高中数学典型例题分析与解答：复合函数的导数

1、复合函数的导数求分段函数的导数例求函数f (x)0的导数2 . 1 x sin ,x x0, x 0分析：当x 0时因为f (0)存在，所以应当用导数定义求f (0)，当 x 0 时,f (x)的关系式是初等函数x解:当 x 0时，f (0) lim f(x) f(0)x 02 - 1 x sin lim xx 0 xlim xsin10x 0 xf (x)12 1112xsinx ( geos-) 2xsinxxxx212121(x sin ) (x ) sin x (sin ) xxx说明：如果一个函数g(x)在点x0连续，那么有g(x0)lim g(x)，但如果我们不能断定f (x)的导

2、数x x1 cos-x2 si n1，可以按各种求导法同求它的导数.xf (x)是否在点x° 0连续，不能认为f(0) ym f (x).指出函数的复合关系例指出以下函数的复合关系.n、m3 f x1.y(a bx )； 2. y In #e2 ；说明：分不清复合函数的复合关系，无视最外层和中间变量都是根本函数的结构形式，而最内层可以 是关于自变量x的根本函数，也可以是关于自变量的根本函数经过有限次的四那么运算而得到的函数，导致 陷入解题误区，达不到预期的效果.求函数的导数例求以下函数的导数.1 11 - y (2x.y3log2(x2x 3) ； 4. ysin(x)。x分析：由复

3、合函数的定义可知，中间变量的选择应是根本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成假设干个常见的 根本函数，逐步确定复合过程.解：函数的复合关系分别是mn1. y u , u a bx ；2. y ln u, u 3 . v,v ex 2 ；3. y 3u, u log2 v,v x2 3 2x 3 ; x -)1_2x2Cx2 ：厂x2 ； 2. y 2 ;xV1 2x23 y sin 2(2x) ； 4. y x .1 x2。3分析：选择中间变量是复合函数求导的关键必须正确分析复合函数是由哪些根本函数经过怎样的顺

4、序复合而成的，分清其间的复合关系要善于把一局部量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就 是中间变量求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数求 导数后，要把中间变量转换成自变量的函数.解：1 解法一：设u 2x332yx yu ux 4u (6x1x -,yx12)x，那么4(2x31 32)(6xx1).解法二：y2x34 2x32x36x22 解法一：设12,u 12x2，那么4xYxYu 5A2x4x解法二：y.1 2x22x22x(1(12x2) 22x2x2)、12x2 '3 解法一:设y2u ,u sinv,v2x，那么3yxyu iu

5、v vx 2u cosv :22 sin2x -cos 2x2332 sin4x 23解法二：ysi n22x 2 sin2x sin 2x332 si n2x cos2x2x 3332 si n2x -cos2x2332 si n4x 2314 解法一y x 1x2、X24 x .设y2 2 u , u x(4x)33322x2)x4，那么1(11(12x2)2x2yxyu 山12 (2x4x3)1 z 22(xx 2x3_x4x2解法二：yx4)12 (2x4x3)x(1 2x2)2x2 扌1 x2(x 1 xx2 X(.1 x2)-1 x2x2说明：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具

6、体特征，灵活恰当地选择中间变量，不可机械照搬 某种固定的模式，否那么会使确定的复合关系不准确，不能有效地进行求导运算学生易犯错误是混淆变量 或忘记中间变量对自变量求导.求复合函数的导数例求以下函数的导数其中 fx是可导函数121. y丄；2. y f( ._x21).x分析：对于抽象函数的求导，一方面要从其形式上把握其结构特征，另一方面要充分运用复合关系的 求导法那么。先设出中间变量，再根据复合函数的导数运算法那么进行求导运算。一般地，假设中间变量以直 接可对所设变量求导，不需要再次假设，如果所设中间变量可直接求导，就不必再选中间变量。1解：1 解法一：设y fU,U ，那么X1yx yu ux f (u)x解法二：y1111 -2 f xxxx2 .解法一：设 y f(u), u x v,v x21,那么1 -YxYu 山 Vxf (u) v 2 2x2f (x 1) 2 - 2x2 Ux2 1 :4 f ( X?1).- x 1解法二：y fC.x2 1) f (x2 1) C.X2 1) 12 1 2 f ( X 1) (x 1) 2 (x 1)2 1f ( . x2 1) (x2 1) 2 2x.说明：理解概念应准确全面，对抽象函