均值不等式教学设计

1、学习必备欢迎下载课题：基本不等式祸兰葺科目：数学教学对象：高一学生课时：1课时单位：大同四中提供者：李文毅一、教学内容分析本节课基本不等式是数学必修五（人教 A版）第三章第四节的内容，主要内容是通过现实问题进行数学实验猜想，构造数学模型，得到均值不等式；并通过在学 习算术平均数与几何平均数的定义基础上，理解均值不等式的几何解释；与此同时在推 导论证的基础上进行公式的推广并学会应用.均值不等式是这一章的核心，对于不等式的 证明及利用均值不等式求最值等应用问题都起到了工具性作用。有利于学生对后面不等 式的证明及前面函数的一些最值、值域进一步拓展与研究，起到承前启后的作用、教学目标1、知识与技能：通

2、过“从生活中发现问题，实验中分析问题，设计中解决问题、总结问 题，论证后延拓问题”五个环节使学生深刻理解均值不等式，明确均值不等式的使用条 件，能用均值不等式解决简单的最值问题.2、过程与方法：通过情境设置提出问题、揭示课题，培养学生主动探究新知的习惯；引 导学生通过问题设计，模型转化，类比猜想实现定理的发现，体验知识与规律的形成过 程；通过模型对比，多个角度、多种方法求解，拓宽学生的思路，优化学生的思维方式, 提高学生综合创新与创造能力.3、情感态度与价值观：通过问题的设置与解决使学生理解生活问题数学化，并注重运用 数学解决生活中的实际问题，有利于数学生活化、大众化；同时通过学生自身的探索研

3、 究领略获取新知的喜悦.三、学习者特征分析 1、从学生知识层面看：学生对不等式的概念和性质有了感性的认识，在探究学习和应用 实习的过程中，会解决最简单的关于不等式的问题 .2、从学生素质层面看：我所教的两个班都是文科平行班，大部分学生数学基础较差；学 生的理解能力，运算能力，思维能力等方面参差不齐；但学生有学好数学的自信心，有 一定的学习积极性。四、教学策略选择与设计本节课主要采用启发引导式的教学策略.通过设计问题引出课题，通过启发引导解决 问题、总结问题、论证问题、延拓问题等环节让学生领悟科学的探究方法，增强学生的探究能力.在教学中指导学生展开联想，大胆探索，以训练和培养学生的思维能力五、教

4、学重点及难点重点：用均值不等式求解最值问题的思路和基本方法。难点：均值不等式的使用条件，合理地应用均值不等式.六、教学过程教师活动学生活动设计意图一、情景激疑如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家 赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去 象一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关 系吗？将图中的“风车”抽象成如图，八、1通过引导，让学 生主动地解决定理 的证明，并形成猜想 证明的严谨思维。2、通过提问进一步 加深对基本不等式 的理解，明确不等式 成立的条件教师发下讲义让学生思考.并提出问题：在正方形ABCD中有4个全等的直角三角

5、形.设直 角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形的边长为 .这样，4个直角三 角形的面积的和是 ，正方形的面积为 .由于4个直角三角形 的面积正方形的面积，我们就得到了一个不等式：2 2a +b >2ab.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有二、引入概念结论：一般的，如果a,b亡R，我们有 a2 +b2 >2ab，当且仅当a =b时，等号成立.特别的，如果a aO，b aO，我们用ja、 品分另M弋替a、b，可得a+ b >2 JOb， 通常我们把上式写作：学生分组讨论，合作交流，小 组汇报，其它小组给展示的小组 查缺补漏以便使所有

6、的学生都 能形成一个完备的知识体系小组讨论，提出多种 解决方法.让学生拓宽思路，培养团结协 作的习惯.语言叙述：两个正实数的算术平均值不 小于它的几何平均值.教师设问：如何证明呢?三、深化理解ABC在图中， 是圆的直径，点 是AB上的一点，AC=a BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE 连接 AD BD.教师提问：问题一：图中CO，CD的长度 是多少；问题二：CO与CD的大小关系 如何？问题三、等号何时成立（让学生分组讨论，然后提问）通过展示均值不 等式的几何直观解 释，培养学生的数形 的意识，并使抽象的 问题更加直观、形 象，使学生的理解一 进步加深结论：基本不等式 婶空几何意义是2“半径不

7、小于半弦” 评述：2L （a+ b+a + b >2jab,ab < I | ,a,b忘 RI 2丿变形.让学生对定理形式进行使学生能更灵活的应用公式1. 如果把看作是正数a、b的等差中2项， 阿看作是正数a、b的等比中项，那 么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项 不小于它们的等比中项.2. 在数学中，我们称 n 为a、b的算术平2均数，称6为a、b的几何平均数.本节定 理还可叙述为：两个正数的算术平均数不 小于它们的几何平均数.四、变形应用五、定理巩固练习：下列结论中，错用均值不等式作 依据的是:+xyA X, y 亡 R ,则一>2CyxB a 为正数，则（1+afa+

8、l4V a丿10C igx+iogx 32（x>i）E sinx+最小值为4.sin x提问学生，并让学生指出错 误，最后让学生总结三条， 二定、三相等，并板书.让学生注意定一正、理的应用条件，培养 严谨的数学思维.六、变形应用问题一:求函数尹二 x+-(x > 0)的最小值.逐步引导学生进行变式,学生正确理解均值定理应用的条件“正、定、等”，掌握均值定理的正用变式求函数y 二 x+-(x <0)的最大值.变式是一种探索问题的方法及拓展应用.通过变式使学生对试题进变式求函数y = x+-(x> 2)J的最小值.行深层的探索,激发变式3:求函数=+ X( X > 0)的最小 x入兴趣，培养能力进一步体会均值不问题二：求函数尸 x(l-x)(Rx <1)的最等式应用的“定”的条件，逐步学会均值大值.变式4：求函数严x(l-2x)(Q <x <1)的最大值.变式5：求函数y=k|Ji-J的最大值.问1 9X > 0/ > 0,+ = 1题三：已知y ，求函数七、课堂总结1、理解均值不等式引出及证明过程在问题三中引导学生一题多解2、均值不等式的使用条件让同学总结，其他同学补充3、会识别并应用均值不等式4