量子力学习题汇集

1、第一章习题1 .证实以下算符等式ia,bc.i-,bia,c11a,BCI-BA,CIlA,BCiab,ci-aib,cIAcBIa,B,c.iiB,C,AUC,Ia,b.i,I-02 .设粒子波函数为中x,y,z,求在x,x+dx范围内找到粒子的几率.3 .在球坐标中,粒子波函数为中r,39,试求：1在球壳r,r+dr中找到粒子的几率；2在3,邛方向的立体角dG中找到粒子的几率.4.力学量F的本征方程为F求在状态波函数'=G1-c22-C33下测力学量F的可能值,相应的几率及平均值假设波函数中已归一或不归一的情况.第二章习题1 .一粒子在二维势场V(x,y)=«0,0:二x

2、:二a,0二y:二b其它中运动,求粒子的能级和波函数.能级是否简并?2 .由哈密顿算符-22m222222h='.一1x二.汴2y汴3z2m2所描述的体系,称各向异性谐振子.求其本征态和本征值.3.利用递推关系证实2dx25n(、-(2尸n、(n1)(n2尸n.2并由此证实在味态下第四章习题1 ,证实空=A(cosS+isin3cos中)为L2和Ly的共同本征态,并求相应的本征值.说明当体系处在此状态时,Lz没有确定值.L2,2 .对于一转动惯量为I的平面转子,其能量算符为H=乜,求体系的能量本I征态.如巴Q0)=As",求中(Qt).3 .量子化对称陀螺的哈密顿量可写成H=

3、JLXE12试求该对称陀螺的能量本征值.4 .一质量为m的粒子被限制在半径为r=a和r=b的二个不可穿透同心球面之间运动,不存在其它势.求粒子的基态能量和归一化本征函数.第五章习题j为一角动量算符.试计算Jx、Jy、Jz在J2,Jz的共同本征函数构成的一.1表象中,j=1的子空间的矩阵表小.2体系的哈密顿量H与另一力学量B在能量表象中的表小为012时体系的态矢量为(D(2)求在t=0及任何时刻体系能量的可能值及几率,t时刻的态矢中(t).和体系的平均能量.(3)求该体系力学量B的可能值及几率和B的平均值.(4)t=0时体系在B表象中的态矢甲'(0).第六章习题1.设氢原子状态是1cR2

4、irYi3W22近-7-%丫温白叼【2J1求Lz和Sz的平均值；2求总磁矩M=-&L-2S的分量的平均值用玻尔磁子表示.2cc2 .在&表象下求解Sx的本征值方程.在Sx的本征矢测量Sz有哪些可能值这些可能值出现的几率及平均值.并求此状态在Sx表象中的表示.3 .和S为电子的轨道角动量和自旋角动量,证实L,L'S】#0,S,LS】00如果定义总角动量j-=L+s证实J,LS=04 .设A、B是与w对易的任意矢量算符,证实二A二B=ABi.AB第七章习题1. 某物理体系由两个自旋1的非全同粒子组成.粒子1处于Sz=1的本22征态,粒子2处于S2x=2的本征态,求体系总自旋

5、S2的可能测量值及相应的概率取方=1.2. 一个处于中央势的粒子具有轨道角动量L=2方和自旋S=1日.求和形如Hso=A.S的自旋一轨道相互作用项相关的能级和简并度,这里A是个常数.1一3 .两个自旋一的粒子组成的系统由等效Hamilton重2H=AS1zS2zBS1s描述,其中6、S2是两个粒子的自旋,Sz、S2z是它们的z分量,A和B为常数.求该Hamilton量的所有能级.4 .两个无相互作用的粒子,质量相同为m,处于一维无限深势阱中,势阱宽为2a,在阱中势为零,阱外势无穷大.1求系统四个最低能级的值是多少2求这些能级的简并度,如果这两个粒子i是全同粒子,自旋为工；五不是全同粒子,自旋都

6、为工；iii全同粒子,自旋为1.225.固定在z轴上的两个电子间存在一个磁偶极一偶极相互作用能H=ASS2-3&zS2z1Si=仃i,%为Pauli矩阵,A为常数令人=1.2用总自旋算子S+S2表示H/A.2求H/A的本征值和简并度.6.某个特殊的一维势阱具有以下束缚态单粒子能量本征函数：中a(x),中b(x),久(x),其中Ea<Eb<Ec.两个没有相互作用的粒子置于该势阱中.对下列(1),(2),(3)各种情形写下：两粒子体系可能到达的两个最低能级；上述两个能级各自的简并度；与上述能级相应的所有可能的两粒子波函数(用中表示空间局部,S,Ms)表示自旋局部,S是总自旋).

7、(1)两个自旋为1/2的可区分粒子.(2)两个自旋为1/2的全同粒子.(3)两个自旋为0的全同粒子.第八章习题1. 设一粒子作简谐振动,其哈密顿量Hou2+mt/x2,受微扰作用H'=cx22m2(c«m«2)0试用微扰论求能级移动,并与精确结果比拟.2 .一个二维各向同性谐振子,质量为m,频率为与.在参加微扰H'=Kxy(九为常数)后,求基态和第一激发态的一级能量修正.3 .设哈密顿量在能量表象中的矩阵表示为其中a、b为实数.求(1) 用微扰公式求能量至二级修正值.(2) 直接求能量,并与(1)所得结果比拟总复习题1 .试简述一力学量为守衡量的条件及守衡量

8、有哪些性质2 .某一角动量算符满足JJ=iJ如果定义：J+=Jx+iJy,J-=Jx-iJy试证实：(1)Jz,J_=J二；(2)J2,J=03 .一厄密算符在正交归一基矢|uj,山,口?张成的三维空间中取如下矩阵形式101)020<101>求其本征值和本征矢.4 .实际氯原子的基态当然是非简并的.但是,考虑一假想的氮原子,其中两个带负电的,自旋为1的全同粒子代替了原来的两个电子.对这种假想的氮原子,问其基态的简并度是多少给出你的理由(忽略与自旋有关的作用).5 .试写出一被束缚在半径为a的圆周上运动的粒子的能量本征方程,并求解之.?6 .对于坐标x构成算符ex(1)证实它是厄密算

9、符；(2)求出它在坐标、动量表象中的表小.势作用下的一维谐振子,它在某一瞬时的波函数为式中Wn(x)为其归一化的本征函数,相应的本征值为En(1)求这一时刻的能量平均值；(2)求这一时刻的位置平均值；(3)过了一秒钟后,能量平均值和位置平均值是否发生变化为什么?8 .有一三电子系统,电子有三种可能的轨道态中A,中B,九和两种自旋态7+,那么系统的反对称波函数的数目是多少并举出两个具体例子.9 .体系的哈密顿算符在某表象中的矩阵表示为.08、H=02名010%(1)求体系能量本征值及归一化本征矢；(2)求将H对角化的幺正变换矩阵.报10 .在Sz表象中,求在Sz的相应于本征值为+的本征态中,.的

10、可能值及相应2的几率.如果在s表象中求解上述问题,会得到什么结果11 .试证实守恒量的平均测量值不随时间变化12 .在轨道角动量算符L2和Lz的共同本征态Ym(SW)下,计算以下期望值：(1)Lx和Ly；(2)匕和(3)正和福.13 .自旋s=0的三个全同粒子处在某有心力场中,忽略粒子之间的相互作用.三个粒子所处单粒子定态的量子数nr和l均相同,且l=1.求体系的可能的状态数,并且用简练的形式(如Dirac符号)表示之.14 .设哈密顿量在能量(Ho)表象中的矩阵为Eb、lbEz+a,其中a、b为小量.(1)用微扰法求能级至二级修正值；(2)求准确的能级值,与(1)的结果进行比拟确定微扰法的准确度及适用条件.15 .考虑一个具有三维态空间的物理体系.在态空间选定一组