曲面方程的概念

1、山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面8.3 曲面及其方程四、二次曲面山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂一、曲面方程的概念 在空间解析几何中, 任何曲面都可以看作点的几何轨迹.那么, 方程F(x, y, z)0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程F(x, y, z)0的图形. (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x, y, z)0; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x, y, z)0,曲面方程的定义 如果曲面S与三元方程 F(x, y, z)0有下述关系: 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂故所求方程为例例1. 求动点到定

2、点),(zyxM),(0000zyxM方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为解解: 设轨迹上动点为RMM0即依题意距离为 R 的轨迹xyzoM0M222yxRz表示上(下)球面 .Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 例2 设有点A(1, 2, 3)和B(2, 1, 4), 求线段AB的垂直平分面的方程. 由题意知道, 所求的平面就是与A和B等距离的点的几何轨迹. 设M(x, y, z)为所求平面上的任一点, 则有 |AM|BM|, 等式两边平方, 然后化简得 2x6y2z70. 这就是所求的平

3、面的方程. 解 即 222222) 4() 1() 2() 3() 2() 1(zyxzyx 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 (1)已知一曲面作为点的几何轨迹时, 建立这曲面的方程; (2)已知坐标x、y和z间的一个方程时, 研究这方程所表示的曲面的形状. 研究曲面的两个基本问题 通过配方, 原方程可以改写成 (x1)2(y2)2z25. 一般地, 三元二次方程 Ax2Ay2Az2DxEyFzG0的图形就是一个球面. 例3 方程x2y2z22x4y0表示怎样的曲面？ 解 这是一个球面方程 球心在点) 0 , 2 , 1 (0M、半径为5R 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂定义

4、定义2. 一条平面曲线二、旋转曲面二、旋转曲面 绕其平面上一条定直线定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面. 该定直线称为旋转旋转轴轴 .例如例如 :山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:给定 yoz 面上曲线 C: 0),(zyf曲线曲线 C 00),(xzyfCy zo绕绕 z轴轴山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂曲线曲线 C 00),(xzyfxCy zo绕绕 z轴轴.山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂曲线曲线 C 00),(xzyf旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SCSMN), 0(11zy zz 1zPM

5、Py |11y1zy zo绕绕 z轴轴.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z).x S山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂曲线曲线 C 00),(xzyf旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SxCSMN), 0(11zyzz 1zPMPy |11y1z0),( 22 zyxfS：.绕绕 z轴轴.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)f (y1, z1)=0f (y1, z1)=0.y zo S山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂思考：思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏

6、本堂例例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为的圆锥面方程. 解解: 在yoz面上直线L 的方程为cotyz 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为cot22yxz)(2222yxazcota令xyz两边平方L), 0 (zyM山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂xy例例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线12222czax分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解解:绕 x 轴旋转122222czyax绕 z 轴旋转122222czayx这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为z山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂xyz三、柱面三、柱面引例引例. 分

7、析方程表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程222Ryx解解:在 xoy 面上，表示圆C, 222Ryx222Ryx沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆圆故在空间222Ryx过此点作柱面柱面.对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面圆柱面oC在圆C上任取一点 , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM点其上所有点的坐标都满足此方程,山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂xyzxyzol定义定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面柱面. 表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面椭圆柱面.xy22

8、12222byaxz 轴的平面平面.0 yx表示母线平行于 C(且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线准线, l 叫做母线母线.xyzoo山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂xzy0母线母线F( x,y )=0z = 0准线准线 (不含不含z)M(x,y,z)N (x, y, 0)S曲面曲面S上每一点都满足方程；上每一点都满足方程；曲面曲面S外的每一点都不满足方程外的每一点都不满足方程点点N满足方程，故满足方程，故点点M满足方程满足方程 一般一般山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂母线母线准线准线(不含不含x)F( y, z )=0 x = 0 xzy0一般一般山东农业大学 高

9、等数学 主讲人： 苏本堂四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系数不全为 0 )山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂1 222222 czbyax截痕法截痕法用用z = h截曲面截曲面用用y = m截曲面截曲面用用x = n截曲面截曲面abcyx zo1. 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂zyx1. 椭球面椭球面),(1222

10、222为正数cbaczbyax(1)范围：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂1222222czbyax与)(11czzz的交线为椭圆：1zz (4) 当 ab 时为旋转椭球面;同样)(11byyy的截痕）（axxx11及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(为正数)z山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂xzy0截痕法截痕法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面(1)

11、. zqypx22222 2. 抛物面抛物面山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂xzy0截痕法截痕法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面(1). .zqypx22222 2. 抛物面抛物面山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面xzy0zqypx 2222截痕法截痕法 （马鞍面）（马鞍面）(2). 双曲抛物面双曲抛物面 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂截痕法截痕法.(2). 双曲抛物面双曲抛物面 （马鞍面）（马鞍面）xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y = 0

12、截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面zqypx 2222山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂截痕法截痕法.(2). 双曲抛物面双曲抛物面 （马鞍面）（马鞍面）xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面zqypx 2222山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂3. 双曲面双曲面(1)单叶双曲面单叶双曲面by 1) 1上的截痕为平面1zz 椭圆.时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）1yy zxy),(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情况:双曲线: 山东农业大学 高等数学 主讲人

13、： 苏本堂虚轴平行于x 轴）by 1)2时, 截痕为0czax)(bby或by 1)3时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于z 轴;1yy zxyzxy相交直线: 双曲线: 0山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂(2) 双叶双曲面双叶双曲面),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线zxyo222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面图形图形山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂4. 椭圆锥面椭圆锥面),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到)xyz山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂内容小结内容小结1. 空间曲面三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋转曲面如, 曲线00),(xzyf绕 z 轴的旋转曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxF表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面, 双曲柱