矩阵理论-第二讲 方阵的对角化

1、信息科学与工程学院矩阵理论-第二讲兰州大学信息科学与工程学院2004年信息科学与工程学院回顾与复习 矩阵理论的应用背景； 矩阵、数域、映射、直积集、代数运算、集合对运算封闭、矩阵运算、负矩阵、零矩阵、方阵、对角阵、单位阵、转置矩阵、分块矩阵、分块矩阵的相等、伴随矩阵（adjoint matrix, NOT adjacent matrix）、逆矩阵、逆的性质、矩阵的秩、秩的性质等 矩阵运算：矩阵加法、矩阵减法、数乘矩阵、矩阵乘法、方阵的幂 线性空间：非空集定义了加法，满足4条有关加法的规律（加法交换群） ；定义了数乘，满足4条有关数乘的规律；信息科学与工程学院回顾与复习（Continue） 线性

2、映射（线性算子、线性变换）同一数域上的线性空间到线性空间的映射 线性泛函线性空间到数域的映射 线性子空间非空子集、加法与数乘的定义与原空间相同子空间的维数不超过其全空间的维数子空间的维数 = 生成元（列向量）构成的矩阵（向量组）的秩信息科学与工程学院回顾与复习（Continue）3Rx:Fx0 xcbax0 x0:Fx00,0F单独一个就已经线性相关了，所以规定零单独一个就已经线性相关了，所以规定零子空间的维数为子空间的维数为0，并且规定它的，并且规定它的基基为为空集空集Xx:Fx0 xX是线性子空间， ，集合 是子空间，当 时，是由x生成的一维子空间1x2xYXZbacxx11xx220)(

3、11221122xxxx信息科学与工程学院回顾与复习（Continue）3,Ryx0, 0yxYXZ不相关yxxyxxyxx333222111xyyx22221111,cbaxcbaxcbacbayyyyxxxx,aaaayxayxa222111212211112212212211112212aayaaxaa213xxx信息科学与工程学院回顾与复习（Continue） 线性方程组解的结构齐次非齐次rn,21)()(2211),(),(),(rnnrnrnrkkFICjiIjiIjiI0AXnmrFA01XXXBAX 1,mnmrFBFA信息科学与工程学院回顾与复习（Continue） 方阵的特

4、征值与特征向量 特征矩阵nnFAFnFx0 xAxnnFAnnnnnnaaaaaaaaaAI212222111211信息科学与工程学院回顾与复习（Continue） 特征多项式 特征方程0)det( AI)det(AI 信息科学与工程学院特征值与特征向量（Continue） 特征值的代数重数若 是 的k重特征值，则称的代数重数为k 特征值的几何重数 的解空间称为A的属于特征值的特征子空间，记为 。特征子空间的维数 称为A的特征值的几何重数 特征值的几何重数不超过它的代数重数：若 是 的k重特征值，则nnFAFV0)(xAI)rank(dimAInVkAInV)rank(dimnnFAF信息科学

5、与工程学院特征值与特征向量（Continue） 矩阵的多项式设 f() 是 的多项式 ：运算结果是一个数对 ，定义 为矩阵A的多项式 ：运算结果是一个 上的矩阵 矩阵的多项式的特征值和特征向量若 是 的特征值， 是A的属于的特征向量，那么x也是 的属于特征值 的特征向量：nnFA0111)(aaaafssssnnFIaAaAaAaAfssss0111)(nnFAFsiFai, 1,nniFIAsiFa, 1,xAxxfxAf)()(nFx0)(f)(AfZs0)(Af0)(f(对A的任一特征值）信息科学与工程学院特征值与特征向量（Continue）证明:由方阵的幂的定义， 有那么如果Zk xx

6、AxAAxAxAkkkkk111)()(xIaAaAaAaxAfssss)()(01111IxaAxaxAaxAassss01111xfxaaaassss)()(011110)(AfxfxAf)()(0nFx00)(f信息科学与工程学院特征值与特征向量（Continue） 属于不同特征值的线性无关的线性无关的特征向量组组，组合起来仍线性无关设 是 的互异特征值， 是分别与 对应的 个线性无关的特征向量，则线性无关推论：属于不同特征值不同特征值的特征向量必线性无关线性无关证明：证明：对特征值的个数用归纳法。当k = 1时，显然成立。设 时成立，需要证明k = m时也成立。Fn,21nxnFAni

7、riiFxxxi,21nkrkkrrFxxxxxxxxxk,21222211121121)2( 1mmk00212211nnnxxxiri信息科学与工程学院特征值与特征向量（Continue）为此，设有F上的常数：使得：用 乘以上式两边：用A左乘（1）式两端，并注意到：又有(2)式与(3)式相减nkrmmrrFm,21222211121121mmrjmjmjrjrjjmjmjjxxx111)1()1(11011(1)mmmrjmjmmjrjrjjmmjmjmjxxx111)1()1(11011(2), 1;, 1(iitiitrtmixAxmmrjmjmmjrjrjjmmjmjjxxx111)

8、1()1()1(1110110)()(1111)1()1()1(111rjrjjmmmjmjmjmxx(3)信息科学与工程学院特征值与特征向量（Continue）即：又因为 互异，故：将上式代入(1)式，得即k = m时，定理也成立11)1(221111, 10)(, 10)(, 10)(mmmjmmjmjrjrjrj1211, 1;, 1;, 10mjrrrjFn,21mrjmjmjx10的线性无关的特征向量m0,21mmrmm0,21222211121121mkrmmrr信息科学与工程学院特征值与特征向量（Continue） 方阵的迹设 ，定义为方阵A的迹 定理 有且仅有n个特征值，且若

9、是A的n个特征值，则 的特征值是 ，而 的特征值为nnijFaA)(ninnnnaaaaA12211trnxnFAFn,21AAAInnndet) 1()(tr)det(1Aniitr1Aniidet1TAn,21nnjiHFaA)(n,21信息科学与工程学院特征值与特征向量（Continue）证明对A的阶数用归纳法。A的阶数为1时， ，定理成立。设A的阶数为n 1时定理成立，需要证明A的阶数为n时，定理也成立。由行列式的性质11)det(aAInnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaAI21222211121121222211121111)det(信息科学与工程学院特征值

10、与特征向量（Continue）nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa212222111222221121110011111222112211222112222211211001001nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa信息科学与工程学院特征值与特征向量（Continue）1111222112211222222211) 1(nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaa122212222)(caaaaaannnnnnnn32211111222112211222ccaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnFccc321,信息科学与工程

11、学院特征值与特征向量（Continue）1222111)()1()det(caaaAInnnn)(3221ccnnFccac3111) 1(cAnn1)(tr上式中再令上式中 0，则又因为 是 的n个根，所以比较上式中 的系数和常数项：AAcndet) 1()det(n,21)det(AI )()()det(21nAInnnnnAI21121) 1()()det(Aniitr1Aniidet11n信息科学与工程学院特征值与特征向量（Continue）由上式可以立即得到两条推论： 满秩 A的所有的特征值都异于零对 ，0是A的特征值Aniidet1nxnFA0detAnxnFA0)det()det

12、()det()det(AIAIAIAIiTiTTiTi证明 也是 的特征值n,21TA证明 是 的特征值：n,21HA)det()det()det(TiTiHiAIAIAITiTTiAIAI)det()det(00)det()det()det(AIAIAIiTi信息科学与工程学院特征值与特征向量（Continue）用数学归纳法证明)det()det(AA kjkkjjkkkjjkjjjjnnnnnnkaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaA1)1(2)1(13)1(2)1(3312)1(2)1(22111212222111211) 1(detkkjjkjjkjjkjjkjjkjjkjjk

13、jjAAaAaAaAadet) 1() 1() 1() 1(11111111111111111111信息科学与工程学院方阵乘积的迹 定理设 ，则证明：设 ， ，则AB的对角线元素为而BA的对角线元素为于是改变求和顺序 nxnFBA,nnijFaA)(nnijFbB)(nibankkiik, 11niabnkkiik, 11)()(11ninkkiikbaABtr)tr()()(1111BAabbankniikkinknikiik信息科学与工程学院方阵的相似 方阵相似的定义设 ，若 使得则称A与B相似，记作 相似矩阵的性质自反性对称性传递性 ，保秩性行列式相等矩阵函数相似特征多项式、特征值相同n

14、xnFBA,BAPP1BA nnnFPAA BA AB BA CA CB BA BArankrankBA BAdetdetBA )()(BfAfBA )det()det(BIAIAAII1ABPP)(111CBQQPQAQP111)()(mxnFBA,mmmFPnnnFQBPAQ BA BPAPdetdetdetdet1信息科学与工程学院方阵的相似（Continue）设因为 ，所以 使得那么0111)(aaaafssssBAPP1BA nnnFPIaBaBaBaBfssss0111)(IaPAPaAPPaAPPassss011111)()()(PAPAPPAPPAPPAPPkkk11111)(

15、 PAfPPIaAaAaAaPBfssss)()()(101111)()(BfAf)(det()det()det(11PAIPAPPIBI)det(det)det(det1AIPAIP信息科学与工程学院方阵的对角化 方阵可对角化的定义对 ，若 ，则称方阵方阵A A可对可对角化角化 问题：问题：如何判定一个方阵可对角化？可对角化的方阵如何实现可对角化？ 方阵可对角化的充要条件 可对角化 A有n个特征值，且每个特征值的几何重数等于其代数重数证明：（充分性）设 有n个特征值：nxnFAnnnFaaaA),diag(21nxnFAnxnFA)(, ,21111nrrrFnrkkrk 信息科学与工程学院

16、方阵的对角化 方阵可对角化的定义对 ，若 ，则称方阵方阵A A可对可对角化角化 问题：问题：如何判定一个方阵可对角化？可对角化的方阵如何实现可对角化？ 方阵可对角化的充要条件 可对角化 A有n个特征值，且每个特征值的几何重数等于其代数重数，即： nxnFAnnnFaaaA),diag(21nxnFA)(, ,21111nrrrFnrkkrk ), 2 , 1(,dimkiVrii信息科学与工程学院方阵的对角化（Continue） 可对角化方阵的对角化方法由 的基构成的矩阵可使证明：先证充分性。设 有n个特征值：且niriiFi,21), 2 , 1(,kiVinnkrkrFTk)(11111n

17、nnrkkrFATTk , ,diag1111nxnFA)(, ,21111nrrrFnrkkrk ), 2 , 1(,dimkiVrii信息科学与工程学院方阵的对角化（Continue）为 的基，因 互异，根据“属于不同特征值的线性无关的线性无关的特征向量组组，组合起来仍线性无关”，A的n个特征向量线性无关，因此注意到于是iitiitrtA, 2 , 1,niriiFi,21)(,121112111nrrFknkrkkrkk,21), 2 , 1(kiVinnnkrkrFTk)(11111),(111111krkrAAT),(111111krkrAAAA信息科学与工程学院方阵的对角化（Con

18、tinue）于是)(11111111krkkkr), ,diag(, ,diag)(11111111111 kkkrkkrrkkrkrkrTnnnrkkrFATTk , ,diag11112110000000000*r1列r1行信息科学与工程学院方阵的对角化（Continue）再证必要性，即 可对角化 A有n个特征值且每个特征值的几何重数等于其代数重数。不失一般性，设A相似于F上的一个n阶对角阵根据相似的定义， 使得上式右边的对角阵以 为其 重特征值，“相似方阵有相同的特征值” ，所以，A有n个特征值：下证 nxnFA)(), ,(21111nrrrFdiagnrkkrk nnnFT)(, ,

19、diag11111nrrFATTknnnrkkrk i), 1(kiri)(, ,21111nrrrFnrkkrk ), 2 , 1(,dimkiVrii信息科学与工程学院方阵的对角化（Continue）对T的n个列向量进行如下编号：那么比较上式两边矩阵的列向量，可得)(,121112111nrrFknkrkkrk),(111111krkrA),(111111krkrAAAA kkkrkkrkrkrrkkrTAT, ,diag)(), ,diag(11111111111)(11111111krkkkrkirtAiitiit, 1, 2 , 1,信息科学与工程学院方阵的对角化（Continue）

20、由线性无关。“一组向量线性无关，则其一部分也线性无关”也线性无关。 “线性无关向量的最大个数不超过其所在空间的维数”又由“特征值的几何重数不超过它的代数重数”综合上两式推论1：若 有n个互异的特征值，则A可对角化推论2：若 的特征值都是单重的，则A可对角化nnnFT)(,121112111nrrFknkrkkrkkiViiirii, 1,21), 2 , 1(,dimkiVrii1dim1irVi), 2 , 1(,dimkiVriinxnFAnxnFAirVidim信息科学与工程学院方阵的对角化（Continue）例：下列矩阵能否对角化？对可对角化的矩阵，求其相似变换矩阵和相应的对角阵611

21、6100010242422221304021101)3)(2)(1(6565611661161001)det(22323AI信息科学与工程学院方阵的对角化（Continue）00011010100011001155011001151161100111)1(23)5(2)1(23)6(1)1(11111p4212p9311p941321111321pppP3000200011APP信息科学与工程学院方阵的对角化（Continue）242422221221730121p1022p2213p7000200021APP信息科学与工程学院方阵的对角化（Continue）此矩阵不能对角化！12123211

22、1p0103p304021101信息科学与工程学院方阵的对角化（Continue）对角阵的应用：乘积、幂、求逆和求特征值都比较简洁求幂： ，求242422221A100A)7, 2, 2diag(7000200021APP210201122P110010010011001001100)7(,2,2diag()7, 2, 2(diag()7, 2, 2diag(PPPPPPA信息科学与工程学院方阵的对角化（Continue）求解线性微分方程组：写成矩阵形式： 令321332216116xxxdtdxxdtdxxdtdxAxx 6116100010A321xxxx332211*ydtdyydtdyydtdyydiagy)()(diagAAPyPy1APyyP PydtdyPtadtdtAdtdij)()(Pyx 信息科学与工程学院方阵的对角化（Continue）321111300020001yyyyAPyPAxPxPy那么33221132ydtdyydtdyydtdytttecyecyecy33322211CcccecececececececececPyxttttttttt321332213322133221,9432信息