矩阵分析(第六章)

1、矩阵分析矩阵分析 主讲教师：魏丰 第六章第六章 矩阵函数矩阵函数 定义：定义： 已知已知 和关于变量和关于变量 的多项的多项式式那么我们称那么我们称 为为 的的矩阵多项式矩阵多项式。 Ax1110( )nnnnf xa xaxa xa1110( )nnnnf Aa AaAa Aa In nAC设设 为一个为一个 阶矩阵，阶矩阵， 为其为其Jordan标准标准形，则形，则于是有于是有nAJ111211122diag(,)diag(),(),()rrrAPJPPJ JJPPJJJP11101111110111101112( )()()()()( )( (),(),()nnnnnnnnnnnnrf

2、Aa AaAa Aa IaPJPaPJPa PJPa IP a JaJa Ja I PPf J PPdiag f Jf Jf JP我们称上面的表达式为我们称上面的表达式为矩阵多项式矩阵多项式 的的Jordan表示表示。其中。其中( )f A1()(1,2, )1iiiiiiiddJir111111( )iiiidk dkkikikikkiiikkikid dccJc (1)1( )( )( )(1)!( )( )( )( )iiidiiiiiiiid dfffdff Jff例例 已知多项式已知多项式与矩阵与矩阵43( )21f xxxx308316205A求求 。解：解：首先求出矩阵的首先求出

3、矩阵的 的的Jordan标准形标准形 及其相似变换矩阵及其相似变换矩阵( )f AAJP100011001J041130020P130121002102P那么有那么有1( )( )3012041( 1)0011300( 1)( 1)00202000( 1)102( 1)4( 1)08( 1)3( 1)( 1)6( 1)2( 1)0( 1)4( 1)f APf J Pfffffffffffff350722715418037 定义：定义：已知已知 和关于变量和关于变量 的多的多项式项式如果如果 满足满足 ，那么称，那么称为矩阵为矩阵 的一个的一个零化多项式零化多项式。1110( )nnnnf xa

4、 xaxa xan nACx( )f x( )n nf AO( )f xA定理：定理：已知已知 ， 为其特征多项式为其特征多项式，则有，则有我们称此定理为我们称此定理为Hamilton-Cayley定理定理。定义：定义：已知已知 ，在，在 的零化多项式中，的零化多项式中，次数最低且首项系数为次数最低且首项系数为1的零化多项式称为的零化多项式称为 的的最小多项式最小多项式，通常记为，通常记为 。最小多项式的性质：最小多项式的性质：已知已知 ，那么，那么（1）矩阵）矩阵 的最小多项式是唯一的。的最小多项式是唯一的。（2）矩阵的任何一个零化多项式均能被）矩阵的任何一个零化多项式均能被n nAC( )

5、f( )n nf AOAA( )mn nACn nACA( )m整除。整除。（3）相似矩阵有相同的最小多项式。）相似矩阵有相同的最小多项式。如何求一个矩阵的最小多项式如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们考首先我们考虑虑Jordan标准形矩阵的最小多项式。标准形矩阵的最小多项式。例例 1 ：已知一个已知一个Jordan块块11iiiiiiddJ求其最小多项式。求其最小多项式。解：解：注意到其特征多项式为注意到其特征多项式为，则由上面的定理可知其最小多项式，则由上面的定理可知其最小多项式一定具有如下形状一定具有如下形状其中其中 。但是当。但是当 时时( )()idif( )m( )()kim1ik

6、dikd()()001000010000iikiiiddm JJIO 因此有因此有例例 2 ：已知对角块矩阵已知对角块矩阵 ， 分别为子块分别为子块 的最小多项式，则的最小多项式，则 的最小的最小多项式为多项式为即为即为 的最小公倍的最小公倍数。数。( )()idim12= diag(,)rAA AA12( ),( ),( )rmmm12,rA AAA12( ),( ),( )rmmm12( ),( ),( )rmmm例例 3 ：求下列矩阵的最小多项式求下列矩阵的最小多项式308(1)316205232(2)1822143AB126(3)10311431000300(4)00300005CD

7、100011001J解：解： （1）首先求出其）首先求出其Jordan标准形为标准形为所以其最小多项式为所以其最小多项式为 。（2）此矩阵的）此矩阵的Jordan标准形为标准形为2(1)100031003J从而其最小多项式为从而其最小多项式为 。（3）该矩阵的）该矩阵的Jordan标准形为标准形为2(1)(3)100011001J故其最小多项式为故其最小多项式为 。（4）此矩阵本身就是一个）此矩阵本身就是一个Jordan标准形，标准形，所以其最小多项式所以其最小多项式 。 矩阵函数及其计算矩阵函数及其计算定义：定义：设设 ， 为为 的的 个互不相同的特征值，个互不相同的特征值， 为其最小多项为

8、其最小多项式且有式且有2(1)2(5)(3)n nAC12,r r( )mA1212( )() ()()rdddrm其中其中 如果函数如果函数 具有足够高阶的导数并且下具有足够高阶的导数并且下列列 个值个值存在，则称函数存在，则称函数 在矩阵在矩阵 的的谱上有定谱上有定义义。例：例：设设11(1,2, ),riiidirdm( )f x(1)(),(),(),1,2,idiiifffir( )f xAm1( )(3)(4)f xxx又已知又已知容易求得矩阵容易求得矩阵 的最小多项式为的最小多项式为并且并且836320422AA2( )(2)(1)m511(2),(1),(1)2636fff所以

9、所以 在在 的谱上有定义。但是如果取的谱上有定义。但是如果取容易求得矩阵容易求得矩阵 的最小多项式为的最小多项式为显然显然 不存在，所以在不存在，所以在 的谱上无定义。的谱上无定义。( )f xA310030001BB2( )(1)(3)m(3)fB（1）设）设 ，如果，如果 有定义，那有定义，那么么 是否也有定义？是否也有定义？（2）设）设 且且 可逆，如果可逆，如果 有有定义，那么定义，那么 是否也有定义？是否也有定义？如果上述说法正确，请予以证明；如果上述如果上述说法正确，请予以证明；如果上述说法不正确，请举反例加以说明。说法不正确，请举反例加以说明。定义：定义：设矩阵设矩阵 的最小多项

10、式为的最小多项式为An nAC( )f A()Tf An nAC( )f A1()f An nAC1212( )() ()()rdddrm函数函数 在矩阵在矩阵 的谱上有定义，如果的谱上有定义，如果存在多项式存在多项式 且满足且满足则定义则定义矩阵函数矩阵函数为为定理：定理：设设 ， 为矩阵为矩阵 的的Jordan标准形，标准形， 为其相似变换矩阵且使得为其相似变换矩阵且使得( )f xA( )g x( )( )()(),1,2, ;1,2,1kkiiifgirkd( )( )f Ag An nACJAPA1APJP ，如果函数，如果函数 在矩阵在矩阵 的谱的谱上有定义，那么上有定义，那么其中

11、其中( )f x1112( )( )( (),(),()rf APf J PPdiag f Jf Jf JP(1)11( )( )( )( )2!(1)!( )( )1( )2!( )( )iiidiiiiiiiiiid dffffdff Jfff 我们称此表达式为我们称此表达式为矩阵函数矩阵函数 的的Jordan表示表示。( )f A例例 1 ：设设求求 的的Jordan表示并计算表示并计算 。解：首先求出其解：首先求出其Jordan标准形矩阵标准形矩阵 与相似与相似变换矩阵变换矩阵126103114A ( )f A,sinAtAeeAJP100011001J122110011P从而从而 的

12、的Jordan表示为表示为( )f A( )xf xe(1),(1)fe fe1( )( )122(1)001021100(1)(1)11201100(1)113(1)2(1)2(1)6(1)(1)(1)(1)3(1)(1)(1)(1)3(1)f APf J Pffffffffffffffff当当 时，可得时，可得从而有从而有当当 时，可得时，可得于是有于是有( )txf xe(1),(1)ttfefte26034Aeeeeeeeee (12 )26(1)3(13 )ttttAttttttt eteteetet etetetet e当当 时，可得时，可得同样可得同样可得( )f xsinx(1

13、)1,(1)1fsinfcos12121611113111131sincoscosCossinAcossincoscoscoscossincos例例 2 ：设设求求 的的Jordan表示并计算表示并计算解：首先求出其解：首先求出其Jordan标准形矩阵标准形矩阵 与相与相似变换矩阵似变换矩阵308316205A( )f A, in,cos2tAesAAJP100011001J041130020P从而从而 的的Jordan表示为表示为( )f A1( )( )3012041( 1)0011300( 1)( 1)00202000( 1)102( 1)4( 1)08( 1)3( 1)( 1)6( 1

14、)2( 1)0( 1)4( 1)f APf J Pfffffffffffff当当 时，可得时，可得( )txf xe(1),(1)ttfefte40836204ttttAttttteteteeteetetete于是有于是有当当 时，可得时，可得故故( )f xsin x( 1)0,( 1)ff 408306204sin A 类似可求得类似可求得2043cos032202A定理：定理：设函数设函数 与函数与函数 在矩阵在矩阵 的的谱上都有定义，那么谱上都有定义，那么 的充分的充分必要条件是必要条件是 与与 在在 的谱上的值的谱上的值完全相同。完全相同。设矩阵设矩阵 的最小多项式为的最小多项式为其

15、中其中 为矩阵为矩阵 的的 个互异特个互异特征值且征值且( )f x( )g xA( )f x( )( )f Ag A( )f x( )g xAn nAC1212( )() ()()rdddrm12,r rA 如何寻找多项式如何寻找多项式 使得使得 与所求与所求的矩阵函数的矩阵函数 完全相同？根据计算方法中完全相同？根据计算方法中的的Hermite插值多项式定理可知，在众多的多插值多项式定理可知，在众多的多项式中有一个次数为项式中有一个次数为 次的多项式次的多项式且满足条件且满足条件11(1,2, ),riiidirdm( )p x( )p A( )f A1m 121210( )mmmmp x

16、axaxa xa( )( )()(),1,2, ;1,2,1kkiiipfirkd这样，多项式这样，多项式中的系数中的系数 完全可以通过完全可以通过关系式关系式确定出来。则我们称确定出来。则我们称为为矩阵函数矩阵函数 的多项式表示的多项式表示。121210( )mmmmp xaxaxa xa1210,mmaaa a( )( )()(),1,2, ;1,2,1kkiiipfirkd121210( )mmmmf AaAaAa Aa I( )f A例例 1 ：设设求求 的多项式表示并且计算的多项式表示并且计算解：容易观察出该矩阵的最小多项式为解：容易观察出该矩阵的最小多项式为100020003A,

17、in,cos44tAesAA( )(1)(2)(3)m xxxx( )f A这是一个这是一个3次多项式，从而存在一个次数为次多项式，从而存在一个次数为2 的多项式的多项式且满足且满足于是可得于是可得2210( )p xa xa xa(1)(1), (2)(2), (3)(3)pfpfpf210210210(1)(2)42(3)93faaafaaafaaa解得解得所以其多项式表示为所以其多项式表示为012(3)3 (2)3 (1)1(3 (3)8 (2)5 (1)21( (3)2 (2)(1)2afffafffafff 2210(1)00( )0(2)000(3)ff Aa Aa Aa Iff当

18、当 时，可得时，可得于是有于是有当当 时，可得时，可得( )txf xe23(1),(2),(3)tttfefefe23000000ttAtteeee( )4f xsinx22(1),(2)1,(3)22fff故有故有类似地有类似地有2002sin01042002A2002cos00042002A例例 2 ：设设求求 的多项式表示并且计算的多项式表示并且计算解：容易观察出该矩阵的最小多项式为解：容易观察出该矩阵的最小多项式为这是一个这是一个3次多项式，从而存在一个次数为次多项式，从而存在一个次数为2100021002A( )f A, in,cos4tAesAA2( )(1)(2)m xxx的多

19、项式的多项式且满足且满足于是有于是有2210( )p xa xa xa(1)(1), (2)(2),(2)(2)pfpfpf21021021(1)(2)42(2)4faaafaaafaa0122(2)3 (2)4 (1)3(2)4 (2)4 (1)(2)(2)(1)afffafffafff 解得解得所以其多项式表示为所以其多项式表示为2210(1)00( )0(2)(2)00(2)ff Aa Aa Aa Ifff当当 时，可得时，可得于是有于是有当当 时，可得时，可得( )txf xe22(1),(2),(2)tttfefefte22200000ttAttteeetee( )f xsin x(

20、1)0,(2)0,(2)fff故有故有类似地有类似地有000sin00000A2002cos0044000A例例 3 ：设设求求 的多项式表示并且计算的多项式表示并且计算解：容易观察出该矩阵的最小多项式为解：容易观察出该矩阵的最小多项式为这是一个这是一个2次多项式，从而存在一个次数为次多项式，从而存在一个次数为1 的多项式的多项式200010001A( )f A( )(1)(2)m xxx, in,cos22tAesAA10( )p xa xa且满足且满足于是有于是有解得解得(1)(1), (2)(2)pfpf1010(1)(2)2faafaa01(2)2 (1)(2)(1)affaff 所以

21、其多项式表示为所以其多项式表示为当当 时，可得时，可得从而可得从而可得 10( )2 (1)(2)02 (2)2 (1)0(1)0(2)(1)02 (2)(1)f Aa Aa Ifffffffff( )txf xe2(1),(2)ttfefe222220220002tttttAttttteeeeeeeeee当当 时，可得时，可得故有故有( )2f xsinx(1)1,(2)0ff202sin0102101A同样可以得到同样可以得到练习练习 ：设设求求 的多项式表示并且计算的多项式表示并且计算102s0002102coA110011001A( )f A, in,cos4tAesAA定义：定义：设

22、设 ，一元函数，一元函数 能够展开能够展开成关于成关于 的幂级数的幂级数并且该幂级数地收敛半径为并且该幂级数地收敛半径为 。当矩阵。当矩阵 的的谱半径谱半径 时，我们将收敛矩阵幂级数时，我们将收敛矩阵幂级数n nAC( )f xx0( )kkkf xc xRA( )AR0kkkc x的和定义为矩阵函数，一般记为的和定义为矩阵函数，一般记为 ，即，即因为当因为当 时，有时，有( )f A0( )kkkf Ac Ax 21112!xnexxxn 352111in3!5!1( 1)(21)!nnsxxxxxn 2421112!4!1( 1)(2 )!nncosxxxxn 当当 时，有时，有当当 时，

23、有时，有所以对于任意的矩阵所以对于任意的矩阵 ，当，当1x 123(1)1( 1)nnxxxxx 11x 23111ln(1)231( 1)1nnxxxxxn n nAC( )AR2112!AneIAAAn352111sin3!5!1( 1)(21)!nnAAAAAn 时，我们有时，我们有123()( 1)nnIAIAAAA 24211cos2!4!1( 1)(2 )!nnAIAAAn 2341111ln()2341( 1)nnIAAAAAAn 由此可以得到一些简单的推论：由此可以得到一些简单的推论：2(1)(2)(3)cossin,1n nOn nAAAAiAeIe eeeIeAiAi221

24、(4)cos()21(5)sin()2(6)sin()sin(7)cos()cos(8)sincos1iAiAiAiAAeeAeeiAAAAAA 这里我们主要讨论两种特殊矩阵函数的性质，这里我们主要讨论两种特殊矩阵函数的性质，即即021 2102201(1)!( 1)(2)sin(21)!( 1)(3)cos(2 )!Atk kkkkkkkkkkeA tkAtAtkAtA tk定理：定理：设设 ，那么当，那么当 时，时，我们有我们有证明：首先证明第一个等式证明：首先证明第一个等式,n nA BC22(1)(2)sin()sincoscossin(3)sin22sincos(4)cos()coscossinsin(5)cos2cossinA BABBAee ee eABABAAAAAABABABAAAABBA2222322311()2!11()2!1()()2!1(33)3!ABnne eIAAAnIAAAnIABAABBABAA BABB2311()()()2!3!A BIABABABe现在证明第二个等式现在证明第二个等式()()1sin()()21()211()()2211()()22sincoscossini A Bi A BiAiBiAiBiAiAiBiBiAiAiBiBABeeie eeeieeeeieeeeiABAB同样可以证明其余的结论