高中物理竞赛辅导讲义-微积分初步

1、-微积分初步一、微积分的根本概念1、极限极限指无限趋近于一个固定的数值两个常见的极限公式 *2、导数当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限叫做导数。导数含义，简单来说就是y随*变化的变化率。导数的几何意义是该点切线的斜率。3、原函数和导函数 对原函数上每点都求出导数，作为新函数的函数值，这个新的函数就是导函数。4、微分和积分由原函数求导函数：微分由导函数求原函数：积分微分和积分互为逆运算。例1、根据导函数的定义，推导以下函数的导函数1 2 3二、微分1、根本的求导公式1 23 *45 *67 89 10*11 *12*13 *142、函数四则运算的求导法则设u=u(*)，

2、v=v(*)123例2、求y=tan*的导数3、复合函数求导 对于函数y=f(*)，可以用复合函数的观点看成y=fg(*)，即y=f(u)，u=g(*)即：例3、求的导数例4、求的导数三、积分1、根本的不定积分公式 以下各式中C为积分常数1 23 *45 67 *8*9 *102、简单的定积分求法即牛顿莱布尼茨公式物理竞赛中最根本的微积分公式牛顿莱布尼茨公式：假设f(*)是F(*)在区间a, b上的导函数, 则 而根据导函数f(*)求原函数F(*)的过程，其实就是不定积分的过程。3、换元积分法(1)第一类换元积分凑微法例5、求* (2)第二类换元积分法技巧性较强，没有一定的通法，高中阶段很少用

3、到。*例6、物理例题：例7、地球的半径为R，质量为M。将质量为m的质点从地面移动到无穷远处，此过程中，万有引力做了多少功.例8、求半径为R，质量均匀的半圆形薄板的重心位置例9、求常见几何体的转动惯量。各物体质量均为m，杆长均为L，半径均为r(1)均匀杆绕中点转动(2)均匀杆绕一端转动(3)均匀圆盘绕中心转动*(4)均匀球绕中轴转动5.2附 微积分阅读材料*一、求极限的罗必塔法则 此时可以对分子分母同时求导后再求极限，从而防止出现未定式无法计算的情况。如果求导后仍然是未定式，可屡次利用罗必塔法则。如果始终是未定式，则此方法失效。例1：例2：*二、分部积分法理解、运用起来容易出错，高中阶段很少用到

4、。根据函数相乘的求导公式：移项可得： 两边取积分：*例3、求*例4、求利用分部积分法的步骤：(1)将被积函数分为两局部，一局部可以看做是原函数，即u，另一局部可以看做是导函数，即v。(2)右边第一项为两个原函数uv的乘积，第二项将原函数u变为导函数u，导函数v变为原函数v，相乘后再求积分。利用分部积分法的技巧：上述过程的难点在于对v求积分，以及对uv求积分。因此，要将被积函数拆成适当的两局部，使得这两个积分求解起来都比拟容易。三、简单的常微分方程别离变量法*例5：放射性元素衰变问题 设铀的衰变速度与未衰变的原子数目M成正比t=0时未衰变的铀的含量为M0，求M随时间变化的函数。解：变量为M和t，

5、别离变量得：两边分别求不定积分：根据初始状态求出积分常数C：带入后消去C可得：*例6：电容器充放电问题 电容为C的电容经过充电后，两端电压为U0。从t=0时刻开场串联上电阻R进展放电。求电压U随时间t的变化函数。解：联立上面两式可得：别离变量可得：两边分别求不定积分：根据初始状态求出积分常数C0：带入后消去C0可得：可以看到，RC的值与电容器放电的快慢有关，因此RC也叫做RC电路的时间常数。类似的，RL电路中，时间常数为L/R。此外，求解简谐运动和电磁振荡问题时也需要求解微分方程，不过采用的方法是试探解法。*四、泰勒展开将一个函数写成多项式的形式各项分别为零阶小量、一阶小量、二阶小量常用于近似处理和对小量的讨论。理解公式前两项的几何意义。公式最后一项表示剩下所有的项，相对于都是小量。常见函数在*0