第七章 瞬态电路的分析

1、 7.1 换路定则和初始值换路定则和初始值 7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 第七章第七章 瞬态电路的分析瞬态电路的分析7.5 求解一阶电路的三要素公式求解一阶电路的三要素公式 7.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 7.6 微分电路与积分电路微分电路与积分电路 7.7二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 7. 8 二阶电路的零状态响应二阶电路的零状态响应1.1.1.换路定则换路定则 当电路的结构和元件的参数发生变化时电路发生换路。在图711电路中，当开关在 0tt时刻闭合，电源 接入电路，电路发生了换路。这个电路的换路情

2、况也可用图712表示。在 SU之前没有电源 接入电路。 后 接入电路。 0tSU0ttSU1.1. 若电路在 时刻换路，换路前瞬间为 ，换路后瞬间为 ，电容电压和电感电流换路时保持不变即0t 00)0()0(ccuu(0 )(0 )LLii（7-1-1） 或者用电路的电荷和电感的磁链表示(0 )(0 )ccqq(0 )(0 )LL（7-1-2） 式711和式712称为换路定则。 1.1.换路定则表明电容电流为有限值时，电容上的电荷和电压在换路瞬间是连续的而不突变。电感电压为有限值时，电感中的磁链和电流在换路瞬间是连续的而不突变。)0()0(ccuu(0 )(0 )LLii1.1.2、电路的初始

3、值计算、电路的初始值计算 电路在 时刻发生换路，换路前储能元件电容电压 、电感电流 称为初始状态。0t (0 )Cu(0 )Li(0 )Li(0 )Cu(0 )Ri(0 )Lu和各阶导数的值如 dtdi)0(、 等，称为初始dtdu)0(值或初始条件。初始值通过换路前瞬间(0 )Cu(0 )Li、 值和换路定则来求得。初始状态初始状态换路后瞬间各电量值如 、 、 、初始值初始值1.1.2、电路的初始值计算、电路的初始值计算（1）先求出 (0 )Cu、 值。 (0 )Li（2）利用换路定则求出 、 的值， (0 )Li(0 )Cu(0 )(0 )llii(0 )(0 )ccuu， 。 （3）画出

4、 时刻的等效电路， 用电流源0t(0 )Li替代， 用电压源替代，求出待求的 (0 )Cu(0 )Li(0 )Cu、 、 、 等值。 (0 )Ri(0 )Lu1.1.例例711电路的初始值计算电路的初始值计算 电路如图713（a）所示,开关闭合之前电路已处于稳定状态，开关在 时刻闭合，求 、 和 。0t (0 )Cu(0 )i(0 )Ru1.1.例例711解：解： 0t 开关打开，电路处于稳定状态， (0 )0VCu时根据换路定则 0t(0 )(0 )0VCCuu0t时的等效电路如图713（b）所示 (0 )0Ai(0)SRuU1.1.例例712 电路如图（a）所示，电路处于稳态，当 时开关打

5、开，求开关打开瞬间 0t (0 )Ri(0 )Ci(0 )Li(0 )Lu(0 )Ldidt、 、 、 和 的值。 1.1.例例712 解：解： 0t 时开关闭合，电路已处于稳态，等效电路如图（b）所示，求 和(0 )Li(0 )cu15(0 )5V2 13Cu 55(0 )A2 13Li据换路定则5(0 )(0 )A3LLii5(0 )(0 )V3ccuu1.1.例例712当 时开关打开，等效电路如图（c）所示 0t5(0 )(0 )A3CLii (0 )(0 )(0 )0ARCLiii(0 )(0 )(0 ) 3(0 ) 1LCCLuuii 55( 5)5V33 0(0 )(0 )5A1S

6、5LLLtdidiudtdtL 1.1. 含有一个独立的动态元件的电路，描述这样电路的方程是一阶微分方程，该电路称为一阶电路。 含有一个电容元件或一个电感元件的电路都是一阶电路。 没有外加电源，由电容和电感元件储存的能量激励电路产生的响应称为零输入响应。1.1. 图示电路，已知电容在开关闭合前已储存有电荷，开关在 时刻闭合，电容电压 0t 0(0 )CuU，可以推测电路的工作过程。0(0 )(0 )CCuuU随后电容储存的电荷通过电阻放电。t 电容放电结束，此时 ( )0, ( )0,( )0CRuiu 换路时换路瞬间电容电压保持不变，1.1.当开关闭合后 0t，由KVL可得 ( )( )CR

7、utut( )( )( ), ( )cRdu tutRi t i tCdt 又 ，代入上式可得 ( )( )0CCdutRCutdt（721） 分析电容通过电阻的放电规律1.1.用经典法解微分方程，首先确定初始值0(0 )(0 )CCuuU齐次微分方程的通解( )stcu tAe（722） 将式（722）代入（721）可得0ststRCSAeAe得到特征方程 10RCS 1.1.将特征根 1SRC 代入式（722）得方程的通解( )tRCCutAe在用初始值确定待定系数A00(0 )CuAeU0AU0( )tRCCutU e( )(0 )tccu tUe或写成 （723） 1.1.其中 RC称

8、为电路的时间常数 电路中的电流0( )tcRCduUi tCedtR 或写成 ( )(0 )ti tie（724） 由式（723），（724）可归纳出求解 一阶电路零输入响应的公式 ( )(0 )ty tye1.1.为 后任一瞬时电路的响应； (0 )y0t为 时刻的响应值；( )y t0t 为一阶电路的时间常数。 ( )(0 )ty tye1.1. 从曲线的整个时序看出电路经历了三个工作状态， 电路处于原稳态 ； 0t 0(0 ), (0 )0ccuUi0t 电路进入瞬态（过度过程）， 00( ),( )ttCCUutU eiteR；当 时，电路达到新稳态 t ( )0, ( )0ccui

9、电路响应 ( )Cut和 的波形( )Cit 1.1. 在RL电路中，没有外部激励源作用只是由电感初始储能 引起的响应，称为RL电路的零输入响应。图（a)所示电路，开关打开之前电路处于稳定状态 时开关打开，等效电路如图 (b)所示，根据换路定则 (0 )Li0(0 ),0LiI t1.1.由KVL得代入上式得一阶齐次微分方程 又 0(0 )(0 )LLiiI( )( )RLutut( ), ( )LRLdiutiRutLdt ( )0LLdiRi tdtL特征方程0RSL1.1.特征根 RSL 微分方程齐次解 stLiAe0(0 )RLLiAeA0(0 )LAiI0( )RtLLi tI e(

10、 )(0 )tLLi tieLR 由初始条件确定A所以 或表示为 （7-2-1） 其中时间系数 1.1.式（7-2-1）符合一阶电路的零输入响应公式 ( )(0 )ty tye电感电压和电阻电压分别为 0( )( )tLLdi tutLRI edt 0( )( )tRLutRi tRI e( ),( ),( )LRLi t ut u t曲线如图所示。 1.1. 的瞬态曲线都以指数衰减规律变化。 ( ),( ),( )LRLi t utu t1.1. 在解微分方程时求出的特征根 1S S ，称为电路的固有频率或自然频率。 RC R的单位用欧姆，C的单位用法拉，的单位为秒。LGLR称为时间常数。

11、其中L单位用亨利，R单位用欧姆， 的单位为秒。在RL单路中，与 都是电路的固有参数，反映了电路的特性。在RC回路中1.1. 值的大小决定了指数函数 的衰减速度， te 越大，衰减越慢， 越小，衰减越快。图给出了三种不同时间常数下 的变化曲线。cu1.1. RC 越大说明 R或C越大。从物理概念上讲，如C一定，电阻R愈大，则放电电流的起始值就愈小，放电所需时间长，放电速度慢；如 ， R一定，则放电电流的起始值一定，C愈大，电容起始储存的电荷愈多，放电需要的时间就愈长。 t 从理论上讲当 时按指数规律变化的电量衰减到零，电路的放电结束，瞬态持续的时间是0，实际中取 5），电量已衰减到起 (4t 始

12、值的 1.8% 0.7%，认为放电完毕，瞬态结束。1.1. 零输入响应 0( )()ty ty te，当 时 ， t10( )0.368()yey t， 即当电量下降到初始值的 36.8%时，时间t对应的值是 ，如图726所示，如 果作t=0 时曲线的切线，切线与t 轴的交点在 t 处。所以可由电路响应曲线用作图方法求出时间常数 。1.1. 电路的初始状态为零由外加激励引起的响应称为零状态响应。1.1.在图中电容的初始储能为零 ，开关在t=0时闭合， 时 ，此刻(0 )0cu0t(0 )(0 )0ccuu电容相当于短路，随后电源给电容充电,分析 0t时的电路,列写KVL方程 SU( )CtuR

13、0t ( )CitCsRCuuu1.1.元件的约束关系 ( )( ), ( )cCRCdu titCuRitdt代入上式，得( )( )ccSdu tRCu tUdt整理后，得( )1( )cSCdu tUutdtRCRC（731） 1.1. 式（731）是非齐次一阶微分方程，方程的解包括非齐次方程的特解 和齐次方程的( )cput解 即( )chut( )( )( )cchcpu tutut齐次方程的解 ( )tRCchutAe方程的特解与激励同形式, cpuBB为常数 1.1.代入原方程，得 SBUcpSuU原方程（7-3-1）的通解( )( )( )cchcpu tututtRCSAeU

14、再用初始值确定待定系数A 0(0 )0cSuAeUSAU 方程的解 ( )tRCcSSu tU eU (1)tRCSUe（732） 1.1.回路电流 ( )( )(1)tCRCcSdutdi tCCUedtdttSRCUeR( )cu t( )ci t和 的曲线如图所示，在 时C充电， 0t 从0开始指数上升， ( )cu tt ( )cSuU 时， 达到稳态。 ( )ci tSUR从 开始指数下降， t 时 ( )0ci 。 1.1. 图示电路 , 时合上开关,电源接入电路,分析电路的过度过程如下.： (0 )0Li0t 当 时0t(0 )(0 )LLii1.1.( )( )LLSdi tL

15、Ri tUdt 时由KVL可列写出微分方程0t(733) 方程解 1( )( )LLtLpiitit (734) 齐次解 ( )RtLLhitAe （735） 1.1.特解 LPiB代入方程式（733），得 SUBRSLPUiR代入式（734）得 1( )( )LLtLpiititRtSLUAeR1.1.由初始条件可求得 SUAR ( )RtSSLLUUi teRR 原方程的解 (1)RtSLUeR（736） ( )( )RtcLLSdi tutLU edt1.1. 零状态的响应曲线如图所示， 和 ( )Li t( )Lut按指数规律变化。电流初始值 随着电源给电感充电 (0 )0Li( )L

16、i t指数上升，( )Lut指数下降，当 t 时，过度过程结束，电路达到新的稳态，电感等效成短路，( )SLUiR ( )0Lu ， 。 1.1. 由式（732）和（736）可以总结出，求解一阶电路零状态响应 和 的公式 ( )Cut( )Li t( )( )(1)ty tye( )y t为 后，任一瞬时电容电压 或电感电0t ( )Cut流( )Li t； ( )y t 为 时刻的电容电压 或电感电流( )Cut( )Li t的终值； 为一阶电路的时间常数。 1.1. 一阶电路换路后由外部激励和初始储能共同作用引起的响应， 称为一阶电路的全响应。 图示电路，电路初始储能 0(0 ), 0cu

17、Ut 时开关闭合，分析 0t的情况。初始值CuR0t SU0(0 )(0 )ccuuU列写电路的微分方程( )( )ccSdu tRCu tUdt（741）1.1. 解这个初始值不为零的非齐次微分方程，可得电路的全响应为齐次解+特解 即 ( )( )( )cchcpu tutut特解 ( )cputB代入式（741） SBUcpSuU齐次解 ( )tRCchutAe全解 ( )tRCcSu tAeU1.1. 代入初始条件确定A0(0 )cSuA UU0SAUU电路的全响应 0( )()tRCcSSu tUUeU（742） 响应曲线如图所示1.1. 0()tRCSUUeSU加激励同形式。全响应自

18、由响应强迫响应自由响应 0()tRCSUUe，当 时，该响应分量为零，所以也叫瞬态响应。当激励为直流或正弦周期信号时，与激励同形式的强迫响应叫稳定响应。因此 t 全响应瞬态响应稳态响应是强迫响应，是由外加激励引起的，与外是自由响应，描述电路的瞬态程；1.1.将全响应重新组合为0( )(1)ttRCRCcSu tU eUe（743） 其中 是电路的零输入响应， 0tRCU e(1)tRCSUe是零状态响应，响应曲线如图所示。全响应零输入响应零状态响应 所以1.1. 用电路图可描述如下：1.1. 例例741 图示电路，当 0t 时电路已处于稳态，0t 时 打开， 合上， 1K2K求 时 0t (

19、)Li t和 ， 并画出波形图。 ( )u t1.1. 解：解： 0t 1K2K时， 闭合 打开，电路已处于稳态 105(0 )A63Li时 打开 闭合 0t 1K2K5(0 )(0 )A31=S4LLiiLR电路的响应是全响应全响应=零输入响应+零状态响应1.1. 先求零输入响应 45( )(0 )A3ttLziLitiee再求零状态响应( )2ALi 4( )( )(1)2(1)AttLzsLitiee44451( )2(1)2A33tttLLziLzsi tiieee4( )44( )V3tLdi tu tLedt1.1. 恒定激励下求解一阶电路的三要素公式为( )( ) (0 )( )

20、ty tyyye (751)式中( )y t0t 是一阶电路后的任意时刻的任意响应； (0 )y是 的初始值，求法见72节；( )y t( )y 是 的终值，将电路中电容开路，电感短路算出的响应值； ( )y t1.1. 是时间常数， RC电路中 iRC，RL电路 ,iiiLG LRR 是从储能元件两端看进去的戴维南等效电阻。(0 )y( )y 、 、 是公式中的三要素。 1.1. 例例 751 电路如图751所示， 0t 时开关闭合，开关闭合之前电路已处于稳态，求 0t 时 ( ), ( )Li t i t。 1.1. 解：解：电路的激励是直流，属于恒定激励，可以用三要素公式求解（1）求初始

21、值0t 时 (0 )0ALi由换路定则可得 (0 )(0 )0ALLii由 时电路可求出 0t12(0 )2A42Li1.1. （2）求终值t 时L等效为短路 12( )6A2Li ( )0Ai （3）求时间常数 由电感L两端看进去的戴维南等效电阻2 44243R3S4LR1.1. （4）代入三要素公式求得( )( ) (0 )( )tLLLLi tiiie 4366A 0tet( )( ) (0 )( )ti tiiie 432A 0tet和 的变化曲线如图所示( )Li t( )i t1.1. 例例752 图（a）所示电路， 0t 时电路处于稳态，0t 时开关闭合，求 0t 时的 ( )c

22、u t和 ( )ci t。 解：解：（1）求初值0t 时， (0 )5Vcu据换路定则可求得 (0 )(0 )5Vccuu时开关合上，由0t1(0 )A4Ci 图b求出1.1. （2）求终值t时，C可视为开路 ( )105cui 又 520105iii 1A5i 代入上式( )253Vcu ( )0Aci 1.1. （3）求 值由电路求出01020()5iiii054ii010ui0010854iuiRii8 216SiRC 1.1. （4）代入三要素公式得出( )( )(0 )( )tccccu tuuue 1632V 0tet( )( ) (0 )( tcccci tiiie 161A 0

23、4tet 16( )1( )A 04tccdu ti tCetdt 或者 1.1. 和 变化曲线如图所示( )cu t( )ci t1.1. 微分和积分电路是脉冲电路中经常使用的电路，顾名思义，电路因能实现微分运算和积分运算而得名，RC，RL微分积分电路是一阶电路的瞬态分析的实际应用电路。 1.1.一一 、RC微分电路微分电路分析图示电路，列写KVL方程 12( )( )( )cu tu tu t211( )( )( )ttcu ti t dtu t dtCRC 1.1.若RC取值非常非常小 221( )( )tu t dtu tRC 与之相比可忽略 则2( )u t211( )( )tu t

24、 dtu tRC12( )( )du tu tRCdt于是有 上式表明，输出电压近似输入电压的微分，故称该电路为微分电路。1.1.1.1. 输出 为矩形脉冲，讨论各响应电压的情况如下： 1( )u t当 时 0t (0 )0cu0t当 时(0 )(0 )0ccuu12( ), ( )u tEu tE1.1.当 时 0tT ( )(1)tRCCutEe2( )tRCu tEe由于 取值非常非常小， RCT电容充电速度很快。当 时 T1()u TE()(1)TRCCuTEeE2()0TRCu TEe1.1.1()0u T()CuTE2()u TE 当 时 tT1( )0u t ( )t TRCCu

25、tEe2( )t TRCu tEe 从输入、输出电压波形可以看出：微分电路起到了波形变换作用，将输入的矩形脉冲变换成输出的一对尖脉冲。 1.1.RL微分电路电路，请读者自行完成分析过程。1.1.图所示的电路在时间常数 远大于输入脉冲宽度T时，为积分电路。 本节以RC积分电路为例进行分析。列写图(a)电路的KVL方程1.1.12( )( )( )Ru tutu t212( )( )du tuRCu tdt当RC取值非常非常大，上式近似为21( )du tuRCdt两边对t积分并整理为211( )uu t dtRC输出电压 近似输入电压 的积分，故称为积分电路。 2u1u1.1.当输入矩形脉冲时，

26、讨论各响应的情况如下：当 时， 当 时， 当 时， 0t 12( )0, (0 )0, ( )0Ru tuut0t122( ), (0 )(0 )0, (0 )Ru tEuuuE0tT 1( )u t给电容C充电， 2( )(1)tRCu tEe12( )( )( )Rutu tu ttRCe 由于 ，所以指数函数变化速度很慢，其波形如图所示。 T1.1.当 时， tT22()()(1)TRCu Tu TEe1()0u T2()()(1)TRCRu Tu TEe 当 时，电容放电， 指数下降 tT2( )ut2( )(1)Tt TRCRCu tEee( )(1)Tt TRCRCRutEee 1

27、.1.从输入、输出电压波形可以看出：积分电路起到了波形变换作用，将输入的矩形脉冲变换成输出的近似三角脉冲。1.1. RLC串联电路，设开关闭合前电容有初始储能 00(0 ), (0 )ccuUiI（设 ）。 00I 0t 时开关闭合，此时以后电容将通过电阻和电感放电直至放电结束。以下分析电容的放电规律。1.1. 0t 时根据KVL可得 ( )( )( )0CLRututut因 ( )( )RLutRi t( )( )LLdi tutLdt1( )( )tcLu ti t dtC代入上式并整理可得22( )( )1( )0cccd i tdi tRi tdtLdtLC1.1. 其特征方程为210

28、RSSLLC设特征根为 12,s s12()()0ssss21,21()22RRsLLLC 12,s s 称为二阶电路的自然频率（固有频率），由于有两个自然频率，所以二阶电路的零输入响应包含两项指数函数分量 1.1. 1212( )s ts tLi tAeA e（771） (0 )(0 )0(0 )11(0 )(0 )(0 )LLLLLciidiuRiudtLL01UL由初始条件 来确定 12,A A1201122(0 )0(0 )LLiAAUdis As AdtL （772） 则 1.1. 联立上式并求得01221()UAAL ss 由于R,L,C数值不同，特征根 和 1S现四种不同情况：

29、2S可能出(a) 当 时， 0R 1,21SjLC 是一对共轭虚数； (b) 当 时，即 21()2RLLC2LRC时， ，一对实部为负的共轭复数； 1S2S为1.1. (c) 当 时，即 21()2RLLC2LRC时， 1S，2S为不相等的负实数； (d) 当 时，即 21()2RLLC2LRC时， 1S，2S为相等的负实数。 若 ， 的量纲与电阻相同，称 21()2RLLCnRnR阻尼电阻，则电路中的电阻 为0R 称为无阻尼 ，称为欠阻尼， nRRnRR称为临界阻尼， nRR称为过阻尼。 1.1. (a)、(b)、(c) 三种情况电路的响应为 12021( )()()s ts tLUi t

30、eeL SS1202121( )( )( )()s ts tcLLUu tRi tutS eS eSS （773）对于上述四种情况分别讨论如下：1、0R ，无阻尼状态 1,21SjLC 代入773式1.1. 电感电流和电容电压分别为 00( )sin2ttjjLCLCLC eeCti tUULjLLC 00sinCUL （774） 其中 量纲为 01LCrad/s，称为角频率 ( )( )( )LcLdi tu tutLdt 000coscostUUtLC（775） 1.1. 和 波形，电路的响应是按等幅正弦方式变化的，电路为 ( )Li t( )cu t 1.1. 从物理意义来看，电容C中贮

31、存的电场能量通过给电感L充电转化为磁场能量存于电感中， ( )cu t下降 ( )Li t增大， ( )cu t下降到零时，电感储能 ( )Li t( )Li t( )cu t幅度达到最大。随后电感有反向给电容充电下降增大， ( )Li t下降到零时，电容储能 ( )cu t幅度达到最大。这样电路的储能在电场和磁场之间往复不已，由于电路中无损耗，振荡将无衰减的进行下去。所以也称为无阻尼自由振荡或谐振。1.1. 2、 2LRC21()2RLLC欠阻尼状态 由于 将特征根 21,21()22RRSLLLC 是一对共轭复数。 令 22201, ()22RRLLLC则 1,2Sj 1.1. 代入式（7

32、73）可得0( )()2tj ttj tLUi teeeej L0sintUetL 00( )cos()tcu tU et 响应波形如图所示由波形看出电路呈衰减振荡状态。这种状态是由电容释放能量，电感（吸收）存储能量，电阻消耗能量；电容，电感释放能量，电阻消耗能量所形成。1.1. 电容电感电阻0ta释放吸收消耗atb释放释放消耗bt 吸收释放消耗t=a释放吸收最大消耗t=b0释放消耗t= 吸收0消耗电路的能量转换状态列表1.1. 3 、 2LRC，过阻尼状态 由于 12RLLC特征根 21,21()22RRSLLLC 是两个不相等的负实根。 电感电流和电容电压为1.1. ()()0( )2tt

33、LUi teeL 0()2tttUeeeL 0tUesh tL ()()0()()0( )()()22ttcttUu teeU ReeL1.1. 波形如图所示,过阻尼时，电路处于非振荡放电状态。从波形图看出，设电感电流达最大值的时刻 mtmtt时电容释放能量，电感吸收能量，建立磁场，电阻消耗能量；mtt 时，电容仍释放能量直至为零，电感释放能量直至为零，电阻消耗电磁能量。 1.1. 4、 2LRC，临界阻尼状态 由 12RLLC得特征根为1,2S 是一对重实根 微分方程的通解为12( )()tLi tAA t e由初始条件确定 和 1A2A1.1. (0 )(0 )0LLii10A 012(0 )()LUdiAAdtL 02UAL 0( )tLUi tteL 0( )(1)tLutUte0( )(1)tCutUte1.1. 波形图电路处于非振荡状态。1.1. RLC二阶电路如图（a）所示， 电路的初始储能为零即 (0 )0Cu, (0 )0Li , 电路的响应是由外加激励引起的零状态响应。电源是图（b）所示的阶跃激励，电路的响应也叫阶跃响 应。1.1. 因 10( )00Stutt 所以电路在 0t 时换路，初