高中必修五数学数列讲义

1、第二章数列第一节：数列及其通项公式一. 数列的概念1 .数列的定义：;2. 表示法：;3 .数列的分类：；4 .通项公式：;5 .递推公式的概念：;注意：数列与集合有本质的区别；项与项数的区别；an与an的 区别；不是每一个数列都有通项公式； an是n的函数。二. 数列通项公式的求法1. 根据数列的有限项，写出数列的通项公式 。练习1. 数列an 的前几项，写出数列的一个通项公式11, 4, 9, 16, ；an =232 4 6.旦3,9,27 1，；3 13 131,一，厂，一，2 3 4 5 6an =an =49, 99, 999, 9999,；an =57, 77, 777, 777

2、7,；an =67, -77, 777, -7777,；an =70.5,0.55,0.555,0.5555,; an =;81. -1, 1, -1,;an =;91, 0, 1, 0, ; an 二;1011, 101, 1001, 10001,;an =111 , 2 ,3 , 4 ,； an =；2345121,4,7,-56,；an =；2 4 8 162 10 17 26 37_13-, 1, , , , , ； an =；3 79 11 132. 数列 1, 3, 2, 6, 5, 15, 14, x,y,z, 122,中 x,y,z 的值依次是A 42, 41, 123B 13

3、, 39, 123C 24, 23, 123D 28, 27, 1233. 数列1, 1, 2, 3, 5, 8,；的第7项是14.数列an中，an一 n为奇数nn 2n1n为偶数那么an的前5项是f(x)，设 anf(n)(n N*)x(1)求证：an 1 ；2an 是递增数列还是递减数列？为什么?2. 数列的前n项和求数列的通项公式(1) 数列an 的前n项和为Sn 2n2 n 1,求数列an 的通项公式；(2) 数列an 的前n项和为Sn 2n2 n ,求数列an 的通项公式。注意：1.用数列的前 n 项和Sn求通项an的公式是：;2什么时候运用an=Sn-Sn-1求出的公式具有通用性：

4、。练习： 数列an 的前n项和为q ( i)n 注意：1公式表示的是数列的前n项和与通项之间的关系2丨要注意不要无视n=1的情形，这是大家易出错的地方。3. 用递推公式求数列的通项公式2,an -anJL(n2,3,4,，那么它的前 5 项 an 1 n,那么通项an =;4数列an 的前n项和为Sn 3 2n,那么通项an =;5数列an 的前n项和为Sn log 1 (1 n),那么通项an =;1数列an中，6数列an 的前n项和为q 土 右 右，那么通项an3数列an中，满足ai 2,am4数列an中，满足ai 2,am5数列an中，满足ai 2,am6数列an中，满足ai 2,ama

5、n 2，求数列an 的通项公式； an n,求数列an 的通项公式； 2an，求数列an 的通项公式； an，求数列an 的通项公式;n i第二节：等差数列一 .i.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列；这个常数叫做等差数列的公差，公差通常 用字母d表示。2通项公式:an ai (n i)d 或 a.am (n m)d3.等差中项:a, A,b成等差数列，A叫a,b的等差中项注：任意两个数都有等差中项A a b24证明一个数列是等差数列的方法:一般用am an d常数，而不用其它等价形式，假设确实无法证明an i an d，有时也可采用证明

6、an i an an an i,(n 2)来完成。5等差数列的性质：id 0，an单增；d 0，an单减；d 0，是常数列。2等差数列中任意连续的三项也成等差数列，反之亦然。3一个数列是等差数列，那么通项公式可写成 an kn b k,b R)，反之亦一个数列是等差数列，那么其前 n项和可写成Sn An2 Bn A,B R)，反 之亦然。4数列an是等差数列，假设m+n二p+q，那么am a. ap aq5数列an是等差数列，项数 m,p,n成等差数列，那么am,ap,an也成等差 数列。6数列an是等差数列，那么Sm,S2m Smm S?m仍成等差数列。二.等差数列的前n项和：Sn n(a或

7、& nai血卫d2 2练习与应用：通项公式、前n项和公式的根本运算1. 在等差数列an中，a5=10,ai2=31,求首项ai与公差d.2. 在等差数列an中，a2=-5,a6=a4+6,那么 a1 =.3. 在等差数列an中，a15=8,a2o=2O,那么 a25=.4. 在等差数列an中，a2+a5+a8=9,a3a5a7= -21,求通项 an.5. 在等差数列an中，a15=8,a60=20,那么 a75=.Sm,S2m Sm,S3m Szm仍成等差数列6. 在等差数列an中，Sio=31O, S20=1220，求Sn与通项an.假设 m+n二p+q，贝S am a. ap a

8、q6.在等差数列an中，a3+a4+a5+a6+a7=450那么 a2+a8=7. a3,ai5是方程 x2-6x-仁0 的两个根，求 a7+a8+a9+aio+aii二.8. 在等差数列an中，as 2，那么该数列的前5项和为A10 B16 C20 D329. 在等差数列an中，Sn表示前n项和，且a2 a* 18 a§，那么S9的值为A18 B60 C54 D2710等差数列an， S9 18,Sn 240,an 4 30,(n 9)，那么项数门为 11. 在等差数列an中，前4项的和为21，后4项的和为67，前n项的和为286,那么项数n二an中，Sn表示前n项和，且S120,

9、 S130 ,当Sn取得最大值时的n值为A6 B7C12 D不能确定13假设an是等差数列，首项a10,a23a24 0 , a23a240 ,那么使前n项和Sn 0成立的最大自然数n是A48 B47C46 D4514 04年重庆卷.文理9假设数列an是等差数列，首项 耳0月20。3 a2004。82003&2004 0，那么使前门项和S. 0成立的最大自然数 门 是：A 4005 B 4006 C 4007 D 400815等差数列an, bn的前n项和为Sn, Tn，且Sn7n A:丄 B:2 C:1 D: -1，求鱼1.Tn4n 27b11n是等差数列an的前n项和，假设05 5

10、，那么S9的值为a3 9S517.在等差数列an中，am=n,an二m,且m工n,贝卩am+n二.18等差数列an , £是其前n项和，对于不相等的正整数m,n，有Snm,Sm n ,那么Sm n的值为其奇数项和、偶数项和1、假设等差数列共有偶数项2n项S 奇ai a3 a5a2n 1S禺a?a§a?n 贝S S偶S奇奇数项、偶数项各n项：即nd , S偶 S奇 S2nf偶 也1 中S奇an间一对2、假设等差数列共有奇数项即 S奇a1a5a2n 12n 1项奇数项比偶数项多1项:a2n 1S偶 a2 a4 a6a2n那么爲0禺歸an1为中间项，気务三fl 项数之比19.等差

11、数列an共有2n-1项，所有奇数项的和为132,所有偶数项的和为120,贝卩 n=.20. 如果等差数列an共有10项，其奇数项之和为15,偶数项之和为30,那么其公差为21. 如果等差数列an的项数是奇数，a1 1 , an的奇数项的和是175，偶数项的和是150,求这个等差数列的公差doSn的最值问题22. 等差数列an中，an=2n-10,那么Sn的最小值时n=23. 等差数列an中，an=2n-11,那么Sn的最小值时n=A : -80B: -76C: -75D : -7425.等差数列an，Sn是其前n项和，且S5 S6,S6 S7,S7 S8，那么以下结论错误的选项是Ad <

12、 0 B a70CS9 S5 DS6与S7均为Sn的最大值.第三节:等比数列一。等比数列及其性质24.在等差数列an中，ai256 S*,那么前n项和&的最小值为1。定义:略an 1aq(qo有既是等差又是等比的数列吗？2。 通项公式： an aiqn 1 ； a“ amqn m3。等比中项：a,G,b成等比数列，G叫a,b的等比中项。注：任意两个实数都有等差中项，但不是任意两个实数都有等比中项，只 有两个实数同号时才有等比中项，等差中项只有一个，但等比中项有两个。4。证明数列是等比数列的根本方法：an 1n 1 q(q 0)an5。有关性质：1数列an是等比数列,假设m+n=p+q，

13、那么am a. ap aq2正项等比数列的对数列是等差数列，等差数列的指数列是等比数列。3数列是等比数列，那么aia?am,am 1am2a2m,a2m 1 a2m 2a3m成等比数列吗？4数列an是等比数列，贝卩 匝am , amQm2a2m , &2皿甩2a3m仍是等 比数列。练习与应用：1。数列an是等比数列，那么在务看；务K i； 时；an2。数列an是等比数列，a,討16，求公比q 3。等差数列a,b,c三项的和为12,且a,b,c+2成等比数列，求a的值 数列a.是等比数列，qaaiag 32，求a§ 数列佝是等比数列，a1 9，an 1，q 2，那么这个数列的项

14、数为833A 3 B 4 C 5 D 6 等比数列an中,an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么 a3+a5=()A:5 B:10 C:15D:20；nan；lg an这 6个数列中仍成等比数列的7。等比数列an, a516, as8, anA : -4B: 士 4 C: -2 D :士 28。等比数列an,a3a8124, a4 a7512,公比q为整数，那么a10。9.等比数列an中，aa230,a3a4 60,那么a5a6A: 90 B: 120C:15D: 8010。等比数列an中，a9a10a,( a 。羽伯a20b,那么 a99a100 A:B: (b)9C:b

15、109D: (b)10aaaa11。 an是各项为正数的等比数列，9，贝S log3 ai log 3 a2log3 aio =A: 12 B: 10 C: 8 D: 2 log3512. 数列an是各项都为正数的等比数列，设bn log2an,求证数列bn 是等差数列。13。等比数列an的a3 16，且a& 弘 265，求an的通项公式.14。各项均为正数的等比数列an中，假设a4 a710，那么lg a1 lg a2lg a10 ；15 . an为等比数列,1q 2、S9977 ,求 a3 a6a992前n项的和为Sn 48、前2n项之和S?.60 ,求Ssn等比数列的前n项和。S

16、na1a?anai(1 qn) a a.q1 qnaq 1)(q 1)1.等比数列an中,a6a4216,a3a18 , &40 ,求 q 和 n。2.等比数列an中,a34,S312 ,3.等比数列an中,Sn49 ,S2n112 ,那么 S：3n =4.等比数列an中,a11、an512、S341,求 q。5. 求数列1,3,9,27、3n1,啲前n项和。6. 求 1,a2 1,(a2 1)2，,(a2 1)n 1，的前 n 项和7.求 21,24y y2n求前2k项的和8.求1,a,a2,an 1,的前n项和9. 等比数列an,前n项和为48,前2n项和为60,前3n项的和为()

17、A:183B:108C:75D:6310. an成等差数列，ai,as,ai3成等比数列，贝卩该等比数列的公比为111A:1B: 2 C:丄D:124311. an成等差数列，bn成等比数列，q 1,bi 0( i 12, ,n)，假设a1 b ,an bn，那么A: a6 b6 B: a6C: a6 D: a6或 a612. x,a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，那么 亘旦上的取值范围是b1b2A: 4, ) B:0, 4C: (,0 4, ) D: ( ,0) 4,)13. 个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1 ,且中间两项的和为24

18、 ,那么此等比数列的项数为 A . 12B. 10C . 8D. 6第四节数列的综合应用一、数列求和一.公式法1 . 求1, 4, 7, 10,3n-2，的前n项和。242n2. 求数列一2, .(x-2)+(x2-2)+ + xn-2，求前2k项的和.y y y3. 求 S 1 a a2an二.分项求和1. 求和1+2+ 3+4+ + 2n-1+2n3. (a 1) (a2 2)(an n)(x -) (x2 丄)(xn 丄)y yy5.1 2 2 3 3 4 n(n 1)6.1 3 2 5 n(2n 1)裂项求和Sn1 1122 31n(n 1)1 1133 51(2n1)(2 n 1)3

19、.数列an成等比数列，各项都为正数，且q工1,求证1 1lg a1 lg a2 lg a2 lg a31n 1lg an 1 lg an lg a1 lg a.n(n 1)5.6.7.8.9.1.113 55 7111 44 7111 32 4111 42 5求111 2四.错135213 6222313 5112 3(2n1)(2 n 3)(3n12)(3 n 1)1n(n 2)1n(n 3)、其它2n 12.1 2 2 223 233.32n 14.求和 x 3x2 5x3(2n 1)xn5. 1+2X 3+3x 7+n(2n-1)放缩及其他1. 1222324299210022 2 22

20、数列箸，假设，号,的前10项和为A17 B11口55123求和 Sn 111 V2 V2 V3C11 竺D11 竺1321324. 求S 1.3 1./312n 1 2n 15.求值设f(x)4x4x2，求 f(爲)f (1999)f(需:6 .求证：1 A；$ 2 223n7.1 n(n 1).二 n(n 1) ® °2 2、n8.2( .n 11)二、用数列的前n项和求数列的通项公式前文已有三、用递推公式求通项1 .数列an，满足，a1=2,an+1=an+2,求an的通项公式。2。 数列an ，满足，a1=2,an+1=an+2n,求an 的通项公式。3。 数列an

21、，满足，a1=2,an+1=an+2n,求an 的通项公式。4.数列an,满足,a1 =2, an+1=an+1n(n 1),求an 的通项公式。点击：但凡具有an+1 =a n+ f( n)形式都可运用此法，其中f(n)表示可求和 的数列。5. 数列an ，满足,a1=2,an=3an-1,n?2求an 的通项公式。6. 数列an ，满足，a1=1,an 1 an求an 的通项公式。n 17. 数列an 满足，a 1 , 2n 1an a." n N,n 2)，求an 的通项公式。8. 数列an，满足，ai=2,an+i=2an+1,求an 的通项公式。9. 数列an ，满足，ai

22、=1,an+i=3an+1,求an 的通项公式。点击：an i kan b型通项公式可用此法。10 . a1 5,an 1 20n n 5，求an 的通项公式。11*.数列an ai 1,am 2a. 2n，求an的通项公式。12*数列an a1 1,am 3昂2n ,求an 的通项公式。13*. a1 5,耳1 2an n 5,求an 的通项公式。点击：a 5,an 1 kan f (n)型通项公式可用此法。递推公式的变形1. 数列an ，满足，a1=2，an1 2a.咼 务0,求an 的通项公式。2. 数列an ，满足，a1=1,am -5乩 求an 的通项公式。5 an3. 项为1的正项

23、数列，(n 1)a；1 na； a. & 0，求数列的通项公式。四. Sn与an的相互转化2SnSm, (n 2) , 1问数列 是否为等Sn1数列an满足，印1,an差数列。2求Sn和an.2.数列an满足，Sn 2an n,求数列an的通项公式3.数列an，满足log2(1 Sn)n 1,求通项an.1 ,4.数列an满足，Si4，当 n 2 时，an. Sn 1 ),求 Sn 和 an.5.正数数列an, 2.S；an 1,求数列an的通项公式6.05,山东数列an, Q 5，前n项和为Sn，且Sn 1 2Sn n 5(n N* ),1求数列an的通项公式。2求a1 2a2 3a

24、3nan几个必须熟练掌握的综合题目1. 数列an是等差数列，前n项和为Sn且ai a? a? 3; a? a? 8 求数列an的通项公式 2设数列bn满足，bn丄，求数列g的前n和SnTn.2. 05济南2模数列an的前n项和 $是n的二次函数，且a2 ,a? 2,6 an.求Sn和an.3. 数列an满足，a1 2a2 3a3nan n(n 1)( n 2)，求数列an的通项公式。4. 数列数列an，满足ai 1，当n 2时，aas a. n2，求数列an的通项 公式。5.设函数f(X) X ，数列an中，ai 1 ,n 2时，前n项和Sn满足Sn f(Sni)2x 1(1)求数列an的通项公式；2设bn 旦，求bn的前n项和Tn。2n 16点列Pn(an,bn)(n N )在直线L : y 2x 1上，且R为L与y轴的交