来一样，所以被称为走漏模。 0r0rp 0 00ta图 5.3.2 走漏波走漏模是“非正规模，它只能存在于一部分空间内。典型的例子就是，沿着波导传输的波，在波导狭缝处向外辐射，能量经过狭缝辐射出去。所以在z方向上能量衰减，但是在x方向能量却是添加的。 图 5.3.3 走漏模波导 经过上图我们来进一步讨论走漏模的存在区域。 走漏模是非正规模，它只能在部分区间存在，而不能存在于一切的空间。 上图中的波导构造为例：

10、由于波在x方向能量以指数递增，在z方向能量以指数递增，在上图中的无漏波区域，波的能量无限增大。从能量的角度来说，这种情况是不能够的存在的，由于它不能满足无穷远处的边境条件。否那么的话在无漏波区域，波的能量将无限地添加。 而在有漏波区域，由于波在x方向能量以指数递增，在z方向能量以指数递减。两种趋势处于平衡，波的能量不能无限地添加，走漏模就能存在。 总之，漏波能且仅能存在于上述扇形区域。 总的来说，在实平面内，解色散方程所得到的解，就是我们前面所讨论的各种导模。即波导中均匀平面波构成了导模，它们的参数均为实数，属正规模。它是波导中传输能量的主要方式。 走漏模是在复平面内解色散方程所得到的一种结果

11、。波导中的非均匀平面波构成了走漏模。走漏模参数为复数，且符合前面讨论过的规定，属于非正规模，是波导中能量损耗的一种方式。 q5.4谱域伽略金法q5.4.1微带线简介 q 我们曾在传输线实际3.3.3中引见过微带线的相关知识，如今我们分析微带线的色散特性。这就需求从麦克斯韦方程出发，结合边境条件进展求解。q 在频率不太高的情况下，微带线中的场纵向分量小，可以将微带线纵向的场当作准TEM模来分析，而忽略其中的高次模和色散特性。 q 频率较高时，微带线中的纵向电场和磁场的混合模不能忽略，在微带线中沿Z方向传输的波有 和 分量，这时整个电磁场可以由两个标量位函数导出。zEzH5.4谱域伽略金法5.4.

12、1微带线简介 下面我们经过用谱域的迦略金法解微带线来讨论微带线的介电常数与频率之间的关系。 以下图是一个屏蔽微带线的横截面图， 其中： 1区是介质基片， 介电常数是 ， 介质基片的上面是自在空间， 其他所需参数都标注在图中。 r图 5.4.1 屏蔽微带线表示图 按照公式5.1.11和5.1.23，对于TM模，引入一 个标量位函数 ，对于TE模，引入另一个标量位函数 ，它们满足亥姆霍茨方程： 5.4.1 其中： me222200mmeekk k 通常情况下，对于沿着z方向传输的导行波， 可以写成如下的方式： 5.4.2 也满足亥姆霍茨方程： 5.4.3 ,mezzkk( , , )( , )(

13、, , )( , )jzmmTjzeeTx y zx y ex y zx y e ( , ),( , )mTeTx yx y2222( , )( , )0( , )( , )0mTcmTeTceTx ykx yx ykx y 222zkckk用 表示 ，得到微带线中混和模的场分量如下： 5.4.4 其中下标 表示空气中的场， 表示介质中的场。,mTeT( , ),( , )mTeTx yx yzz222cizzz222cizkkkkkkkkkkeTimTixieTimTiyizieTieTieTimTixieTimTiyizimTimTiEjjxyEjjyxEHjjyxHjjxyH 1i 2i

14、 v5.4.2伽略金法 v v首先我们把混合模中的两个标量位 和 在x方向进展傅里叶变换，得到下面的关系式：v v5.4.5v其中 是离散的傅里叶变换变量。v对于 的偶模或 的奇模， k为整数。对于 的奇模或 的偶模， 。 v menzEzH(21)/2nkazEzH/nka利用上面的傅里叶变换，可以得到亥姆霍茨方程的傅里叶变换为： 5.4.6其中： 2222zikkin对于微带线中的场分量，利用上面的傅里叶变换，得到下面的关系式： 5.4.7 求解亥姆霍茨方程的傅里叶变换方程，它的边境条件为：在屏蔽壳的上壁和下壁，电场都为0。所以亥姆霍茨方程的傅里叶变换方程在空气中和介质中的解为： 5.4.

15、8上面方程中 是未知的待定系数。 ,A B C D把微带线中介质与空气的交接面 上的边境条件转换成谱域，详细如下： 5.4.9上式中， 是 导带在x、z方向上未知面电流密度的傅里叶变换式。 yhyh把方程5.4.7和方程5.4.8带入方程5.4.9中，经化简得到含有 的代数方程。 (5.4.10)这一组方程包括未知系数 和未知的面电流密度 。 解该方程组得到用 表示 的方程组。, ,A B C D, ,A B C D, ,A B C D在微带线上还有一个边境条件：在导带上电流密度不等于零，但电场切向分量为零；在介质分界面上，电流密度为零，但电流切向分量不等于零，即： 5.4.11 这里 是未知

16、的函数。把上面的边境条件进展傅里叶变换，将用 表示 的方程组代入方程(5.4.10)中，并消去 ，得到下面的方程： 5.4.12 ( ), ( ), ( ), ( )g x h x u x v xA,B,C,DA,B,C,D 其中： 是表示 ， 之间关系的 系数矩阵。111221,22G ,G ,GG2212110122(sinh()cosh()sinh()znkhhGjh 2222222200120022122201220222cosh()cosh()sinh()()sinh()zzzn kn khhGjhjkkh 22221222101022()cosh()sinh()zzkkkkhGjj

17、h 2212220122(sinh()cosh()sinh()znkhhGjh 下面运用伽略金法将 展开成 基函数的级数， 5.4.13 上式中， 是未知的常数。基函数的选择必需使得它 们的逆变换在|x|w范围内解为0。 把上面的级数带入方程5.4.12中，并对不同的基函数 取内积。 xmzmJ(n),J(n)mmc ,d 由于 的逆变换在w|x|a的范围内为0，在|x|w内有值； 而 的逆变换在w|x|a的范围内有值，在|x|)222xwsin , ( x)ww2J (x) =w0( x )2那么上述电流的傅里叶变换为： 5.4.20 将高次模的 ，带入方程5.4.18中，解得 ，再它们把带入方程5.4.17，得到含未知系数 的齐次线性代数方程。 x132z122nwnwnw2sin()2sin() 21-cos()3nw222J (x)= + cos()-+nwnwnwnw2()()2222nw2sin()2J (n)= nw() -2x1z1J ,J11122122imzimzimzimzK (k ),K (k ),K (k ),K (k )mmc ,d方程有非零解解的条件是系数矩阵的