高中数学(平面向量)综合练习含解析

1、高中数学(平面向量)综合练习含解析1 .在 ABC 中，ABc , AC b 假设点D满足BD2DC，贝y AD2,'1 -5 '2;A.bcB. cb33332 OA 1,OB x/3, OA OB211 2C.bcD. bc33330占:八、C在AOB内，且AOC 30 ,mOC mOA nOB m,n R，那么一等于 nA. 3B.3假设向量a,b,c满足，且a c，那么c a 2bA. 4B. 3C. 2D. 04.向量 一 (a, 2), n(1,1 a)，且 一/ n ,那么实数 aA.1 B. 2 或 1 C. 2D.25.向量a(1,2)，向量b (x, 2)，

2、且a (a b)，那么实数x等于A.4B. 4 C. 0D. 96 . |a| = 1, | b | =2，且 aA. B.C647 .平面向量a , b满足a ab 3,正弦值为A.1B迈C12228 .在平行四边形ABCD中，AD 2 ,D. 233且 a 2 , b1，那么向量a与b夹角的DV2BAD 60 ,E为CD的中点.假设(a b)，那么向量a与向量b的夹角为AD BE 1，那么AB的长为()A.B . 4 C . 59 . O为平面上的定点，A ,B , C是平面上不共线的三点，假设(OB OC) (OB OC 2OA)0，那么ABC是A.以AB为底面的等腰三角形B. 以BC为

3、底面的等腰三角形C. 以AB为斜边的直角三角形D. 以BC为斜边的直角三角形10 .在ABC 中,MBAB，且对AB边上任意一点N,恒有NB NC MB MC , 4那么有A. ABBCB.ABACC. ABACD.ACBC11.点P是 ABC所在平面内的一点，假设 CB PA PB( R)，那么点P在A. ABC内部B. AC边所在的直线上C. AB边所在的直线上D. BC边所在的直线上12 在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b , c, c b 6, c b a 2 ,且O为此三角形的内心，那么 AO CB 丨A. 4B . 5 C . 6 D . 713.在 ABC中，

4、bc a,AC b,|a| 2,|b| 3,ab 3那么/ C的大小为 A. 30B. 60 C . 120D. 15014 .在 ABC 中，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 bcosC 3acosB ccosB ,BA BC 2，那么 ABC的面积为A.B . 3 C . 2 2 D . 4,2215 .假设非零向量a, b满足| a b | | a b | 21 a |，那么向量b与a b的夹角为16 .在平面直角坐标系中，设 M,N,T是圆C：(x 1)2 y2 4上不同三点，假设存在正实数a,b，使得CT aCMbCN，那么a3 ab2 2ab b 1a的取值范围为.17 .

5、向量a (1八；3)，向量a, c的夹角是一，a c 2，那么| c等于.318.正方形 ABCD，过正方形中心 0的直线MN分别交正方形的边 AB,CD于点2N，那么MN ,2最小值为BN19 .假设a,b均为非零向量，且 a 2b a, b 2a b，那么a,b的夹角为.120 .在等腰梯形 ABCD中， AB/DC，/ ABC=60，BC)AB=2,动点E和F分别在21 -线段BC和DC上,且BE = BC , DF = DC，那么AE -BF的最小值为 .221. ABC是边长为1的正三角形，动点 M在平面ABC内，假设AM AB 0 ,|CM | 1，那么CM AB的取值范围是 .2

6、2 向量a 1,1，且a与a b的方向相反，那么 a b的取值范围是 .23 .如图，在三棱锥中D ABC中，AB 2 , AC BD 3，设AD a , BC b ,2CD c，U的最小值为ab 124 .A点坐标为1,0 , B点坐标为1,0,且动点M到A点的距离是4，线段MB 的垂直平分线I交线段MA于点P .1求动点P的轨迹C方程.2假设P是曲线C上的点，求k PA PB的最大值和最小值.2 325 . ABC中，内角为A, B, C,所对的三边分别是 a, b, c,b ac , cosB -41求 1ta nA1 tanC '32设 BA BC ,求 a c .21 一 *

7、26.函数f x，点O为坐标原点，点An n, f n (n n),向量i 0,1 ,x 1COS 1COS 2COS 2021n是向量0代与i的夹角，贝U 122021的值为sin 1sin 2sin 202127 .向量 a (sin x, ), b (cosx, 1).221当 a/b 时，求 2cos x sin 2x 的值;2求 f (x)但 b) b 在,0上的值域.228 .如图，在平面直角坐标系中，方程为2 2x y DX Ey F 0的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且AC和BD分别在x轴和y轴上.1假设四边形ABCD的面积为40,对角线AC的长为8, A

8、B AD 0,且 ADC为锐角，求圆的方程，并求出B, D的坐标;2设四边形 ABCD的一条边CD的中点为G , OH AB，且垂足为 H，试用平 面解析几何的研究方法判断点 0、G、H是否共线，并说明理由.29.在直角坐标系xOy中，点A(1,1),B(2,3), C(3,2),点P(x, y)在 ABC中三边围成的区域含边界上，且OPABAC(,R).1假设-,求OP32用x, y表示并求的取大值.30.2椭圆C :务2 y.21(ab 0),过左焦点Fd1,0)的直线与椭圆C交于M、a bN两点，且 F2MN的周长为8 ；过点P(4,0)且不与x轴垂直的直线I与椭圆C相交 于A、B两点.

9、1求椭圆C的方程；2求OA OB的取值范围；3假设B点关于x轴的对称点是E，证明：直线 AE与x轴相交于定点.参考答案1. C【解析】又试题分析：如以下图，在 aABC中，AD AB BDBD 2DC2222 1'BD BCBC AC AB b c AD AB BC c be b -c3 333 3应选C.考点：向量加法2. A【解析】试题分析：如以下图，建立直角坐标系.那么OA 1,0 ,OB 0,J3 ,OC mOA nOB m, . 3n , tan303二m 3 .应选bm 3 n考点：共线向量【名师点睛】 此题主要考查了共线向量及向量的模等知识， 属根底题.解题时对一个向量根

10、 据平面向量根本定理进行分解， 关键是要根据平行四边形法那么， 找出向量在基底两个向量方 向上的分量，再根据条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果.3. D【解析】试题分析:设a1b贝U由已知可得1-t-1-1-1-1-1-1-1-1-c (a 2b) cac (2b)c a c(2b)21 ca0考点：向量的运算4. B【解析】试题分析：由mh'n，那么 a(1 a)21a2a 20a1,a2考点：共线向量5. D【解析】1,21 x,41x80 x 9试题分析：/ a b 1 x,4由a (a b)考点；向量垂直的充要条件6. B【解析】试题分析：由题意得a (a b) 0 a

11、b.2a 1 cos a,ba b沁|b|2F，所以向量a与k向量b的夹角为4，选E.考点：向量夹角7. D【解析】试题分析: 。2 r1 ,2a a b 3 aa b 3 a b1 cos a, ba, b23选D.考点：向量夹角8. D【解析】试题分析:AD BE AD (BA+AD DE) AD (- AB + AD -AB) AD (AD -AB) 2 21 14 2 AB cos 4 AB 1232，因此 AB 6.选 d.考点：向量数量积9. B【解析】试题分析：设BC的中点为(OB OC) (OB OC 2OA) 0CB 2AD 0,CB (2OD 2OA) 0CB AD，故 A

12、BC的BC边上的中线也是高线.故 ABC是以BC为底边的等腰三角形，应选 B . 考点：三角形的形状判断.10. D【解析】试题分析：以A为原点,AB为x轴，建立直角坐标系，设B(4,0), C(a,b)，N(x,0)，那么M (3,0)MB MC (1,0) (a 3,b) a 3NB NC(4x,0)(ax, b) (4x)(a x)，(4 x)(ax)2(a4) x 4a, a 4、2(a 4)2x(x 2 )4a4由题意4a(a4)2a3或43，解得a 2，所以AC BC .应选D.42考点：向量的数量积，数量积的坐标运算.【名师点睛】1 .平面直角坐标系中，以原点为起点的向量0A=

13、a，点A的位置被a所唯一确定，此时a的坐标与点 A的坐标都是x，y.向量的坐标表示和以坐标原点为起点的 向量是一一对应的，即向量x，y 向量0A点 Ax，y.要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也 不能认为向量的坐标是终点的坐标，如A 1，2，B 3, 4，那么TB = 2，2.3.用坐标法解向量问题，可以把几何问题代数化，用函数思想研究几何问题，可以减少思维量，降低难度.此题建立坐标系后，NB NC (4 x,0) (a x,b) (4 x)(a x)，问题转化为函数f(x) (4 x)(a x)的最小值是a 3或在x 3时取得最小值，由二次函

14、数 的性质结论易得.11. B【解析】试题分析：由CB PA PB得CB PB PA，即CP PA，所以CP与"PA共线，应选B.考点：向量的线性运算，向量的共线.12. C【解析】试题分析：如以下图所示，过 0作OD AB于D，OE AC于E， AO CB AO (AB AC) AO AB AO AC | AD | | AB | AE | | AC |，c b a2(c b)(c b a)AO AC -26，应选C.又 O 为 ABC 内心， | AD | | AB| | AE | | AC | |AD | c | AD | b，a b c (| BD | | BC | |CE |

15、) | AD |2- AO CB AO (AB AC) AO AB考点：1三角形内心性质;2 平面向量数量积.【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，常利用数形结合思想将问题等价转化为利用几何图形中的不等关系将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势.13. B【解析】0试题分析：a b b cosC 3，解得cosC ，所以C 60，应选B.考点：平面向量数量积的应用.14. C【解析】试题 分析： 由bcosC 3a

16、cosBccosB，根据正弦定理可得sinBcosC 3sin AcosB sinCcosBsin B C 3sin AcosB sin A, cosB-3 ；再根据 BA BC2，得c a cosB 2，2.2，故C为正确答案.向量的数量积的综合运用,cosB的值，进而求出sin B1ac 6，所以 ABC的面积为一 ac sin B 2考点：1、正弦疋理；2、向量的数量积.【思路点晴】此题主要考查的是正弦定理、三角函数的和差公式、属于中档题；由bcosC 3acosB ccosB，根据正弦定理求出的值；再根据BA BC 2，利用两个向量的数量积的定义求得ac的值，最后根据面积公式1 ac

17、sinB求出 ABC的面积即可.215. 6【解析】试题分析：如以下图，设 AB a,ADb，T两个非零向量满足|a b|a b| 2 |a|，那么AB 1四边形ABCD是矩形，且 -cos BAC，BACAC 2OAB ， OAD .而36向量b与a b的夹角即为OAD，故向量b与a b的夹角为616. (2,【解析】试题分析:由题意,边CTCMCN2，设CM,CN夹角为，对CT aCM整bCN4 4a22abCMCN4b21 a2 2abcosb2 t 1 cos1a b 1,a b1或a b1，以为a横坐标,b为纵坐标，表示出满足上面条件的平面区域.如图阴影部分所示，那么3 aab2 2

18、ab b 12 2a b2bb 12a2b 11b 1aaa，可得到它表示点的距离的平方及点a,b与点0, 1连线斜率的和，由可行域a,b到点0, 1可知当点a,b位于点1,0时取到最小值2，但由题意a,b为正实数，故ab22ab b 1的取值范围为2,a【名师点睛】此题主要考查向量的运算，简单的线性规划，及目标函数的实际意义等知识, 属难题解题时由两个难点，一个是根据题意得到可行域明亮一个是目标函数的实际意义, 需要一定的数学功底.考点：17. 2【解析】试题分析：a c a c cos(a,c)=2 c cos亍 2 c 2考点：向量的运算18. 3 5【解析】试题分析：以正方形中心 0为

19、坐标原点建立如以下图直角坐标系，设正方形边长为2个单位,那么 B(1,1),M(m,1),N( m, 1),my1,1，因此MNBN"4m24(1 m)24，由8(m2 4m 1)(1 m)2 4252(舍)，因此函数在(5 2,1)单调增，在(1- 5 2)单调减，即m 5 2时，函数取最小值35屮kAM BO丁/-xDNC考点：利用导数求函数最值【思路点睛】函数最值存在的两条定论1闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端 点取到不单调时，利用导数探求极值点，为函数取最值的可疑点.2开区间上的“单峰函数一定存在最大小值“单峰利用导数探求.19. 3

20、【解析】试题分析：f 22a 2b a, b 2a ba 2b a 0, b 2a b 0 a 2b a b ，因此cosa b 1|a|b|2'3.考点：向量夹角20. 4、,6 13【解析】试题分析：由题意得AB 4，CD 2AE BF(AB BE) (BC CF)AB BC BE BC AB CF BE CF| AB| |BC|cos120 | BE | | BC | |AB|CF| |BE|CF|cos 604 2 (丄224 (11 ) 2 22213 64132 644、6的最小值为4、613考点：向量数量积，根本不等式求最值11(1 ) 222l3，当且仅3当时取等号，即

21、AE BF121. 1,-2【解析】试题分析：如图，以 A为原点， AB为x轴建立直角坐标系，那么B(1,0)，C(/)，设M (x, y)，AM AB (x, y) (1,0) x0,由 CM1得x(y -3)221,所以x 0,所以 CM AB(x £,y 于)(1,0)1)21x 2考点：向量的数量积，数量积的坐标运算.【名师点睛】1在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便在解有关三角形 的问题时，可以不去特意选择两个根本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多.2. 平面直角坐标系中，以原点为起点的向量 OA = a，

22、点A的位置被a所唯一确定，此时a 的坐标与点 A的坐标都是x，y.向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即向量x，y"、向量0A 一匸 '、点Ax，y.要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的 坐标是终点的坐标，如 A 1，2，B 3，4，那么AB = 2，2.3. 用坐标法解向量问题，可以把几何问题代数化，用函数思想研究几何问题，可以减少思 维量，降低难度.22. ( , 2)【解析】试题分析：因为 a与a b的方向相反，所以 a与b共线，且方向相反.设 b ka (k,k)k 0，又a b (1 k

23、,1 k)与a方向相反，所以1 k 0， k 1，所以a b k k 2k 2.考点：向量的数量积，共线向量，数量积的坐标运算.23. 2 .【解析】试题分析：设 AD a，CB b，DC c，t AB 2，二 | a b c |2 4a2 b2 c22(a b b c c a) 4，又/AC BD 3，rrrrrrrrr_2(a c) ( b c) 3 abbccac 3，2 2 a2 b2 c2 2(3 c2)=4c2 a2 b2 2，a a b 2 如上 2，当且仅当ab 1 ab 1c2a b时，等号成立，即的最小值是2 .ab 1考点：1.空间向量的数量积；2.不等式求最值.【思路点

24、睛】 向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算， 数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一 般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用向量的数量积解决其他数学问题是今后考试 命题的趋势.224.12y ,1； 2略：434，【解析】kmin试题分析：1根据题意知|PA| |PB| |PA| | PM | 42，所以P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆，且 2a 4,2c2，所以轨迹的方程为2 2:；1 ；2设点 Pg%)那么2 2仝匹 1，根据两点之间的距离公式得：k J(xg 1)2 yo2(x 1)2 yo2，化简431 2得：k

25、 4 -xo，又有椭圆的范围知 2 xo 2，求函数的最值.4试题解析：1t|PA| |PB|PA| | PM | 4 ;又 | AB | 2， P的轨迹是以 代B为焦点的椭圆，t 2a 4,2c 2， b2 a2 c23，x2所求轨迹方程为一42 22解：设点 P(x0,y0)那么 Xoyo143k(xo1)2yo2(xo1)2yo2( 2xo2)41xo244、二次函数的最值.椭圆的标准方程及椭圆的性A，2xo 4 4x。2 2xo 4(2 2xo)(2)当 xo o 时，Kmax 4 当 xo 2 时，kmin 3考点：1、椭圆的定义；2、椭圆的标准方程；3、两点间距离;【方法点晴】 此

26、题主要考查的是利用椭圆的定义确定点的轨迹、 质，两点间距离，二次函数求最值，属于中档题题求点的轨迹时，可以根据某些曲线的定义先确定轨迹，再求其轨迹方程，在利用二次函数求最值的过程中，一定要分析自变量的取 值范围，否那么容易产生错误.25. 14 J7 ；23 7sin2B sinAsinC，又【解析】试题分析：1根据条件，采取化角的策略，由正弦定理得:cosB3si nB,7，所以7si n( AC)=，所以 sin(A C)=sinAsinC，展开两边444同除以sin As inC 即可；2因为ba BC 3，D 3 cosB -所以D 33ac cosBac2442那么b2ac 2，由余

27、弦定理得cosBa2c2 b22acc2 22(a c) 2ac 24试题解析:1* b2 ac sin2Bsin Asi nCtcosB3且B为三角形内角？ sin(A C) sinB 丄441 1tan A tan Ccos A cosC4 -7sin A sinC7332BA BC ， cosB -24那么 b2 ac 2二 ac cosB3ac4二 cosBb2a2c22ac(a c)2 2ac 23443，所以(a 02 94- (a c)2 9， a c 3考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、两角和正弦公式；4、数量积公式.202126.2021【解析】试题分析由题意可得90是直

28、线OAn的倾斜角cos nsin(90n)znntan (90sin ncos(90n)n)f n111n n n 1 n n 1cos 1cos 2sin 1sin 2COS 20211111 -2231 1202120211 1 202120212021考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算sin 2021227. 12cos x sin 2x20132f (x)的值域为【解析】试题分析：1利用向量平行的坐标运算，同角三角函数间的关系，得到tanx的值，然后化简2cos2 x sin2x即可2丨先表示出f (x) (a b) b2 sin2x ，再根据x的范围求出函数 f(x

29、)的24最大值及最小值.试题解析：1t a|b，cosx sin x 0， tanx 2c 2. c 2cos2x 2sin xcosx2cos x sin2x22sin x cos x2 2 tan x 2021 tan x 132 /a b (sin x cosx ) 2f(x)(ab) b討2 x -)Sin(2X 4)21. 2 i-f (x)函数f (x)的值域为,2 2 2 2试题分析：1利用四边形ABCD面积得直径BD 10,因而半径为5，利用弦AC=8可求考点：正弦函数的性质2 228. 1X y 325, B0,8,D(0, 2) 2共线【解析】得圆心M到直线AC距离为3,即

30、圆心M 0,3 ,2方程为Xy 3225，可得圆在y轴上的交点B0,8,D(0, 2)2判断三点0、G、H是否共线，一般利用斜率进行判定，即判断kOGkOH是否成立，而AB 0H，因此只需判断kOG kAB1是否成立，设A a,0，B 0,b， C c,0，D d,0 那么转化为判断bdac是否成立：对于圆M的一般方程 x2 y2 DX Ey FDX0两根，b，d为y Ey F 0两根，从而由韦达定理得ac F bd，因此三点共线.AC|bdSABCD面积2，因试题解析：解：1不难发现，对角线互相垂直的四边形 为 S 40, AC 8 可得 BD 10又因为AB AD 0，所以 A为直角，而因

31、为四边形是圆M的内接四边形，故BD 2r 10,r 5，连接MA，求得MO 3，所以M °,3，故圆M的方程为 x2y 3 2 25令 x 0,y 8或 2，求得 B 0,8 , D(0, 2)证：设四边形四个顶点的坐标分别为Aa，0 , B 0,b，C c,0 , D d,° .那么可得点G的坐标为2 导，即OG又AB a,b，且AB OH，故使G、°、H共线，只需证 AB OG 0即可而AB OG bd aC，且对于圆M的一般方程x? / DX Ey F 0， 2当y 0时，可得x2 DX F 0，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，于是有XaXcacF同理，当当X0时,可得y2 Ey F0，其中方程的两根分别为点B和点D的纵坐标,于是有yByDbdF所以，ABOG bd ac 0,即 ABOG故G、°、H必定三点共线考点：圆的方程，直线与圆位置关系的最大值为1.29. 1OP 2/2 ;2【解析】试题分析：1直接求出向量的坐标， 即可计算模的大小；2由向量相等的定义可得rr- 2' 2'试题解